Đang tải... (xem toàn văn)
Ti’p theo Gi¸o tr×nh Kh´ng gian T´p´ßÈ ÆoT›ch ph©n, gi¸o tr×nh Gi¶i t›ch hµm ÆÓc bi™n so¹n trong ch¨ng tr×nh x©y d˘ng bÈ gi¸o tr×nh hoµn chÿnh v“ Gi¶i t›ch hi÷n ƹi dµnh cho sinh vi™n h÷ ß¹i h‰c s ph¹m ngµnh To¸n. ß” h‰c tËt h‰c ph«n Gi¶i t›ch hµm, ngÍi h‰c c«n trang bfi trÌc mÈt sË ki’n th¯c v“ ß¹i sË tuy’n t›nh, v“ Kh´ng gian t´p´, ßÈ Æo vµ T›ch ph©n Lebesgue. Khi bi™n so¹n gi¸o tr×nh nµy, chÛng t´i chÛ ˝ nhi“u Æ’n y’u tË s ph¹m trong vi÷c tr×nh bµy c¸c v n c¨ b¶n mÈt c¸ch logic, tinh gi¶n vÌi khËi lÓng ki’n th¯c khoa h‰c thi’t y’u cÒa m´n h‰c. ßÆc bi÷t, chÛng t´i r t chÛ ˝ Æ’n vi÷c h×nh thµnh cho sinh vi™n nh˜ng ph¨ng ph¸p vµ k‹ n®ng c«n thi’t cÒa m´n h‰c th´ng qua k‹ thuÀt ch¯ng minh c¸c Æfinh l˝ vµ qua vi÷c su t«m, ph©n lo¹i mÈt h÷ thËng bµi tÀp phong phÛ kÃm theo hÌng d…n gi¶i vµ lÍi gi¶i chi ti’t. Ngoµi ra, nÈi dung cÒa gi¸o tr×nh lµ mÈt ƨn vfi ki’n th¯c tr‰n v—n, c„ mËi li™n h÷ chÆt chœ vÌi nh˜ng ki’n th¯c to¸n h‰c quen thuÈc n™n chÛng t´i tin tÎng gi¸o tr×nh sœ trÎ thµnh tµi li÷u g«n gÚi, d‘ hi”u ÆËi vÌi sinh vi™n trong qu¸ tr×nh h‰c tÀp. T¸c gi¶ xin bµy t· lflng bi’t ¨n ÆËi vÌi c¸c th«y, c´ gi¸o TÊ Gi¶i t›ch Khoa to¸n TrÍng ß¹i h‰c S ph¹m Hµ NÈi mµ t¸c gi¶ Æ· ÆÓc h‰c tr˘c ti’p hoÆc gi¸n ti’p Æ” c„ ÆÓc nh˜ng ki’n th¯c giÛp x©y d˘ng n™n gi¸o tr×nh nµy. Xin c¶m ¨n c¸c ÆÂng nghi÷p trong tÊ Gi¶i t›ch TrÍng ß¹i h‰c T©y Bæc Æ· l˘a ch‰n gi¸o tr×nh nµy Æ” gi¶ng d¹y vµ Æ· vµ Æ„ng g„p nh˜ng ˝ ki’n x¸c Ƹng giÛp hoµn thi÷n gi¸o tr×nh. Do nh˜ng h¹n ch’ v“ kinh nghi÷m khoa h‰c n™n chæc chæn kh´ng th” tr¸nh kh·i nh˜ng thi’u s„t. T¸c gi¶ mong muËn nhÀn ÆÓc th™m nhi“u ˝ ki’n Æ„ng g„p Æ” ti’p tÙc hoµn thi÷n gi¸o tr×nh.
Mở đầu Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô-Độ đo-Tích phân, giáo trình Giải tích hàm đ-ợc biên soạn ch-ơng trình xây dựng giáo trình hoàn chỉnh Giải tích đại dành cho sinh viên hệ Đại học s- phạm ngành Toán Để học tốt học phần Giải tích hàm, ng-ời học cần trang bị tr-ớc số kiến thức Đại số tuyến tính, Không gian tôpô, Độ đo Tích phân Lebesgue Khi biên soạn giáo trình này, ý nhiều đến yếu tố s- phạm việc trình bày vấn cách logic, tinh giản với khối l-ợng kiến thức khoa học thiết yếu môn học Đặc biệt, ý đến việc hình thành cho sinh viên ph-ơng pháp kĩ cần thiÕt cđa m«n häc th«ng qua kÜ tht chøng minh định lý qua việc s-u tầm, phân loại mét hƯ thèng bµi tËp phong phó kÌm theo h-íng dẫn giải lời giải chi tiết Ngoài ra, nội dung giáo trình đơn vị kiến thức trọn vẹn, có mối liên hệ chặt chẽ với kiến thức toán học quen thuộc nên tin t-ởng giáo trình trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu sinh viên trình học tập Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy, cô giáo Tổ Giải tích Khoa toán Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội mà tác giả đ-ợc học trực tiếp gián tiếp để có đ-ợc kiến thức giúp xây dựng nên giáo trình Xin cảm ơn đồng nghiệp tổ Giải tích Tr-ờng Đại học Tây Bắc lựa chọn giáo trình để giảng dạy và đóng góp ý kiến xác đáng giúp hoàn thiện giáo trình Do hạn chế kinh nghiệm khoa học nên chắn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn nhận đ-ợc thêm nhiều ý kiến đóng góp để tiếp tục hoàn thiện giáo trình Sơn La, tháng 12 năm 2007 Tác giả Phạm Minh Thông Mục lục Không gian tuyến tính định chuẩn Không gian định chuẩn không gian Banach 1.1 Không gian định chuẩn 1.2 Kh«ng gian Banach 1.3 Tập compact không gian định chuẩn 1.4 Mét sè kh«ng gian Banach th«ng dơng Chuỗi không gian định chuÈn 13 2.1 Chuỗi hội tụ chuỗi 13 2.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối 15 Kh«ng gian Lp (X) không gian L (X) 16 3.1 Kh«ng gian Lp (X) 16 3.2 Bất đẳng thøc Holder 17 3.3 Bất đẳng thức Minkowski 18 3.4 Kh«ng gian L∞ (X) 20 ánh xạ tuyến tính liên tục 20 4.1 Đặc tr-ng ánh xạ tuyến tính liên tục 20 4.2 Kh«ng gian L(E; F) 23 4.3 Phép đẳng cấu đẳng cự không gian định chuẩn 25 4.4 Một số cặp không gian đẳng cự 27 Không gian không gian th-ơng 31 5.1 Không gian định chuẩn 31 5.2 Tæng trùc tiÕp t« p« 32 5.3 Siêu phẳng không gian ®Þnh chuÈn 32 5.4 Không gian th-ơng không gian định chuÈn 33 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 35 6.1 35 C¸c tÝnh chÊt cđa không gian định chuẩn hữu hạn chiều 6.2 Bài tập ch-ơng 39 43 Nguyên lý bị chặn 43 1.1 Nưa chn liªn tơc 43 1.2 Nguyên lý bị chặn 44 Định lý ánh xạ mở đồ thị đóng 45 2.1 Định lý ánh xạ mở 46 2.2 Định lý đồ thị đóng 47 Định lý Hahn- Banach 48 3.1 Định lý Hahn-Banach không