Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 21-1-0037-0070

ÜBER EINIGE NEUE EIGENSCHAFTEN ylib rar y or g/; DER ww w bio log iez en tr um at 37 Lib r ary htt p:/ /w ww bi od ive rsi t KUGELFUNCTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN rsi ty He rita ge COEFFICIENTEN VON REIHEN, WELCHE NACH KUGELFUNCTIONEN ENTWICKELT SIND Th eB iod ive VON ANTON WINCKLER, GRATZ IN ); O rig ina lD ow nlo PROFESSOR ad f rom DR DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM MA IN MÄRZ 20 1860 eZ bekannt, dass die merkwürdigen Eigenschaften der Functionen tiv ist X X t , , A',, .welche mp ara Es oo log y( Ca mb rid ge , VORGELEGT in der Entwickeluno- z A> + A> 4- + A>* + Mu )/l~2xs se u m of Co - =Z + + the und welche gewöhnlich Kugelfunctionen einer Veränderlichen genannt werden, zuerst von Legendre gelegentlich seiner Untersuchungen über die Attraction der Sphäroide und die Gestalt der Planeten gefunden, in den „Savans ötrangers" Tom X und „M£m mo de Acad." ann 1784 et 1789 veröffentlicht und später in den Exerc de calc integr 5* Partie p 247 zusammengestellt worden sind Diese Functionen sind bis in die neueste Zeit Gegenstand der Untersuchung geblieben, wozu nicht blos ihre von Legendre nachgewiesene Er ns tM ay rL ibr ary of auftreten Ha rva rd Un ive rsi ty, 1' Laplace by t he analytische Bedeutung, sondern auch die tiefgehende Verallgemeinerung ihrer Theorie durch Dig itis ed Mechanik des Himmels und ihr Auftreten in ganz anderen Untersuchungen, wie z B in der Gauss'schen Abhandlung: „Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi" und in der Theorie der hypergeometrischen Reihen Veranlassung in der gegeben hat Im Folgenden werde ich einige, meines "Wissens nicht bekannte neue Eigenschaften dieser Functionen nachweisen, hierauf einige Methoden bezeichnen, durchweiche die Entwickelung gegebener Functionen in Reihen, welche nach Kugelfunctionen fortschreiten, in vielen Fällen erleichtert wird, und zum Schlüsse werde ich einige Eigenschaften der Coefficienten solcher Reihen darlegen Anton Winckler 38 Die Abhandlungen in zahlreichen Rede stehenden Functionen beziehen die in vorkommenden zerstreut werde , ich wo , Resultate, welche sich auf entweder es ihrer bedarf, bekannt voraussetzen oder durch neue Verfahrungsarten direct ableiten, in allen Fällen als aber Form allgemeine Die ww w bio log iez en tr um at bereits bekannte Resultate als solche ausdrücklich bezeichnen einer Veränderlichen Kugelfunctionen der Gleichung n («-!) rar y 2(2«— 1) ( die _ „(„-!) ( M -2)(«-3) 2.4.(2»— 1) (2«— 3) or g/; _ ( ylib (2»-l) — 1.3.5 1.2.3 « = rsi t " durch ist Werthe von n bestimmt; auch für n kann man den Werth angeben, es ist nämlich A'„ = Für manche Betrachtungen ist es jedoch zweckmässig, von auch für negative ganze Werthe von n festzustellen So wie X„ als die Bedeutung von n n 2xz -f s2) ^ nach positiven Potenzen von z Coefficient von z in der Entwickelung von (1 für alle positiven od ive gegeben und /w ww bi X ary htt p:/ X nun so sei X „ der Coefficient von z~" der absteigenden Entwickelung