sách Giải tích hàm bài tập và lời giải

Ti’p theo Gi¸o tr×nh Kh´ng gian T´p´ßÈ ÆoT›ch ph©n, gi¸o tr×nh Gi¶i t›ch hµm Æ­Óc bi™n so¹n trong ch­¨ng tr×nh x©y d˘ng bÈ gi¸o tr×nh hoµn chÿnh v“ Gi¶i t›ch hi÷n ƹi dµnh cho sinh vi™n h÷ ß¹i h‰c s­ ph¹m ngµnh To¸n. ß” h‰c tËt h‰c ph«n Gi¶i t›ch hµm, ng­Íi h‰c c«n trang bfi tr­Ìc mÈt sË ki’n th¯c v“ ß¹i sË tuy’n t›nh, v“ Kh´ng gian t´p´, ßÈ Æo vµ T›ch ph©n Lebesgue. Khi bi™n so¹n gi¸o tr×nh nµy, chÛng t´i chÛ ˝ nhi“u Æ’n y’u tË s­ ph¹m trong vi÷c tr×nh bµy c¸c v n c¨ b¶n mÈt c¸ch logic, tinh gi¶n vÌi khËi l­Óng ki’n th¯c khoa h‰c thi’t y’u cÒa m´n h‰c. ßÆc bi÷t, chÛng t´i r t chÛ ˝ Æ’n vi÷c h×nh thµnh cho sinh vi™n nh˜ng ph­¨ng ph¸p vµ k‹ n®ng c«n thi’t cÒa m´n h‰c th´ng qua k‹ thuÀt ch¯ng minh c¸c Æfinh l˝ vµ qua vi÷c s­u t«m, ph©n lo¹i mÈt h÷ thËng bµi tÀp phong phÛ kÃm theo h­Ìng d…n gi¶i vµ lÍi gi¶i chi ti’t. Ngoµi ra, nÈi dung cÒa gi¸o tr×nh lµ mÈt ƨn vfi ki’n th¯c tr‰n v—n, c„ mËi li™n h÷ chÆt chœ vÌi nh˜ng ki’n th¯c to¸n h‰c quen thuÈc n™n chÛng t´i tin t­Îng gi¸o tr×nh sœ trÎ thµnh tµi li÷u g«n gÚi, d‘ hi”u ÆËi vÌi sinh vi™n trong qu¸ tr×nh h‰c tÀp. T¸c gi¶ xin bµy t· lflng bi’t ¨n ÆËi vÌi c¸c th«y, c´ gi¸o TÊ Gi¶i t›ch Khoa to¸n Tr­Íng ß¹i h‰c S­ ph¹m Hµ NÈi mµ t¸c gi¶ Æ· Æ­Óc h‰c tr˘c ti’p hoÆc gi¸n ti’p Æ” c„ Æ­Óc nh˜ng ki’n th¯c giÛp x©y d˘ng n™n gi¸o tr×nh nµy. Xin c¶m ¨n c¸c ÆÂng nghi÷p trong tÊ Gi¶i t›ch Tr­Íng ß¹i h‰c T©y Bæc Æ· l˘a ch‰n gi¸o tr×nh nµy Æ” gi¶ng d¹y vµ Æ· vµ Æ„ng g„p nh˜ng ˝ ki’n x¸c Ƹng giÛp hoµn thi÷n gi¸o tr×nh. Do nh˜ng h¹n ch’ v“ kinh nghi÷m khoa h‰c n™n chæc chæn kh´ng th” tr¸nh kh·i nh˜ng thi’u s„t. T¸c gi¶ mong muËn nhÀn Æ­Óc th™m nhi“u ˝ ki’n Æ„ng g„p Æ” ti’p tÙc hoµn thi÷n gi¸o tr×nh.

Mở đầuTiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô-Độ đo-Tích phân, giáo trình Giải tích hàm đ-ợc biênsoạn trong ch-ơng trình xây dựng bộ giáo trình hoàn chỉnh về Giải tích hiện đại dành cho sinh viên

hệ Đại học s- phạm ngành Toán

Để học tốt học phần Giải tích hàm, ng-ời học cần trang bị tr-ớc một số kiến thức về Đại sốtuyến tính, về Không gian tôpô, Độ đo và Tích phân Lebesgue Khi biên soạn giáo trình này, chúngtôi chú ý nhiều đến yếu tố s- phạm trong việc trình bày các vấn cơ bản một cách logic, tinh giảnvới khối l-ợng kiến thức khoa học thiết yếu của môn học Đặc biệt, chúng tôi rất chú ý đến việchình thành cho sinh viên những ph-ơng pháp và kĩ năng cần thiết của môn học thông qua kĩ thuậtchứng minh các định lý và qua việc s-u tầm, phân loại một hệ thống bài tập phong phú kèm theoh-ớng dẫn giải và lời giải chi tiết Ngoài ra, nội dung của giáo trình là một đơn vị kiến thức trọnvẹn, có mối liên hệ chặt chẽ với những kiến thức toán học quen thuộc nên chúng tôi tin t-ởng giáotrình sẽ trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu đối với sinh viên trong quá trình học tập

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy, cô giáo Tổ Giải tích Khoa toán Tr-ờng Đạihọc S- phạm Hà Nội mà tác giả đã đ-ợc học trực tiếp hoặc gián tiếp để có đ-ợc những kiến thứcgiúp xây dựng nên giáo trình này Xin cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ Giải tích Tr-ờng Đại họcTây Bắc đã lựa chọn giáo trình này để giảng dạy và đã và đóng góp những ý kiến xác đáng giúphoàn thiện giáo trình

Do những hạn chế về kinh nghiệm khoa học nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếusót Tác giả mong muốn nhận đ-ợc thêm nhiều ý kiến đóng góp để tiếp tục hoàn thiện giáo trình

Sơn La, tháng 12 năm 2007

Tác giả

Phạm Minh Thông

Mục lục

1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 5

1.1 Không gian định chuẩn 5

1.2 Không gian Banach 6

1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn 7

1.4 Một số không gian Banach thông dụng 8

2 Chuỗi trong không gian định chuẩn 13

2.1 Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi 13

2.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối 15

3 Không gian L p (X) và không gian L∞(X) 16

3.1 Không gian L p (X) 16

3.2 Bất đẳng thức Holder 17

3.3 Bất đẳng thức Minkowski 18

3.4 Không gian L∞(X) 20

4 ánh xạ tuyến tính liên tục 20

4.1 Đặc tr-ng của ánh xạ tuyến tính liên tục 20

4.2 Không gian L(E; F) 23

4.3 Phép đẳng cấu và đẳng cự giữa các không gian định chuẩn 25

4.4 Một số cặp không gian đẳng cự 27

5 Không gian con và không gian th-ơng 31

5.1 Không gian định chuẩn con 31

5.2 Tổng trực tiếp tô pô 32

5.3 Siêu phẳng trong không gian định chuẩn 32

5.4 Không gian th-ơng của không gian định chuẩn 33

6 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 35

6.1 Các tính chất của không gian định chuẩn hữu hạn chiều 35

6.2 Định lý Riesz về đặc tr-ng của không gian định chuẩn hữu hạn chiều 37

7 Bài tập ch-ơng 1 39

2 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm 43 1 Nguyên lý bị chặn đều 43

1.1 Nửa chuẩn liên tục 43

1.2 Nguyên lý bị chặn đều 44

2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng 45

2.1 Định lý ánh xạ mở 46

2.2 Định lý đồ thị đóng 47

3 Định lý Hahn- Banach 48

3.1 Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector thực 48

3.2 Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector phức 50

3.3 Ba hệ quả quan trọng của Định lý Hahn-Banach 51

4 Bài tập ch-ơng 2 53

3 Toán tử và phổ của toán tử trong không gian Banach 55 1 Không gian liên hợp và Toán tử liên hợp 55

1.1 Không gian liên hợp tôpô Phép nhúng chính tắc 55

1.2 Toán tử liên hợp 55

2 Toán tử compact Toán tử hữu hạn chiều 57

2.1 Toán tử compact 57

2.2 Toán tử hữu hạn chiều 60

3 Phổ toán tử tuyến tính 61

3.1 Một số khái niệm cần thiết 61

3.2 Phổ của toán tử tuyến tính 62

3.3 Phổ của toán tử compact 65

4 Bài tập ch-ơng 3 71

4 Không gian Hilbert và toán tử trong không gian Hilbert 74 1 Tích vô h-ớng và không gian Hilbert 74

1.1 Tích vô h-ớng và tính chất 74

1.2 Không gian Hilbert 75

2 Hệ trực giao, trực chuẩn và phép chiếu trực giao 78

2.1 Hệ trực giao và trực chuẩn 78

2.2 PhÐp chiÕu trùc giao 80

3 PhiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn kh«ng gian Hilbert 82

4 C¬ së trùc chuÈn 83

5 To¸n tö liªn hîp trong kh«ng gian Hilbert 86

6 To¸n tö tù liªn hîp vµ to¸n tö compact trong kh«ng gian Hilbert 89

6.1 To¸n tö tù liªn hîp trong kh«ng gian Hilbert 89

6.2 To¸n tö tù liªn hîp compact §Þnh lý Hilbert-Schmidt 92

7 Bµi tËp ch-¬ng 4 94

5 H-íng dÉn gi¶i bµi tËp 98 1 Ch-¬ng 1 98

2 Ch-¬ng 2 109

3 Ch-¬ng 3 115

4 Ch-¬ng 4 123

Ch-ơng 1

Không gian tuyến tính định chuẩn

Trong suốt tài liệu này chúng ta kí hiệu K là tr-ờng số thực R hoặc tr-ờng số phức C Cáckhông gian vector đ-ợc xét ở đây là không gian vector trên K

