Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 43-2-0001-0012

en tru m at y.o rg/ ;w ww bi olo gie z ylib rar ww bi od ive rsi t DTE ibr a ry htt p:/ /w DETERMINANTEN HOIIEREN RANGES He rita g eL UNI) Bio div ers ity IHEE VEBWENDIING ZUE BILDUNG VON INVAKIAMEN fro m Th e VON MA ); O rig ina lD ow nlo ad GUST A V v ESC/HE It ICH tiv eZ oo log y( Ca mb ri dg e, VORCJKLHGT [N DKB SITZUNG OI3R MATHBMATISOH-NATURWISSBNSOHAFTLIOHEN OLASSE AM 22 APRIL 1880 Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se um of Co mp ara In einem kleinen, interessanten Aufsatze, bctitelt: „tJber cine Erweiternng des Begriffes der Determinanten" rmtersucht Zehfuss gewisse analytische Gebilde, die nacli iihnliehcn Regeln ans Elementen mit melir als zwei Indices zusammcngesetzt wnrden, wie die Determinanten, aus denen mit zwei Indices Die Lectiire dieser BrosehHre veranlasste mich, diese Gebilde, welche Zehfuss Determinanten hblieren Ranges nennt, einer eingehenderen Betrachtung zu unterwerfen und insbesondere ihren, bisher melir gealmtcn als orkannten, Beziigen znr Invariantentheorie naehzusptiren Bei der iiberrasehendcn Einfachheit, welche die Theorie der Determinanten durcli die combinatorische Multiplication erlangt, lag der Gedanke nahe, nach einer analytischen Definition dieser Determinanten hoheren Ranges zu suchen, welche auch sie den Methoden der Ausdehnungslehre unterwirft ' Diese Definition erwies sich wirklich frnchtbringend, indem sie nicht nnr die ganze Theorie dieser Gebilde unmittelbar offen legte, sondem aueb, geradezn nngesueht, eine Beihe invarianter Bildungen lieferte Dieselben sind, wie ich gleich bier erwiibnen will, nicht bios bei Functionen mit einer Reihe, sondern auch mit mchreren Reihen Variablen, die aber alle denselben beiden Classen dualistiseher Variablen entnommen, ohne ttbrigens denselben oder nur transponirten Transformationen unterworfen sein zu miissen, anwendbar, gehoren also zu jenen Bildungen, die seit ihrem Auftreten in der Theorie der Connexe unsere Aufmerksamkeit in immer hoherem Grade fesseln diirften Durch zweckmiissige Wahl gewisser Grtissen kann man aus ihnen auch Invarianten mit Reihen verschiedenartiger Variablen ableiten Bei Beschrankung auf Functionen mit nur Dassolbe silt I'm- die Theorie der zusammengesetzten Determinanten und die Bemerkung Borchardt's (Journal fur Mathem Bd LXXXIX, p 82) vevanlasst mich schon jetzt zur Mittheihmg, dass mittelst der Methoden der Ausdehnungslehre die Vorwiirfe Sylvester's (ibidem, Bd LXXXVI1I, p 49) sich fast spielend bewiiltigen lassen Ich bin auf diesem Wege bald nach Bekanntmachung dieser Abhandlung zu den vichtigen Resultaten gelaugt, und werde sie gelegentlich zuin Gegenstand einer Arbeit niachen DenkBohriften der mathem.-nnturw 01 XLItl Bd Abhandlllngen von Nichtmitgliedern Gustav v Eseherich en tru m at /w ww bi od ive rsi t ylib rar y org /; w ww bi olo gie z einer Reihe Variablen sind diese Bildungen nach der Benennung Aronhold's „Functionalinvarianten"; sie umfassen die Bildungen Cayley's und sind danmter also auch die von Clebsch und Gordan als „Uberschiebungen" hervorgehobenen entlialten Diesen Behauptungen sind die folgenden Blatter gewidmet Ich musste mich hiebei der aussersten Kiirze befleissigen und zunachst auf jede bedeutendere Anwendung verziehten (i) (2) (2) (2) (m)] (m) (m) • a, , a a ' n a,i ", a.2 an eL ibr " htt (1) ary (1) a.1*2 , o .a n p:/ I (TO) fro m Th e Bio div ers ity He ri tag seien m Gruppen von einander unabhangiger Grossen I Stufe Die Grossen derselben Gruppe wcrden in der Folge stets combinatorisch — was nach Grassmann dnrch