gian vector thực 48 3.2 Định lý Hahn-Banach không gian vector phức 50 3.3 Ba hƯ qu¶ quan träng cđa §Þnh lý Hahn-Banach 51 Bµi tËp ch-¬ng 53 Toán tử phổ toán tử không gian Banach 55 Không gian liên hợp Toán tử liên hợp 55 1.1 Kh«ng gian liên hợp tôpô Phép nhúng tắc 55 1.2 Toán tử liên hợp 55 Toán tử compact Toán tử hữu hạn chiều 57 2.1 To¸n tư compact 57 2.2 Toán tử hữu hạn chiều 60 Phỉ to¸n tư tun tÝnh 61 3.1 Một số khái niệm cần thiÕt 61 3.2 Phæ cđa to¸n tư tun tÝnh 62 3.3 Phỉ cđa to¸n tư compact 65 Bµi tËp ch-¬ng 71 4 37 Ba nguyên lý giải tích hàm Định lý Riesz đặc tr-ng không gian định chuẩn hữu hạn chiều Không gian Hilbert toán tử không gian Hilbert 74 Tích vô h-ớng không gian Hilbert 74 1.1 TÝch v« h-íng vµ tÝnh chÊt 74 1.2 Kh«ng gian Hilbert 75 HÖ trùc giao, trùc chuÈn vµ phÐp chiÕu trùc giao 78 2.1 78 HƯ trùc giao vµ trùc chn 2.2 PhÐp chiÕu trùc giao 80 Phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert 82 C¬ së trùc chuÈn 83 Toán tử liên hợp không gian Hilbert 86 Toán tử tự liên hợp toán tử compact không gian Hilbert 89 6.1 To¸n tử tự liên hợp không gian Hilbert 89 6.2 To¸n tư tù liên hợp compact Định lý Hilbert-Schmidt 92 Bµi tËp ch-¬ng 94 H-ớng dẫn giải tập 98 Ch-ơng Ch-¬ng 109 Ch-¬ng 115 Ch-¬ng 123 98 Ch-ơng Không gian tuyến tính định chuẩn Trong suốt tài liệu kí hiệu K tr-ờng số thực R tr-ờng số phức C Các không gian vector đ-ợc xét không gian vector K Không gian định chuẩn không gian Banach 1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Cho E không gian vector K Hàm : E R đ-ợc gọi chuẩn E nếu: với x ∈ E vµ x = ⇒ x = 0, 1) x 2) λx = |λ| x víi mäi λ ∈ K vµ víi mäi x ∈ E, 3) x+y x + y víi mäi x, y ∈ E Víi x E số x đ-ợc gọi chuẩn cđa vector x Kh«ng gian vector E cïng víi mét chuẩn E đ-ợc gọi không gian tuyến tính định chuẩn, hay th-ờng gọi ngắn gọn không gian định chuẩn Nhận xét Dễ dàng kiểm tra đ-ợc E không gian định chuẩn công thức sau xác định metric (khoảng cách) E, gọi metric sinh chuẩn : d(x, y) := x − y , (x, y ∈ E) (1.1) Nh- vậy, không gian định chuẩn E không gian metric với metric sinh chuẩn xác định công thức (1.1) Chính mà phần tử (vector) E th-ờng đ-ợc gọi điểm nhđối với phần tử không gian metric hay không gian tôpô Đồng thời, không gian định chuẩn, nói đến tính chất dãy điểm (nh- tÝnh héi tơ, ph©n kú, d·y Cauchy, ) nói đến điểm tôpô quan trọng số khái niệm liên quan (nh- điểm trong, điểm ngoài, điểm biên, điểm tụ, điểm dính, phần trong, bao ®ãng cđa mét tËp hỵp; tËp ®ãng, tËp më, tËp bị chặn, tập hoàn toàn bị chặn, tập compact, ánh xạ liên tục, ) coi không gian định chuẩn không gian metric với metric sinh chuẩn không gian tôpô với tôpô sinh metric sinh chuẩn Sau nêu số khái niệm biết không gian định chuẩn thông qua khoảng cách sinh chuÈn: D·y héi tô: xn → x ⇔ ∀ε > cho tr-íc, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ∈ N∗ (n n0 ⇒ xn − x < ε) D·y {xn }n∈N∗ lµ d·y Cauchy nÕu vµ chØ nÕu ∀ε > cho tr-íc, ∃n0 ∈ N∗: ∀m, n ∈ N∗ (m, n n0 ⇒ xm − xn < ε) C¸c tập hợp sau đây, theo thứ tự, hình cầu mở, hình cầu đóng tâm x0 bán kính r: B(x0, r) = {x ∈ E : x − x0 < r}; B[x0, r] = {x ∈ E : x − x0 r} Tập X E bị chặn sup x < +∞ ⇔ ∃r > : X ⊂ B[0; r] Tập X hoàn toàn bị chặn xX > cho tr-ớc tồn - l-ới hữu hạn A X, tức tån t¹i tËp A ⊂ E cho X ⊂ B(y, ε); X lµ tËp compact nÕu mäi d·y {xn } ⊂ X ®Ịu cã Ýt nhÊt mét d·y {xnk } y∈A héi tơ tíi mét phÇn tư x X Hàm f : E F liên tục x0 E với bất kú ε > cho tr-íc, tån t¹i sè δ = δ(x0, ε) > cho: (∀x ∈ E) ( x − x0 < δ ⇒ f (x) − f (x0 ) < ) Bài tập: Phát biểu khái niệm tính chất metric không gian định chuÈn th«ng qua metric sinh bëi chuÈn 1.2 Kh«ng gian Banach Định nghĩa 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn E đ-ợc gọi không gian Banach E với metric sinh chuẩn E không gian metric đầy Nhận xét Trong không gian định chuÈn E ta cã: x − y x − y víi mäi x, y ∈ E ThËt vËy, cho x, y ∈ E, tõ ®iỊu kiƯn 3) ta cã: x = (x − y) + y x − y x − y vµ y − x x − y Chøng tá x − y x − y + y Suy x−y Tõ nhËn xÐt nµy ta có mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.3 Nếu E không gian định chuẩn hàm chuẩn : E R liên tục E Chứng minh Cho ε > bÊt k×, chän δ = ε Khi ®ã, víi mäi x, y ∈ E, nÕu d(x, y) = x − y < δ th× | x − y | x − y = d(x, y) = δ = ε Chøng tá hµm : E → R liên tục E Cho E không gian định chuẩn a, b E Ta gọi tập hợp sau đoạn với mút a, b: [a, b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R, t 1} Định nghĩa 1.4 Tập X không gian định