Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 60-0025-0062

;w ww bi olo gie ze ntr um at ARITHMETISCHE UNTERSUCHUNGEN ibr ary LEOPOLD GKGENBAUER, M K AKAD DER SITZUNG AM IN ö JÄNNER 1S93 He rita ge Lib r ary htt VORGELEGT p:/ /w ww bi od ive rsi tyl C org / VON Im ersten Paragraphe der \'orIiegenden Mittheiiung wichtige Eigenschaft der conjugirten ive rsi ty stelle ich eine arithmetischen Functionen auf und bestimme sodann mit Hilfe derselben einige von diesen; eB iod im zweiten nlo a df rom Th werden zum Theile auf Grund der vorangehenden Entwicklungen zwei Relationen bewiesen, die bekannte Sätze von Kronecker und Pepin als specielle Fälle enthalten Der Paragraph enthält bemerkenswerthe na lD ow Specialisirungen der im zweiten auftretenden Functionen und Formeln, welche liefern Im Paragraph ge ,M A) ;O liche Verallgemeinerung eines Sylvester'schen Satzes über Primzahlrnengen, durch deren gewonnen wird, als deren speciellster Fall die M eissei von die Umformung zur Berechnung von Prim- rid eine Gleichung für findet sich eine wesent- rig i Theorie der Vertheilung der Primzahlen wichtige Resultate mehrere u A Ca mb zahlanzahlen benützte Formel erscheint; im Paragraph wird eine arithmetische Relation aufgestellt, die oo lo gy ( zu einer Reihe von Sätzen über primitive Congruenzwurzeln und arithmetische Determinanten die Zahlentheorie wichtige und V'orzeichenbestimmung gemacht of C om pa rat iv eZ im Schlussparagraph endlich eine fỹr fỹhrt, se um Đ Mu Zwei arithmetische Functionen the "/(.rj, /i heissen conjugirt, (-v) wenn die über alle Theiler d einer ary of ganzen positiven Zahl 1- cu a, rns Summe )., = '/, ,>j=a,, ,>,,.= Un iv ers ity ,E ausgedehnte tM ay rL ibr a, 1) «, h VAPi P2 -P,)VaU\' 'IV !',' ') hat, je ed oder nachdem Dig itis den Werth by the Ha rva rd _'/- so besteht für dieselben auch die Gleichung Xi (^^) = 7.1 (-') 7.1 Ü')' Ilcnkschriftcn der matliem.-naturw, CI LX Bd , L e op old G c g cuha itcv 26 Gilt die Gleichung aus r Primzahlen zusammengesetzte Product xy, für jedes 1) stens der Exponent eines der Primt'acturen kleiner als ;'a- (k— a^ 1, 2, , r) ist, welchem wenig- in so ergibt sich aus 1) die Relation /„"-'n Exponenten einen der Werthe 2, 1, von Null verschieden \k o-., ., Das Aggregat ist ze ntr aller Glieder dieser besitzt, ist offenbar gleich »- - =aj X^ (;'?-'*) Die letzte Gleichung verwandelt sich = — X^ Factoren des auftretenden Productes verschwinden ^ (^,^ folgende = _x, = a,_| ).|._| V' ^(^,; [pl') X.,, , ) ^ ^j?;r-^) y; (^,^.->'.) ^, (;,:->=) (;,:-'-''-') ^, X,,_i=0 man Th rom Beziehung schliesslich die wieder denen es einen von Null verschiedenen Werth diejenige, in na lD erhält und ist, Summe df denen X,-_i=0 der auf der rechten Seite dieser Gleichung stehenden in alle Glieder, besitzt, u s f, in so nlo a man ow Vereinigt eB iod X„ ) rsi ty j^ r:r) ) =a ive (;.« y, , He rita ge ).,=«, Lib r ary in die r alle 1) denen ww bi od ive nach in htt 0, weil Summe, p:/ /w X, I denen mindestens rsi -x.