1 Không gian định chuẩn và không gian Banach

1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Cho E là không gian vector trên K Hàm k.k : E → R đ-ợc gọi là một chuẩn

trên E nếu:

1) kxk > 0 với mọi x ∈ E và kxk = 0 ⇒ x = 0,

2) kλxk = |λ|kxk với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E,

3) kx + yk 6 kxk + kyk với mọi x, y ∈ E.

Với mỗi x ∈ E số kxk đ-ợc gọi là chuẩn của vector x.

Không gian vector E cùng với một chuẩn k.k trên E đ-ợc gọi là một không gian tuyến tính

định chuẩn, hay th-ờng gọi ngắn gọn là không gian định chuẩn.

Nhận xét 1 Dễ dàng kiểm tra đ-ợc rằng nếu E là không gian định chuẩn thì công thức sau đây

xác định một metric (khoảng cách) trên E, gọi là metric sinh bởi chuẩn :

Nh- vậy, mọi không gian định chuẩn E đều là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn xác

định bởi công thức (1.1) Chính vì vậy mà các phần tử (vector) của E th-ờng đ-ợc gọi là điểm

nh-đối với các phần tử của không gian metric hay không gian tôpô Đồng thời, trong không gian địnhchuẩn, khi nói đến tính chất của các dãy điểm (nh- tính hội tụ, phân kỳ, dãy Cauchy, ) hoặckhi nói đến các điểm tôpô quan trọng và một số khái niệm liên quan (nh- điểm trong, điểm ngoài,

điểm biên, điểm tụ, điểm dính, phần trong, bao đóng của một tập hợp; tập đóng, tập mở, tập bịchặn, tập hoàn toàn bị chặn, tập compact, ánh xạ liên tục, ) chúng ta mặc nhiên coi không gian

định chuẩn chính là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn hoặc là không gian tôpô với tôpôsinh bởi metric sinh bởi chuẩn.

Sau đây chúng ta nêu một số khái niệm đã biết trong không gian định chuẩn thông qua khoảngcách sinh bởi chuẩn:

Dãy hội tụ: x n → x ⇔ ∀ε > 0 cho tr-ớc, ∃n0 ∈N∗: ∀n ∈ N∗ (n > n0 ⇒ kx n − xk < ε) Dãy {x n}n∈N∗ là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu ∀ε > 0 cho tr-ớc, ∃n0 ∈ N∗: ∀m, n ∈ N∗(m, n > n0 ⇒ kx m − x n k < ε).

Các tập hợp sau đây, theo thứ tự, là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm x0 bán kính r:

B(y, ε); X là tập compact nếu mọi dãy {x n } ⊂ X đều có ít nhất một dãy con {x nk}

hội tụ tới một phần tử x ∈ X.

Hàm f : E → F liên tục tại x0 ∈ E nếu và chỉ nếu với bất kỳ ε > 0 cho tr-ớc, tồn tại số

δ = δ(x0, ε) > 0 sao cho: (∀x ∈ E) (kx − x0k < δ ⇒ kf (x) − f (x0)k < ε).

Bài tập: Phát biểu các khái niệm và tính chất metric của không gian định chuẩn thông qua

metric sinh bởi chuẩn

1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn E đ-ợc gọi là không gian Banach nếu E cùng

với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric đầy.

Nhận xét 2 Trong không gian định chuẩn E ta có:

kxk − kyk 6 kx − yk với mọi x, y ∈ E.

Thật vậy, cho x, y ∈ E, từ điều kiện 3) ta có: kxk = k(x − y) + yk 6 kx − yk + kyk Suy ra

kxk − kyk 6 kx − yk và kyk − kxk 6 kx − yk Chứng tỏ

kxk − kyk 6 kx − yk.

Từ nhận xét này ta có mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 1.3 Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn k.k : E → R liên tục đều trên E Chứng minh Cho ε > 0 bất kì, chọn δ = ε Khi đó, với mọi x, y ∈ E, nếu d(x, y) = kx − yk < δ

thì

|kxk − kyk| 6 kx − yk = d(x, y) = δ = ε.

Chứng tỏ hàm k.k : E → R liên tục đều trên E.

Cho E là không gian định chuẩn và a, b ∈ E Ta gọi tập hợp sau đây là đoạn với các mút a, b:

[a, b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R, 0 6 t 6 1}

Định nghĩa 1.4 Tập con X trong không gian định chuẩn E đ-ợc gọi là:

a) Tập lồi nếu [a, b] ⊂ X với mọi a, b ∈ X.

b) Tập cân nếu λx ∈ X với mọi x ∈ X và với mọi λ ∈ K mà |λ| 6 1.

c) Tập hút nếu với mỗi x ∈ E đều tồn tại số ε > 0 sao cho λx ∈ X với mọi λ ∈ K mà |λ| 6 ε.

Các hình cầu tâm tại 0 ∈ E, bán kính 1 sau đây theo thứ tự đ-ợc gọi là hình cầu mở, hình cầu

đóng đơn vị trong không gian định chuẩn E:

B(0, 1) = {x ∈ E : kxk < 1}, B[0; 1] = {x ∈ E : kxk 6 1}

Mệnh đề 1.5 Hình cầu mở, hình cầu đóng đơn vị trong không gian định chuẩn E là lồi, cân, hút.

Chứng minh Tr-ớc tiên ta chứng minh B(0, 1) là tập lồi, cân và hút: Cho a, b ∈ B(0, 1) và

Việc chứng minh B[0; 1] là lồi, cân và hút hoàn toàn t-ơng tự.

Mệnh đề 1.6 Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vec tơ trong E là liên tục Nghĩa

1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn

Định lý 1.7 (Hausdorff) Tập con X trong không gian Banach E là compact nếu và chỉ nếu X

đóng và hoàn toàn bị chặn

Nhận xét: 1) Nếu X là tập hoàn toàn bị chặn trong E thì với mỗi ε > 0 đều có thể chọn cho X

một ε - l-ới hữu hạn H gồm toàn các phần tử của X.

Thật vậy, cho ε > 0 có thể chọn cho X một ε/2 l-ới hữu hạn M = {a1; ; a m} ⊂E Khi đó

X =

[m j=1

Có thể giả thiết B(a j ,2) ∩ X 6= ∅, j = 1, m Với mỗi j = 1, m có thể chọn một phần tử

b j ∈ B(a j ,2ε ) ∩ X Khi đó tập hợp H = {b1; ; b m } ⊂ X là một ε- l-ới hữu hạn của X Thật vậy, cho x ∈ X, chọn a j ∈ M để kx − a j k < 2ε Chọn b j ∈ B(a j ,2ε ) ∩ X t-ơng ứng Khi đó

B(y, ε) Chứng tỏ H ⊂ X là một ε- l-ới hữu hạn của X.

2) Mọi tập hoàn toàn bị chặn đều là tập bị chặn Thật vậy, nếu X là tập hoàn toàn bị chặn thì với ε = 1 tồn tại {x1, x2, , x n } là ε - l-ới hữu hạn của X Giả sử x ∈ X tuỳ ý, chọn 1 6 k 6 n

để kx − x k k < 1 Suy ra kxk 6 kx k k + kx − x k k 6 kx kk + 1 6 max16k6n kx kk + 1 Do đósup

x∈X

kxk 6 max

16k6n kx k k + 1 < +∞.

