Các bài toán nội suy

Mục lục Lời nói đầu Chương 1.1 1.2 1.3 1.4 Một số dạng khai triển đồng thức Một số tính chất hàm số Một số đồng thức dạng đại số - lượng giác Một số đẳng thức biến đổi dãy số Tính tốn tập số nguyên đa thức nguyên Chương 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Các toán nội suy cổ điển Khai triển nội suy Taylor Bài toán nội suy Lagrange Nội suy Newton khai triển Taylor - Gontcharov Bài toán nội suy Hermite Bài toán nội suy Lagrange - Newton Bài toán nội suy Newton - Hermite Chương 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Nội suy theo yếu tố hình học biểu diễn hàm Nội suy theo nút điểm dừng đồ thị Hàm số chuyển đổi tam giác Biểu diễn đa thức theo hệ nghiệm nguyên hàm Dạng nội suy tính chất hàm lồi, lõm bậc cao Biểu diễn số lớp hàm số Chương 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Nội suy bất đẳng thức Nội suy bất đẳng thức bậc hai đoạn Tam thức bậc tuỳ ý hàm phân thức quy Chuyển đổi điều chỉnh số theo thứ tự dần Một số mở rộng định lý Jensen Nội suy bất đẳng thức lớp hàm đơn điệu 14 31 56 79 80 98 106 108 118 120 124 124 127 138 145 161 172 172 181 186 194 204 Mục lục Chương 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Một số ứng dụng nội suy xấp xỉ hàm số Tính chất đa thức lượng giác Đa thức Chebyshev Ước lượng đa thức Xấp xỉ hàm số theo đa thức nội suy Một số toán đa thức nhận giá trị nguyên 227 227 232 235 246 251 Chương 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Bài toán nội suy cổ điển tổng Bài toán nội suy cổ điển tổng quát Bài toán nội suy Taylor mở rộng Bài toán nội suy Lagrange mở rộng Bài toán nội suy Newton mở rộng Bài toán nội suy Hermite mở rộng Chương 7.1 7.2 7.3 7.4 Tài Các toán nội suy dãy Không gian đại số dãy số Đạo hàm dãy số Phép tính sai phân tính chất Nội suy dãy số liệu tham khảo quát số 263 263 271 274 276 278 281 281 285 286 289 303 Lời nói đầu Các tốn nội suy vấn đề liên quan đến phần quan trọng đại số giải tích tốn học Các học sinh sinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng tốn loại khó liên quan đến chun đề Các tốn nội suy có vị trí đặc biệt tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò cơng cụ đắc lực mơ hình liên tục mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong hầu hết kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến nội suy (thường dừng lại nội suy Lagrange khai triển Taylor) hay đề cập thường thuộc loại khó Các tốn khai triển, đồng thức, ước lượng tính giá trị cực trị tổng, tích tốn xác định giới hạn biểu thức cho trước thường có mối quan hệ nhiều đến tốn nội suy tương ứng Các toán nội suy đặc biệt tập ứng dụng công thức nội suy chúng thường đề cập giáo trình sách tham khảo đại số giải tích tốn học Các tốn nội suy chuyên đề chọn lọc cần thiết cho giáo viên học sinh Hệ Chuyên Toán bậc trung học phổ thông năm đầu bậc đại học chuyên đề cần nâng cao cho bậc sau đại học Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tốn nội suy ứng dụng, chúng tơi viết sách nhỏ nhằm cung cấp tài liệu vấn đề liên quan đến nội suy số vấn đề ứng dụng liên quan Đồng thời cho phân loại số dạng toán nội suy bất đẳng thức theo nhận dạng thuật tốn giải Trong tính tốn, nhiều ta cần phải xác định giá trị hàm số y = f (x) điểm x ∈ R tuỳ ý cho trước, cho biết số giá trị hàm số đạo hàm đến cấp số điểm xki ∈ R cho trước, tức ta biết liệu f (sk ) (xki ) = aki , xki , aki ∈ R cho trước k, i, sk ∈ N (1) Mục lục Đối với số trường hợp khác biểu thức f (x) biết thường cho dạng biểu thức phức tạp, việc thực phép tính biểu thức f (x) gặp nhiều khó khăn Đối với trường hợp vậy, người ta tìm cách xây dựng hàm số P (x) đơn giản hơn, thường đa thức, thỏa mãn điều kiện (1), tức là: P (sk ) (xki ) = aki , xki , aki ∈ R cho trước k, i, sk ∈ N Ngoài ra, giá trị x ∈ R mà x không trùng với xki P (x) ≈ f (x) (xấp xỉ theo độ xác đó) Hàm số P (x) xây dựng theo cách gọi hàm nội suy f (x), điểm xki thường gọi mốc nội suy toán xây dựng hàm P (x) gọi toán nội suy Sử dụng hàm nội suy P (x), ta dễ dàng tính giá trị tương đối xác hàm số f (x) x ∈ R tuỳ ý cho trước Từ tính gần giá trị đạo hàm tích phân R Vì đa thức đại số hàm số đơn giản nhất, nên trước tiên ta nghĩ đến việc xây dựng P (x) dạng đa thức đại số Các toán nội suy cổ điển đời sớm, khởi đầu cơng trình toán học Lagrange, Newton, Hermite, Tuy nhiên, việc xây dựng toán nội suy tổng quát thuật tốn tìm nghiệm việc xây dựng lý thuyết