Hình chữ nhật

ƠN TẬP HÌNH CHỮ NHẬT A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc A B D C vng  ABCD ABCD hình chữ nhật   ˆ ˆ   A = Bˆ = C = Dˆ - Nhận xét: Hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân Tính chất: Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành hình thang cân - Tính chất cạnh: Các cạnh đối nhau, song song với - Tính chất góc: Bốn góc - Tính chất đường chéo: Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật - Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Ứng dụng vào tam giác vuông A - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền M nửa cạnh huyền, ta có: BM = AC B - Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng Nếu BM = AC  ABC vuông B Bài tập C Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình E chiếu B lên AC Trên tia đối tia BM lấy điểm E cho BE = AC Chứng minh ADE = 450 A B O H D C Lời giải +) Ta có ABCD hình chữ nhật  AC = BD = BE  BED Cân B  D1 = E Mặt khác OC = OD  OCD = ODC 2 +) ADE = EDB + BDC = OBH + BOH (góc ngồi tam giác) = 900 = 450 Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Trên đoạn AB, BC, CD, DA M , N , P, Q M A B lấy điểm Chứng minh rằng: E MN + NP + PQ + QM  AC I Q D Lời giải Gọi E, F , I trung điểm MQ, NP, QN Vì AQN , CPN tam giác vng MQ = AE; NP = 2CF     VT = 2( AE + EI + FI + FC )  AC 1 IE = MN ; FI = PQ  2  N F C Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc A B đoạn BD , gọi F điểm đối xứng với A E qua E Gọi H , K hình chiếu O F lên BC , CD Chứng minh E , H , K I 1 thẳng hàng F H D M C K Lời giải Ta có HKCF hình chữ nhật  HK , FC cắt trung điểm đường  EI đường trung bình CFA  EI / / AC (1) +) Gọi M trung điểm DK nên EM đường trung bình hình thang ADKF  EM / / FK  EM ⊥ CD  DEK cân E  D1 = K1 = C1  EK / / AC (2)  E , I , K : thanghang  E , H , K thẳng hàng  H  IK Từ (1)(2)   Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình A chiếu A lên B , gọi M , N B F trung điểm HD, BC CMR: AM ⊥ MN N H M D Lời giải Gọi E trung điểm AH nên ME đường trung bình AHD  ME / / AD; ME = 1 AD = BC = BN  BEMN 2 Là hình bình hành  BE / / MN (1) C  ME / / AD  ME ⊥ AB  AD ⊥ AB +)  AMB có E trực tâm  BE ⊥ AM (2)  AM ⊥ MN (dpcm) Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Qua điểm E A thuộc đoạn AC kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD, CD M N Dựng 1 P B E F M hình chữ nhật NDMF Chứng minh E trung điểm BF N D C Lời giải +) A1 = P1 = B1 = D1 = C1  AEP cân E  AE = EP +) Tương tự: AE = EM  EM = MP +) BPND hình bình hành  ND = PB  PBMF : hinhbinhhanh     ND = FM  EM = MP Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD A B Lấy điểm E thuộc đoạn AD , điểm I, K thuộc đoạn CD cho N E M DI = CK = AE Đường thẳng qua K vng góc với EK cắt đoạn BC M Chứng minh rằng: IM ⊥ IE D Lời giải I H K C +) Gọi N , H trung điểm EM , CD  NH đường trng bình hình thang EDCM  NH ⊥ CD HD = HC   NI = NK 1    NK = NM  NI = NM +) DI + IH = HK + KC   HI = HK → NIK cân N   2  NK = EM  DI = KC   EIM vuông I  EI ⊥ MI Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD , kẻ BH ⊥ AC , gọi A B M trung điểm AH , K trung điểm I CD Chứng minh BM ⊥ MK M H D K Lời giải Qua M kẻ đường thẳng vng góc với BC , cắt BH I Ta có: MI / / AB / /CD M trung điểm AH nên MI đường trung bình   MI / / CK  MI = AB  ABH     MICK hình bình hành  MK / /CI (1)  IH = IB  MI = CK = CD Trong MBC có I trực tâm  CI ⊥ MB(2)  BM ⊥ MK  dpcm C Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD , M điểm nằm hình chữ nhật, vẽ ME ⊥ AB E , MF ⊥ AD F , CK ⊥ AM E A H F K Chứng B M minh rằng: K O a) ME + MF = MA2 b) MA2 + MC = MB + MD2 D c) BKD = 900 C G Lời giải a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật  MA = EF  ME + MF = EF = AM b) Gọi G giao điểm EM CD , H giao điểm F BC  Tứ giác DFMG, GMHC , EBHM hình chữ nhật, Do MC = MH + MG ; MB = ME + MH ; MD2 = MG + MF  đpcm c) Gọi O giao đường chéo AC BD  KO = AC BD =  BK ⊥ DK  BKD = 900 2 Bài 9: Cho H hình chiếu B đường chéo I A B AC hình chữ nhật ABCD , M K theo thứ tự trung điểm AH CD M a) Gọi I O theo thứ tự trung điểm AB IC Chứng minh MO = IC O H D b) Tính số đo BMK ? Lời giải Ta có: BIKC hình chữ nhật nên O trung điểm IC BK Xét IMC vuông, Ta có OM = CD C 2 b) MBK có MD = IC = BK  BMK = 900 MBK có MD = 1 IC = BK  BMK = 900 2 Bài 10: Cho ABC vng cân A có AH A đường cao, Gọi M điểm K cạnh BC , I K hình chiếu vng góc M AB, AC Chứng minh I IHK vuông cân B M C H Lời giải Chứng minh AIMK hình chữ nhật Vì ABC vng cân A  AK = IM = BI Mà BH = HA  HBI = HAK = 450  BHI = AHK ( cgc )  IH = HK Mà H3 + H = 900 = H1 + H = 900 Bài 11: Cho ABC vuông A ( AC  AB ) , đường A cao AH , HC lấy HD = HA , đường ⊥ BC D cắt AC E E F a) Chứng minh AE = AB b) M trung điểm BE , Tính AHM M B H D C Lời giải a) Chứng minh AE = AB Kẻ EF ⊥ AH  HDEF hình chữ nhật  HBA = FAE ( gcg )  AB = AE BE b) ABE vuông cân A  AM = BDE vuông cân D  MD = BE Từ ta có: AM = MD Xét AHM = DHM (cgc)  H1 = H = 450 Bài 12: Cho ABC cân A , từ điểm D E H đáy BC , vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng AB, AC E F , A Vẽ hình chữ nhật BDEH , CDFK Gọi I , J tâm hình chữ nhật BDEH I F CDFK , M trung điểm AD K M a) CMR: Trung điểm HK điểm có định J khơng phụ thuộc vào vị trí D BC b) CMR: điểm I , J , M thẳng hàng B đường thẳng AD, HJ , KI đồng quy Lời giải a) Ta có: B1 = D1 mà B1 = C1 = D1 = C1 = ID / / AC Chứng minh tương tự ta có: JD / / AB Khi AIDJ hình bình hành  AJ / / ID, AJ = ID  Chứng minh AHIJ hình bình hành  IJ / / AH ; IJ = AH ; IJ / / AK ; IJ = AK D C Khi điểm A, H , K thẳng hàng A trung điểm HK b) Tứ giác AIDJ hình bình hành  M trung điểm AD M nằm đường chéo hình bình hành Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD E điểm nằm A đường chéo AC , tia đối tia EB B lấy F cho EF = BE , Gọi M , N hình O chiếu F đường thẳng AD, ÐC D Chứng minh N C a) DF / / AC; MN / / BD I b) điểm E, M , N thẳng hàng M F Lời giải a) Dễ thấy OE đường trung bình BDF  DF / /OE  DF / / AC  A1 = D1 (Đồng vị )  OAD cân  A1 = D2 = D1  IDM cân  D1 = M1  D2 = M1 (đồng vị)  MN / / BD b) I trung điểm DF  IE trung bình  IE / / BD mà MN / / BD Vậy M , N , E thẳng hàng Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD , điểm P thuộc đường chéo BD ( P khác B D ), Gọi M điểm đối xứng C qua P a) Chứng minh AM song song với BD b) Gọi E , F hình chiếu M AD AB Chứng mỉnh ba điểm E, F , P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF FA không phụ thuộc vào vị trí P B C P O M F I E A D K Lời giải a) Ta có: O trung điểm AC ( ABCD hình chữ nhật) P trung điểm CM (Vì M đối xứng với C qua P ) Nên OP đường trung bình ACM , OP / / AM  AM / / BD b) Vì OP đường trunh bình ACM nên OP / / AM OP = AM Do OP / / AI ; OP = AI  tứ giác AIPO hình bình hành  PI / / AC (1) ( Kẻ ME / / AB cắt AC K , ta có KAE = EAM = KDA ) Nên AE phân giác KAM , mặt khác AE ⊥ KM  AKM cân E trung điểm AMK  EI / /OA  EI / / AC MK , EI đường trung bình ( 2) Ta lại có E, I , F thẳng hàng (3) Từ (1), (2) (3) ta có E, F , P thẳng hàng Bài 15: Cho ABC vuông A , đường cao AH , B I trung tuyến AM , Gọi D E theo thứ tự D chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AC , H M Chứng minh K O a) AH = DE A b) HAB = MAC 10 E C c) AM ⊥ DE d, DI / / EK , với I trung điểm HB, K , trung điểm HC Lời giải a) Tứ giác ADHE có góc vng nên hình chữ nhật  AH = DE b) ABC vng A , Có AM đường trung tuyến  AM = MB = MC  ACM cân M  MAC = C ( ) Mặt khác HAB = C Vì phụ với HAC  HAB = MAC = C c) Chứng minh AM ⊥ DE , ta có A1 + E2 = 900 , Ta có: E2 + A1 = E2 + A3 = E2 + E1 = 900 d) Ta có HEC có EK = HK = CK  EKC cân K  E3 = C = A1  EK / / AM  KE ⊥ DE Chứng minh tương tự  DI ⊥ DE  DI / / EK Bài 16: Cho ABC có cạnh 4cm, M N A điểm chuyển động hai Q cạnh BC AC cho BM = CN H a) Tính diện tích ABC N b) Xác định vị trí M N để độ dài P MN nhỏ Tìm độ dài nhỏ đó? B M Lời giải a) Tính độ dài đường cao: h = a = = ( cm ) 2 Suy diện tích: S ABC = a.h = 4.2 = 3(cm2 ) b) Gọi P Q chân đường vng góc kẻ từ M N xuống AB Ta có: ANQ vng Q , có A = 600  AQ = AN 11 C Tương tự MPB có PB = BM 2 2 Cộng theo vế ta được: AQ + PB = AN + BM = ( AN + NC ) = AC Kẻ MH ⊥ QN Tứ giác MPQH hình chữ nhật 2 Ta có: MN  MH = PQ = AB − ( AQ + BP ) = AB − AC = AB Như M , N di chuyển ta ln có: MN  AB Và MN = AB , Khi M , N trung điểm BC AC Suy vị trí M , N cần xác định trung điểm BC AC Khi độ dài nhỏ MN là: MN = AB = 2cm Bài 17: Cho ABC nhọn, trực tâm H , giao điểm A đường trung trực O , Gọi P, Q, N theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AB , Q AH , AC N P a) Chứng minh OPQN hình bình hành H b) ABC cần có điều kiện để OPQN hình chữ nhật B O C Lời giải a) Gọi O giao đường trung trực nên OP ⊥ AB, ON ⊥ AC Trong AHC , QN đường trung bình nên QN / /CH Và PO / /CH (cùng vng góc với AB ) Chứng minh tương tự ta có OPQN hình bình hành b) Tứ giác BCQN hình chữ nhật có đường chéo NC BQ  NC = BQ 12  MP = 1 NC = BQ 2 Xét MQB có MP đường trung tuyến nên MP = BQ Nên MBQ vuông M  MB ⊥ MQ 13