ibr a ry org /; ww w bio l og ie ze ntr um at 350 od ive rs ity l UBKR rita g He I)'1 B IGEL, eL ibr a ry htt p:/ /w ww bi EIN PRINC1P ZUR ERZEUGUNG VON COVARIANTEN Th eB iod ive rsi ty riOCENT AN TIER K K TEOHNISCHEN IIOCHSCHIU.E IN WIEN rig i na lD ow nlo a df rom VORGE1.EQT rN DER SIT/UNO DER MATHEMATTSCH-NATURWTSSENSCHAItTLKJHEN OLASSE AM DECEMBER 1882 Zo olo gy (C am bri dg e, MA ); O In der nacbstcbenden Arbeit bandelt es sich um die Aufstellung eines Princips zur Erzeugung von Covarianten eines Systems dreier binaren Formen von derselbeii Ordnung aus den Invarianten zweier Formen, von denen die eine eine Fundamentalform des Systems und die andere nach einen bestimmten Gesetze aus dem System e gebildet ist ara tiv e § 1- Mu se um of Co mp Es seieu, unter n eine gerade Zabl verstanden, drei ganze rationale Functionen X X C fa ( ) — "'"+" \ x% x ~ •+-•••-+- K-i x -+- K XH ~~1 -+-•••"+- Cn-l x •+• c„ Lib r ary of the h (x) = *" •+• bi / = o /, = /, = Un ive rsi ty, Er ns t Ma yr olme gemeinseliaftlicben Tbeilen gegeben Wir setzen ftlr die Folge fest, dass die Wurzeln der Gleiebungen a, b, c • • i a, b, c i a., [i, i Dig itis ed by the Ha rv ard bezilglicb dureli folgende Buebstaben bezeichnet werden: Stellen wir uns die Aufgabe, diejenigen Wcrtbe von A zu bestimmen, fiir welelie die beiden Gleichungen I1-) zugleieb besteben, so finden wir, indem wir x aus diesen Gleiebungen eliminireu, eine Gleicbung in K(/1,/l-r-A/8) = A 2.) 351 ze ntr um at Tiber ein Princip zur Erzeugung von Covarianten •3.) /w ww bi od ive rsi tyl ibr ary org /; w ww bi olo gie wo wir miter diesem Symbole die Eesultante der Gleichungen 1.) vorstellen Da die Gleiclmng 2.) offenbar vom wten Grade in A ist, so erhalten wir n Werthc von A und demgemass die Gleichungen: von denen jede cine gemeinschaftliche Wurzel mit /', = bat Da i'erner die Wurzeln der Gleichung 2.) resp den folgenden Verhaltnisscn gleich sind: 4-) He ri tag eL ibr a ry htt p:/ *i= /t(ô)'/(ô*) Bio div ers ity so kann die Gleichung 2) als diejenige Gleichung aufgefasst werden, deren Wurzeln rationale Functionen del Wurzeln der Gleichung ft = sind Setzt man in den Gleichungen 3) die A-Werthe aus 4) ein, so dass sic nlo ad fro m Th e die Form erhalten: na lD ow 5.) ;O rig i A(^(C)"/2(*)./3U)=(>: mp ara tiv eZ oo log y( Ca mb ri dg e, MA ) so bat jede dieser Gleichungen ncbst der mit/, =0 gemeinschaftlichen Wurzel noch n— Wurzeln, von denen eine jede eine Function jener Wurzel ist Es entsprechen dcnmach jeder Wurzel von j\ = n— ] Werthe, die mit ihr durcli