Các bài toán nội suy

Các bài toán vềkhai triển, đồng nhất thức, ước lượng và tính giá trị cực trị của các tổng, tíchcũng như các bài toán xác định giới hạn của một biểu thức cho trước thường cómối quan hệ ít

Mục lục

Lời nói đầu 3

Chương 1 Một số dạng khai triển và đồng nhất thức 7 1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm số 7

1.2 Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác 14

1.3 Một số đẳng thức trong biến đổi dãy số 31

1.4 Tính toán trên tập số nguyên và đa thức nguyên 56

Chương 2 Các bài toán nội suy cổ điển 79 2.1 Khai triển và nội suy Taylor 80

2.2 Bài toán nội suy Lagrange 98

2.3 Nội suy Newton và khai triển Taylor - Gontcharov 106

2.4 Bài toán nội suy Hermite 108

2.5 Bài toán nội suy Lagrange - Newton 118

2.6 Bài toán nội suy Newton - Hermite 120

Chương 3 Nội suy theo yếu tố hình học và biểu diễn hàm 124 3.1 Nội suy theo các nút là điểm dừng của đồ thị 124

3.2 Hàm số chuyển đổi các tam giác 127

3.3 Biểu diễn đa thức theo hệ nghiệm của các nguyên hàm 138

3.4 Dạng nội suy và tính chất hàm lồi, lõm bậc cao 145

3.5 Biểu diễn một số lớp hàm số 161

Chương 4 Nội suy bất đẳng thức 172 4.1 Nội suy bất đẳng thức bậc hai trên một đoạn 172

4.2 Tam thức bậc tuỳ ý và hàm phân thức chính quy 181

4.3 Chuyển đổi và điều chỉnh các bộ số theo thứ tự dần đều 186

4.4 Một số mở rộng của định lý Jensen 194

4.5 Nội suy bất đẳng thức trong lớp hàm đơn điệu 204

1

Mục lục 2

Chương 5 Một số ứng dụng nội suy trong xấp xỉ hàm số 227

5.1 Tính chất cơ bản của đa thức lượng giác 227

5.2 Đa thức Chebyshev 232

5.3 Ước lượng đa thức 235

5.4 Xấp xỉ hàm số theo đa thức nội suy 246

5.5 Một số bài toán về đa thức nhận giá trị nguyên 251

Chương 6 Bài toán nội suy cổ điển tổng quát 263 6.1 Bài toán nội suy cổ điển tổng quát 263

6.2 Bài toán nội suy Taylor mở rộng 271

6.3 Bài toán nội suy Lagrange mở rộng 274

6.4 Bài toán nội suy Newton mở rộng 276

6.5 Bài toán nội suy Hermite mở rộng 278

Chương 7 Các bài toán nội suy trong dãy số 281 7.1 Không gian và đại số các dãy số 281

7.2 Đạo hàm của dãy số 285

7.3 Phép tính sai phân và các tính chất cơ bản 286

7.4 Nội suy trong dãy số 289

Tài liệu tham khảo 303

Lời nói đầu

Các bài toán nội suy và những vấn đề liên quan đến nó là một phần quantrọng của đại số và giải tích toán học Các học sinh và sinh viên thường phảiđối mặt với nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề này Các bài toánnội suy có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng đểnghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liêntục cũng như các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lýthuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,

Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực

và quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bàitoán liên quan đến nội suy (thường mới chỉ dừng lại ở nội suy Lagrange và khaitriển Taylor) rất hay được đề cập và thường thuộc loại rất khó Các bài toán vềkhai triển, đồng nhất thức, ước lượng và tính giá trị cực trị của các tổng, tíchcũng như các bài toán xác định giới hạn của một biểu thức cho trước thường cómối quan hệ ít nhiều đến các bài toán nội suy tương ứng

Các bài toán nội suy và đặc biệt các bài tập về ứng dụng công thức nội suychúng thường ít được đề cập ở các giáo trình cơ bản và sách tham khảo về đại số

và giải tích toán học Các bài toán nội suy là một chuyên đề chọn lọc cần thiếtcho giáo viên và học sinh Hệ Chuyên Toán bậc trung học phổ thông và năm đầubậc đại học và cũng là chuyên đề cần nâng cao cho bậc sau đại học

Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về

chuyên đề các bài toán nội suy và ứng dụng, chúng tôi viết cuốn sách nhỏ này

nhằm cung cấp một tài liệu cơ bản về các vấn đề liên quan đến nội suy và một

số vấn đề ứng dụng liên quan Đồng thời cũng cho phân loại một số dạng toán

về nội suy bất đẳng thức theo nhận dạng cũng như thuật toán giải

Trong tính toán, nhiều khi ta cần phải xác định giá trị của hàm số y = f (x) tại điểm x ∈ R tuỳ ý cho trước, trong khi đó chỉ cho biết một số giá trị của hàm

số và của đạo hàm của nó đến cấp nào đó của nó tại một số điểm x ki ∈R chotrước, tức là ta mới chỉ biết các dữ liệu

trong đó x ki , a ki∈R cho trước và k, i, s k∈N

3

Mục lục 4

Đối với một số trường hợp khác thì biểu thức của f (x) tuy đã biết nhưng

thường được cho dưới dạng biểu thức phức tạp, và do đó việc thực hiện các phép

tính trên biểu thức của f (x) cũng gặp rất nhiều khó khăn Đối với những trường hợp như vậy, người ta tìm cách xây dựng một hàm số P (x) đơn giản hơn, thường

là các đa thức, và thỏa mãn điều kiện (1), tức là:

P (sk )(x ki ) = a ki , trong đó x ki , a ki∈R cho trước và k, i, s k∈N

Ngoài ra, tại những giá trị x ∈ R mà x không trùng với x ki thì P (x) ≈ f (x) (xấp

xỉ theo một độ chính xác nào đó)

Hàm số P (x) được xây dựng theo cách như vậy được gọi là hàm nội suy của

f (x), các điểm x ki thường được gọi là các mốc nội suy và bài toán xây dựng hàm

P (x) như vậy được gọi là bài toán nội suy.

Sử dụng hàm nội suy P (x), ta dễ dàng tính được giá trị tương đối chính xác của hàm số f (x) tại x ∈ R tuỳ ý cho trước Từ đó có thể tính gần đúng giá trị

đạo hàm và tích phân của nó trên R Vì các đa thức đại số là hàm số đơn giản

nhất, nên trước tiên ta nghĩ đến việc xây dựng P (x) ở dạng đa thức đại số.

Các bài toán nội suy cổ điển ra đời rất sớm, khởi đầu là các công trình toánhọc của Lagrange, Newton, Hermite, Tuy nhiên, việc xây dựng bài toán nội suytổng quát và các thuật toán tìm nghiệm của nó cũng như việc xây dựng lý thuyếtnội suy nói chung cho đến nay vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục nghiên cứu

và phát triển theo các hướng khác nhau

Lý thuyết các bài toán nội suy cổ điển và một số vấn đề liên quan đến các đặctrưng hàm như tính đơn điệu, tính lồi, lõm, tính tuần hoàn, là những mảngkiến thức quan trọng và thường là khó và rất khó trong chương trình toán giảitích

Mục tiêu của cuốn sách này là nhằm cung cấp cho bạn đọc một số kiến thức

về lý thuyết và phương pháp nội suy theo thang liên tục để từ các bất đẳng thứcmới nhận được cho ta khẳng định các tính chất hàm quan trọng như tính đơnđiệu, tính lồi, lõm, tính tuần hoàn, cung cấp một cách nhìn tổng quát hơn vềthứ tự bậc sắp được của thang (liên tục) các bất đẳng thức

Ngoài những chuyên đề cơ bản, cuốn sách còn trình bày ngắn gọn hệ thốngcác bài toán nội suy cơ bản trong chương trình giải tích toán học bậc cuối phổthông và năm thứ nhất bậc đại học Hy vọng rằng cuốn sách chuyên đề này sẽgiúp ích nhiều trong việc sáng tác hệ thống các bài tập mới phù hợp với trình độcủa từng đối tượng học sinh, giúp ích trong việc bồi dưỡng sinh viên và học sinhnăng khiếu toán học

Một phần kết quả trong cuốn sách này là đưa ra và khảo sát khái niệm độ gần đều cho một bộ số tuỳ ý và các định lý khái quát hoá kết quả của Jensen mà

một số tác giả mới thu nhận được gần đây nên không có trong các tài liệu chínhthống và sách tham khảo hiện hành