1.4 Một số không gian Banach thông dụng

1 Không gian Euclide n-chiều: Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu K n

|x i|2

1 2

Ta sẽ chứng tỏ công thức (1.2) xác định một chuẩn trên Kn, gọi là chuẩn Euclide Thật vậy,

hiển nhiên hàm x 7→ kxk thoả mãn các điều kiện 1) và 2) trong định nghĩa chuẩn Để chứng minh

điều kiện 3) còn lại chúng ta cần sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski -Schwartz:

Thật vậy, với mọi x = (x1, x2, , x n ), y = (y1, y2, , y n) ∈ Kn ta có:

Chứng tỏ kx + yk 6 kxk + kyk với mọi x, y ∈ K

Nh- vậy, hàm k.k thoả mãn cả ba điều kiện trong định nghĩa chuẩn nên nó là một chuẩn và

đ-ợc gọi là chuẩn Euclide trên Kn

Cuối cùng, với x = (x1, , x n) ∈ Kn , y = (y1, , y n) ∈ Kn ta có:

max

16i6n |x i − y i | 6 kx − yk 6 n max

16i6n |x i − y i |.

suy ra x → y trong K n khi và chỉ |x i − y i | → 0 với mọi i = 1, n Nh- vậy, sự hội tụ trong K n là

sự hội tụ theo toạ độ và một dãy là dãy Cauchy trong Kn khi và chỉ khi tất cả các dãy toạ độ của

nó đều là dãy Cauchy trong K Lại do K là không gian metric đầy suy ra Kn là không gian đầy.Vậy Kn là không gian Banach

Không gian Banach K n với chuẩn Euclide đ-ợc gọi là không gian Euclide n chiều.

Chúng ta có thể kiểm tra thấy rằng Kn cũng là không gian Banach với chuẩn xác định bởi mộttrong các công thức sau đây:

kxk∞:= max

16j6n |x j | hoặc kxk1 := |x1| + ã ã ã + |x n |, x = (x1, , x n) ∈ Kn

2 Không gian các hàm số liên tục trên một đoạn: Ký hiệu C[a; b] là không gian các hàm

liên tục f : [a; b] → K trên đoạn hữu hạn [a, b] Ta đã biết C[a; b] là K-không gian vector với hai

∀m, n ∈ N∗(m, n > n0 ⇒ |f n (x) − f m (x)| < ε với mọi x ∈ [a, b]). (1.3)

Nh- vậy, với mỗi x ∈ [a, b] cố định, dãy số {f n (x)} là dãy Cauchy trong K Do K là không gian metric đầy nên dãy đó hội tụ trong K Đặt f (x) = lim

n→∞ f n (x) ∈ K, x ∈ [a, b], ta đ-ợc hàm số f : [a; b] → K Ta sẽ chỉ ra f ∈ C[a; b] và dãy {f n } hội tụ đến f trong C[a; b], nghĩa là

kf n − f k → 0 Thật vậy, giả sử x0 ∈ [a; b] là điểm tuỳ ý, ta chứng minh f liên tục tại x0 Trong

(1.3) bằng cách cố định x ∈ [a, b] và n > n0, cho m → ∞ ta đ-ợc

|f n (x) − f (x)| 6 ε với mọi x ∈ [a, b] và n > n0 (1.4)

Trong (1.4) cho x0 ∈ [a; b], n = n0 ta có |f n0(x0) − f (x0)| 6 ε Vì f n0 liên tục tại x0 nên tồn

tại δ > 0 sao cho |x − x0| < δ ⇒ |f n0(x) − f n0(x0)| < ε với mọi x ∈ [a; b] Từ đó suy ra: Với mọi

x ∈ [a; b] thoả mãn |x − x0| < δ ta đều có:

|f (x) − f (x0)| 6 |f (x) − f n0(x)| + |f n0(x) − f n0(x0)| + |f n0(x0) − f (x0)| < 3ε

Chứng tỏ f liên tục tại điểm tùy ý x0 ∈ [a; b] nên f ∈ C[a; b].

Cũng từ (1.4) suy ra kf n − f k = sup

x∈[a,b]

|f n (x) − f (x)| 6 ε với mọi n > n0 Điều này chứng tỏlim

n→∞ kf n − f k = 0, nghĩa là dãy {f n } hội tụ đến f trong C[a; b].

3 Không gian các hàm số bị chặn: Ký hiệu B(S) là không gian vector tất cả các hàm số bị chặn trên tập S tùy ý: B(S) = {f : S → K : sup{|f (s)| : s ∈ S} < +∞} Đặt

kf k := sup{|f (s)| : s ∈ S} < +∞, f ∈B(S) (1.5)

Có thể thấy công thức (1.5) xác định một chuẩn trên B(S), do đó B(S) là một không gian định

chuẩn Hơn nữa, có thể chỉ raB(S) là không gian Banach.

4 Không gian các dãy số khả tổng bậc p: Ta đã biết tập hợp KN∗ tất cả các dãy trong K:

Để chứng minh công thức (1.6) thực sự xác định một chuẩn trên l p chúng ta cần sử dụng một

số kết quả bổ trợ sau đây:

Bổ đề 1.8 Nếu p, q > 1 với p +q = 1 thì với mọi α, β ∈ R+ ta có:

t p

p +

t −q

q > 1 với mọi t > 0 Thay t = α1q.β−1p vào bất đẳng thức trên ta đ-ợc

αpq.β−1

βpq.α−1

q > 1Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với αβ và l-u ý rằng p q + 1 = p, q p + 1 = q, ta đ-ợc

(1.8)Gọn hơn, bằng cách sử dụng ký hiệu trong công thức (1.6) ta có:

∞

X

n=1

Chứng minh Hiển nhiên bổ đề đúng nếu kxk p = 0 hoặc kyk q = 0 Vậy chỉ cần chứng minh

tr-ờng hợp kxk p > 0, kyk q > 0 Với mỗi số tự nhiên n > 1, áp dụng bổ đề 1.8 cho α = kxk |xn|

Chứng minh +) Tr-ớc hết, hiển nhiên k.k p thoả mãn điều kiện thứ nhất trong định nghĩa chuẩn.

= |λ|.kxk p

Nh- vậy k.k p thoả mãn điều kiện thứ hai trong định nghĩa chuẩn Sử dụng bất đẳng thức

Minkowski ta có k.k p thoả mãn điều kiện cuối cùng trong định nghĩa chuẩn Vậy l p với k.k p làmột không gian định chuẩn

+) l p là không gian Banach: Cho {x (k)}∞k=1 là dãy Cauchy trong l p , x (k) = (x (k) n )∞n=1, khi đó,

với mọi số ε > 0 cho tr-ớc, tồn tại số tự nhiên k0 sao cho với mọi k, l ∈ N∗ : k, l > k0 ta đều có

kx (k) − x (l)kp < ε Suy ra, với mọi m ∈ N∗ và k, l > k0 ta có:

Suy ra |x (k) n − x (l) n | < ε với mọi k, l > k0, n > 1 Điều này chứng tỏ mỗi dãy tọa độ {x (k) n }k>1 là

dãy Cauchy trong K với mọi n > 1 Vì K là không gian Banach nên tồn tại x n = lim

n=1 ∈ l p và l p là không gian vector suy ra x ∈ l p Từ

(1.11) suy ra kx (k) − xk p → 0 khi k → ∞, nghĩa là x (k) hội tụ đến x trong l p

5 Không gian l∞ các dãy số bị chặn và không gian c0 các dãy số hội tụ về 0: Đặt

vector Hơn nữa, do l∞ = B(N∗) là không gian các hàm bị chặn trên N∗ nên l∞ là không gian

Banach với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên l∞ Do c0 là không gian con đóng của l∞ nên c0 cũng

là không gian Banach

2 Chuỗi trong không gian định chuẩn

2.1 Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi

Định nghĩa 2.1 Cho E là một không gian định chuẩn và {x n}n∈N∗ là một dãy trong E Ta gọi

là một chuỗi trong không gian định chuẩn E Phần tử x n đ-ợc gọi là phần tử tổng quát và dãy {s n}n∈N∗, s n = x1+ ã ã ã + x n, đ-ợc gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (2.1).

Nếu dãy tổng riêng {s n}n∈N∗ hội tụ tới điểm s ∈ E thì chuỗi (2.1) đ-ợc gọi là hội tụ về s, hay

có tổng là s và đ-ợc ký hiệu là

∞

P

n=1

x n = s Tr-ờng hợp ng-ợc lại, ta nói chuỗi (2.1) là phân kỳ.

Mệnh đề 2.2 Nếu chuỗi (2.1) hội tụ thì dãy phần tử tổng quát dần đến 0, tức là lim

βy n ) Khi đó s n = αa n + βb n với mọi n ∈ N∗ Do vậy:

ks n − (αa + βb)k = kα(a n − a) + β(b n − b)k 6 |α|ka n − ak + |β|kb n − bk → 0, n → ∞

Với tính chất trên ta nói có thể nhóm một cách tuỳ ý các số hạng của chuỗi hội tụ.