(p:')R lx(i'^*)x und hat daher den Werth auftreten, in org / einer der Summanden anzeigt, dass nur solche ;w ww bi olo gie Marke am Summenzeichen ibr ary die tyl wo um at ,K\., = a, Ca mb 1) oo lo gy ( oder endlich nach rid ge ,M A) ;O rig i X 3) se um man nach = Mu so hat x(i) 1) of the ist, om offenbar of C Da nun pa rat iv eZ x.(K' ;'? i':o=Hx,(7\')- ary = '/.liPl Pz -Pr) = (-1)'" XÜ'l Pi- -P')' die Beziehung tM woraus ay rL ibr Xl (1) ity ,E rns r rr)=p\yj{pi) Gleichung 3) für alle ganzzahligen, nicht negativen Werthe der Exponenten Ha rva Grund die the dieser Eigenschaft lässt sich sofort /_,(") durch ypi) ausdrücken Nach Dig itis x'\uf r by y.i; und demnach besteht und der Grösse ed folgt, rd Un iv ers '/.liPtPi- x(.p) X 1, 4) Xi(r) = (/'')'••, 7.(p), x(r-')^ x(r) aip'^-'-h x(r-') ,x(r-''), x(r ) 0, .,-/.(;7), yji^p^) 0, ., ySP) 0, 1, 0, 0, (-i)" 1, 1) ist nämlich Aritlniuiis:chc und daher besteht 'iilcrsiuiiinigcu l Formel die 7.ip>d. -,7(.p7'\7(.r7'') 1, /,f„)=[7],-i)'^ ••.zO'D-y.O'? 0, 1- 0, 0, .,xO',), ZO'IO 0, 0, ., •/_(;;,) ticalreihen einander proportional mit menten der ersten besitzt a^2r/ für aber a=:p ist Elemente der (a — + T(f)>T>0), ist demnach in ;w ww bi olo gie ze ntr 4) vor- Elemente zweier \'er- org / so kann diese Determinante dadurch, Horizontalreihe von den entsprechenden Ele- t)ten werden, die Lib r subtrahirt, in eine andere verwandelt Es die correspondirenden diesem Falle in der ersten Horizontalreihe lauter He rita ge Nullen während 0, werden; multiplicirten p'' oder nicht Als Gleichung 7Ap1) rsi ty die ist, in der = ive man eine [M Potenz tyl kommenden Determinante den Werth dass nachdem x 0, je rsi fj oder v* sämmtliche Elemente der letzten Verticalreihe der ww bi od ive < ist, ibr ary habe den Werth -/(.i') werden p:/ /w a falls ermittelt htt Die Function a) dann haben, von /(>) die conjugirten Functionen lur einige Specialisirungen ary Es mögen nun 1, um at 5) ist, es d h nachdem //« 0, je eine durch kein Quadrat theilbare df oder nicht, oder i)/(ff-P])x.P)/-2 ze ntr diejenige quadratische Determinante bezeichnet wird, welche aus ' 1, 0, 0, ., 0, 1, p, ., 0, 0, org / X^, ^X-) (a,, ibr ary mit /Vj- , Horizontalreihe durch die (für X.i^- 7=1,2, ^) abgeleitet wird, und demnach htt 7'^" p:/ /w durch Ersetzung der ww bi od ive rsi tyl wenn ;w ww bi olo gie f.,, /,« um at 111 folgender Weise geschrieben werden: Lib r in ary auch 2) s—r He rita ge kann Xj=r m rsi ty X,, Xn _ ive l^=\ \ Ph ' Pk p'^^- p"'^< p":^" "h ^h ^K mögen angegeben werden: hier die zwei folgenden 'S n) (111, i; ' ' > + — ' , Xj— v^ > (X /-^ I nlo a X,,, • 'd" Uiii •^'-T in p\px, -p,., pI'-'p>- X„X„ X,= 1 ^ .p/j, ^'''- py oo lo man in der ersteren einzigen bisher veröffentlichten speciellen Fall der allgemeinen Formel of C +V (11) \j=r , V Mu Z=Z X,, X , y of 11 ;'>) se um 7~r 5=1 a„x„ .,1 the man den X, = ^ \PiX, ' p X, .;' ''V^x, -f x, • Aj /,j l welchen Herr Pepin im Bande der zweiten Serie der »Nouvelles Annales« ohne Beweis mitgetheilt und tM 14 ay rL ibr X,,X ary so erhält om pa rat iv eZ Setzt ^\ gy ( ,= w, «, '-'»,''; ;O ge ,M = rid ([«/]) Ca mb 5jt >~j=r Xn n „, , A) X„ =>• X,)^'ft ^ rig i c=l X„X ,Xj=l X , ^ —— in — \P\P\ -Pr.