' y r' „, / ' dx* / rf/- $
-di man wird mit demselben Rechte auch ylib aber schon oben ds mit lz da = b + u -ä+ v x- r ; =a m y von =6 , w r; od ive db — — + — db + w + w + U df ' He rita ge ty ~da~ rom ~dl db d- b rsi = ddP dh) 13) unabhängig sind ive t iod u und folgt, weil Th eB woraus weiter Lib r ary htt p:/ X rsi t und daher dl setzen, /w ww bi hier Da v rar y * u db db c?a =a+ ww w bio log iez en tr um at oder, das Bogenelenient in i, nlo ad f dieses mit ow db — = = u — v.— da (v a\ (X—a) ); O rig ina lD v, (x ) dt- db d* v da = tiv m mp ara dm db b dt Diese Werthe aus 13) und 14) zugleich mit db d- da in die entsprechenden Ausdrücke of Co ergeben für die dortigen Summen: ; / 4- —d - db dt- dt- db — ,_, the , udm — JT icdm Mu r / da da — dt r d-b / J v dm — da f —d — uv daj db db / dm dt- dt C db C —d — u dm daj , 4- tM ay d2 b dt / ty, dt =— J\dm ns Er d*b Im -~ rL ibr dt- (x V b of et) ary d Im — — =— dh) se u m 9) gesetzt, d — — — uv -r T7,-r dt da da db - oo log y( — dt eZ , 4- ic mb d-b dh) a)1 Ca — —=u— df rid ge , MA multiplicirt gibt und — gegen die rsi ive Un haben sehr bekannte Werthe, und bedenkt man weiter, dass Ha rva rd l)iese Integrale by t he sehr kleine Grössen sind, so dass b — und — mit fdm.v und f dm uv da \daj ( ) um multiplicirt b mehr, je symmetrischer der Körper in Bezug auf die Mittellinie und die Ebene (XY) gestaltet ist, so kann man, mit U die Coordinate des Schwerpunktes und durch £ das Trägheitsmoment der Masse 9ft in Bezug auf gehende, und auf der Ebene der (uv) senkrechten Geraden bezeichnend, setzen eine durch so Dig itis ed übrigen Glieder vernachlässigt werden können, und zwar M „ i6) d ™ i) s,„.$ df = d b ^ d m^ + mx dt- db *± dt da Ferdinand Lippich 136 Nun kann man auch an die weitere Entwicklung der oben aufgestellten Bedingungs- 7/ ofo' _ e?V ^ um at ^ cos T s "0 - — c?A' + ys~t " He rita ge — — yV \dx aa; + t - cos ys't dt •• sin ts^ -1- — - dx cos ys"Y von 17), 18), 19) in die und cos ys t Gleichungen S), 9), 10) und vor das Integralzeichen kommen, ad f 11) ausgeführt, so bemerkt man, dass, da sin ys't Th eB sich die Substitutionen rom Denkt man iod ive rsi ty afr "' Lib r rfäT —-.-—= „ d"ij 19) Y5 ^ = 5p sin ^+ • • sm dt, c?V/ • cos ys h' -f- (9' = —- sin dt, • t ww w bio log iez en tr si p:/ rf —- -ts-t „ g' unabhängige Grösse bedeutet: e?»j cos = sin ys =—T od ive dg- vä"* s? = £«** + > "TT rfA + —dx- - £ yj or g/; dg —dy = -rsin dx dx 18 ^ cos T ^) auch von x und s eine, d'V + T5^ t, rar y sm (ff ylib cos ys htt Ferner weil y * h ary —=— ys' t -\- 12) rsi t = g sin y wegen Gleichung hat zunächst /w ww bi Man gleichuugen schreiten ow nlo nur solche, mit diesen Grössen multiplieirte Glieder vorkommen Allein die Bedingungsglei- chungen enthalten nur von rig ina lD die zweiten Ableitungen k' welchen wieder nur in die MA ); O deren Ableitungen nach x mit sin ysH, die k und g und g' und und deren Ableitungen nach x aber mit t, rid ge , cos yst multiplicirt erscheinen der mit sin ys t, als auch die jede für sich der Nulle gleich oo log y( Summen Nach sein Summen der mit cos ys t multiplicirten Glieder, allen diesem zerfällt also jede Bedingungsgleichung man zwei neue, die einfach dadurch erhalten werden, dass einmal d3g dg dg' d g' dsg' dh! d2h! d3A' J , tM ay d?h ^» ^, d3k ^,1 " ~ , T * A ' !