Chứng minh Thật vậy, rõ ràng k n > n với mọi n ∈ N∗ nên k n → ∞ khi n → ∞ Gọi s n , S n

theo thứ tự là tổng riêng thứ n của chuỗi

x n trong không gian định chuẩn E gọi là hội tụ tuyệt đối (hay hội tụ

theo chuẩn) nếu chuỗi số

Định lý 2.7 Trong không gian Banach mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ Hơn nữa, tính chất

hội tụ cũng nh- tổng của chuỗi không phụ thuộc vào thứ tự các phần tử

Chứng minh Giả sử E là không gian Banach và

∞

P

n=1

x n là chuỗi hội tụ tuyệt đối trong E Để

chứng minh chuỗi hội tụ chúng ta chỉ cần ra rằng dãy tổng riêng {s n}n>1 của chuỗi là dãy Cauchy

Với mọi n > n0 sao cho A = σ ({1; ; n0}) ⊂ {1, , n} Khi đó σ(A) = {1; ; n0} nên:

Định lý quan trọng sau đây có thể coi là định lý đảo của Định lý 2.7

Định lý 2.8 Không gian định chuẩn E là không gian Banach nếu mọi chuỗi trong nó hội tụ tuyệt

đối đều hội tụ

Chứng minh Cho {x n } là dãy Cauchy bất kỳ trong E Với mỗi n > 1 tồn tại k n > n sao cho

Suy ra x kn → y + x k1 ∈ E khi n → ∞ Dãy Cauchy {x n } có một dãy con {x kn} hội tụ nên

hội tụ Chứng tỏ mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ nên E là không gian Banach.

3 Không gian Lp(X) và không gian L∞(X)

3.1 Không gian Lp(X)

Cho X là tập đo đ-ợc Lebesgue trong R k và à là độ đo Lebesgue trên σ - đại số L các tập đo

đ-ợc Lebesgue trên Rk Với mỗi p > 1, ký hiệu L p (X) là tập tất cả các hàm khả tích Lebesgue

bậc p trên X (tất cả các hàm bằng nhau hầu khắp nơi trên X đ-ợc xem là một):

Việc chứng minh L p (X) là không gian vector và hàm L p (X) 3 f 7→ kf k p ∈ R là một chuẩn

hoàn toàn t-ơng tự nh- đối với không gian l p các dãy khả tổng bậc p, thay vì phép lấy tổng là

phép lấy tích phân Tuy nhiên, chúng ta cần sử dụng hai bất đẳng thức quan trọng là Bất đẳng thức

Holder và Bất đẳng thức Minkowski trong L p (X) đ-ợc phát biểu và chứng minh trong các Bổ đề

|f k p p

+1

q

|gk q q

Hiển nhiên λf ∈ L p (X) và kλf k p = |λ|kf k p với mọi λ ∈ K.

Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức kf + gk p 6 kf k p + kgk p Tr-ớc hết do (p − 1)q = p

Định lý 3.3 L p (X) là không gian Banach với chuẩn

(3.3)

Chứng minh Bổ đề 3.2 chứng tỏ L p (X) là không gian vector và hàm f 7→ kf k p là một chuẩn trên

L p (X), ở đây cần chú ý phần tử 0 ∈ L p (X) chính là hàm bất kỳ bằng không h.k.n trên X Bây giờ ta chứng minh L p (X) là đầy, muốn vậy, sử dụng kết quả của Định lý 2.8, Bài 2, chúng ta chỉ cần chứng minh mọi chuỗi trong L p (X) hội tụ tuyệt đối là hội tụ Thật vậy, cho chuỗi

Nói cách khác f ∈ L p (X) Tiếp theo chúng ta chứng minh

Cho X là tập đo đ-ợc Lebesgue trong R k và à là độ đo Lebesgue trên σ - đại số L các tập đo

đ-ợc Lebesgue trên Rk Nếu f là hàm số đo đ-ợc trên X, ta đặt:

N∞(f ) := inf{α > 0 : ||f (x)| 6 α h.k.n } Hàm f đ-ợc gọi là bị chặn cốt yếu nếu N∞(f ) < +∞ Nhờ tính chất của độ đo Lebesgue, chúng ta thấy rằng: Hàm f bị chặn cốt yếu trên X khi và chỉ khi tồn tại N ⊂ X với à(N ) = 0

Định lý 3.4 L∞(X) là không gian Banach với chuẩn xác định bởi công thức (3.4).

Chứng minh chi tiết Định lý 3.4 có thể xem trong các giáo trình [2, 3]

4 á nh xạ tuyến tính liên tục

4.1 Đặc tr-ng của ánh xạ tuyến tính liên tục

Cho E, F là các không gian định chuẩn trên tr-ờng K Khi đó, E, F vừa là không gian vector vừa là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn trên E, F ánh xạ f : E → F đ-ợc gọi là ánh

xạ tuyến tính liên tục nếu:

a) f là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vector, nghĩa là:

f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) với mọi x, y ∈ E và với mọi α, β ∈ K, b) f là ánh xạ liên tục trên E theo nghĩa ánh xạ liên tục giữa các không gian metric, nghĩa là,

với x0 ∈E tuỳ ý và với bất kỳ ε > 0 cho tr-ớc, tồn tại số δ = δ(x0, ε) > 0 sao cho:

e) Tồn tại hằng số C > 0 để kf (x)k 6 Ckxk với mọi x ∈ E.

Chứng minh a) ⇒ b) và b) ⇒ c) là hiển nhiên.

c) ⇒ d) Do f liên tục tại 0 ∈ E và f (0) = 0 nên tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho

(∀x ∈ E)(kxk = kx − 0k < δ ⇒ kf (x)k = kf (x) − f (0)k 6 1) Suy ra, với mọi x ∈ E mà kxk 6 1 thì k δ2xk 6 δ2 < δ nên kf (x)k = 2δ kf δ2x

k 6 2δ Do vậy

sup{kf (x)k : kxk 6 1} 6 2δ < +∞, nghĩa là f bị chặn trên hình cầu đóng đơn vị.

d) ⇒ e) Đặt C = sup{kf (x)k : kxk 6 1} < +∞ Theo giả thiết ta có 0 6 C < +∞ Cho

x ∈ E, x 6= 0 thì x

kxk

kf (x)k kxk = kxk x

e) ⇒ a) Do f là ánh xạ tuyến tính nên với mọi cặp điểm x1, x2 ∈E tuỳ ý cho tr-ớc ta có

kf (x1) − f (x2)k = kf x1− x2

k 6 Ckx1− x2k

Từ bất đẳng thức trên suy ra tính liên tục đều của f trên E.

Bổ đề 4.2 Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó:

= inf{C > 0 : kf (x)k 6 Ckxk với mọi x ∈ E}

(4.1)

 x kxk

η = inf{C > 0 : kf (x)k 6 C.kxk với mọi x ∈ E}.

Ta sẽ chứng minh α > β > δ > η > α Thật vậy, do

n x kxk : x ∈ E, x 6= 0

kf (x)k kxk = δ 6 η

Từ các lập luận trên ta suy ra α = β = δ = η.

Nhận xét 1 Có thể thay điều kiện c) và d) trong Định lý 4.1 bởi các điều kiện:

c') f liên tục tại điểm x0 ∈E nào đó.

d') f bị chặn trên một hình cầu đóng B[0, r] với r > 0 nào đó.

Nhận xét 2 Nhờ tính chất d) ở trên, sau này chúng ta sẽ gọi số kf k := sup

hoàn toàn bị chặn trong F.

Một ánh xạ tuyến tính liên tục còn đ-ợc gọi là ánh xạ tuyến tính bị chặn.

Thật vậy, nếu A bị chặn trong E ắt tồn tại số r > 0 sao cho kxk 6 r với mọi x ∈ A Khi đó,

với mọi y = f (x) ∈ f (A) ta có kyk 6 kf k.kxk 6 rkf k < +∞, nghĩa là f (A) bị chặn.

Giả sử A là tập hoàn toàn bị chặn trong E Ta có: kf (x)k 6 kf k.kxk với mọi x ∈ E (chỉ cần

xét f 6= 0 và do đó kf k > 0) Cho tr-ớc ε > 0, do A hoàn toàn bị chặn nên tồn tại kf k ε -l-ới hữu

4.2 Không gian L(E; F)

Ký hiệu L(E; F) tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E đến F Dễ dàng kiểm tra

đ-ợc rằng L(E; F) là không gian vector với hai phép toán cộng và phép nhân với vô h-ớng xác

định theo từng điểm sau đây:

(

(f + g)(x) := f (x) + g(x) (αf )(x) := αf (x) , f, g ∈ L(E; F), α ∈ K, x ∈ E.