^ / ow — [;;?]* X,, v^ na lD Q=r df rom speciellen Fällen dieser Relation Th Von den eB iod a=l X„X, 11 hat ,E rns Herr Moret Blanc an demselben Orte bewiesen ity man die Gleichung 4) mit "/.(;"j', ;'P,' /'P^) und summirt dem angegebenen Wege noch die weitere Relation auf bezüglich p/ von Un iv man rva rd erhält ers Multiplicirt Ha P3="3 the V V^r' il- p[' itis ed by 6) p- p.,- p.;J p Dig pfP: Dieselbe ist eine Verallgemeinerung der Gleichung § Es soll nun auf den speciellen 1) ), in welche Fall f(x) =: der Gleichung ,r, ß = des vorigen Paragraphes näher eingegangen werden sie für ^r übergeht bis a^., so 31 Arilliiiicliiichc Untcrsiicliniiiicu Schreibt man in der Gleichuncr " welcher die Summation nach x\ über — ist, um in welche eine bestimmte, durch den Index X charakterisirte Eigenschaft besitzen, für in: at auszudehnen nicht überschreitenden ganzen Zahlen die positive Zahl in alle von der ursprünglichen, so erhält man, da subtrahirt die dadurch entstehende Relation und zu den Zahlen alle ibr ary rsi der Werthe vorstellt, welche die Function X{x) annimmt, gehörigen Theiler i->, ww bi od ive Summe die oder nicht, die Gleichung der ganzen Zahl di, [;»] dmxhläuft wenn Man ihr Argu- hat daher die ary ment A'>,(';;/) ist [;»] = (m— 1)-+-A'x(w), {tu) welcher von ein Theiler tyl nachdem x\ besitzt, je p:/ /w oder htt +1 org / m-y-:^] den Werth in ;w ww bi olo gie ferenz 1) die Dif- ze ntr in I He rita ge Lib r Beziehung x={m] x=\m\ \ rm-\ ' rsi ty 2) 1^/^r ein Theiler derselben, so folgt aus 2) die Th und r irgend eine ganze Zahl Beziehung df rom Ist eB iod ive •i'X=("') ^ J nlo a na lD ^/(.v>,)= -V) X; ! rig i ( 2^ X,(x) x=[hn+l\ [s] + ^^ < ganzzahlig, nicht negativ, kleiner als (k r) sofort die Relationen [rs] — r[s] +k ay rL ibr ary of the Mu se um ist, of C om — ^Ei eZ oo lo welcher pa rat iv in ^ gy ( rid ergeben sich aber aus der Gleichung Ca mb Nun ge ,M A) ;O 3) 1= [)•»(] Um rill \ ow V ^ z d' + a- [-"]='«- !:r-r] a=0 ii=0 t( = kleiner als ist, 1, '1 r—k — kleiner als 1, für a = r — /'+1, r by the (i, so wird Dig und nicht für T ed Da itis führen Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns tM welche zu der Formel U = I' — im rt=0 und demnach 4) ergibt sich die von Hermite, mir und Stern bewiesene Formel i.-si=Zb4\- k-i-2, , r- Kleiner als Leopold Gegciibaiicr folgender in Form geschrieben werden: x= n;.rx=(™) die Summation bezüglich über \\ [rm] nicht überschreitenden ganzen, mit der durch den Index \ alle at WO [tm->r\] charakterisirten Eigenschaft begabten Zahlen, bezüglich a aber über alle durch seien nun über alle) Zahlen die sämmtliche Theiler einer ganzen Zahl v,, ;; .r — / alsdann : nicht theilbaren (bezie- zu erstrecken ist ist tyl ibr ary org / Es für ganzzahligen Individuen des Bereiches ;w ww bi olo gie hungsweise /^ um Die Gleichung 3) l,^{j) iod ive rsi ty verwandelt sich die Relation 14) wegen der Lib r •//.r) i = Quadratzahl) df (s/ u) (n X(ii) ow - (0 {n keine Quadratzahl) A) die folgende: ge ,M in ;O rig i •^ P-^ na lD > 2M) Kd) = Pv, nlo a „ \0([P,^1>1) rid (mod.;.) pa rat iv eZ oo lo gy ( Ca mb V the Mu se um of C om oder, da in diesem Falle ibr ary of ist ay rL V^^'fC^) l'v W= li.