eine Gleichung verkniipft sind Dass sich jene Wurzel rational durch jede der mit ihr durch eine Gleichung verkniipften Wurzeln ausdriicken lassen miisse, ist klar, und ich will nun zeigen, wie dieses geschieht Es ist offenbar, dass die Eesultante of Co in das Product: Mu se um (A -+• \ /ô) Cjfi *- A.Q (A +- K *>#) the iibergeht, wenn man in ihr A =fs :/3 setzt Und da jedcr der Factorcn einen linearen Factor von/,(») ent- rL ibr ary of halt, so muss, *(/i f^ft) ty, Er ns tM ay die Form haben: Dig i tis ed by the Ha rva rd Un ive rsi Es handelt sich jetzt darum, die Form ip zu eruiren Zu diesem Zweckc fiihrc ich folgcnde Bezeichnungen ein: ft(x) = ff0-(-r/1x +-ff2.c2-4- •-f- /iGOsa,^-t-ôiy-+-aằy,H-' A-+-ằôy" = J." /i (y) = Jo-+A y -+-&*y* -*-• • ••- K!/' = B" J-j('j) = ('o-^''ii/-*-^2/z^- •-!-'',//' = c*, so dass die Gleichungen 3.) folgende Form haben: B, G, a B O = Bb Gb =0 Bx C* = B I gel, og iez en tru m at 352 Wie man leicht einsieht, hat die Form: a (x—a) (x—b) (x—i) B' C» B" C B C rar y.o rg/ ;w ww a bio l B* (>' *= oder auch, wie eine leichte Umformung zeigt, a *"- —c* r< C* a—x ), B(ftfa) und B(fift) sind Ob sich nicht einige von den ubrigen 81 Invarianten 12ten Grades in niedere Invarianten zerlegen lassen konnte ich bis jetzt nicht ermitteln nlo ad Đ lD ow kSetzt man i = ?* (%2 •+• ?t 0*0 y •+• fs(x) rig i na x * = i>i (») f -+- i>% (x) y •+• •»(*) A) ;O x ,M x rid ge » = Xi 0*0 9* •+• /2 0*0 2/ -+- /,(*) Co mp ara t ive Zo olo gy (C am b so ist die Determinant© j>,(»), ft(»), &(*) **(*) /,(.*), x»¥*(*) = (61(6,-6!), (hbz-b^, (&„&,-*}) {(0,0,-01), (c0 c, -,,,,), (coC, -$ ed b yt he (AU3y, (XJI3f, (X3H3y\ (a,«3 — a|), (a0a3—«,»,), («„«,—-«,) Dig itis daraus folgt, dass n eine Covariante des Systems ist Bildet man die Invarianten At fur die folgenden Systeme von je zwei Formen ^2 • yi i •"* > Jit) •^•iJz *^3 J /l -^-3> /a -^3/s » \ so erhalt man neun Covarianten von der 6ten Ordnung und 8ten Grades, von denen wir eine ausgerechnet angebcn wollen: 361 at Uber fin' 1'rhtcij) zur JSrzeugung von Covarianten en tr um 35« X log iez ^(30)36ô0fl1(30)2(20)^(ôJ + 2a0ô2)(30)2(10)^(r4H-2a1ff.!)(10)2(30) ww bi o 2(a0ô3 -+-5a, a2)(10)(30) (20)-8a, «2 (21V 4-4(a, «3 H- 2a2)(10) (20)2— ^ rsi t ylib rar y.o rg/ ;w a% a3 (20)(10)*-+- (a0 a% -+- a2) (30)(20)2-H a* (10)8 bio d ive 3a (30) (31)-6a0«, {(30) + (30) (21) -+-2(30)(31)(20)} -+- ://w ww (a* -+- 2a0 a% (j (30 )2 (20) -+H (30) (31) (10)} -+- (a2 -*- a, a3) {(10)2(31) -+- (10) (20) (30) J — htt p 2(a0 a3 -i-5 a, a2) {(30)(20)2-+- (31)(40)(20)•+-(30)?