£' d?' ~d? by t he Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns -"T** itis ed ' rL dh ibr ary Mal aber Dig das andere of the Mu se u m d 2g dg of Co in mp ara tiv eZ die Ca mb Sollen aber diese Bedingungen für jeden Zeitaugenblick erfüllt sein, so müssen sowohl d'n ~d7 dr, , d2 d\ r, ~dl' 1F- ' Je itis ed Dig he by t rva rd Ha ty, rsi ive Un ary ibr rL tM ay ns Er of the m se u Mu of eZ tiv mp ara Co oo log y( rid ge , mb Ca ina lD rig ); O MA rom ad f nlo ow ty rsi ive iod Th eB He rita ge ary Lib r htt or g/; rar y ylib rsi t od ive /w ww bi p:/ dx = 9' um at 21) ww w bio log iez en tr j Über die transversalen Schwingungen belasteter Stäbe I df \ 137 a dx: — A Ferdinand Lippich 138 und damit kann man sogleich A (sin 27) ; — sa — sa A (cos Bedingungen hinschreiben die aus 22) folgenden A (cos sa — sa) = L sin sa + Li cos sa 3/ Sin sa sin sa + Af £öf aa + sa) — A (sin sa — ©insa) = £ cossa — (Sin sa) -f 4- (Eof -+- _L' (Sof AT (Sof «« ^ AT âin 5ô (Sof (Sof ' Sin ^= sl ww w bio log iez en tr L cos «2 — M Sin s£ — Jf Z/ sin sl — M «i — Jf L sin sl + L cos 67 — 28) um at eben so die aus 23) sich ergebenden = .or g/; Die Gleichungen 21) führen auf gewisse Integrale, deren Werthe leicht zu erhalten sind, (cos s^ ylib i — cos c' /cos sa)] a a a — — d% = dz = — (cos — cos sa i —.t (sin sl sin sa i cos s?" p:/ htt — sin sa); = (âin âin l sZ ôa) Lib r a He rita ge f/;' cos sl sl -\- sa cos sä) sl -\- • sl sin sl — sa sin sa) ; aT = i sS-' (Sin — Sin sa — sl sl So] sl + sa Sof sa); + sa ©in sa) rig ow dz ina lD = i s?' r' 1% (Sin nlo ad f rom r' /? s|' (sin sl rsi J sin - /Sof s£ (Sof ««); ive r' /?' sl =— dl ty df iod *? Th eB 's /Sin a /•' l ary = — (Sof — r' 291 «£' rsi t = r/;' od ive s|' /w ww bi c' /sin rar y es gibt sie die folgende Tabelle: — Sof sa — MA (Sof sl sl ©in sl Ca mb Sof rid ge , r' /£' ); O a sa -f ©in sa) + A'(eos sa-\- Sof se u m (sin Mu the of ^.'(sin sa)\ (sin ary ibr — rL sa) ' ( sa-f ©in sa) tM ay A (cossa + Sof sa)\ ' ns 31) M ©in sa — ATSofsa — — ^-3JttlL4 sa — ©in sa) + A (cos sa — Sof — °l so — ©in % M(cossa-— Sof sa)—Ä °? = L cossa — L'sin sa — M Sof sa —-AT ©in sa ].4(sinsa — ©in (cos sa — Sof — U9Ji.l(cos sa — Sof — A(sinsa — ©in sal sa)=L sin sa-fL'cos sa of 30)^ (sin mp ara tiv eZ Bedingungen 28) berücksichtiget Co die oo log y( Die Substitutionen der entsprechenden Ausdrücke in 21) ergeben, wenn man zugleich s Er -\ ty, rsi ive Un sa)-\- Jfft öcp sa\-\- / ) sa) -f Ha rva rd ) -j- Wenn man Gleichungen 27) sowohl zu 30) addirt, als auch davon abzieht, dasselbe mit der zweiten der Gleichung 27) und 31) macht, so erhält man vier neue GleiDig itis ed by t he die erste, der chungen, nämlich: A J2 cos sin sa + a> -f ©in sa + aj +A A ]2 cos sa -j- ß> —A A Sof sa + 32) A 33) A 34) 35) J2 J2 ß| + Ä J2 J2 j2 sa -f a'j Sof sa + «' sa + ß'j ©in sa — ß'j sin = L sin sa L cos = — M@in sa — AT Sof = L cos sa — L' = A/Sof sa — M Sin -f sin sa sa sa sa , : Über die transversalen Schwingungen belasteter Stäbe folgende Abkürzungen eingeführt wurden = — ©in so) 4- 9)Ul (cos