Mục lục 5

Có thể nói các bài toán nội suy cổ điển đóng một vai trò rất quan trọng trongviệc thiết lập các đa thức thỏa mãn hệ các điều kiện ràng buộc đặc biệt Việcnghiên cứu các bài toán nội suy là nhằm để giải các bài toán về ước lượng hàm sốtrên một tập nào đó Tuy nhiên, ở các trường trung học phổ thông thì lý thuyếtcác bài toán nội suy còn rất mới mẻ và bỡ ngỡ ngay cả đối với giáo viên giảngdạy môn toán học Chính vì vậy, và cũng để đáp ứng cho nhu cầu giảng dạy vàhọc tập, chúng tôi viết cuốn tài liệu nhỏ này Đây là chuyên đề có ý nghĩa thựctiễn trong công việc giảng dạy, nó cho ta sự nhìn nhận nhất quán về các bài toánnội suy cũng như các bài toán giá trị ban đầu và giá trị biên tương ứng của giảitích một biến

Cuốn sách gồm phần mở đầu và 6 chương

Chương 1 Một số dạng khai triển và đồng nhất thức đa thức

Chương 2 Các bài toán nội suy cổ điển

Chương 3 Nội suy theo yếu tố hình học và biểu diễn hàm số

Chương 4 Nội suy bất đẳng thức

Chương 5 Một số ứng dụng nội suy trong xấp xỉ hàm số

Chương 6 Bài toán nội suy cổ điển tổng quát

Đây là bài giảng mà các tác giả đã giảng dạy cho học sinh và sinh viên cácđội tuyển thi Olympic toán quốc gia và quốc tế và là tài liệu nghiệp vụ cho cácđồng nghiệp, các nghiên cứu sinh và học viên cao học quan tâm đến lý thuyếtcác bài toán nội suy trong giải tích

Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa vào xét một số vấn đề liên quan đến hệ thốngứng dụng các bài toán nội suy như là một cách tiếp cận của phương pháp nhằmgiúp độc giả hiểu sâu hơn cơ sở và cấu trúc của lý thuyết các bài toán nội suy.Một số dạng ví dụ và bài tập được chọn lọc là các đề ra của các kỳ thi họcsinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tế Một số các bài toán minh hoạ khác đượctrích từ các tạp chí Kvant, Mathematica, Crux, các sách giáo khoa và sách giáotrình cơ bản về giải tích, các đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế cũng nhưmột số đề thi Olympic sinh viên trong những năm gần đây

Trong cuốn sách này, có trình bày một số kết quả mới chưa có trong các sáchhiện hành, chủ yếu trích từ kết quả của tác giả và đồng nghiệp tại các seminarkhoa học liên trường tại Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội và một số báocáo khoa học đăng trong Kỷ yếu Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề Toán chọnlọc của Hệ THPT Chuyên" (xem [1]-[16]), nên đòi hỏi độc giả cũng phải tốn khánhiều thời gian tìm hiểu thì mới lĩnh hội được đầy đủ ý tứ và cách thức tiếp cậncủa phương pháp Tuy nhiên, bạn đọc cũng có thể bỏ qua các đề mục mới để tậptrung đọc các phần có nội dung quen thuộc trước rồi sau đó hãy quay lại phầnkiến thức nâng cao

Mục lục 6

Cuốn sách thuộc Tủ sách chuyên toán dành cho học sinh khá giỏi môn Toán

bậc trung học phổ thông, sinh viên và học viên cao học, các thầy giáo và cô giáotham gia chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, PGS

TS Trần Huy Hổ, TS Trần Hữu Nam đã đọc bản thảo và cho nhiều ý kiến đónggóp quý báu cho cuốn sách được hoàn chỉnh Tác giả sẽ vô cùng biết ơn các bạnđọc có ý kiến đóng góp về nội dung cũng như cách thức trình bày của cuốn sách.Mọi góp ý gửi về địa chỉ : Nhà xuất bản Giáo dục, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội

Hà Nội, 01 tháng 01 năm 2007

Nguyễn Văn Mậu

Chương 1

Một số dạng khai triển và đồng nhất thức

Trong chương trình Toán bậc phổ thông hiện hành, các bài toán về tính giátrị của một biểu thức, chứng minh các đồng nhất thức và bất đẳng thức chiếmmột thời lượng rất lớn Các bài toán về tính giá trị của một biểu thức bao giờcũng gắn liền với kỹ năng vận dụng các hệ thức hoặc công thức biến đổi quenbiết Đối với bạn đọc đã làm quen với việc khảo sát các tính chất của hàm sốthì thường liên tưởng các dạng toán này với các đồng nhất thức quen biết dạnghằng đẳng thức đáng nhớ, dạng đồng nhất thức Lagrange, hoặc các dạng khaitriển hàm số quen biết như khai triển Taylor, khai triển Abel,