(10) -+- (30)(10)(21)} — ibr a ry 24a, aa 5(20)2(30) + ( 20)2( 21)} +4(a, a3 -+- 2a*) ji 20)3 + 2(10)(20) (30) -j-2 (10) (20) (21)} — He rita ge L 6a2a3 |(10)2(30) + (10)2(21 )-H2(20)*(10)} +4(a0a2+2«2) |(20)2(31)+2(30)2(20) -t- 2(30)(20)(21)] ^ 3ff {(30)(31) -F(30) (32)}^6ffoff.J(31) (20)-4-2(30)(32)(20) + 3(30)2(31) + 2(30)(31)(21)} + Th e fro m Bio div ers ity a* (10)* (20) H- nlo ad (a,2 + 2a0a2)J2(30)(32)(10)-H2(30)(3r)(20) + (30)3 + (31);,(10)}-h ina lD ow (a* -+- a, a3) {(20)2 (30) •+- (10) (30)* -+- (10) (20) (31) + (10)2 (32)} ;O rig -2(a0a3 -t-6a, ag) {(31)(20)*-f- 2(30)*(20) +(32) (10) (20) -4-2(31)(10)(30)-+-(31) (10) (21)-H(30) (20) (2.1) A) — 24a,a,{(20)(30)*-t-2(20)(3U)(21)-t-(20)(21)*-H(20*(31)} H- a2) {(10) (30)' •+- (10) (30) (21) -+- (10) (21)2 -+- (20)*(30) •+• (20)2 (21) •+ (30) (20)2 ge ,M -i- 4(aj a3 Ca mb rid -+-2 (10) (20) (31)} — 6a2a3{(20)3-+-4(20)(10)(30) + 2(20)(10)(21) olo g y( -^(31)(10)2} + 4(ff0«2-t-2ff2){(30)3-H2(30)2(21) + (30)(21)2-4- om pa tiv e Zo + (31)(20)(21) + (32)(20)2 + 4X30)(20)(31)}-t-3a2{(10)(20)2 + (10)2(30)} /-y>« /yiO \/ "^ Mu se um of C a* {(31)3 -f- (30) (31) (32)—6 a0 a, {2 (31) (32) (20) •+- (30)3 (32) -+- (30) (31)2 -+- (30) (32) (21) +(21)(31)2+2(30)(31)2}-i-(a2 + 2a0«2)J2(31)(32)(40) + (31)2(20) + 2(30)(32)(20) H- (20)2(31) -t- 2(1.0)(20) (32)} of the n-2(30)*(31)} -h (a* •+- 2a, a3) {2^20) (30)*-h 2(10)(20) (31) rL ibr ary -2 (a0 a3 -+- a, a8) {(32) (20)*-t- (30)3 -+- (30)* (21) + (32) (10) (30) + (32) (10) (21) tM ay -f-2 (31) (30) (20)+ (31)2 (10)+ (31) (20) (21)} Er ns -8 a, at {(30)3 -+- (30)*(21) •+- (30) (21)2 -i- (21)3 -+- (20) (31) (30) -+- (20) (31) (21)} Un ive rsi t y, -(-4 (a, a8 •+- 2a*) {2 (10) (31) (30) -t- 2~(10) (31) (21) + 4(20) (30) (21) -+- (20) (21)2 Ha rva rd + 2(20)2(3l) + 2(20)2(31) + 3(20)(3o)2} —6«2«3{3(20)2(30) + (20)2(21) + 2(10) (30)2 + 2(10)(30) (21) •+• (31)(10) (20)} +4(a0 a2 + 2a2) {2(30)2(31) + 2(3,0) (31)(21) yt he + (32)(20)(30) + (32)(20)(21)-i-(31)(30)2H-2(31)(30)(21)-^(31)(2l)2 + 2(3r)2(20)2} Dig itis ed b a* {(20)3+6(10) (20) (30)} 3a*0{(30)(32)* I L ^ -(31) (32)^-6ff0«J(32) (20) + 4(30)(31)(32) + 2(3J)(32)(21) + (31) }+(a' - 2a0a2) {(32)*(10) + (31) (32; (20) -f- 2(30)2(32) + (31)2(30)} (a2 -+- a, a3) { (30)3 + (20)2 (32) -t- (20) (30) (31) -+- 2(10) (30) (32)} — 2(a0a3 -+-5a, a2) [2(32)(30) (20) -+-(32)(20) (21) + (31) (30)* +(31) (30) (21) + (32) (K))(31) (31)2(20)+(30)2(31)} — 21a1«8{(20)(31)*-H(31)(30)*-f-2(31)(30)(21)-t-(31)(21)*} Denkschrii'teii der muUiem.