sa — — —% 36) 9R ò == ửS 9JIU (sin sa ọô (sin @of sa) — ©in — — sa) 0 /w ww bi od ive rsi t i eZ oo log y( Ca mögliehen y umfasst werden, die zu einem bestimmten x gehören Unter diesen sind also immer je zwei gleich, dem Zeichen nach entgegengesetzt, woraus folgt: A mp ara the Mu se u m of Co Ist tiv gerade, so sind die Curven, was auch A sei, symmetrisch in Bezu» auf die Axe der x, und ebenso in Bezug auf Oy wenn B gerade ist, und da A und B nicht zu gleicher Zeit gerade sein können, so wird mit Ausnahme einiger gleich zu besprechender Fälle, nur eine Axe der Symmetrie vor5 Summe R zweier aus rL die und R' genommenen y, tM ay Macht man ibr ary of kommen ist: ty, =2&sm rsi y (2a + a±l)-.A cos -£ ± \A ' ive + + A («-«') K ' A u rva rd Un y Er ns _A + so itis ed by t he Ha Dieser Ausdruck kann nicht mehr unabhängig von w für jedes x Null werden, die Abhängigkeit von tu zu finden, diene folgende Bemerkung Dig Es muss zunächst ' =— das zu 6) mp ara für ungerade oo log y( der Zählerauch ungerade sein, was für gerade Ist Für u n gerade m of und ^1 se u sind die von Mu 13 so folgt: Co erwähnte, dass nämlich die a immer diesen Bedingungen gemäss gewählt werden können, =— tu , für oder_Z?geradeaberdie ^ tu = — oder = — im den tu gehörigen Curven der Gestalt und Lage nach identisch the von of positiven und negativen Sinn zu gleich weit abstehe ntM ay rL ibr ary tu ty, Er ns Die zu den eben genannten Phasendifferenzen gehörigen Curven sind aber auch durch Denn setzt man = 5' und tu = tu' so wird: rva rd Un ive rsi ihre Gestalt von den übrigen ausgezeichnet ( 2a_2a' +l)|.|Jsin||8+C2a-2a' + I)^ jj itis ed by t he Ha y-y'=n cos j^-f Dig Indem man bemerkt, man dass der erste Factor identisch ist mit dem in 8) behandelten, kann sogleich sagen: Für ungerade A und B fallenfür aber für ' tu = und tu' die aus B) und R') durch =— , für A oder Verändern des x B gerade sich erge- benden Curvenäste übereinander, die Curven erhalten in Folge dessen eine einfachere Gestalt, und die Anzahl der Tangirungspunkte sollte jetzt halb so A B gross, s o — u n d — werde n — a Fe r d in a ncl L ipp ic h G Es ist A aber wenigstens eine von den Zahlen und B ungerade, daher müssen gewisse kommen, ohne Aste so übereinander fallen, dass diese an die Seiten des Rechteckes An zu tangiren, oder es müssen Rückkehrpunkte auftreten sich zu erwähnten in 9) Gleichung für y, die _ jetzt io wirklich diese Rückkehrpunkte sowohl für R als auch für 7?' iden- od ive die «/ b sein überzeugen, dass für die vorkommen, nehme man 85) = bsm\- + + l «J.2TT man wegen ty — von — Sind daher A und B ungerade, so muss, x Th eB werden soll ive rsi einander verschieden sind Für £== + -iod um li 4~ = ± zu b a vorausgesetzt B rig ina lD ow nlo (4a = nun y tu rom betrachten, da diese nur einen von den zusammengehörigen Werthen von 7) ad f Darin braucht He rita ge Lib r ary y /w ww bi wird: p:/ tisch + ~ , \ or g/; Um = oder a?