chuẩn E đ-ợc gọi là: a) Tập lồi [a, b] ⊂ X víi mäi a, b ∈ X b) TËp c©n nÕu λx ∈ X víi mäi x ∈ X vµ víi mäi λ ∈ K mµ |λ| c) Tập hút với x E ®Ịu tån t¹i sè ε > cho λx ∈ X víi mäi λ ∈ K mµ |λ| ε Các hình cầu tâm E, bán kính sau theo thứ tự đ-ợc gọi hình cầu mở, hình cầu đóng đơn vị không gian ®Þnh chuÈn E: B(0, 1) = {x ∈ E : x < 1}, B[0; 1] = {x ∈ E : x 1} Mệnh đề 1.5 Hình cầu mở, hình cầu đóng đơn vị không gian định chuẩn E lồi, cân, hút Chứng minh Tr-ớc tiên ta chứng minh B(0, 1) tập lồi, cân hút: Cho a, b ∈ B(0, 1) vµ t Ta cã: (ta + (1 t)b Mặt khác, x = || x ta + (1 − t)b = t a + (1 − t) b < t + − t = x < Suy B(0, 1) lµ lồi cân Cuối cùng, x E λx ∈ B(0, 1) víi mäi |λ| ε= nên B(0, 1) hút x +1 phần tử E Việc chứng minh B[0; 1] lồi, cân hút hoàn toàn t-ơng tự Mệnh đề 1.6 Nếu E không gian định chuẩn phép toán vec tơ E liên tục Nghĩa là, x → x0, y → y0 vµ λ → λ0 , (λ ∈ K), th× x + y → x0 + y0 , λx → λ0 x0 Chøng minh Nhê c¸c đánh giá d-ới (x + y) (x0 + y0) λx − λ0 x0 x − x0 + y − y0 |λ| x − x0 + |λ − λ0 | x0 víi chó ý E × E hay K ì E đ-ợc xét không gian tích hữu hạn không gian metric (khoảng cách E khoảng cách sinh chuẩn, khoảng cách K khoảng cách Euclide thông th-ờng) 1.3 Tập compact không gian định chuẩn Định lý 1.7 (Hausdorff) Tập X không gian Banach E lµ compact nÕu vµ chØ nÕu X đóng hoàn toàn bị chặn Nhận xét: 1) Nếu X tập hoàn toàn bị chặn E với > chọn cho X - l-ới hữu hạn H gồm toàn phần tử X Thật vậy, cho > cã thĨ chän cho X mét ε/2 l-íi h÷u h¹n M = {a1 ; ; am } ⊂ E Khi ®ã m X= m ε ε B(aj , ) ∩ X B(aj , ) ∩ X = 2 j=1 j=1 Cã thĨ gi¶ thiÕt B(aj , ε2 ) ∩ X = ∅, j = 1, m Với j bj B(aj , ) X Khi tập hợp H = {b1 ; ; bm } ⊂ X lµ vËy, cho x ∈ X, chän aj ∈ M ®Ĩ x − aj < 2ε Chän bj ∈ x ∈ B(bj , ε) v× ε x − aj + aj − bj < x − bj Suy X ⊂ = 1, m cã thĨ chän mét phÇn tử - l-ới hữu hạn X Thật B(aj , ) X t-ơng ứng Khi + ε =ε B(y, ε) Chøng tá H ⊂ X - l-ới hữu hạn X yH 2) Mọi tập hoàn toàn bị chặn tập bị chặn Thật vậy, X tập hoàn toàn bị chặn với = tồn {x1, x2, , xn } lµ ε - l-íi hữu hạn X Giả sử x X tuỳ ý, chän k n ®Ĩ x − xk < Suy x xk + x − xk xk + max1 k n xk + Do ®ã max xk + < +∞ sup x x∈X k n 1.4 Mét sè kh«ng gian Banach th«ng dơng Không gian Euclide n-chiều: Với số tự nhiên n, ký hiệu Kn tích Descartes n K (tr-êng v« h-íng): Kn := {x = (x1 , x2, , xn ) : x1, x2, , xn ∈ K} Chóng ta ®· biết Kn K-không gian vector với hai phép toán cộng vector nhân vô h-ớng với vector: x = (x1 , x2, , xn ) ∈ Kn ; y = (y1, y2, , yn ) ∈ Kn , λ ∈ K: x + y := (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) ∈ Kn ; λx := (λx1 , λx2 , , xn ) Kn Với x = (x1, x2, , xn ) ∈ Kn , ta đặt: n |xi |2 x = (1.2) i=1 Ta sÏ chøng tá c«ng thøc (1.2) xác định chuẩn Kn , gọi chuẩn Euclide Thật vậy, hiển nhiên hàm x x thoả mãn điều kiện 1) 2) định nghĩa chuẩn Để chứng minh điều kiện 3) lại cần sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski -Schwartz: n n |ai|2 |ai bi | i=1 n |bi |2 i=1 i=1 ThËt vËy, víi mäi x = (x1, x2, , xn ), y = (y1 , y2, , yn ) ∈ Kn ta cã: n x+y = n |xi + yi | i=1 n n 2 (|xi| + |yi |) = i=1 n i=1 i=1 = |xi|2 i=1 n n |xi + i=1 n |yi2| i=1 |2 i=1 2 |yi |2 |xi yi | + i=1 n |xi|2 + |xi | + n i=1 n |yi |2 + i=1 |yi |2 = ( x + y )2 x + y víi mäi x, y ∈ Kn Chøng tá x + y Nh- vËy, hµm thoả mãn ba điều kiện định nghĩa chuẩn nên chuẩn đ-ợc gọi chuẩn Euclide trªn Kn Ci cïng, víi x = (x1, , xn ) ∈ Kn , y = (y1, , yn ) ∈ Kn ta cã: max |xi − yi | i n x−y n max |xi − yi | i n suy x → y Kn vµ chØ |xi − yi | → víi mäi i = 1, n Nh- vËy, sù héi tơ Kn lµ hội tụ theo toạ độ dãy dãy Cauchy Kn tất dãy toạ độ dãy Cauchy K Lại K không gian metric đầy suy Kn không gian đầy Vậy Kn kh«ng gian Banach Kh«ng gian Banach Kn víi chn Euclide đ-ợc gọi không gian Euclide n chiều Chúng ta kiểm tra thấy Kn không gian Banach với chuẩn xác định công thức sau đây: x := max |xj | hc x j n := |x1| + · · · + |xn |, x = (x1 , , xn ) ∈ Kn Kh«ng gian hàm số liên tục đoạn: Ký hiệu C[a; b] không gian hàm liên tục f : [a; b] K đoạn hữu hạn [a, b] Ta biết C[a; b] K-không gian vector víi hai phÐp to¸n vector: (f + g)(x) := f (x) + g(x); (λf )(x) := λf (x) + g(x), f, g C[a; b], K Đặt f = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}, f ∈ C[a; b] DƠ dµng thÊy r»ng hµm f → f xác định chuẩn không gian C[a; b] với chuẩn đó, C[a; b] trở thành không gian định chuẩn Ta kiểm lại C[a; b] không gian Banach: Cho {fn } dãy Cauchy C[a; b], ®ã víi mäi sè ε > cho tr-ớc, tồn số tự nhiên n0 cho: ∀m, n ∈ N∗(m, n n0 ⇒ fn − fm = sup fn (x) − fm (x) < ε) x∈[a;b] Suy ∀m, n ∈ N∗ (m, n n0 ⇒ |fn (x) − fm (x)| < ε víi x [a, b]) (1.3) Nh- vậy, với x [a, b] cố định, dãy số {fn (x)} dãy Cauchy K Do K không gian metric đầy nên dãy hội tụ K Đặt f (x) = lim fn (x) ∈ K, x ∈ [a, b], ta đ-ợc n hàm số f : [a; b] → K Ta sÏ chØ f ∈ C[a; b] dãy {fn } hội tụ đến f C[a; b], nghÜa lµ fn − f → ThËt vậy, giả sử x0 [a; b] điểm tuỳ ý, ta chứng minh f liên tục x0 Trong (1.3) cách cố định x [a, b] n n0 , cho m ta đ-ợc |fn (x) − f (x)| ε víi mäi x ∈ [a, b] vµ n n0 (1.4) Trong (1.4) cho x0 ∈ [a; b], n = n0 ta cã |fn0 (x0 ) f (x0)| Vì fn0 liên tục x0 nên tồn > cho |x x0| < δ ⇒ |fn0 (x) − fn0 (x0 )| < ε víi mäi x ∈ [a; b] Tõ ®ã suy ra: Víi mäi x ∈ [a; b] tho¶ m·n |x − x0 | < δ ta ®Ịu cã: |f (x) − f (x0)| |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (x0)| + |fn0 (x0) − f (x0 )| < 3ε Chøng tá f liªn tơc điểm tùy ý x0 [a; b] nên f ∈ C[a; b] Còng tõ (1.4) suy fn − f = sup |fn (x) − f (x)| ε víi n n0 Điều chứng tỏ x[a,b] lim fn − f = 0, nghÜa lµ d·y {fn } hội tụ đến f C[a; b] n Không gian hàm số bị chặn: Ký hiệu B(S) không gian vector tất hàm số bị chặn trªn tËp S tïy ý: B(S) = {f : S → K : sup{|f (s)| : s ∈ S} < +} Đặt f := sup{|f (s)| : s S} < +∞, f ∈ B(S) Cã thĨ thÊy c«ng thøc (1.5) xác định chuẩn B(S), chuẩn Hơn nữa, B(S) không gian Banach (1.5) B(S) không gian định Không gian dãy số khả tổng bậc p: Ta biết tập hợp KN tất dãy K: ∗ KN = {x = (x1 , x2, , xn , ) : xn K, n N} K-không gian vevtor víi c¸c phÐp to¸n vector: x + y := x = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn , ), λx := (λx1 , λx2, , λxn , ) víi x = (x1, x2 , , xn , ), y = (y1 , y2, , yn , ), K Với sè thùc p t ý, ký hiƯu lp lµ tập hợp tất dãy số khả tổng bậc p : ∞ ∗ lp = {x = (xn ) ⊂ KN : |xn |p < +∞} n=1 Chóng ta chứng tỏ lp không gian Banach với chuẩn xác định công thức: x p p |xn |p := , x = (x1, x2 , , xn , ) lp (1.6) n=1 Tr-ớc tiên lp không gian vector KN nên thân lp K-không gian vector Thật vậy, (0) lp nên lp = Ta kiểm tra lp đóng kín phép toán vector: Với ∞ x = (xn )∞ n=1 ∈ lp , y = (yn )n=1 ∈ lp , λ ∈ K th× x + y = (xn + yn )n=1 ; λx := (xn )n=1 Từ bất đẳng thức |xn + yn |p (|xn | + |yn |)p 2p max{|xn |p , |yn |p} 2p (|xn |p + |yn |p), ∀n ∈ N∗ ta cã ∞ ∞ |xn + yn | n=1 ∞ n=1 ∞ p p |yn |p < +∞ |xn | + n=1 n=1 ∞ |λxn |p = |λ|p Ta cã p |xn |p < +∞ Suy x + y ∈ lp vµ λx ∈ lp n=1 Để chứng minh công thức (1.6) thực xác định chuẩn lp cần sử dụng số kết bổ trợ sau đây: 10 Ta thÊy: +) Víi λ = vµ y(t) lµ hµm liên tục nh-ng không khả vi đoạn [0; 1] ph-ơng trình (1) nghiệm x(t), chứng tỏ ∈ σ(A) t +) Gi¶ sư λ = 0, ®Ỉt u(t) = x(s)dx, t ∈ [0; 1], ®ã u(t) khả vi đoạn [0; 1] u (t) = x(t), t [0; 1] Ph-ơng trình (1) t-ơng đ-ơng với: u(t) u (t) = y(t), u(0) = Hay 1 u (t) − u(t) = y(t), u(0) = (2) Ph-ơng trình (2) ph-ơng trình vi phân tuyến tính, với y C[0; 1] ph-ơng trình có nghiệm u(t) thoả mãn điều kiện ban đầu u(0) = lµ: t u(t) = − λ e t−s y(s)ds, t [0; 1] Do ph-ơng tr×nh (1) cã nghiƯm nhÊt x(t) = u (t) = R(A, λ)(y)(t) Nh- vËy, ta ®· chøng minh ∈ σ(A) vµ ∀λ ∈ C, λ = ⇒ λ ∈ / σ(A), nghÜa lµ σ(A) = {0} Tõ chøng minh trªn, víi λ = ta cã: R(A, λ)(x)(t) = − t λ e t−s λ x(s)ds , t ∈ [0; 1] t Bµi 25 a) Cho λ ∈ C bÊt k× Ta thÊy với y C[0; 1] ph-ơng trình Ax λx = y hay x (t) − λx(t) = y(t), t [0; 1] có vô số nghiệm x = x(t) C 1[0; 1] với điều kiện ban đầu khác Điều chứng tỏ toán tử A không đơn ánh nên đẳng cấu nên (A) Suy (A) = C b) Cho λ ∈ C bÊt k× Ta thấy với y C[0; 1] ph-ơng trình Ax − λx = y hay x (t) − λx(t) = y(t), t ∈ [0; 1] ®Ịu cã nhÊt nghiƯm x = x(t) C 1[0; 1] thoả mãn điều kiện ban đầu x(0) = 0, nghĩa có nghiệm thuộc L Điều chứng tỏ toán tử A : L C[0; 1] đẳng cấu Theo định nghĩa / (B) với B = A VËy σ(B) = ∅ L 122 Ch-ơng Bài a) Do x, y R nªn ta cã: VP = x, x + x, y + y, x + y, y − [ x, x − x, y − y, x + y, y ] = x, y + x, y = x, y + x, y = x, y = VT b) Ta cã V P = x, x + x, y + y, x + y, y − [ x, x − x, y − y, x + y, y ] + i[ x, x + i x, y + i y, x + ii y, y ] − i[ x, x − i x, y − i y, x + ii y, y ] = x, y + y, x + 2ii x, y + 2i2 y, x = x, y = VT Bµi +) Tr-íc hÕt, x, y ∈ R vµ từ công thức xác định ta có: x, y = y, x = y, x , ∀x, y ∈ E +) Tõ ®iỊu kiƯn ®· cho ta cã: x, y = ( x + y 2 − x − y ), ∀x, y ∈ E nªn víi mäi x1, x2, y ∈ E ta cã: ( x1 + x2 + y − x1 + x2 − y ) = ( (x1 + y) + x2 + (x1 + y) − x2 ) − ( x1 + (x2 − y) + x1 − (x2 − y) ) = ( x1 + y + x2 ) − ( x1 + x2 − y ) x1 + x2 , y = = ( x1 + y +( y 2 − x1 − y2 ) + x2 ) − x2 − y ) = ( x1 + y + ( x2 + y − x1 2 − x2 − y2 ) − y ) = x1 , y + x2 , y +) Víi x, y E cố định, | x + y − λ2 x + y | |λ1 − λ2 | x nên hàm số R x + y liên tục Đặt g() = x, y = ( λx + y 123 − λx − y ), R ta đ-ợc g : R R hàm số liên tục Theo chứng minh trªn ta cã: g(λ1 + λ2 ) = λ1 x + λ2 x, y = λ1 x, y) + λ2 x, y = g(λ1 ) + g(λ2 ), ∀λ1, λ2 ∈ R Suy g(λ) = aλ, λ ∈ R, (a R cố định) Nh-ng g(1) = a = x, y nªn ta cã: λx, y = g(λ) = λa = λ x, y , ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ R +) Cuèi cïng x, x = 2x − x − x =2 x 0, ∀x ∈ E vµ x, x = chØ x = ∈ E nªn , tích vô h-ớng E Bài Sử dụng kết Bài tập Bài +) Gi¶ sư G(x1 , , xn ) = 0, ta chøng minh hÖ vector {x1 ; x2; ; xn } ®éc lËp tuyÕn tÝnh ThËt vËy, nÕu λ1 , λ2 , , λn ∈ C cho λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn = Khi ®ã: λ1 x1 , x1 + λ2 x1 , x2 + · · · + λn x1 , xn λ x , x + λ x , x + · · · + λ x , x 2 2 n n ······································· λ1 xn , x1 + λ2 xn , x2 + · · · + λn xn , xn =0 =0 (1) =0 HÖ (1) hệ ph-ơng trình tuyến tính n ph-ơng trình n ẩn 1, , n có định thức hệ số định thức Gram G(x1 , , xn ) cđa hƯ vector {x1; x2 ; ; xn }, v× vËy, víi G(x1 , , xn ) = th× hƯ (1) cã nghiƯm nhÊt λ1 = λ2 = · · · = λn = Điều chứng tỏ hệ vector {x1; x2; ; xn } ®éc lËp tuyÕn tÝnh +) Ng-ợc lại, giả sử G(x1 , , xn ) = Xét hệ ph-ơng trình (1) với c¸c Èn λ1 , λ2 , , n Vì định thức ma trận hệ số của hệ llà định thức Gram G(x1 , , xn ) = nªn hƯ (1) có nghiệm không tầm th-ờng (1 , , , λn ) Khi ®ã, tõ hƯ (1) ta cã n n n xj , λi xi = ⇒ λj xj , i=1 λi xi = λj i=1 xj , λi xi = 0, ∀j = 1, n i=1 Suy ra: n n λj xj , j=1 n λi xi = i=1 λi xi =0 i=1 n λi xi = víi c¸c hƯ sè λ1 , , , n không đồng thêi b»ng kh«ng, Chøng tá cã sù biĨu diƠn i=1 nghÜa lµ hƯ vector {x1; x2 ; ; xn } phơ thc tun tÝnh 124 Bµi Tr-íc hÕt ta chøng minh nÕu x = (xn ), y = (yn ) ∈ l1 th× (xn yn ) ∈ l1 ThËt vËy, c¸c ∞ ∞ |xn |, chuỗi số d-ơng |yn | hội tụ nên lim |xn | = lim |yn | = 0, v× vËy, tån t¹i sè n0 cho n=1 n→∞ n=1 ∞ |xn | |yn |2 |xn |2, hiệu so sánh, chuỗi n n0 Suy |xn |2 |xn | < 1, |yn | < víi mäi n n=1 |yn | víi mäi n n0 Theo dÊu |yn |2 hội tụ, từ đó, nhờ bất đẳng thức |xn y n | |xn |2 + |yn |2 n=1 ∞ với n Rn, ta suy chuỗi số |xn yn | hội tụ Hơn nữa, nhờ định nghĩa, dễ dàng kiểm tra n=1 đ-ợc ánh xạ (x; y) → x, y = |xn y n | tích vô h-ớng l1, đồng thời, chuẩn sinh n=1 tích vô h-ớng xác định công thøc: ∞ |xn |2, x = x = (x1, x2 , , xn ) ∈ l1 n=1 TiÕp theo, theo chøng minh trªn ta thÊy l1 ⊂ l2, nữa, l1 không gian vector l2 chuẩn sinh tích vô h-ớng l1 trùng với chuẩn không gian Banach l2 Vì vậy, với tích vô h-ớng trên, l1 không gian Hilbert, thân không gian Banach l2 nên không gian đóng l2 Nh-ng l1 không gian đóng l2, vËy kh«ng thĨ kh«ng gian Hilbert ThËt vËy, chän dãy (xk )kN l1 xác định bởi: xk = (xkn )∞ k = 1, 2, n=1 víi xkn = 1+ , n = 1, + , n k Rõ ràng, chuỗi Riemann nghÜa lµ xk = +∞ 1+ n k n=1 n=1 ns héi tô s > nên, với k N, chuỗi số 1 1+ n=1 n k héi tơ, ∈ l1 víi mäi k = 1, 2, Nãi c¸ch khác, dãy (xk ) k=1 l1 Vì rằng, nÕu d·y l1 yk = (ξkn )∞ n=1 héi tô ®Õn phÇn tư y = (ξn )n=1 ∈ l1 , k → ∞, theo chuÈn sinh bëi tÝch v« h-ớng l1 (tức chuẩn không gian Banach l2) hội tụ hội tụ theo thành phần, nghĩa lim kn = n , ∀n = 1, 2, nªn nÕu dãy (xk )kN l1 k xác định hội tụ đến phần tử x = (n ) l2 th× lim k→∞ 1 n1+ k = , n n = 1, 2, ta suy x = Nh-ng lại chuỗi số d-ơng n=1 n không hội tụ nên x = ∞ n n=1 n ∞ n=1 ∈ l2 / l1 Điều chứng tỏ l1 không gian đóng l2 theo chuẩn sinh tích vô h-ớng xét Bài Nếu chuẩn sup cho sinh tích vô h-ớng C[0; 2] bất đẳng thức hình bình hành sau phải thoả mãn với f, g ∈ C[0; 2π]: f +g + f −g = 2( f + g 2) B»ng c¸ch chän f (t) = max(sin t; 0), g(t) = max(− sin t; 0), t ∈ [0; 2π] 125 (1) ta thÊy f + g = f − g = f = g = Nh- vậy, với hàm f, g vừa chọn bất đẳng thức hình bình hành (1) thoả mãn Chứng tỏ chuẩn cho đ-ợc sinh tích vô h-ớng C[0; 2] Bài Bằng định nghĩa tích vô h-ớng, dễ dàng kiểm tra đ-ợc công thức f, g := f (x)g(x)dx (1) xác định tích vô h-ớng C[1; 1] nên C[1; 1] không gian tiền Hilbert chuẩn C[1; 1] sinh tích vô h-ớng là: |f (x)|2dx f = , f ∈ C[0; 1] (2) −1 Ta chứng minh C[1; 1] với chuẩn (2) không gian Banach, tức C[1; 1] với tích vô h-ớng (1) không gian Hilbert Xét dãy hàm số liên tục {fn }n xác định bởi: nÕu − t 0 fn (t) = nt nÕu t n1 nÕu n1 t Khi dãy ({fn }n dãy Cauchy v× 0 |fm (t) − fn (t)| = |fm (t) − fn (t)| 