-naturw.Cl XLVI.lid Abhandlungen von NichUintgliedern VV B Igel bio log iez en tru m at 362 +- 4(a, a8 +- 2a22) {(10)(31)*+- (30)3-+- 2(30)2(21) -+- (30)(21)2 +-4(20) (31)(30) -4- (20) (31) (21)} — 6aEa3{(20)2(31)H-3(30)2(20)-+-2(;!O)(20)(21) + 2(31)(10)(3O)} ;w ww +- 4(«0a2 -+-2 a2) {3(31)*(30) +- 2(31)2 (21) +• (32)(30)2 +- 2(32)(30) (21) +-(32)(21)* tyl y\ ive rsi AyM JJn ibr a ry org / 2(32)(20)(31)}+-3a2{(10)(30)2+-(20)2(30)} /w ww bi od + 3a2(31)(32)2-6«0a,K31)2(32) + (32)2(30) + (32)2(21)} p:/ (a2 + 2«ca2) j(32)2(20) +- 2(30)(31)(32)] -+- (a24- 2a, a3) {(30)2(31) +-2(20)(30)(32)} ibr ary htt -2(a0a, +- 5a, a,) {(32) (30)*-+- (32) (30)(21)'-+- (32) (20) (81)+ (31)2(30)} He rita ge L 24a, a2 {(31)2(30)+- (31)2(21)} +-4(«, aa+- 2a2) {(20)(31)*+- 2(30)*(31)+- 2(30) (81)({2I)} - 6«2a, {(30)3 +- (3())2(21) -+- (31) (30)(20)} + (a, ôe + 2a*) {(31 f +- (32) (31) (30) +ive rsi ty 2(32)(31)(21)}+-3a2(30)2(20) Th eB iod rfi V rom ô2 (32f a0 a,, (32)2(31) +- (a2 +- 2«0 «2) (32)* (30) +- (a* +- 2^ «.,) (30)2 (32) ow n loa df — (oe «3 +- a, «2) (32) (30) (31) — a, «2 (31)3 4- (a, «3 +- a$ (31 )2 ()'»()) MA ); O rig ina lD — 6a2 a3 (30)2(31) +-4 (a0a2 +- 2a2) (31 )2(32) -+- a2(30)3 — tiv e Zo olo gy (C am bri d ge , Es ist evident, dass alio Covarianten dieser Art, mit Ausnahme derjenigen, welclie aus don Paaren von Formen, die in der Diogonale des Schemas I sieh bcfinden, gebildet sind, sicli auf niedere Covarianten zuriickzielien lassen, da bckanntlicli fiir zwei cubische Formen keine solclie Covarianten existiren indess ist mir die wirkliche Zerlegung dieser Covarianten bis jetzt nicht gelungen Co mp ara % /, = «0 x\ +- 3«t x\ x% +- a% xx I +- a3: J A- •• b0 x\ -3b1x\x^- • b% xi g - -&3x of the Mu se um of Wenn/j, fv f3 drei cubische Formen in homogener Form sind, also • c2 xt - +- O C* i rL ibr ary CQXA AA.Q = •AAA)'(/./•)- Dig i tis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay und man die drei Jacobi'schen Covarianten bildet: a0 x\ +- a, x, x2 + a2 a;2, (&, X ~~\ Ci 0/ Xi Xn ~f• (tnCCg bax\ +-2 6,xt x% +- 62a; , K %\ -4-2 b% xx xt -+- 68 x\ »0^+2 a, x, x2 +- a2 x2, (X, X —\ £i &n X, Xn ~T~ Cln Xq C0 XJ +- £ fij x, x2 +- c2 xg, c, x +- cs xt x2 +- c3 x2 b0 x\ +- 6, ir, x2 +- 52 x2, &, x2 +- 62 x, x2 +- bzx\ ft 1 ? ? (/J &< I t-t On X X* | (sn JOa und von diesen wiederum die Jacobi'schen Covarianten w M-h^fa -KA^-'^fa^ «lV'3 \ = bx bt b3 C i C C S AAA , *1 = 36,36^3 , \ = q c, c3 Ax A2 A3 J, yl2 yl: , h=3 Cj o c2 c3 a, «2 a3 3/;,;;^^ Es ist namlicb., wie cine kleine Kechnung zeigt, vv* ze ntr um at gie