Finschliessung des Productes in eckige Klaminorn angezeigt wcrde — und die verschiedcncr Gruppen algebraisch mit einander multiplicirt Das combinatorische Product aus den m Factoren (2) (i) ( ^ (2) (1) »(*) ina lD ow nlo ad " 1V a fa V AA (,, M^ am (2) k(m) z ak(m) (1) mb rid ge ,M A) *(*) ;O rig z ah{m) log y( n V m /1("' (i) * *V2) r., •*a*(1)*w *w "'/,(*), v ara tiv e Zo o k(m) Ca w (2) Am(fj i?) jl (m) 222 n n r (i) (i) n (i) i r (a) (2) (2) i ô*(ằ)J La/c!2)«,,(2) -a/C(2M ary of the 111 ;«.; (m) Mu se y T y A A(i){i) Z Z Z um of Co mp wo jedes ^ alle Werthe von bis « annimmt, ist aquivalent der m fachen Summe 73 tM ay rL ibr 12 W W [afaf' \a ] [*f af .a(2) ] [«'"' af\ a ]l2 n -' n L L J L J Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns Der Spielraum der A erfahrt aber Her durch den Umstand eine Beschrankung, dass jedes Glied, wo zwei h mit demselben oberen Index gleiche Werthe besitzen, verschwindet Die k mit demselben oberen Index bilden somit in dieser Summe nnr die verschiedenen Permutationen der Zaklen 1,2, n und jedes Glied besitzt daher den Factor: Der Zahlencoefficient, der mit diesem Producte multiplicirt die Entwickelung von (1) darstellt, lasst sich leicht durch die Bemerkung finden, dass zu jedem Glicde Ai) (») >) in) n f n n ("«) (1) I (1) f n (2) (2) (2) "I re r (m) (TO) (m) "1 » der Entwickelung sich ein anderes vorfindet, welches aus diesem durch Vertauschung zweier h mit demselben oberen Index hervorgeht und das entgegengesetzte Zeiehen besitzt 3 m at Die Determinanten Mkeren Ranges und Hire Verwendune/ zur Bildunq von Invarianten 2, 2 A' org /; w ww bi olo g I, 1 iez e ntr u Der Coefficient wird also aus ibr ary htt AW -4- AW A1-*' AW ± Al,l A 2, 2 »,» » eL y(m+i) Z p:/ /w ww bi od iv ers ity l ibr a ry gebildet, indem man die gleichstelligen unteren Indices auf alle mogliclien Weisen mit einander vertausclit und jedes dieser Glieder je nachdem es aus dem urspriinglichen durch eine gerade oder ungerade Anzahl von Vertauschungen hervorging, mit dem positiveu oder negativen Zeicben versiebt Der so gewonnene Ausdruck ist also eine Determinante (mH-l)ten Ranges und wter Ordnung und soil mit ive rsi t yH eri tag bezeiehnet werden Th eB iod II nlo ad fro m Den beiden friiheren Bemerkungen kaun man jetzt die Fassung geben: us eu m of Co mp ara tiv e Zo olo gy ( Ca mb rid ge ,M A) ;O rig ina lD ow Die Determinante verscbwindet, wean cine Reihe gleiebstelliger unterer Indices einer zweiten gleicli ist, und sie andert ibr Zeicben, sobald man in ibr zwei Indices zweier unteren Reihen mit einander vertauscht Vertausclit man bingegcn zwei obere Indices, so zeigt (2), dass sich jedes Glied um den Factor (—1)m andert, und es andert sicb somit die ganze Determinante durch Vertauscluing zweier oberen Indices um diesen Factor Es verschwindcn daher und bios die Determinanten geraden Ranges, wenn in ihnen zwei obere Indices glcich sind Aus der Form des Productes (1) folgt, dass, wenn die Elemente irgend einer Reihe mit demselben oberen Index aus einer gleicben Auzabl Suinmanden bestehen, die Determinante in eine Summe eben so vieler Determinanten gleichen Ranges und glcichcr Ordnung sich zerlegen liisst ll r (2) J [_o (2) a., a (2) ay r (') .[«, a% .an | a^r, akig+i) (!