Sau đây chúng ta sẽ xác định một chuẩn trong L(E; F) để L(E; F) trở thành một không gian

định chuẩn: Nhờ Định lý 4.1, với mỗi f ∈ L(E; F) có thể đặt t-ơng ứng với số thực kf k xác định

bởi:

kf k := sup{kf (x)k : x ∈ E, kxk 6 1} (4.2)

Định lý 4.3 L(E; F) là không gian định chuẩn với chuẩn k.k xác định bởi công thức (4.2) Ngoài

ra, nếu F là không gian Banach thì L(E; F) cũng là không gian Banach.

Chứng minh Đầu tiên ta kiểm lại hàm f 7→ kf k xác định bởi công thức (4.2) là một chuẩn trong

L(E; F):

+) Hiển nhiên kf k > 0 với mọi f ∈ L(E; F) Nếu kf k = 0 thì do với mọi x ∈ E ta có

kf (x)k 6 kf k.kxk = 0 suy ra f = 0 ∈ L(E; F) Nh- vậy điều kiện 1) trong định nghĩa chuẩn

Nh- vậy L(E; F) là không gian định chuẩn với chuẩn f 7→ kf k.

Bây giờ giả sử F là không gian Banach và {f n} là dãy Cauhy trong L(E; F), nghĩa là:

(∀ε > 0)(∃n0) : (∀m, n ∈ N∗) m, n > n0 ⇒ kf n − f m k < ε

Suy ra: (∀ε > 0)(∃n0) : (∀m, n ∈ N∗) và với mọi x ∈ E ta có:

m, n > n0 ⇒ kf n (x) − f m (x)k = k(f n − f m )(x)k 6 kf n − f m k.kxk 6 εkxk (4.3)

Từ bất đẳng thức (4.3) ở trên ta suy ra với mỗi x ∈ E dãy {f n (x)} là Cauchy trong F Do F

là không gian Banach nên tồn tại giới hạn

f (x) = lim

n→∞ f n (x), x ∈ E

Vì f n là tuyến tính với mọi n > 1 nên f : E → F là tuyến tính Ta sẽ chứng minh f ∈ L(E; F)

và f n → f trong L(E; F) Cố định n > n0 cho m → ∞ trong (4.3) ta nhận đ-ợc

kf n (x) − f (x)k = k(f − f n )(x)k 6 εkxk với mọi x ∈ E (4.4)Nh- vậy

kf (x)k 6 kf (x) − f n0(x)k + kf n0(x)k 6 (ε + kf n0k).kxk với mọi x ∈ E

Suy ra f ∈ L(E; F) Lại theo (4.4) ta có kf n − f k 6 ε, chứng tỏ f n → f trong L(E; F).

Không gian liên hợp tôpô: Cho E là không gian định chuẩn trên tr-ờng K Chúng ta kí hiệu

E0= L(E, K) và gọi E0 là không gian liên hợp tôpô của E Mỗi phần tử của E0 gọi là một phiếm

hàm tuyến tính liên tục trên E.

Chú ý -Từ Bổ đề 4.2, trong không gian L(E; F) ta có:

= inf{C > 0 : kf (x)k 6 C.kxk với mọi x ∈ E}

- Với f ∈ L(E; F) ta luôn có: kf (x)k 6 kf k.kxk với mọi x ∈ E.

- Nếu f ∈ L(E; F), g ∈ L(F, G) thì g ◦ f ∈ L(E, G) và kg ◦ f k 6 kgk.kf k.

Đại số Banach L(E): Khi E là không gian Banach thì L(E; E) cũng là không gian Banach Mặt

khác, bản thân L(E; E) với phép toán cộng xác định theo từng điểm và phép toán nhân f g := f ◦ g

có cấu trúc đại số là một vành có đơn vị Do đó L(E; E) đ-ợc gọi là một đại số Banach và đ-ợc kí hiệu gọn là L(E) Đặc biệt chuẩn trên đại số Banach đó thoả mãn hệ thức (quy -ớc f0 = idE = 1):

n! f n hội tụ trong L(E).

Nhờ kết quả khai triển Maclaurin của hàm số mũ thành chuối lũy thừa: e x =

Chúng ta phát biểu một kết quả quan trọng trong mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 4.5 Cho E là không gian Banach và f, g ∈ L(E) Nếu gf = f g thì e f +g = e f e g = e g e f

4.3 Phép đẳng cấu và đẳng cự giữa các không gian định chuẩn

Định nghĩa 4.6 Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính Khi đó:

a) f đ-ợc gọi là một đẳng cấu và đ-ợc ký hiệu là f : E ' F nếu f là song ánh tuyến tính liên tục hai chiều, nghĩa là f : E → F cùng với f−1 : F → E là liên tục.

Hai không gian định chuẩn E và F đ-ợc gọi là đẳng cấu và đ-ợc ký hiệu là E ' F nếu tồn

tại phép đẳng cấu f : E ' F Tập hợp tất cả các phép đẳng cấu giữa E và F đ-ợc kí hiệu là

Nhận xét 3 Mọi ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn f : E → F đều liên tục và là đơn cấu Từ đó

suy ra, nếu f : E → F là toàn ánh tuyến tính bảo toàn chuẩn thì f là phép đẳng cự.

Nhận xét 4 Nếu f : E → F là ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn thì kf k = 1 Thật vậy, theo định

Thật vậy, giả sử f : E ' F và F là không gian Banach Ta chứng minh E là không gian

Banach Thật vậy, cho {x n } là dãy Caychy bất kỳ trong E Đặt y n = f (x n ), n ∈ N∗ Do

ky m − y n k = kf (x m − x n )k 6 kf kkx m − x n k → 0 khi m, n → +∞ nên dãy {y n} là dãy Cauchy

trong không gian Banach F nên hội tụ trong F: y n → y0 khi n → ∞ Do f−1 liên tục nên

x n = f−1(y n ) → f−1(y0) := x0 ∈E Nh- vậy, mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ nên E là không

gian Banach

Nhận xét 6 Nếu f : E ' F thì

kxk

kf−1k 6 kf (x)k 6 kf k.kxk với mọi x ∈ E.

Thật vậy, ta có kf (x)k 6 kf k.kxk, kf−1(y)k 6 kf−1k.kyk với mọi x ∈ E, y ∈ F Trong bất

đẳng thức thứ hai thay y bởi f (x) ta đ-ợc: kxk 6 kf−1k.kf (x)k với mọi x ∈ E Kết hợp lại ta có

kết quả nêu ở trên

Mệnh đề 4.7 Giả sử f : E → F là song ánh tuyến tính Khi đó f là đẳng cấu nếu và chỉ nếu tồn

tại các số d-ơng m, M sao cho

Chứng minh Giả sử f : E → F là đẳng cấu Theo nhận xét ngay trên đây, chọn m = kf−1 k, M =

kf k ta có (4.6) Ng-ợc lại, nếu có các số m, M > 0 để

mkxk 6 kf (x)k 6 M kxk với mọi x ∈ E

Nửa bên phải của bất đẳng kép trên chứng tỏ f liên tục, còn nửa bên trái chứng tỏ f−1 liên tục

vì nó t-ơng đ-ơng với: kf−1(y)k 6 m1kyk với mọi y ∈ F Vậy f : E ' F.

D-ới đây chúng ta nêu lên hai tính chất quan trọng của tập hợp Isom(E; F) tất cả các phép

đẳng cấu giữa các không gian Banach E, F.

Mệnh đề 4.8 Cho E là một không gian Banach và u ∈ L(E) Nếu kuk < 1 thì 1E−u ∈ Isom(E; E).

(Ta nói 1E− u là phần tử khả nghịch trong đại số Banach L(E; E).

Trong mệnh đề trên, 1E kí hiệu ánh xạ đồng nhất của E Đó chính là phần tử đơn vị của đại

số Banach L(E) nên cũng th-ờng đ-ợc kí hiệu là 1 theo lối viết phần tử đơn vị của một vành.

Định lý 4.9 Cho E, F là các không gian Banach Khi đó:

(i) Tập Isom(E; F) là tập con mở của L(E; F).