(P[P, ^-^])k (mod ;.) {[>.'(-^) = l) ers ity weiters Un iv Nimmt man ,E rns tM 17) — XCv) (o(.v), 14) unter Berücksichtigung der bekannten Relation the man aus itis ed by so erhält Ha rva rd yCv) Dig 2J ity =: ^^1= ,E rns tM ay rL ibr gesetzt werden; alsdann verwandelt sich 14) in Multiplicirt man nun die Gleichung 18) mit n so entsteht die Beziehung — CO 'f^-^j (med,;,, >33 Aiitlinictischc Uiitcrsndiuiiäcii m, n = ;w ww bi olo gie ze ntr um at Fl alle die Function ,o,(/0 ibr ary ist von n erstreckten Producte p,, — \—z[—j\ tyl Primtheiler und demnach ist, [Pl > " rsi dem über gleich Primzahlen zu erstrecken alle org / das Product bezüglich y über ww bi od ive wo ary htt p:/ /w dieser Gleichung folgt sofort die Beziehung •'^^^ '" a'"'' folgende verwandeln lässt: ow zeigt, dass stets flJ-*f^''i = l) wenn der grösste gemeinsame Theiler von P und der Congruenz 14) nur verschiedene Primtheiler enthält, so geht auf der rechten Seite der r, ersetzt wird, nur die erste [^^(a-) Summe m in / '/SS)^^'y\) über, während alle of C om -/^x) durch /(*) selben, en, falls /(;r) ist eZ in pa rat iv Da —n gerade liP oo lo gy ( ist, Ca mb rid ge ,M A) ;O :0 (mod y) rig i na lD welche nlo a df rom Th eB iod ive rsi ty in die He rita ge Congruenz mit Hilfe deren sich die letzte Lib r d rns A die Relation u by the Ha rva rd Un iv ers ity ,E aus der tM ay rL ibr ary of the Mu se um anderen Factoren ungeändert bleiben, und daher hat man die Beziehung ß) Addirt man in Dig itis ed folgt der quadratischen Determinante »ter !/([/, in welcher »,,«2 ches alle «„ ein geschlossenes, Theiler der einzelnen Elemente mente der multiplicirt 'Jjfa) — - [xn T=l I m-1 — ~ Z-j[ ist in ] /_,l m J Wege bewiesene Arithmetische Untersnchnngen Es mögen nun einige auf im Exponenten von r die in 57 der Gleichung auftretenden grössten '1) ganzen Zahlen bezüghche Sätze abgeleitet werden, durch deren Verbindung mit den obigen Erörterungen sich sofort Beweise des quadratischen Reciprocitätsgesetzes ergeben und |^^^ — gleich einer geraden Zahl 2k, so besteht die Ungleichung 2^^ 2^ < in + ^ rg^'^; l^k^'^) (1 ze ntr 2Ä^ at ii!- >— _ km 111 ,r In 11 h — kill und , Ml ;/ eine ganze Zahl liegt, so dass also 11 rsi dass zwischen rkui 111 ww bi od ive zeigt, tyl 1H kill welche ibr ary org / 11 ;w ww bi olo gie oder vklll I ist, woraus man dann der sofort sieht, nur Fall sein, wenn Lib r Dies kann aber, wie iod ive rsi ty He rita ge ist ary htt p:/ /w \Ti^2iiMn\-^' geraden |^^^ — j fl^-v^ —— - i ganz bestimmtes ungerades ein A) als ;/ — )/; ist, und umgekehrt ge ,M rid ;;/ gleich einer ungeraden Zahl 2k " J eZ oo lo I Ca mb m 'In \\ ml falls in der zweiten Summe im Exponenten von — k durch — k ersetzt wird, in by the welche Relation, Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns (fc;«-i Dig itis ed die folgende übergeht * ** V^ jr*m-| _rin _''2!