/+') W V.H1) •••at(m) n l (») (m) a /c(m) •••a]c(m n Er ns tM r (" Lib rar yo f th eM Liisst man das Product (1) dadurch entstehen, dass man zunachst die g ersten Gruppen der /,• mit demselben oberen Index alle Wertbe von bis n durchlaufen liisst, so ist otfenbar der Coefficient von Dig itis ed b yt he Ha rva rd Un ive rsi ty, eine Determinante (^n-l)ten Ranges und rater Ordnung Aus derselbeu erbalt man die urspriingliehe Determinante wien Ranges, indem man nuumelir den k der iibrigen (n—g) Gruppen die Wertbe von bis n in alien mogliclien Vertauschungen beilegt Hiedurcli geht aber aus der Determinante (//-t-l)ten Ranges eine Sumnie von («l)m_^ soldier Determinanten bcrvor Ftlr den Fall g = ergibt sich hicraus, dass jede Determinante (m)ten Ranges einer Sumnie von (w!)"'-' quadratischen Determinanten gleicli ist, deren Summanden aus V_J A{,) A{V> A(m) i±'4i, A-(2) *(»)^2, i(2) *C»l •••An, *(») »(») 1 2 n n erlialten werden, indein man den Gruppen der k mit demselben oberen Index die lYrniutationen der Zaldeu bis n in alien mogliclien Anordnungen beilegt bio log iez en tru m at Gustav v Eschericli g/; ww w III X yh ttp X ://w ww A (X) X bio div ers it ylib rar y or Die den Minoren der quadratischen Determinanten entsprechenden Satze findet man cbenfalls leiclit und auf ganz dieselbe Weise wie Tbei diesen Urn den Coefficienten von a (m) rsi ty He rita 4, div e »?> a (2) ^(2) (») -4.(1) (1) («,) a,(i) rom v ina lD ow n loa df A(m) W v i , , 4, Bio ,.« ,*J») *(+ +4- ge Lib rar in der Determinante zu finden, inache man jene der rc-Suminen in (1); in welcher dieses Element vorkommt, zum ersten Factor des Productes; der gesuchte Coefficient ist somit: (*) MA ); O *X+i (2 ) ge , I•) , X-i /.(I) X~i rig ,(2) X—i j—l X—1 X—I /+« oo log y( Ca mb rid v a {m) a a (2) v 2, ^ (i) (2) *M x+i X+i »(t) x+i x+i /£(2) X+l X+I X-f-1 eZ (m) (2) v V ^ (m) *x+f X - I a (') (1) "x+i t1' of Co mp ara tiv a (t) X—1 a1 ," a;' a n (2) ' (2) (m) (m) (2) n Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr a ry o f th eM us eu m Auch das Analogon des La Place'sclien Satzes bei den quadratischen Determinanten ergibt sich Mer auf dieselbe Weise wie dort, indem man die Factoren des Productes (1) in Gruppen theilt und die entwickelten Producte der einzelnen Gruppen mit einander multiplicirt Es gilt namlich fur die Entwickelung eines combinatorischen Productes aus A-Factoren von (1), wo Ai m Th eB % *?ôôl*iHJô^*i"^'' '+' &nn ad fro ausgedrttckt werden Da das Product [a[i] a^.-.a^] = 2±au «,„ .«„„ [bt J8< £„], so lehrt die Substitution *{ill >*{*>-»{m> Tlv ji) ,M = x *?^ i mb rid ge •^,»(») *W \ i A) ;O rig ina lD ow nlo in das Product (1) cine Determinante hoheren Ranges mit einer quadratischen nmltipliciren Die Elemente der Productdeterminante erhii.lt man aus ihrem allgemeinen Gliede oo log y( Ca wo Jc{V alle Werthe von bis n diirchlauft mp ara tiv eZ Umgekehrt: Ilaben die Elemente einer Determinante (wn-l)ten Ranges die obige Form, so 1st die Determinante das Product: Mu se um of Co 2— ± « 11 «„ «„" [mV'' ±A$ , A& , A"n,n-.-n 22 II 22 M K j (X) A A W A (X) A A ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr a ry of the Na.ch der Darstellung der quadratisclieu Detcrininantcn als combinatorisches Product bedarf es kcincr Erlauterung, dass das Product vou m quadratischen Determinanten nten Grades audi als eine Determinante (>«-+-l)ten Ranges und wter Ordnung aufgefasst werden kann 1st umgekehrt rva rd Un so 1st die Determinante gleich (m) (*)1 2-P«„( 7) a„* )J «Jw) 2± v » (f>) « k\V> ,fr.-| = a ft a,I -ha p3., a •> Mu se um of Hat man daher n solche Functionen der xv xr xH, so ist i =• - - - nn n \ 11 Zl '"') II I 'i'l i nn-.-n ibr ary of the if tM ay rL 8tatt der obigen Form kann man dem Eleinente A (1) r>) {m) x *x •••*x audi andere ertheilen, die ebenfalls zu the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns dem angestrebten Ziele fithren Setzt man Dig itis ed by so wird durch die Transformation v « jfm) X (2) (1) V : ak{m) Saj«) -4j.mj.