(ii) ánh xạ : Isom(E; F) → L(F; E)

u 7→ u−1

là một ánh xạ liên tục

Chứng minh (i) Tr-ớc hết, nếu Isom(E; F) = ∅ thì hiển nhiên Isom(E; F) là tập mở trong

L(E; F) Giả sử Isom(E; F) 6= ∅ và u0 ∈ Isom(E; F) là phần tử tuỳ ý Đặt r = 1

ku−10 k, ta sẽ chứng

minh hình cầu mở B(u0, r) ⊂ Isom(E; F) Thật vậy, ∀u ∈ L(E; F) nếu u ∈ B(u0, r) thì

k1E− u−10 uk = ku−10 (u − u0)k 6 ku−10 k.ku − u0k < ku−10 k.r = 1

⇒ u−10 u = 1E− (1E− u−10 u) là phần tử khả nghịch trong L(E; E) nên v = u−10 u ∈ Isom(E; E) ⇒

u = u0v ∈ Isom(E; F) ⇒ B(u0, r) ⊂ Isom(E; F).

(ii) Với u, u0 ∈ Isom(E; F), đặt v = 1E− u−10 u thì kvk = k1E− u−10 uk = ku−10 (u0 − u)k 6

ku−10 k.ku − u0k ⇒ kvk → 0 khi u → u0, do vậy có thể giả thiết kvk < 1, khi đó 1E− v là phần

Mệnh đề 4.10 Với mọi không gian định chuẩn F tồn tại một phép đẳng cự chính tắc

Có thể kiểm tra trực tiếp thấy f y ∈ L(K, F) và ϕ(f y ) = f y (1) = 1.y = y, nghĩa là ϕ là toàn ánh.

Nh- vậy ϕ : L(K, F) → F là toàn ánh tuyến tính bảo toàn chuẩn nên ϕ là phép đẳng cự.

4.4 Một số cặp không gian đẳng cự

Mệnh đề 4.11 Giả sử Kn

là không gian Euclide n chiều Khi đó:

a) Với mỗi a ∈ K n cố định, ánh xạ f a : Kn→K xác định bởi:

là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Kn thoả mãn kf a k = kak.

b) ánh xạ f : K n→ (Kn)0 đặt t-ơng ứng mỗi a ∈ K n với f a ∈ (Kn)0 xác định nh- trong a) làphép đẳng cự

Chứng minh a) Dễ thấy f a là ánh xạ tuyến tính Nhờ bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakowski, với

b) Dễ thấy ánh xạ f : K → (K ) xác định bởi f (a) := f a là ánh xạ tuyến tính Theo chứngminh phần a) ở trên ta có

kf (a)k = kf a k = kak với mọi a ∈ K n Nh- vậy, f là ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn nên f liên tục và là đơn cấu Hơn nữa, chúng

ta sẽ chỉ ra f là toàn cấu Thật vậy, cho g ∈ (K n)0, đặt

a = (g(e1), , g(e n)) ∈ Kn

ở đây {e i}n

i=1 là cơ sở chính tắc trong Kn , thì dễ dàng kiểm tra đ-ợc rằng f (a) = g.

Tóm lại, f : K n→ (Kn)0 là song ánh tuyến tính bảo toàn chuẩn nên f là phép đẳng cự.

nên ξ = (ξ n ) ∈ l∞ Ta sẽ chỉ ra f (ξ) = g Thật vậy, cho x = (x n ) ∈ l1 Ta sẽ chứng minh chuỗi

xác định một phiếm hàm tuyến tính trên c0 thoả mãn kf ξ k = kξk1 Hơn nữa, ánh xạ f : l1 → c00

đặt t-ơng ứng mỗi ξ ∈ l1 với f ξ ∈ c00 xác định nh- trên là đơn cấu tuyến tính bảo toàn chuẩn

Chứng minh Bằng định nghĩa dễ dàng kiểm tra đ-ợc rằng f ξ là ánh xạ tuyến tính

Để chứng minh kf ξ k = kξk1, nhờ bất đẳng thức (∗) ta chỉ cần chứng minh kf ξ k > kξk1 Thật

vậy, với mỗi n > 1, nếu ξ n 6= 0 ta chọn ε n = |ξ1

n |ξ n ∈ K, nếu ξ n = 0 chọn ε n = 0 Khi đó ta có

ε n ξ n = |ξ n | và |ε n | = 1 nếu ξ n 6= 0 Đặt

x k0 = (ε1, , ε k , 0, 0, ), k = 1, 2, Khi đó x k

Chuyển qua giới hạn khi k → ∞ ta đ-ợc:

Có thể kiểm tra trực tiếp thấy ánh xạ f : l1 → c00 đặt t-ơng ứng mỗi ξ ∈ l1 với f ξ ∈ c00

nh-trong a) là ánh xạ tuyến tính Hơn nữa, theo chứng minh trên ta có kf (ξ)k = kf ξ k = kξk1 với mọi

ξ ∈ l1 nên f bảo toàn chuẩn Từ tính chất bảo toàn chuẩn suy ra f là đơn ánh tuyến tính liên tục.

Có thể thấy rằng f không phải là toàn ánh nên các không gian l1 và c0

Chứng minh Dễ dàng kiểm tra đ-ợc rằng f ξ là phiếm hàm tuyến tính trên l p áp dụng bất đẳng

thức Holder, với mọi x = (x n ) ∈ l p ta có:

.X∞

n=1

|x n|p1 p

= kξk q kxk p Suy ra f ξ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l p và kf ξ k 6 kξk q

Xét ánh xạ f : l q → l p0 đặt t-ơng ứng mỗi ξ ∈ l q với f ξ ∈ l0p Dễ thấy f là ánh xạ tuyến tính.

Nh- vậy, nếu ξ = (ξ n ) = (g(e n))n>1 ∈ l q thì ánh xạ f : l q → l p xác định bởi f (ξ) = f ξ là toàn ánh.

Ta sẽ đồng thời chứng minh ξ ∈ l q và kf ξ k > kξk q Thật vậy, với mỗi n > 1 có thể chọn

|ξ n|(q−1)p1

p

=Xm n=1

|ξ n|q1 p

Mặt khác, với mọi m > 1 ta có

|ξ n|q

1 p

Suy ra, với mọi m ∈ N∗ ta có

Xm n=1

|ξ n|q

1 q

=

Xm n=1

|ξ n|q

1−1p

6 kf ξk

Nh- vậy ξ ∈ l q và kf ξ k = kξk q , đồng thời ánh xạ tuyến tính f : l q → l0

p đang xét là toàn ánh bảotoàn chuẩn nên là đẳng cấu

5 Không gian con và không gian th-ơng

5.1 Không gian định chuẩn con

Cho E là không gian định chuẩn và F là không gian vector con của E Khi đó, F cũng là

không gian định chuẩn với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên E Không gian F nh- vậy gọi là không gian con của không gian định chuẩn E.

Nhận xét 1 Chúng ta dễ dàng chứng minh đ-ợc các khẳng định sau:

a) Mọi không gian con đóng của không gian Banach đều là không gian Banach

b) Mọi không gian con Banach của không gian định chuẩn đều là không gian con đóng

Mệnh đề 5.1 Nếu F là không gian con của không gian định chuẩn E thì bao đóng F của F cũng

là không gian con của E.

Chứng minh Thật vậy, rõ ràng F 6= ∅ Cho x, y ∈ F, α, β ∈ K Khi đó, tồn tại các dãy

{x n} ⊂F, {y n} ⊂ F để x n → x, y n → y Suy ra dãy {αx n + βy n} là dãy phần tử của F hội tụ

đến αx + βy nên αx + βy ∈ F.

5.2 Tổng trực tiếp tô pô

Tr-ớc hết ta nhắc lại khái niệm tổng trực tiếp của các không gian vector con trong đại số: Không

gian vector E là tổng trực tiếp của các không gian vector con M và N , ký hiệu là E = M ⊕ N , nếu E = M + N = {y + z : y ∈ M, z ∈ N } và M ∩ N = {0}.

Nhận xét: a) Nếu E = M ⊕ N (tổng trực tiếp của các không gian vector) thì mọi x ∈ E đều

viết đ-ợc duy nhất d-ới dạng x = p(x) + q(x) với p(x) ∈ M, q(x) ∈ N Hơn nữa, các ánh

xạ p : E → M và q : E → N là các ánh xạ tuyến tính thỏa mãn p(x) = x với mọi x ∈ M ,

Im p = M, ker p = N và q(x) = x với mọi x ∈ N và Im q = N, ker q = M

Các ánh xạ tuyến tính p : E → M và q : E → N gọi là các phép chiếu không gian E lên các

không gian con M và N

Định nghĩa 5.2 Không gian định chuẩn E đ-ợc gọi là tổng trực tiếp tôpô của các không gian con

M và N và kí hiệu là E = M ⊕ N nếu E là tổng trực tiếp của các không gian vector con M, N

và các phép chiếu p : E → M và q : E → N liên tục.