rsi tyl ibr a ry org /; w ww bi olo =•-• 13 A i I Ch c3 - h ct) — («2 h - % h)K•+• ("2 &3 - "a 3>i>o1 - A I 'o "+- AI (h cz — h ci) % — («i ci —°t ci) /;o"+- («i /j2 — «2 &i) co J S xi -t- {9 At [{bt c3-~b3c2)o, -(a,c;jô., c2) 6, +- (a,63—a86,)e, |9~-y12[(^, c3—\c^ax—{axc%—a% c,)6, -t-(«, 63—a36,)c, ] ://w ww bi od ive "* I9 AI(h H\ cz) a%(aic3aằh)h -+- (ôi &8—««*»)c21—AI (&i cg—&3^K—(a, ^—Oj^ ~K«i &s—«s&,X] 27 yi4 [ (6, c2 — Sj c,) at—(«4 c2 — a% c,) &x -+- (at b%—a% bi) c21} Xj a2 -+- Lib rar yh ttp {3 J, |(63fl3 —ft3 CgVa —(«*e3 —a3Cl)^-+-K V' a3^)'':iHA [(*! «3 —^'iK-C"!^ —f*»''l^3H-(ff-|&3—«3&|V;3l -+- {9 yl:i I (/,, c2 - &3ct) a3—(a, c3—a, c,) 63 -+- (a, ^—a, 6t) c31} ^ He rita ge = A3 An x\ -+- 9Ai A3 x\ x2 -+- A A ;J ^ x2 - H^.ô{ eB Th Đ iod ive rsi ty 4, if log y( Ca mb rid ge ,M A) ;O rig ina lD ow nlo ad fro m Es ist bckamit, dass, wenn/t-f-^ /2 cinen vollstandigen Cnbus eincs linearcn Ausdrucks darstellt, dieser in der Jacobi'schen Covariante quadratisch vorkommt Die Bedingnng dafHr ist bekanntlich das Verschwinden der Invariante \ bt an ajajft, %aiK hbc'z "1 aga3c3 ary of the Stellen tM ay rL ibr denselben Cubus dar, so stellt auch ft-+-\fl=4(x—a)3 Un ive rsi ty, Er ns denselben Cubus dar, denn ist rva rd so folgt durch Subtraction by the Ha ^2 f._ ( 4-B) (*—a):! ^ Dig itis ed Una die Bedingnng zu finden, inder welcher /iH-^/i f%-*-\A A+U den Cubus dcssclben linearcn Ausdruckcs darstellen, setzcn wir wiedcrum /i+y*=^(a;-«)8 365 um at tjber ein Princij) zur Erzeugung von Covarianien rg/ ;w ww bi olo gie ze ntr Multiplicirt man die erste dieser Gleiclmngen mit B und die zweite mit A und subtrahirt, so folgt y.o Setzt man rsi t ylib rar B—A = A, B\=B, —A\ = V htt p:/ /w ww bi od ive so folgt, dass in diesem Falle eine lineare Relation zwisehen den drei Formen bestelien muss, ibr ary Aus dieser Relation folgen folgende Gleichungen: rsi ty He ri tag eL a0 A -h b0 B -+- c0 r = aiA-hl>i&-t-c1? = bx iod eB lD b2 A) ;O rig ina b0 bt ow n loa df rom d h., in diesem Falle miisscn alle Determinanten des Rechteckes Th a3A -h-b3B -hc3T = ive a%A -^bj>> + ctr = of Co mp ara tiv e Zo olo gy (C am bri dg e ,M verscliwindeu Beachtet man, dass diese Determinanten die Coeffieienten der Combinante M sind, so folgt, dass die erhaltene Bedingung gleichbedentend damit ist, dass in diesem Falle die Covariante M identisch verschwindet Dies ist ein speeieller Fall eines allgeineinen von Herrn Pasch bewieseneu Theorems Setzt man namlich: rL ibr ary of the M us eu m = HAAA >A)> dpaW a« U I m af> am ađ V in