1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm số

Ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất giải tích cơ bản của hàm số

Giả sử D ⊂ R là tập hợp các số và giả sử ứng với mỗi số x ∈ D, theo một quy luật hoàn toàn xác định nào đó, đặt tương ứng một số duy nhất y thì người

ta nói rằng trên D đã cho một hàm (ánh xạ đơn trị) và ký hiệu là

y = f (x), x ∈ D hay x → f (x), x ∈ D.

Định nghĩa 1.1 Đại lượng biến thiên x được gọi là đối số hay biến độc lập và

tập hợp D (x ∈ D) tương ứng được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số y = f (x) Đại lượng biến thiên y thường được gọi là hàm số hay đại lượng phụ thuộc và tập hợp D∗ tương ứng (y ∈ D∗) được gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số dã cho.

Khi muốn mô tả hàm số như một quy luật nào đó thì người ta thường dùng

ký hiệu f (g, h, ), còn ký hiệu f (x) dùng để chỉ đại lượng y mà theo quy luật

7

1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm số 8

f nó là sự tương ứng với giá trị x ∈ D Về sau, nếu cho hàm số y = f (x) thì

ta sử dụng ký hiệu Df là miền xác định của f và E f là miền giá trị của f Đôi khi ta cũng viết E f = f (D f ) và nói rằng f ánh xạ D f lên E f; còn nếu ảnh

E f = f (D f ) ⊂ D∗, D∗ ⊂R thì f ánh xạ D f vào D∗

Hàm f và g được gọi là đồng nhất (bằng nhau) nếu D f = Dg và đẳng thức

f (x) = g(x) thoả mãn với mọi giá trị của đối số x ∈ D f

Từ khả năng thực hiện được các phép tính số học và đại số khác nhau trên

R cho phép ta mở rộng được các phép tính đối với các hàm số để thu được cáchàm mới từ các hàm đã cho

Ví dụ 1.1 Tổng hai hàm f và g được hiểu là hàm được ký hiệu là f + g xác

định bởi các điều kiện sau đây

(i) Df +g = Df ∩ Dg ;

(ii) (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x ∈ D f +g

Cũng theo cách tương tự, ta định nghĩa tích αf với α = const , tích (số học)

f g, và thương f /g của hàm f và g được hiểu là hàm xác định bởi các điều kiện:

(iii) Df /g= Df ∩

x ∈ D g : g(x) 6= 0

,(iv) f

Ví dụ 1.2 Hàm g ◦ f (đọc là: g hợp với f ) xác định bởi công thức (g ◦ f )(x) =

g(f (x)) ứng với mọi x để biểu thức ở vế phải có nghĩa, được gọi là hàm hợp của

Ta nêu một vài ví dụ cụ thể về một số hàm số đặc biệt

1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm số 9

Hàm này được xác định trên R và tập hợp (miền) giá trị của nó chỉ gồm hai

số 0 và 1.

Ví dụ 1.4 Xét hàm số y = [x] hay y = E(x), trong đó ký hiệu [x] là phần

nguyên của số x hay chính xác hơn là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ([x] 6 x < [x] + 1) Hàm này xác định trên R và tập hợp các giá trị của nó là Z (tập hợp các số nguyên).

Ví dụ 1.5 Xét hàm phần phân y = {x} (= x − [x]) Đó là phần phân của x.

Trong khoảng [n, n + 1) thì đồ thị của hàm y trong toạ độ vuông góc 0xy là đoạn thẳng lập với trục 0x góc 45◦.

Ví dụ 1.6 Hàm xác định dấu (dương hoặc âm) của một số

Hàm giảm thực sự (nghịch biến) và hàm giảm (giảm theo nghĩa rộng, không

tăng) được định nghĩa tương tự và f được gọi là hàm đơn điệu nếu nó thuộc một

trong bốn lọai hàm đã liệt kê ở trên

Ví dụ 1.7 Hàm y = sin x tăng trên đoạn

và sin x2 > sin x1.