Chú ý Từ nay về sau chúng ta vẫn dùng ký hiệu M ⊕ N để chỉ tổng trực tiếp tôpô của các không

gian con trong không gian định chuẩn trong khi ký hiệu đó th-ờng đ-ợc dùng chỉ để chỉ tổng trựctiếp theo nghĩa của đại số tuyến tính

Mệnh đề 5.3 Nếu E = M ⊕ N thì M, N là các không gian con đóng của E.

Chứng minh Nếu {x n } ⊂ M, x n → x ∈ E thì do p(x n ) = x n với mọi n ∈ N∗ và p liên tục nên:

x = lim

n→∞ x n= lim

n→∞ p(x n ) = p(x) ∈ Im p = M.

Chứng tỏ M là tập con đóng của E T-ơng tự, N là tập con đóng của E.

5.3 Siêu phẳng trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 5.4 Không gian con H của không gian định chuẩn E đ-ợc gọi là siêu phẳng trong E

nếu H là không gian con thực sự lớn nhất trong E, nghĩa là H là không gian con của E, H 6= E

và nếu F là không gian con bất kỳ của E thoả mãn H ⊂ F ⊂ E thì hoặc F = H hoặc F = E.

Mệnh đề 5.5 Giả sử H là không gian con của không gian định chuẩn E Khi đó các khẳng định

sau là t-ơng đ-ơng

a) H là siêu phẳng của E;

b) E = Ka + H với mọi a ∈ E \ H;

c) Tồn tại phiếm hàm tuyến tính f 6= 0 trên E sao cho ker f = H.

Trong tr-ờng hợp này ta gọi ph-ơng trình f (x) = 0 là ph-ơng trình của siêu phẳng H.

Chứng minh a)⇒ b) Giả sử H là siêu phẳng trong E và a / ∈ H Khi đó Ka + H là không gian

con của E và Ka + H 6= H Suy ra Ka + H = E.

b)⇒ c) Cho a ∈ E \ H Theo giả thiết E = Ka + H Vì Ka ∩ H = {0}, nên E = Ka ⊕ H Nh- vậy mọi x ∈ E viết duy nhất d-ới dạng x = f (x)a + y với y ∈ H và f là phiếm hàm tuyến tính khác không trên E Với cách xác định nh- trên, rõ ràng ker f = H.

c) ⇒ a) Do f 6= 0 nên H = ker f là không gian con thực sự của E Giả sử H ⊂ F ⊂ E với F là không gian con của E Nếu F 6= H thì tồn tại a ∈ F \ H sao cho f (a) = 1 Khi đó

x − f (x)a ∈ H và Ka + H ⊂ F Cho x ∈ E, do x = f (x)a + (x − f (x)a) ∈ Ka + H ⊂ F nên

x ∈ F Vậy F = E Điều này chứng tỏ H là không gian con thực sự lớn nhất của E nên H là siêu

Chứng minh Lấy a ∈ E \ H tuỳ ý Do H là siêu phẳng nên theo Mệnh đề 5.5, mọi x ∈ E đều

biểu diễn đ-ợc duy nhất d-ới dạng x = λa + y, λ ∈ K, y ∈ H nên

f (x) = λf (a), g(x) = λg(a) nên f (x)

g(x) =

f (a) g(a) = α, (x / ∈ H).

Suy ra g(x) = αf (x) với mọi x ∈ E Chứng tỏ g = αf

5.4 Không gian th-ơng của không gian định chuẩn

Cho E là không gian định chuẩn và M là không gian con đóng của E Ký hiệu E/M là tập

th-ơng của E theo quan hệ t-ơng đ-ơng ∼ xác định bởi:

Định lý 5.7 E/M là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức (5.1) Ngoài ra nếu

E là Banach thì E/M cũng là Banach.

Chứng minh Tr-ớc tiên ta chứng minh hàm E/M 3 x + M 7→ kx + M k ∈ R là một chuẩn trên E/M bằng cách kiểm tra trực tiếp các điều kiện trong định nghĩa chuẩn:

1) Hiển nhiên kx + M k = dist(x, M ) > 0 với mọi x ∈ E và do M đóng nên nếu kx + M k = dist(x, M ) = 0 suy ra x ∈ M và do đó x + M = 0 + M chính là vector không của E/M

3) Cho x1 + M, x2 + M ∈ E/M Với mọi ε > 0 cho tr-ớc, theo định nghĩa infimum, tồn tại

Từ các chứng minh trên suy ra E/M là không gian định chuẩn.

Tiếp theo, giả sử E là không gian Banach, ta chứng minh E/M cũng là không gian Banach Nhờ Định lý 2.8 ch-ơng 1, chúng ta chỉ cần chứng minh mọi chuỗi trong E/M hội tụ tuyệt đối

là hội tụ Cho

(x n − y n) trong E hội tụ tuyệt đối.

Do E là không gian Banach nên chuỗi đó hội tụ trong E Đặt x =

Định nghĩa 5.8 Không gian định chuẩn E/M đ-ợc gọi là không gian th-ơng của không gian định

chuẩn E theo không gian con đóng M

Chú ý Qua chứng minh Định lý 5.7 chúng ta thấy điều kiện M là không gian con đóng là điều

kiện đảm bảo cho công thức (5.1) xác định một chuẩn trên E/M

6 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Không gian định chuẩn hữu hạn chiều là lớp không không gian có đầy đủ các đặc tr-ng và tínhchất quan trọng nh- không gian Euclide Kn

6.1 Các tính chất của không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Bổ đề 6.1 Phiếm hàm tuyến tính f liên tục trên không gian định chuẩn E khi và chỉ khi ker f là

không gian con đóng của E.

Chứng minh Giả sử f liên tục và (x n)n∈N∗ là dãy điểm tùy ý của ker f, x n → x0 ∈E Do f liên

tục nên f (x0) = lim f (x n ) = lim 0 = 0 nên x0 ∈ ker f Suy ra ker f đóng.

Ng-ợc lại, giả sử ker f là không gian con đóng Có thể giả thiết f 6= 0 nên tồn tại x0 ∈E sao

cho f (x0) = 1 Do ker f là đóng và x0 ∈ ker f , tồn tại số r > 0 để B[x / 0, r] ∩ ker f = ∅ Ta sẽ chứng minh sup{|f (x)| : kxk 6 r} < +∞.

Thật vậy, nếu trái lại, sup{|f (x)| : kxk 6 r} = +∞ thì tồn tại z ∈ B[0, r] để |f (z)| > 1 Khi

Định lý 6.2 Mọi không gian định chuẩn n > 1 chiều đều đẳng cấu với không gian Euclide K n

Chứng minh Giả sử E là không gian định chuẩn n chiều trên K Chúng ta sẽ chứng minh E ' K n

theo ph-ơng pháp quy nạp theo n:

+) Giả sử E là không gian định chuẩn một chiều sinh bởi vector a 6= 0 Xét ánh xạ ϕ : K → E xác định bởi ϕ(λ) = λa, λ ∈ K Dễ thấy ϕ là phép đẳng cấu nên E ' K Nh- vậy Định lý đúng

trong tr-ờng hợp n = 1.

+) Giả sử dim E = n > 1 và Định lý đúng với n − 1 Gọi {e1; e2; ; e n} là một cơ sở của E.

Khi đó, mỗi x ∈ E đều biểu diễn đ-ợc một cách duy nhất d-ới dạng:

trong đó f i : E → K, i = 1, n, là các phiếm hàm tuyến tính khác không Do đó H i = ker f i là siêu

phẳng trong E nên H i là không gian định chuẩn n − 1 chiều Theo giả thiết qui nạp H i ' Kn−1

nên H i là không gian Banach, do đó H i là không gian con đóng của E Từ đó, theo Bổ đề 6.1, f i

liên tục với mọi 1 6 i 6 n.

|ξ i|21

=Xn i=1

ke ik21

kξk chứng tỏ ϕ liên tục.

Theo cách xác định ánh xạ ϕ, dễ dàng kiểm tra đ-ợc rằng ϕ là song ánh và ánh xạ ng-ợc

ϕ−1 : E → Kn xác định bởi ϕ−1(x) = (f1(x), , f n (x)), x ∈ E Do các ánh xạ f i liên tục nên

với mọi x ∈ E ta có:

kϕ−1(x)k = k(f1(x), , f n (x))k =

vuut

Chứng tỏ ánh xạ ϕ−1 liên tục Do đó ánh xạ ϕ : K n →E là đẳng cấu.

Hệ quả 6.3 Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là không gian Banach.

Thật vậy nếu E là không gian định chuẩn n > 1 chiều thì theo Định lý 6.2, E ' K n Do Kn

là không gian Banach nên theo Nhận xét 5 Bài 4, E là không gian Banach.