1 fm − fn |fm (t) − fn (t)|2dt = = − t 1 t max{ m ; n} 1 max{ m ; n } t −1 |fm (t) − fn (t)|2dt + −1 1 max{ m ;n} + |fm (t) − fn (t)|2dt + 0 + max{ |fm (t) − fn (t)|2dt 1 ;n} max{ m 1 1 ; } + = max{ ; } → m, n → ∞ m n m n 126 Tõ ®ã, nÕu f hàm liên tục [1; 1] cho lim fn − f n→∞ |fn (t) − f (t)|2dt = = lim n→∞ −1 th× phải có giới hạn điểm lim |fn (t) f (t)| = 0, t ∈ [−1; 1], tõ ®ã suy ra: n→∞ f (t) = lim fn (t) = n→∞ − t t Điều trái với tính liên tục f Bài Vì F không gian vector thực E nên tồn = a ∈ E \ F XÐt kh«ng gian vector mét chiÒu L sinh bëi a: L = {λa, λ ∈ C} Gäi H = L⊥ ∩ F Khi ®ã, H siêu phẳng đóng F phần tử b F \ {0} không trực giao víi H, v× nÕu b trùc giao víi H th× b = λa, λ = nªn a ∈ F, mâu thuẫn ! Bài a) Sử dụng Bất đẳng thøc Cauchy-Schwartz, víi mäi n ∈ N∗ ta cã: | xn , yn | | xn , yn | xn yn xn yn xn yn 1 ⇒ | xn , yn | | xn , yn | xn yn 1 (1) Theo gi¶ thiÕt, lim xn , yn = nªn (1) cho n → ta đ-ợc lim xn = 1, lim yn = n→∞ ∗ n→∞ n→∞ b) Víi mäi n ∈ N ta cã: xn − yn = xn − yn , xn − yn = xn + yn − xn , yn − xn , yn (2) Do lim xn , yn = suy lim xn , yn = LÊy giíi h¹n hai vÕ (2) n ta đ-ợc n lim xn − yn n→∞ n→∞ = 0, suy lim xn yn = n Bài 10 Cách 1: Do E không gian Hilbert, tức với chuẩn sinh tích vô h-ớng E không gian Banach, nên để chứng minh ánh xạ A : E E liên tục, áp dụng kết tập 10 ch-ơng 2, ta cần chứng minh A ◦ f liªn tơc víi mäi f ∈ E Thật vậy, f E nên theo Định lý Riesz vỊ sù biĨu diƠn phiÕm hµm tun tÝnh liên tục không gian Hilbert, tồn a E cho f (y) = y, a víi mäi y =∈ E Do ®ã (u ◦ A)(x) = u(Ax) Ax, a = x, Aa , ∀x ∈ E Suy (u ◦ A)(x) = | x, Aa | liªn tơc vµ u ◦ A Aa Aa x với x E Bất đẳng thức chứng tá u ◦ A C¸ch 2: Víi chn sinh bëi tích vô h-ớng, E không gian Banach Để chøng minh to¸n tư tun tÝnh A : E → E liên tục, áp dụng Định lý đồ thị đóng, ta cần chứng minh A có đồ thị đóng Thật vậy, giả sử {xn }nN dãy phần tử bÊt kú cña E cho (xn , Axn ) (x, y) E ì E, xn x, Axn y Lại hàm E ì E (x, y) x, y hàm liên tục nªn ta cã (∀u ∈ E) lim Axn , u = y, u n 127 (1) Kết hợp với giả thiÕt ta suy ra: (∀u ∈ E) lim Axn , u = lim xn , Au = x, Au = Ax, u n→∞ n→∞ (2) Tõ (1) vµ (2), tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n C ta suy ra: (∀u ∈ E) Ax, u = y, u ⇔ (∀u ∈ E) Ax − y, u = (3) Tõ (3) ta suy Ax − y = Ax = y, chứng tỏ A có đồ thị đóng Bài 11 T-ơng tự nh- Bài 10, ta chứng minh A có đồ thị đóng Thật vậy, giả sử {xn }nN dãy phần tử E cho (xn , Axn ) → (x, y) E ì E, xn x, Axn y Khi đó, tính liên tục tích v« h-íng ta suy ra: (∀u ∈ E) lim Axn , u = y, u n→∞ (4) Tõ gi¶ thiÕt tính liên tục phiếm hàm x Ax, u , (∀u ∈ E), ta suy (∀u ∈ E) lim Axn , u = Ax, u n→∞ (5) Tõ (4) vµ (5), tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n C ta suy ra: (∀u ∈ E) Ax, u = y, u ⇔ (∀u ∈ E) Ax − y, u = (6) Tõ (6) ta suy Ax − y = hay Ax = y, chøng tỏ A có đồ thị đóng Bài 12 Do L không gian đóng E nên E = L L Khi đó, phần tử x E biểu diễn đ-ợc d-ới dạng x = u + v víi u ∈ L, v L Ngoài ra, theo chứng minh Định lý 2.9, Ch-ơng tồn phép chiếu trực giao ta cã: v = x − u = dist(x, L) x − y víi mäi y ∈ L (∗) Do x L u = x = v Kết hợp với bất đẳng thức () ta suy ra: x Bài 13 Theo gi¶ thiÕt |λn | x − y víi mäi y ∈ L M = sup |λn | < +∞ víi n N nên theo bất đẳng thức Bessel n∈N∗ ta cã: ∞ ∞ |λn x, en | M n=1 | x, en |2 M x 2, (∀x ∈ E) n=1 ∞ Suy Ax |λn |2 | x, en |2 = Ax, Ax = M x 2, (∀x ∈ E) Chøng tá A liên tục n=1 A M = sup |n | Hơn nữa, đ-ợc A = M nN Bài 14 Với n N xét ánh xạ An : E E xác định n An x := λk x, ek ek , k=1 128 x ∈ E Do dim R(An ) < +∞ nên An toán tử hữu hạn chiều, An toán tử compact Mặt khác, với > tån t¹i n0 cho |λn | < ε víi mäi n n0 vµ víi n n0 ta cã: ∞ A − An = sup Ax − An x = sup x x λk x, ek ek < k=n+1 Chứng tỏ A giới hạn L(E) dãy toán tử compact nên theo Định lý 2.4 Ch-ơng 3, A toán tử compact Bài 15 Giả sử p : E L toán tö compact Do p L = idL : L → L toán tử compact nên dim L < + Ng-ợc lại, dim L < + p : E L toán tử hữu hạn chiều nên p toán tử compact Bài 16 Với n xét ánh xạ An : E F xác định bëi n An x = x, ek Aek (1) k=1 Dễ thấy An toán tử tuyến tính theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, với x E ta cã n An x n n | x, ek | Aek x ek | Aek = k=1 k=1 Aek x k=1 n nên An liên tục An Aek k=1 Nhờ định nghĩa (1) ta có Im An không gian không gian sinh bëi hƯ {Ae1; ; Aen} nªn dim An < +, nghĩa An toán tử hữu hạn chiều toán tử compact Hơn nữa, {en }nN sở trực chuẩn E nên với x E ta cã x = x, en en nªn n=1 ∞ x, en Aen Tõ ®ã ta cã, víi mäi n ∈ N∗ vµ víi mäi x ∈ E ta cã: Ax = n=1 ∞ ∞ (A − An )x = x, ek Aek | x, ek | Aek k=n+1 k=n+1 ∞ ∞ | x, ek |2 k=n+1 Aek k=n+1 ∞ ∞ Aek ∞ | x, ek k=n+1 |2 = Aek k=1 x k=n+1 Suy ∞ An − A Aek víi mäi n ∈ N∗ k=n+1 ∞ ∞ Aen Cho n → ∞, theo giả thiết chuỗi hội tụ nên lim n k=n+1 n=1 Aek = 0, suy lim An − n A = chứng tỏ A giới hạn dãy toán tử compact L(E; F) nên A toán tử compact 129 Bài 17 Điều kiện cần Nếu M tập compact t-ơng đối M tập bị chặn Đặt sn (x) = n x, ek ek {sn }nN L(E; E) lim sn (x) = idE (x), x ∈ E Theo hƯ qu¶ 1.6 ch-¬ng 2, n→∞ k=1 d·y {sn }n∈N∗ héi tơ M đến idE n Điều kiện đủ Víi ε > cho tr-íc, tån t¹i n0 cho n > n0 víi mäi x ∈ M : x x, ek ek < k=1 Cố định n1 > n0 vµ xÐt L = span{e1; ; en1 } Gi¶ sư f : E → L ánh xạ cho n1 f (x) = x, ek ek Dễ thấy f ánh xạ tuyến tính liên tục Do f (M) tập bị chặn L k=1 Vì dim L < + nên f (M) hoàn toàn bị chặn L tồn x1, , xp ∈ M cho ε víi x ∈ M : x − f (xi0 ) < víi mét xi0 đó, i0 p Khi đó, x M th× n1 x− x − xi n1 x, ek ek + k=1 k=1 n1 xi0 , ek ek − xi0 < + n1 x, ek ek − k=1 xi0 , ek ek k=1 ε ε ε + + = ε 3 Nh- vËy M lµ tập hoàn toàn bị chặn E tập compact t-ơng đối E Bài 18 Gọi B hình cầu đóng đơn vị E Ta cần chứng minh {An }nN hội tụ B đến A Từ giả thiết ta có A(B) tập compact t-ơng đối E nên áp dụng kết 17 ta thu đ-ợc kết cần chứng minh Bài 19 Tr-ớc hết ta nhắc lại khái niệm hội tụ yếu: Dãy {xn }nN không gian Hilbert E đ-ợc gọi hội tụ yếu đến phần tử x0 E lim x, xn = x, x0 víi mäi x ∈ E KÝ hiệu nvc x0 xn Bây giờ, giả sử dãy {en }nN hệ trực chuẩn không gian Hilbert E, theo bất đẳng thức Bessel ta có: | x, en |2 x víi mäi x ∈ E n=1 ∞ | x, en |2 héi tơ vµ có lim | x, en | = = x, víi mäi x ∈ E Chøng tỏ chuỗi n n=1 Chứng tỏ en en = nên en Bài 20 Ta cã | xn , yn − x, y | | xn , yn − x, yn | + | x, yn − x, y | = | xn − x, yn | + | x, yn − x, y | xn − x yn + | x, yn x, y | Do yn y nên theo Định lý Banach - Steinhaux ta cã sup yn < +∞ Lại theo giả thiết n xn x nên từ đánh giá ta có | xn , yn − x, y | → n → ∞ Chøng tá lim xn , yn = x, y n 130 Tr-ờng hợp xn x yn y không suy đ-ợc xn , yn x, y ThËt vËy, nÕu {en }n∈N∗ lµ hƯ trực chuẩn E với n N cã thĨ chän xn = yn vµ x = y = Khi ®ã xn , yn = x, y = víi mäi n ∈ N∗ nªn xn , yn Bµi 21 Víi mäi n ∈ N∗ ta cã: xn − x Theo gi¶ thiÕt, xn 2 = xn − x, xn − x = xn x nªn lim xn , x = x, x = x − xn , x − x, xn + x n→∞ lim xn = x nªn lim xn n→∞ n→∞ (1) vµ lim x, xn = x, x = x 2, ®ång thêi n→∞ = x Tõ đó, chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (1) ta ®-ỵc lim xn − x = 0, chøng tá d·y {xn }nN hội tụ mạnh đến x E n Bµi 22 Ta sÏ chøng minh Aen → b»ng phản chứng: Giả sử ng-ợc lại, Aen n Khi tồn > tån t¹i d·y {Aekn }n∈N∗ cđa d·y {Aen }n∈N∗ cho ε0 víi mäi n ∈ N∗ Aekn (1) Vì A L(E) toán tử compact dãy {ekn }nN bị chặn E nên dãy {Aekn }n∈N∗ cã Ýt nhÊt x0 vµ tõ (1) mét d·y {Aejkn }nN hội tụ đến phần tử x0 E Khi rõ ràng Aejkn ta có x0 Mặt khác theo tập 19 ta có: en 0, suy Aen Aejkn Do tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n u kh«ng gian Hilbert suy x0 = Nh- vËy ta gặp mâu thuẫn với khẳng định x0 > Chøng tá gi¶ thiÕt ph¶n chøng sai, vËy lim Aen = n→∞ Bµi 23 a) ⇒ b): HiĨn nhiên nhờ tính liên tục tích vô h-ớng b) c): Với n N , xét sn = n ∞ xn héi tơ u E nªn xk Theo giả thiết chuỗi n=1 k=1 với x ∈ E d·y sè { sn , x }n∈N∗ hội tụ nên bị chặn Suy dãy { sn , x }nN bị chặn điểm E Theo nguyên lý Banach-Steinhaux, dãy bị chặn theo chuẩn, nghĩa sn M víi mäi ∗ n ∈ N Tõ ®ã ta cã: n sn = n xk = k=1 xk M víi mäi n ∈ N k=1 xk Chứng tỏ chuỗi số héi tơ n=1 c) ⇒ a): Víi mäi n, p N , theo đẳng thức Pythagore ta có: n+p sn+p − sn n+p = xk = k=n+1 xk k=n+1 xn Theo giả thiết c) chuỗi sè héi tơ nªn víi mäi p ∈ N∗ ta cã n=1 n+p xk lim n→∞ = k=n+1 ∞ Suy lim sn+p − sn = dãy tổng riêng {sn }nN chuỗi n→∞ ∞ xn héi tơ E kh«ng gian Hilbert E nên hội tụ Theo định nghĩa chuỗi n=1 131 xn lµ d·y Cauchy n=1 Bµi 24 DƠ thÊy A toán tử tuyến tính Với x L2 [0; 1], áp dụng bất đẳng thức CauchyBunhiakovski ta có: 1 2 x(s)ds x(s) 2ds = x |x(s)|ds 0 suy ra, víi mäi x ∈ L2 [0; 1] ta cã: 1 t 1 (Ax(t))2dt = Ax = x(s)ds dt 0 x(s)ds 0 dt = x VËy A liên tục Gọi A toán tử liên hợp cuả A Khi ®ã Ax, y = x, A∗y , víi mäi x, y ∈ L2 [0; 1] Ta cã: Ax, y = t (Ax)(t)y(t)dt = x(s)ds y(t)dt 1 t = x(s)y(t)dsdt = x(s) y(t)dt ds 1 x, A∗y = x(t)(A∗y)(t)dt = s x(s)(A∗y)(s)ds Tõ ®ã ta cã: (A∗y)(s) = y(t)dt, y ∈ L2[0; 1], x ∈ [0; 1] s Bµi 25 Víi mäi t ∈ [0; 1] ta cã: 1 2 |(Ax)(t)| = tx(s)ds =t 2 x(s)ds t |x(s)|2ds = t2 x (1) Tõ ®ã, víi mäi x ∈ L2[0; 1] ta cã: 1 |(Ax)(t)| dt = 2 tx(s)ds dt x t2 dt = x chứng tỏ Ax L2 [0; 1] Mặt khác, dễ dàng kiểm tra thấy A toán tử tuyến tính từ (1) suy A liên tục Bây giờ, víi mäi x, y ∈ L2[0; 1] ta cã Ax, y = x; A∗y Do Ax, y = 1 (Ax)(t)y(t)dt = tx(s)ds y(t)dt = 0 x, A∗y = x(s)(A∗y)(s)ds 132 x(s) x(t)(A∗y)(t)dt = ty(t)dt ds suy (A∗ y)(s) = ty(t)dt víi mäi y ∈ L2 [0; 1], s ∈ [0; 1] Bµi 26 DƠ thấy A toán tử tuyến tính Ax = ( u v ) x víi mäi x ∈ E x, u v = | x, u | v nên A liên tục Bây ta tìm toán tử liên hợp A A Với x, y E ta cã: x, u v, y = x, u v, y = x, y, v u = x, A∗y Ax, y = suy A∗ x = x, v u, x ∈ E Bµi 27 Víi mäi x L2 [0; 1] nhờ đánh giá d-ới suy Ax ∈ L2[0; 1]: 1 |tx(t)|2dt |x(t)|2dt = x Dễ thấy A toán tử tuyến tính nhờ đánh giá suy A liên tục A x, y L2 [0; 1] ta cã: Ax, y = tx(t)y(t)dt, ⇒ Ax, y = x, Ay 1 x, Ay = x(t)ty(t)dt = tx(t)y(t)dt Víi Vậy A = A A toán tử tự liên hợp Với (0, 1) dễ dàng kiểm tra đ-ợc hàm x d-ới thuéc L2[0; 1] vµ xε = ε: √ xε (t) = ε víi t − ε víi − ε < t Suy Axε t2x2ε (t)dt = εt2 dt = ε2 (1 − ε)2 = xε (1 − ε)2 = 1−ε Nh- vËy, víi mäi ε ∈ (0; 1) ta có: A Cho ta đ-ợc A Ax xε (1 − ε) KÕt hỵp víi chøng minh ta có A = Tìm tập hợp phỉ σ(A) cđa A: Víi λ ∈ K ta thÊy / (A) với y L2 [0; 1] ph-ơng trình x Ax = y cã nghiÖm nhÊt x ∈ L2 [0; 1] Ph-ơng trình 133 y(t) λ−t chØ λ − t = víi mäi t [0; 1] Điều xảy chØ λ ∈ / [0; 1] Suy σ(A) = [0; 1] (λ − t)x(t) = y(t) h.k.n trªn [0; 1] víi ®é ®o Lebesgue, cã nghiƯm nhÊt x(t) = Tìm tập giá trị riêng A: Vì giá trị riêng giá trị phổ nên giá trị riêng A [0; 1] tồn x L2 [0; 1], x = cho (λ − t)x(t) = h.k.n [0; 1] Điều xảy víi x = h.k.n trªn [0; 1] VËy tập giá trị riêng A tập trống Bài 28 Với A L(A) ta có: sup A Ax x A2 = sup A2 x = sup A(Ax) x x = A sup Ax = A A = A x Ng-ợc lại, với mäi x ∈ E, x Ax ⇒ A2 A ta cã: = Ax, Ax = x, A∗Ax = x, A2x x A2x A2 x A2 Suy A 2 = sup Ax x = sup Ax sup Ax = sup Ax x x x A2 VËy ta cã A2 = A Bµi 29 NÕu λ giá trị quy A A đẳng cấu nên tồn số C > cho (λ − A)−1(y) C y víi mäi y E Vì A đẳng cấu nên bất đẳng thức t-ơng đ-ơng với x C ( A)(x) với x E Đặt m = 1/C ta có điều cần chứng minh Ng-ợc lại, ®Ỉt Aλ = λ − A, tõ ®iỊu kiƯn ®· cho suy A đơn cấu Do A = A nên R(A) = R(A ), R(A) = E Vậy với u E tồn nhÊt mét d·y {xn }n∈N∗ ⊂ E cho lim Aλxn = u Víi n, p ∈ N∗ ta cã: n→∞ Aλxn+p − Aλxn = Aλ(xn+p − xn ) m xn+p − xn → Suy tån t¹i giíi hạn lim xn = x E A liªn tơc suy Aλ x = u Nh- vËy A : E E n song ánh tuyến tính liên tục đẳng cấu, nghĩa giá trị quy A Bài 30 Giả sủ F không gian đóng E vµ p : E → F lµ phÕp chiÕu trực giao từ E lên F Khi đó, với x ∈ E nÕu y = p(x) th× y = x − z, víi z ⊥ F Do ®ã p(x), x = y, y + z = y, y + z, y = y, y Theo định nghĩa, p toán tử d-ơng Bài 31 Giả sử A toán tử d-ơng giá trị riêng khác không E, tồn x E, x = cho Ax = λx Do Ax, x = λ x, x suy λ > Ng-ợc lại, A toán tử compact nên tập phổ, tập giá trị riêng A, đếm đ-ợc Gọi {n } dãy tất giá trị riêng khác không A Khi đó, tồn hệ trực chuẩn {en } E cho vector en vector riêng t-ơng ứng với giá trị riêng n n | x, en |2 λn x, en en suy Ax, x = Ax = n n 134 chøng tỏ A toán tử d-ơng Eddition September, 2016 135 Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính Giải tích hàm NXBĐH& THCN, Hà nội 1978 [2] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm (Tập 1), NXBGD, Hà nội 2001 [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm (Tập 2), NXBGD, Hà nội 2002 [4] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc Không gian tôpô - Độ đo lý thuyết tích phân Tr-ờng đại học s- phạm - Đại học Quốc gia Hà nội, 1996 [5] Hoàng Tụy Giải tích đại NXBGD, Hà nội 1979 [6] Nguyễn Xuân Liêm Giải tích hàm NXBGD, Hà nội 1998 [7] Nguyễn Xuân Liêm Bài tập Giải tích hàm NXBGD, Hà nội 1998 [8] Phạm Minh Thông Không gian tôpô - Độ đo- Tích phân NXB Giáo dục Hà nội, 2006 136 ... 71 4 37 Ba nguyên lý giải tích hàm Định lý Riesz đặc tr-ng không gian định chuẩn hữu hạn chiều Không gian Hilbert toán tử không gian Hilbert 74 Tích vô h-ớng không gian Hilbert... Lebesgue - đại số L tập đo đ-ợc Lebesgue Rk Với p 1, ký hiệu Lp (X) tập tất hàm khả tích Lebesgue 16 bậc p X (tất hàm hầu khắp nơi X đ-ợc xem lµ mét): |f |p dµ < +∞} Lp (X) = {f : X R đo đ-ợc... x X k=1 Khi {hn } dãy hàm đo đ-ợc hội tụ h.k.n đến ∞ p |hn (x)| |fk (x)| + f (x)| 2p g p (x), h.k.n k=1 Vì g p khả tích nên theo Định lý Lebesgue qua giới hạn d-ới dấu tích phân ta đ-ợc lim |hn