/ ' b { rar y — annehmen, B A ) )> J ylib Form htt die = ( b cos ( Geraden ~ > 11) diese Punkte nur in den Durchschnittspunkten der liegen, deren es (A—l) (-B— 1) gibt, und daher wegen vorhanden sein, indem durch das Umlegen der Curve Axe der Symmetrie fallen kann wegen ist, 7) in um die jeder Axe, keiner von den vielfachen Punkten auf einen in der ersten : : : Über die transversalen Schwingungen 169 belasteter Stäbe Es mögen nur noch einige Bemerkungen bezüglich der Geschwindigkeit des Bewegliehen in den einzelnen Punkten der Curven gemacht werden Transformirt man die Ausdrücke für die Geschwindigkeitscomponenten in ähnlicher Weise wie dieses für y geschah, und macht man die Summe aus jeder der Reihen R und R' einzeln, so sieht man, dass diese unter deny -f verschwinden, daher: ])i um at selben Bedingungen wie Die in 5) angeführten Axen der Symmetrie, sind es auch in Bezug auf die Geschwindigkeitscomponenten, und diese sind für entgegengesetzt bezeichnete x und y ebenfalls von entgegengesetzter h t or g/; c u n g aber die Differenz aus R und R', so verschwindet diese zugleich mit y -f y rsi t Nimmt man rar y i ylib R ww w bio log iez en tr 12 od ive also /w ww bi Für die übrigen Fälle, wo die Curven symmetrisch werden, behalten die Componenten für entgegengesetzt gelegene Coordinaten dieselbe Grösse und Richtung bei; He rita ge Lib r ary htt p:/ 13 und Diese Richtungen werden entgegengesetzt für die Fälle 9), so dass in der zweiten Hälfte der Schwing ungsdau er die Curve in entgegengesetzter Richtung durchlaufen wird, die singulären Punkte sind daher Rückkehrpunkte der Bewegung, und in ihnen die Geschwindignlo ad f rom Th eB iod ive rsi ty 14 rig man folgt, indem man die Geschwindigkeit in der Richtung der Tangente mit V bezeichnet mp ara tiv eZ woraus oo log y( Ca mb rid ge , MA ); O Ferner hat ina lD ow keit Null V=± ||/|^ (a'-* + & (P_jf)J se u m of Co ) Abgesehen vom Zeichen gehört zu denselben Mu 15 x und y auch eine of the gleiche Geschwindigkeit, sie ist ein Maximum für x = und = 0, wird + a und */= ± b in den Fällen, wo diese Werthe zu aber Null für x gleicher Zeit möglich sind Setzt man -1 (£) (AW + BV) (£f (ÄW + ZW) - ary ?/ rL ibr = B>{£f itis ed a Dig daher ' A'ffl by t he Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay , _B so folgt 1=1 Beschreibt man um den Ursprung der Coordinaten als Mittelpunkt B:A wird, so sind dieDurchein System ähnlicher Ellipsen, so das's a:ß schnittspunkte mit den Interfer enzeurven, die zu einer Ellipse gehören, 16 = Denkschriften der mathem.-naturw CI XXI Bd Abhandl v Niehtmitgliedern w Ferdinand Lippich 170 wo das Bewegliche, abgesehen vom Zeichen, dieselbe Geschwin- solche, digkeit hat, was auch sein mag u> Die Taf II enthält einige einfachere Fälle der Interferenzcurven = bis = — ausgeführt, u> fortschreitend, da man nach den aufgestellten Eigenschaften sehr um at und nur von w — um , auf die zu den übrigen Phasendifferenzen gehörigen Formen schliessen kann Bei der Darstellung der Curven auf die eine oder andere der oben angeführten Art und ww w bio log iez en tr leicht rar y or g/; Weise, hat man in gewissen Fällen einen eigenthümlichen Anblick Oft scheint es nämlich, als ob eine bestimmte Interferenzcurve nach und nach alle möglichen Formen, die bei gegebis benen A und B der Beihe nach auftreten, oder was dasselbe ist, dass alle tu von iu od ive = Lissajous bei seinen Versuchen bemerkt, und sie tritt beiden interferirenden