(«).,.i(i»)«j(i) »(») X X »(*) X »- XX X in f ) H) (p) (:i) (k) {i) "' v a°" v ; v bz /, *v ?*ô (j>+1) ,K v -" i^> fv , lin/cp-i + 1)" ina lD i) ow 8«4(i)8*A(») -8* *( nlo ad fro m 8»» F 8"*' F ,M A) ;O rig den gestellten Forderungen Zo o log y( Ca mb rid ge Aus der Art und Weise, wie durch die lineare Transformation der vorhcrgehenden Differential ausdriicke einzelne Gruppen der a in Gruppen neuer extensiver Grossen iibergefiihrt warden, erhellt unmittelbar, dass sich die Yerwendbarkeit der Determinanten hoheren Eanges zur Bildung invarianter Formen audi auf Formen mit mehreren Beihen Variablen, die verschiedcnen Transformationen unterworfen sind, ara t ive erstreckt ibr ary of the Mu se um of Co mp Hiebei kann man wieder dem A.a\ ^ rm) die oben erwahnten drei Formen geben, also entweder dem x' x'"' x ' mten Differentialquotienten einer fix en Function, oder dem Wjten einer mit in—in, veranderlichen Indices verselienen Function, oder dem Producte der Differentialquotienten melirerer Functionen, die selbst mit veranderlichen Indices beliaftet sind, gleichsotzcn, Dock gelten audi hier wieder die obigen Einschriinkmigen, dass erstens die vorkommenden Differentiationen im allgenieinen Gliede einfache und zweitens die variasich vollstandig sowohl auf die Indices der Functionen, als der Variablen vertlieilen tM ay rL blen Indices k[\ k[ &[ Un ive rsi ty, Er ns miissen Enthiilt somit eine Function die Variablenreihen X J X ) X Ha rva rd l the X „(2) itis ed by \ Dig (m,1 (m,l (m,) 00 , X„ or ' ' so genttgt z B 8• F ^ x x x d r4(i) d ook{i) x (mi) w^+i) ôằ(ô!,+ằ) • -d «*(») wo die ax, a2 am Zahleu der Reihe bis m, bezeichnen, den gestellten Bedingungen Transformirt man die Variablen durch die Belationen " t II ^1 12 en tru m itt *^ "2 in gie z J1) ^(1) afW jKJ> , J1) *W ii «i -+-«» V + -,(«i) f(»»i) , „(%) t(mi), 2I S ~^K22 *2 ' „(»»i) X • K m i) K -+- «„(a"S nl -t rai -2 T nn « " B 7H f «2 WW rc od ive n rsi t ylib rar y • org /; w ww a. irCI at Oustav v Eacherich MD X 8 >.) i htt c/ a (i) ô*(s • «*f"i) Wt-.o W»-» • • • **w X X X X X ity He ri tag wo F' die in die £ trannsformirte Function F bezeichne, liber in eL ibr *J" ary ) p:/ /w ww bi so geht /£ a) [ 1)8a3 | Sa; /«( ) 8x ^) - A /cK) A («.) ' „ 8a! A (««) r, ("«,-,„,) n,i "4'' -x t(»1+i)8aji('»,+ii) -8a't(«) A K , K WO (1) (') ,(») _, (2) = a »j ad , nlo ,0) fro m Th e "I" X div ers 8m/ ("%) JJJ (1) Bio {m) (2) h 0/£(ro) y Z_0h4(3) v 2, _ y Z ow p (2) ()»,) X p (»»,) '"*jW """*" p (»»,) a />.) p «p ft ina lD und a ,M A) ;O rig ,(«l+l) , (ôt) ("ằ! + ,+ô) , (ằ) (l + 2) ,(«») , (»Ol_«J W ».j(mi+l) = i«j(%+i) O ^(m,+2) = i ô ( ,+8) ô ',iằằ = ^ K J• * m 11 X pa X p X XpX log y( Ca mb rid ge ist Zo o VI ary of the Mu se um of Co mp ara tiv e Ich will nun an einigen wenigen Beispielen die Anwendbarkeit der eben auseinandergesetzten Bildungen, die offenbar etwas allgemeiner sind.; als die von Caylcy (lurch die symbolische Multiplication der Functionaldeterrainanten hergcleitetcn,' zeigen Zunaehst fallt in die Augen, dass jede Uberschicbung zweier pinftrer Formcn, abgcsehen von cinem numerischen Factor, eine Determinantc hoheren Ranges ist Denn sind ay rL ibr / = ô,; 'f = bx Jt nk itn k 0&) % ' K ' = W K) (i+1) S ±fu i ?« »» Un ive rsi ty, Er ns tM zwei binare Formen beziiglich des wten und w.ten Grades, so ist ihre Me Dberscbiebung rva rd WO the Ha (%) = n (n 1) (ôk-hl) by und Dig itis ed mh = m (m—\).,.(m — &-+-1) und die unteren Indices und von/und y Differentiationen beziiglich nach xt und x% bezeichnen, da i.tii A'f22 — %— 8a"j? a.,-! 3a;2 n x \-i\7rj=nr~ In J