1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm số 10

Ví dụ 1.8 Hàm y = [x] là hàm tăng theo nghĩa rộng.

Thật vậy, [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Do đó nếu x1 < x2thì [x1] < x2 và vì vậy [x1] 6 [x2], ở đây nếu m 6 x1 < x2 < m + 1 thì [x1] = [x2] = m ứng với m ∈ Z.

Định nghĩa 1.3 Hàm g được gọi là hàm ngược của hàm f nếu đồng thời xảy

ra các đồng nhất thức g ◦ f = eDf và f ◦ g = eDg, trong đó e(x) ≡ x.

Hàm ngược của f được ký hiệu là f−1

Điều kiện đầu có nghĩa rằng x ∈ D f ⇒ f (x) ∈ D g (vì E f ⊂ Dg) và

g(f (x)) = x (vì thế D f ⊂ E g) Điều kiện thứ hai cũng được giải thích theo ýnghĩa tương tự

Nhận xét rằng mọi hàm đơn điệu thực sự (đồng biến hoặc nghịch biến) đều

có hàm ngược vì các ánh xạ thực hiện bởi các hàm ấy đều là đơn trị một - một.Tuy nhiên, tính đơn điệu thực sự (đồng biến hoặc nghịch biến) chỉ là điềukiện đủ để tồn tại hàm ngược chứ không phải là điều kiện cần

Thật vậy, tồn tại những hàm không đơn điệu nhưng lại có hàm ngược, chẳnghạn như hàm 1

x xác định trên tập R \ {0} có hàm ngược là chính nó.

Thông thường, để chứng minh một hàm nào đó không có hàm ngược ta chỉ

cần chỉ ra rằng có hai số phân biệt x1, x2 sao cho f (x1) = f (x2)

Ví dụ 1.9 Hàm y = x2, x ∈ R không có hàm ngược vì với x1 = −3 ∈ R và

x2 = 3 ∈ R thì f (−3) = f (3) = 9 Nhưng nếu ta xét y = x2, x ∈ R+ thì nó có hàm ngược là y =√x.

Thật vậy, ứng với x1, x2∈R+, x1 6= x2, ta có y1 = x21, y2 = x22 Suy ra

y1− y2 = x21− x22= (x1− x2)(x1+ x2) 6= 0.

Về sau, ta thường sử dụng kết quả sau đây

Định lý 1.1 Hàm ngược của hàm tăng thực sự (đồng biến) cũng là hàm tăng

thực sự Tương tự, hàm ngược của hàm giảm thực sự (nghịch biến) cũng là hàm giảm thực sự.

Chứng minh. Giả sử f là hàm tăng thực sự Ta cần chứng minh rằng nếu

y1, y2∈ Df−1 và y1 < y2 thì suy ra f−1(y1) < f−1(y2) Thật vậy, giả sử ngược lại,

f−1(y1) > f−1(y2) Do f đồng biến nên f (f−1(y1)) > f (f−1(y2)) hay y1 > y2,

1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm số 11

Định nghĩa 1.4 Hàm f với tập xác định D f , được gọi là bị chặn trên trên tập

Df nếu f (D f ) là tập hợp bị chặn trên, tức là

∃M : f (x) 6 M, ∀x ∈ D f Tương tự, f được gọi là bị chặn dưới trên tập D f nếu tập hợp f (D f ) bị chặn dưới, tức là ∃m : f (x) > m, ∀x ∈ D f

Khi f (x) đồng thời vừa bị chặn trên và bị chặn dưới trên tập D f thì ta nói

x2x+ 1

= x2|x|+ 1 6

1

2, ∀x ∈ R.

Nhận xét rằng, hàm f không bị chặn nếu với số M (M > 0) tuỳ ý, tồn tại

x ∈ D f sao cho |f (x)| > M Nói một cách ngắn gọn là hàm f không bị chặn nếu

nhận xét vừa nêu suy ra rằng hàm đã cho không bị chặn

Vậy là các hàm được xác định nhờ các phép tính số học thực hiện trên R(cộng, trừ, nhân, và chia) Trong số đó, các hàm dạng đơn giản nhất được đề cậptrong chương trình toán cơ bản là các hàm sau đây

Hàm luỹ thừa với số mũ nguyên f (x) = x n , n ∈ Z và hàm đa thức

f (x) = a0x n + a1x n−1 + · · · + a n

Hàm hữu tỷ f (x) = P (x)

Q(x) , trong đó P và Q là các đa thức.