Schwingungen so beschaffen sind dass ihr Ver- kömmt, und sehr nahe je näher, desto Lib r oscillirenden langsamer Diese Erscheinung hat ihren Grund darin, dass das He rita ge dem zu dem der Schwingungsdauern hältniss ary htt die sieht , Curvensystem gehörigen schon man das Oscilliren vor sich gehen Auge nur im Stande ty wenn ist rsi , auf eine gewisse, ive ein p:/ Oombinationsstösse, wurde schon von immer Auftreten der /w ww bi u> rsi t ylib = dem continuirlich durchlaufen würden Diese Erscheinung zugleich mit T grösser Th eB iod sehr kleine Zeit x einen vorübergehenden Lichteindruck zu behalten Ist nun als t, kann das Auge nicht den Eindruck der ganzen Curve behalten, sondern nur den Theil derselben, der in der Zeit t zurückgelegt wird Ist nun die Curve sehr complicirt, also Tsehr gross, so werden die unmittelbar auf einander folgenden Curvenäste einander so nahe kommen, rig mehr zu unterscheiden vermag, und daher man Gleichung ö der Interferenzcurve oo log y( in der mp ara =A arc I sin Co = — — B arc j I sin =— I -4- Z> et, = ÜB -}- Mu 21 so erhält j3 the = man, die Gleichung 82) berücksichtigend ary of A se u m of rao tiv eZ Setzt Ca mb Betrachtung: ganzen aus folgender Die übrigen Erscheinungen erklären sich geschlossen erblickt als eine Partie der ); O sie nicht MA Curve Auge rid ge , dass das ina lD ow nlo ad f rom so rL ibr - '\ + £ (| - ^ = St arc (sin = l) _ » arc (ä = 2) ty, Er ns tM ay ) { (l 88) ive rsi Man kann demnach jede Interferenzcurve ansehen als entstan- Un 17 der Zeit by t he ist itis ed sich die Zeit von einem beliebigen Augenblick an Dig Hat Ha rva rd den aus einer andern, bei welcher die Phasendifferenz eine Function = + um mAB — Bol gệndert, so kehren dieselben Curven wieder, da die Differenz der Zeit wird Fällen um so kleiner, je kleiner a eintritt, allen ihren und man sieht ein, und ß die Einheit wird Diese werden, was immer bei den oben angedeuteten wie es möglich wird, die zu aufeinander folgenden Phasendifferenzen zu sehen, bestimmten bei der Phasendifferenz w w 31 und statt ÜB gehörige Curve in der durch A und B ; Über die transversalen Schwingungen belasteter Stäbe 171 Die Bemerkung 17) führt unmittelbar zu einer Eigentümlichkeit der betrachteten Curven, indem man speciell als erzeugendes Curvensystem das zur Gleichheit von A und B man also = = 33 a- m\A Lw ab b- VA ß 7? ^ m\A B)\ ylib rsi t Neigung der grossen Axe und die Grösse der beiden od ive Halbaxen sind Funcdurch Verändern der Phasen- A=B= p:/ tionen der Zeit Die Ellipsen durchlaufen alle Gestalten, die sie gehörigen Interferenzcurve annehmen würden, gehen also von htt ary differenz in der zu ^4 BJ\ Gleichung einer Ellipse Allein die = — 1, = — /w ww bi die aus 88) durch eine leichte Transformation, indem a or g/; man rar y so erhält um at 31 ww w bio log iez en tr gehörige nimmt Setzt sodann steht, und Gerade über man aus der Gleichung in die entgegengesetzt geneigte Ellipse Axe findet Axe u s f iod ive den jedesmaligen Neigungswinkel der grossen ty Ox rsi senkrecht auf He rita ge Lib r der geneigten Geraden allmählich in eine Ellipse, von dieser in diejenige, deren grosse — lYI otU B,i U + J-fl Th eB tng cos »rr^ = ab