in rsi ty ist, He rita ge worden definirt i Lib r — = X_ z~' + X^fT* + X_ x z-' + + X_„z-» + A_„_,s — 4- nlo zu bestimmen Dies geschieht sehr wenn MA ); O in der aufsteigenden mb Ca = A>-' + oo log y( X,z~ 4- X^z- 4- X.z f -f man nun übergeht und dass, wenn tiv eZ s + A>" diese beiden letzteren absteigenden Entwickelungen ver- mp ara — 2a*s + dass, dieselbe in die folgende Z |/1 wenn man bemerkt, rid ge , — für z gesetzt wird, leicht, ina lD ow darum, die Coefficienten dieser Entwickelung durch jene der früheren es handelt sich jetzt rig und — 2xz-\-z- rom ) ad f Th eB iod ive oder also se u m of Co gleicht, die gesuchte Relation = X„_j oder A'+ „ = X_ (i , +1) ary of the Mu A_„ tM ay zwischen welchen sieh die Zahlenwerthe von X„ befinden , ns Die Grenzen rL ibr sich ergibt =— und x = 4- ist, rsi ty, Er Regel diejenigen, für welche x ive = 4- ftiras rva rd Un A„ ( — a l) ——^—— itis ed = für x = 0, n für x und = 0, X„ = wenn wenn n eine ( — es ist 1)" für n eine gerade r bekannt, dass = — ungerade Zahl sind in der Zahl ist, dagegen ist Dig X„ 4- X = by t he Ha Ich füge hinzu, dass = und , Die gemeinschaftliche Quelle der wichtigeren Eigenschaften der Function X„ bilden die Gleichungen, welche sich zwischen den partiellen Differentialquotienten sowohl der ersten der zweiten Ordnung der Function _ u = (1 2xz 4- s ) i ? =IjI l2 +I^+ + X n z" + als : Über Kugelfunctionen einige neue Eigenschaften der einer Veränderlichen Legendre bezüglich der Grössen x und z aufstellen lassen Diese Gleichungen hat bereits benutzt, ohne aber alle Eesultate, welche sie zu liefern im Stande sind, daraus zu ziehen durch partielles Differentiiren dz -=-u z) du us , (x-z) dx = zu i -= du ~ du du - d~u 4- ou- -~ , um at du — = [x— , Zzu- du du —— = u" + d.rds Zuz— ww w bio log iez en tr leicht einsieht, ergibt sich or g/; Wie man dz zuerst die Uifferentialquotienten erster Ordnung zu der Gleichung z) — 2xz -f z htt u rsi rom Gleichung ad f die nlo + nz'-'Ä, + ]=(x—z)[X + X z + Xr + ow f t ina lD + 2zX + StfX, t + X a z» T ] nur bestehen kann, wenn + (n— 2) X 1) ;rA'„_, n _, = ,rA;_, A„_._, oo log y( Ca n mb - (»— nX rid ge , MA ergibt, die sofort Reihe gesetzt werden kann, weiter die entsprechende rig _2;r^ + r)[X, u ); O (1 für Th eB ir und linker Hand ive ty Hand iod aus welcher sich, da rechter He rita ge Lib r p:/ = Ix — —du- man ary — gelangt in Betracht, so od ive man /w ww bi Zieht rsi t ylib rar y a a 39 etc Wie man bemerkt, lässt sich diese Bedingung unter verschiedenen Formen welche der späteren Anwendung wegen angeführt werden mögen Dieselben sind darstellen, mp ara tiv eZ ist Co — (2W4-1) xX^ se u m of nXn Mu n — — 2n +l the "- ary — A„_,) ibr — Z„_, = ^— oder tM ay rL M (A'„ 2n+l n (xXn —X " nr^ ) + (n+ I (xXn —X n+1 ) = Er ns rA'„ = ä Y of Y '^» + (n— 1) A'„_ " + + y+ ive rsi ty, Sie stellen insgesammt die bekannte Beziehung zwischen drei auf einander folgenden Funcrva rd Ha ferner Dig itis ed by t he Da Un tionswerthen dar so folgt in ähnlicher Art (1-2WF + du u dx wie oben die Gleichung [^ +*^r + * ~+ • • • + ^ + • •] welche nur unter der Bedingung bestehen kann, dass + A> -f +A„s«+ ] ) Anton Winckler 40 oder d {X„ +1 -\-Xa _{) ist dXn dx dx — man Verbindet die beiden bisher benutzten Differentialquotienten Elimination von u mit einander, so entsteht die Gleichung -dx du Z lU or g/; welche durch Einführung der Reihenform = ww w bio log iez en tr du ^~^ unter gleichzeitiger um at z rsi t ylib rar y in ] htt noth wendige Bedingung fordert, dass dX„ Lib r ary als — = nA„ dX„_i x—dx -z He rita ge übergeht und p:/ /w ww bi od ive («)[^+.^+^+-+'^+-]=.[*+«^.+'w*+ + -Mi: + ive rsi ty dx iod dass der Ausdruck Th eB rom Hand, nämlich c?-Y„_i dx dx d (xXn ad f dX„ ow nlo linker wenn man bemerkt, derselben eine andere Gestalt geben, Man kann — Xn-J rig ina lD dx [U+ Ca mb ~ ' dx rid ge , —Ä " "" 2«+ \~faT dx ) mp ara tiv eZ Die hierin enthaltene Gleichung } oo log y( d (xX„ MA ); O und also mit Rücksicht auf weiter oben gefundene Relationen " (-^B+l of Co '1 » — (2n+l) X n Mu se u m dx wurde meines „Gauss'sche Quadratur" of the welche für die vorliegenden Betrachtungen von besonderer Wichtigkeit Wissens zuerst von Christoffel ist, tM ay rL ibr ary Abhandlung über die (Crelle, Journal Bd 55, S 67) jedoch auf einem von dem obigen verschiedenen Wege gefunEs ist nicht ohne Interesse, dazu auch noch auf einem andern Wege und zwar direct den von der Darstellung der Function n aus zu gelangen, welche zuerst Ivory und später auch Jacobi (Crelle, Journal Bd 2, S 224) fand, und wonach in der Er ns — by t he Ha rva rd Un ive rsi ty, X itis ed ^ ~ dn (x"—l) n ' dx» 2m Dig ist " Differentiirt man diese Gleichung, so erfolgt: dXn ~ (2h— ~dx oder, wenn man d".x (x 2m — l)"- ' 2) dx" eine der angezeigten Differentiationen in der Tbat ausführt: dXn ~dx ~ d"- 1 _ [(V— l)«- (V— + ' (2m— 2) dx»- (2n—2)x-)} » Über einige neue Eigenschaften der Kugelfunctionen einer Veränderlichen folglich , wenn man den Ausdruck dX„ ~~ Hä dx— (2m—2) d'- (V 1 (2m— 4) 41 zwei Theile zerlegt in dn~ (xi —l) n-i —l 2n _ Hand rechter etc " ' — 1)" ,/. oo log y( Ca (1— sc rid ge , MA ); O rig und diese Gleichung kann nur bestehen, wenn oder —— n ( A„_, — XÄ „ Co mp ara tiv eZ (l— xr) man ausserdem die Gleichungen Bedingung auch die folgende Form geben des vorigen Artikels, so liisst sich diese of = -j£ n i A'„ , ary + A, - - A + Un also A, Er t rsi /(_«) und dass + A + - - A, + ty, =A = Ao f(a) tM ay rL Bemerkt man nun so ergeben sich aus (1), , = /(a)+2/( = /(a) wenn man ~ a) „ Al A + At + , u Denkschriften der matheni.-naturw Cl XXI Bd , - -f- (— 1)"4 + ' A (A + (.1, + + • • • + +4.U+ + und dann 2n -\folgenden Formeln: darin einmal 2n = m±fu> + A„ + Ä, + Ai+ , + - - ~ /(~ a) Gleichung mit den beiden letzteren verbindet, die A + + _l_ = /_M^fc-ä + _L_ {,„ As „ (2 „ ( + für n +l A„ +1 ) setzt _ j£) Ä„ _ 1) 4.) und jene % ' An ton 66 Winckler ohne Interesse diese beiden Gleichungen auch noch auf dem folgenden, von dem vorigen gänzlich abweichenden Wege herzuleiten Die Coefficienten A n sind wie Es ist nicht — bekannt durch die Gleichung o + ^— Jf( aX Xn^X