Ta cũng xét các hàm luỹ thừa với số mũ α ∈ R bất kỳ và hàm mũ cùng với

hàm ngược của nó là hàm logarit Đối với các hàm lượng giác và hàm lượng giác

Định nghĩa 1.5 Số a được là điểm tụ của tập hợp A ⊂ R nếu mọi lân cận (mở)

của nó đều chứa ít nhất một điểm của A.

Ví dụ 1.12 0 là điểm tụ của tập n 1

n

o

.

Định nghĩa 1.6 Giả sử a là điểm tụ của tập hợp D Số A được gọi là giới hạn

của hàm f tại điểm a nếu đối với mọi lân cận tuỳ ý U (A) của điểm A đều tồn tại lân cận thủng ˙ Ω(a) của điểm a sao cho f ( ˙ Ω(a) ∩ D) ⊂ Λ(A).

x→a f (x) ⇔ ∀Λ(A) ∃ ˙ Ω(a) : x ∈ ˙ Ω(a) ∩ D ⇒ f (x) ∈ Λ(A).

Vì mỗi lân cận của một điểm đều chứa ít nhất một ε-lân cận nào đó của chính

điểm ấy, nên ta có thể phát biểu định nghĩa sau đây tương đương với định nghĩa1.6

∀ε > 0 ∃δ > 0 : x ∈ D, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − A| < ε. (1.3)

Ta sẽ chứng minh rằng định nghĩa 1.6 tương đương với định nghĩa 1.7

Giả sử A là giới hạn của hàm f theo định nghĩa 1.6 Ta cần chứng minh rằng

A cũng là giới hạn của hàm f theo định nghĩa 1.7.

Thật vậy, giả sử cho số ε > 0 Ta cần chỉ ra số δ > 0 đòi hỏi trong định nghĩa 1.7 Ta đặt Λ(A) = (A − ε, A + ε) và sử dụng định nghĩa 1.6.

∃ ˙Ω(a) : f (D ∩ ˙ Ω(a)) ⊂ Λ(A),

1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm số 13

tức là

∀x ∈ D ∩ ˙ Ω(a) ⇒ f (x) ∈ (A − ε, A + ε). (1.4)

Giả sử Ω(a) = (k, `) Vì a là điểm trong của (k, `) nên a − k > 0, ` − a > 0.

Ta lấy δ = min(a − k, ` − a) và cần chứng minh rằng đó chính là số cần tìm.

Rõ ràng là δ > 0 Ngoài ra, từ bất đẳng thức |x − a| < δ ta suy ra rằng

Thật vậy, giả sử cho trước một lân cận Λ(A) nào đó của điểm A Khi đó

∃ε > 0 sao cho ε-lân cận Λ(A, ε) ⊂ Λ(A).

Vì A là giới hạn của f theo định nghĩa 1.7, nên với số ε > 0 đã nêu ∃δ = δ(ε) sao cho khi x ∈ D ∩ ˙ Ω(a, δ) thì |f (x) − A| < ε Điều đó có nghĩa rằng

∀x ∈ D ∩ ˙ Ω(a, δ) ⇒ f (x) ∈ Λ(A, ε) ⊂ Λ(A) hay f (x) ∈ Λ(A) Nhưng x là điểm bất kỳ của ˙ Ω(a, δ) ∩ D nên

x + 1 →

1

2 khi x → 1.

1.2 Một số đồng nhất thức dạng đại số - lượng giác 14

Giả sử ε > 0 Ta cần chỉ ra một lân cận Ω của điểm 1 (tức là chỉ ra khoảng (a, b) mà a < 1 < b) sao cho

x ∈ ˙ Ω(1) ∩ D ⇒

x + 1 x − 1

2

... giác

Bài toán 1.1 Chứng minh phương trình

Giải Từ cơng thức cos2α = 1 + cos 2α

2 (với α π),ta suy ra

cosα... cộng với

công sai d = b1− b0 Từ suy điều phải chứng minh

Bài toán 1.20 Cho dãy số {a n } thoả mãn hệ thức

a2n... tồn tại

x ∈ D f cho |f (x)| > M Nói cách ngắn gọn hàm f không bị chặn nếu

nhận xét vừa nêu suy hàm cho không bị chặn

Vậy hàm xác định nhờ phép tính