^ Monatsberichte der königl preussischcn Vkadcmic der Wissenschaften American Journal of Mathcmatics, Vol *"* Einen anderen _ I l in Berlin, 1872 II auf der verallgemeinerten Stern'.schen Bestimmung des Legend re-Jacobi'scheii Symbols beruhenden Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesctzes werde ich im vierten Jahrgange der Monatshefte G v Escherich und E Weyr für Mathematik und Physik von mittheilen 8» Leopold Gcgcnbaiier, 60 Nun rkiit stellt km rtn I aber — beziehungsweise , angehörigen Werthe von X dar, X ^' n i , j Anzahl der dem , die , , , ^'f^l^^^ welche bei festem für 111 — X k i in in 2mn , , "' — ~— negativ wird, und daher lässt sich die letzte Gleichung ze ntr Evidenz setzende Formel transformircn: in welche im Wesentlichen von Herrn A Gcnocchi schon im Akademie der Wissenschaften und den Jahren 1880 und 1885 Jahre 1852 / ibr ary \ I den Abhandlungen der Brüsseler in rsi tyl I org / + ^-^ = sign.Hf^-^)f^ + ^)(l^/.^^;l^X^'^) ^ 2 n 2mn! nj\in Vm in in den Comptes rendus des Seanccs de p:/ /w l'Academie des Sciences (Paris) abgeleitet wurde ww bi od ive f^) \inj folgende, die Reciprocitätseigenschaft des in die ;w ww bi olo gie Legendre-Jacobi'schen Symbols unmittelbar um at beziehungsweise ,, die Differenz 'j ^ , Intervalle vorgenommen werden Da nämlich aus der He rita ge Gleichung = 2._i ive VI J iod I rsi ty rfc:l)^l Lib r mit der rechten Seite der Gleichung 3) Umformung kann auch Th eB Beziehung 2k— \ r Primfactoren 1), so erscheint jeder von diesen um at enthält aber im Nenner, und demnach org / ;w ww bi olo gie ze ntr im Zähler und diesem Falle die Beziehung (n = = j9"; j9 £ iod eB Th rom df nlo a ow na lD rig i ;O A) ge ,M rid Ca mb gy ( oo lo eZ pa rat iv om of C se um Mu the of ary ibr ay rL tM rns ,E ity ers Un iv rd rva Ha the by htt (mod ive 's/7 wenn n ary man ist, Lib r so hat ist, und nur dann einfach gerade besitzt, He rita ge — ed von der Form 45 n mindestens zwei ungerade Primfactoren oder rsi ty Form 45+1 itis einen von der wenn ist, p:/ /w die Function '^{u) durch theilbar Dig Da nun ww bi od ive rsi tyl ibr ary ist in rü e:^^ g t 4)) die Potenz einer Primzahl ... die der entsprechen- Elemente der [jten Ver- von den correspondirenden Elementen der letzten und entwickelt sodann subtrahirt sie p'-'-', ;7^*'fache at hat; während jedes der Diagonalglieder... Bereiches Den Potenzen ^'ten der 29 die 'Sk{iii,ii) Anzahl derjenigen Systeme deren grösster gemeinsamer Theiler zu u theilerfremd ist, k= der ersten, beziehungsweise ist der zweiten Gleichung hat... ww bi od ive rsi tyl /i'p? ;v ou, , a in der auf der rechten Seite derselben stehenden = 1,2 so hat, i) ist Sumnie alle Glieder, in denen [i.j,--h deren Aggregat gleich ay rL x'on Null x'erschieden,