Để phát biểu một số hệ quả khác của Định lý 6.2 ta nhắc lại khái niệm sau:

Định nghĩa 6.4 Hai chuẩn k.k1 và k.k2 trên cùng một không gian vector E gọi là t-ơng đ-ơng và

đ-ợc kí hiệu là k.k1 ∼ k.k2 nếu tồn tại các số d-ơng m, M sao cho

mkxk1 6 kxk2 6 M kxk1 với mọi x ∈ E

Chẳng hạn, trong Kn, xét các chuẩn sau đây:

a) kxk2 =

Pn i=1

|x i|2

1 2

, x = (x1, x2, , x n) ∈ Kn (chuẩn Euclide)

b) kxk∞:= max

16j6n |x j |, x = (x1, , x n) ∈ Kn (chuẩn sup)

c) kxk1 := |x1| + ã ã ã + |x n |, x = (x1, , x n) ∈ Kn

Vì rằng kxk∞6 kxk2 6 kxk1 6 nkxk∞ với mọi x ∈ K n nên các chuẩn trên đây t-ơng đ-ơng

Rõ ràng các chuẩn t-ơng đ-ơng trên E sinh ra các metric t-ơng đ-ơng và do đó, sinh ra cùng một tôpô trên E

Hệ quả 6.5 Hai chuẩn tùy ý trên không gian vector hữu hạn chiều là t-ơng đ-ơng.

Chứng minh Cho E là không gian vector n chiều và k.k1, k.k2 là hai chuẩn bất kỳ trên E Xét

hai không gian định chuẩn (E, k.k1) và (E, k.k2) Chúng ta sẽ chứng minh ánh xạ đồng nhất

id : (E, k.k1) → (E, k.k2) là đẳng cấu Khi đó, theo Mệnh đề 4.7, tồn tại các số m, M > 0 để

f i (x)e i , trong đó các ánh xạ f i : E → K, i = 1, n, là các phiếm hàm tuyến tính

trên E Theo chứng minh Định lý 6.2, hai ánh xạ

Hệ quả 6.6 Mọi ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn hữu hạn chiều E vào không gian

định chuẩn F tùy ý đều liên tục Mọi song ánh tuyến tính giữa các không gian định chuẩn hữu

hạn chiều đều là đẳng cấu

Chứng minh Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính Khi đó công thức

kxk1 = kxk + kf (x)k, x ∈ E

xác định một chuẩn mới trên E Vì E hữu hạn chiều nên theo Hệ quả 6.5 chuẩn mới này t-ơng

đ-ơng với chuẩn đã cho trên E nên tồn tại số C > 0 để kxk1 6 Ckxk với mọi x ∈ E Suy ra

kf (x)k 6 (C − 1).kxk với mọi x ∈ E, chứng tỏ f là liên tục.

Nếu f : E → F là song ánh tuyến tính giữa các không gian hữu hạn chiều, theo khẳng định

vừa chứng minh, cả f và f−1 liên tục, do đó f là đẳng cấu.

6.2 Định lý Riesz về đặc tr-ng của không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Định lý 6.7 (Riesz) Cho E là không gian định chuẩn Khi đó các khẳng định sau là t-ơng đ-ơng:

a) E hữu hạn chiều.

b) Mọi tập bị chặn trong E là hoàn toàn bị chặn.

c) Hình cầu đóng đơn vị B[0; 1] = {x ∈ E : kxk 6 1} của E là tập hoàn toàn bị chặn.

Chứng minh a) ⇒ b) Giả sử dim E = n < +∞ Theo Định lý 6.2, tồn tại phép đẳng cấu

f : E ' K n Từ đó, nếu A là tập bị chặn trong E thì f (A) bị chặn trong K n Vì rằng mọi tập

bị chặn trong Kn đều hoàn toàn bị chặn nên f (A) hoàn toàn bị chặn trong K n Nhờ sự biểu diễn

A = f−1(f (A)) với f−1 ∈ L(Kn ; E) suy ra A hoàn toàn bị chặn trong E.

b) ⇒ c) Hiển nhiên vì bản thân hình cầu đơn vị B[0; 1] là tập bị chặn trong E nên theo giả

thiết b) nó là tập hoàn toàn bị chặn

c) ⇒ a) Giả sử B[0; 1] hoàn toàn bị chặn Chọn ε = 12 tồn tại a1, , a n ∈ B[0; 1] để B[0; 1] ⊂

Khi đó dim F 6 n Ta sẽ chứng minh F = E Thật vậy, giả sử ng-ợc lại, F 6= E, khi đó tồn tại

x0 ∈E \ F Vì F là không gian con hữu hạn chiều của E nên bản thân F là không gian Banach,

Bài 2 Cho E là không gian định chuẩn và X là một tập con đóng của E Chứng minh rằng nếu

x / ∈ X thì tồn tại lân cận U của x và lân cận V của X sao cho U ∩ V = ∅.

Bài 3 Cho E là không gian định chuẩn và A, B ⊂ E Chứng minh rằng

a) Nếu A là mở thì A + B là mở.

b) Nếu A compact và B đóng thì A + B là đóng.

c) Cho ví dụ A, B ⊂ R là các tập đóng mà A + B không đóng.

d) Nếu A, B bị chặn, hoàn toàn bị chặn, compact thì A + B cũng vậy.

Bài 4 Chứng minh rằng nếu M là không gian con của không gian định chuẩn E với

con hội tụ

Bài 8 Chứng minh rằng tập con A của không gian định chuẩn E bị chặn khi và chỉ khi với mọi

dãy số {λ n } : λ n → 0 và với mọi dãy {x n } ⊂ A, dãy {λ n x n} đều hội tụ đến 0 trong E.

Bài 9 Cho {B n} là dãy các tập bị chặn trong không gian định chuẩn E Chứng minh rằng tồn tại

dãy số d-ơng ε n→ 0 sao cho

∞

S

n=1

ε n B n là tập bị chặn

Bài 10 Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E đến không gian định

chuẩn F Chứng minh rằng f là liên tục khi và chỉ khi dãy {f (x n )} bị chặn với mọi dãy {x n}

trong E hội tụ đến 0.

Bài 11 Cho f : E → F là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E vào không

gian định chuẩn F Chứng minh rằng tính liên tục của f không thay đổi nếu thay các chuẩn trên

với mọi song ánh σ : N∗→N∗ Chứng minh rằng mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong E là hội tụ giao

hoán và tổng của nó không phụ thuộc vào song ánh σ.

Bài 14 Trong không gian c0 tất cả các dãy số hội tụ về 0 cho dãy {e n}∞

n=1 với e n = (δ kn)∞

k=1.Chứng minh rằng chuỗi

∞

P

n=1

en

n hội tụ giao hoán nh-ng không hội tụ tuyệt đối

Bài 15 Cho H là siêu phẳng đóng trong không gian định chuẩn E có ph-ơng trình f (x) = 0,

o∞

n=1

ở đây C0[0, 1] = {f ∈ C[0, 1] : f (0) = 0} Chứng minh rằng

a) ϕ là tuyến tính liên tục từ C0[0, 1] lên c0 Tính kϕk.

b) ϕ : C0[0, 1]/ ker ϕ → c0 là đẳng cấu bảo toàn chuẩn

Bài 17 Chứng minh rằng trong không gian định chuẩn E nếu mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội

tụ thì E là không gian Banach.

Bài 18 Cho E là không gian vector tất cả các hàm số thực khả tích Lebesgue trên đoạn [a; b] ⊂ R.

là một nửa chuẩn trên E nh-ng không là một chuẩn.

Bài 19 Cho C[0; 1] là không gian tất cả các hàm số thực liên tục trên [0; 1] với chuẩn k.k∞ Chứngminh rằng công thức:

cũng là một chuẩn trên C[0; 1] nh-ng chuẩn này không t-ơng đ-ơng với chuẩn k.k∞

Bài 20 Cho f : E → F là toàn ánh tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E đến không

gian định chuẩn F Chứng minh rằng f là đẳng cấu khi và chỉ khi tồn tại số d-ơng m sao cho

kf (x)k > mkxk với mọi x ∈ E.

... nghĩa 1.4 Tập X không gian định chuẩn E đ-ợc gọi là:

a) Tập lồi [a, b] ⊂ X với a, b ∈ X.

b) Tập cân λx ∈ X với x ∈ X với λ ∈ K mà |λ| 1.

c) Tập hút... Lebesgue σ - đại số L tập đo

đ-ợc Lebesgue Rk Với p > 1, ký hiệu L p (X) tập tất hàm khả tích Lebesgue