nội suy nói chung nhiều nhà toán học tiếp tục nghiên cứu phát triển theo hướng khác Lý thuyết toán nội suy cổ điển số vấn đề liên quan đến đặc trưng hàm tính đơn điệu, tính lồi, lõm, tính tuần hồn, mảng kiến thức quan trọng thường khó khó chương trình tốn giải tích Mục tiêu sách nhằm cung cấp cho bạn đọc số kiến thức lý thuyết phương pháp nội suy theo thang liên tục để từ bất đẳng thức nhận cho ta khẳng định tính chất hàm quan trọng tính đơn điệu, tính lồi, lõm, tính tuần hồn, cung cấp cách nhìn tổng quát thứ tự bậc thang (liên tục) bất đẳng thức Ngồi chun đề bản, sách trình bày ngắn gọn hệ thống tốn nội suy chương trình giải tích tốn học bậc cuối phổ thông năm thứ bậc đại học Hy vọng sách chuyên đề giúp ích nhiều việc sáng tác hệ thống tập phù hợp với trình độ đối tượng học sinh, giúp ích việc bồi dưỡng sinh viên học sinh khiếu toán học Một phần kết sách đưa khảo sát khái niệm độ gần cho số tuỳ ý định lý khái quát hoá kết Jensen mà số tác giả thu nhận gần nên khơng có tài liệu thống sách tham khảo hành Mục lục Có thể nói tốn nội suy cổ điển đóng vai trò quan trọng việc thiết lập đa thức thỏa mãn hệ điều kiện ràng buộc đặc biệt Việc nghiên cứu toán nội suy nhằm để giải toán ước lượng hàm số tập Tuy nhiên, trường trung học phổ thơng lý thuyết tốn nội suy mẻ bỡ ngỡ giáo viên giảng dạy mơn tốn học Chính vậy, để đáp ứng cho nhu cầu giảng dạy học tập, viết tài liệu nhỏ Đây chuyên đề có ý nghĩa thực tiễn cơng việc giảng dạy, cho ta nhìn nhận qn tốn nội suy toán giá trị ban đầu giá trị biên tương ứng giải tích biến Cuốn sách gồm phần mở đầu chương Chương Một số dạng khai triển đồng thức đa thức Chương Các toán nội suy cổ điển Chương Nội suy theo yếu tố hình học biểu diễn hàm số Chương Nội suy bất đẳng thức Chương Một số ứng dụng nội suy xấp xỉ hàm số Chương Bài toán nội suy cổ điển tổng quát Đây giảng mà tác giả giảng dạy cho học sinh sinh viên đội tuyển thi Olympic toán quốc gia quốc tế tài liệu nghiệp vụ cho đồng nghiệp, nghiên cứu sinh học viên cao học quan tâm đến lý thuyết tốn nội suy giải tích Ngồi ra, chúng tơi đưa vào xét số vấn đề liên quan đến hệ thống ứng dụng toán nội suy cách tiếp cận phương pháp nhằm giúp độc giả hiểu sâu sở cấu trúc lý thuyết toán nội suy Một số dạng ví dụ tập chọn lọc đề kỳ thi học sinh giỏi quốc gia Olympic quốc tế Một số tốn minh hoạ khác trích từ tạp chí Kvant, Mathematica, Crux, sách giáo khoa sách giáo trình giải tích, đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế số đề thi Olympic sinh viên năm gần Trong sách này, có trình bày số kết chưa có sách hành, chủ yếu trích từ kết tác giả đồng nghiệp seminar khoa học liên trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội số báo cáo khoa học đăng Kỷ yếu Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề Toán chọn lọc Hệ THPT Chuyên" (xem [1]-[16]), nên đòi hỏi độc giả phải tốn nhiều thời gian tìm hiểu lĩnh hội đầy đủ ý tứ cách thức tiếp cận phương pháp Tuy nhiên, bạn đọc bỏ qua đề mục để tập trung đọc phần có nội dung quen thuộc trước sau quay lại phần kiến thức nâng cao Mục lục Cuốn sách thuộc Tủ sách chuyên toán dành cho học sinh giỏi mơn Tốn bậc trung học phổ thơng, sinh viên học viên cao học, thầy giáo cô giáo tham gia chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, PGS TS Trần Huy Hổ, TS Trần Hữu Nam đọc thảo cho nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho sách hồn chỉnh Tác giả vơ biết ơn bạn đọc có ý kiến đóng góp nội dung cách thức trình bày sách Mọi góp ý gửi địa : Nhà xuất Giáo dục, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội Hà Nội, 01 tháng 01 năm 2007 Nguyễn Văn Mậu Chương Một số dạng khai triển đồng thức Trong chương trình Tốn bậc phổ thơng hành, tốn tính giá trị biểu thức, chứng minh đồng thức bất đẳng thức chiếm thời lượng lớn Các toán tính giá trị biểu thức gắn liền với kỹ vận dụng hệ thức công thức biến đổi quen biết Đối với bạn đọc làm quen với việc khảo sát tính chất hàm số thường liên tưởng dạng toán với đồng thức quen biết dạng đẳng thức đáng nhớ, dạng đồng thức Lagrange, dạng khai triển hàm số quen biết khai triển Taylor, khai triển Abel, 1.1 Một số tính chất hàm số Ta nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích hàm số Giả sử D ⊂ R tập hợp số giả sử ứng với số x ∈ D, theo quy luật hoàn tồn xác định đó, đặt tương ứng số y người ta nói D cho hàm (ánh xạ đơn trị) ký hiệu y = f (x), x ∈ D hay x → f (x), x ∈ D Định nghĩa 1.1 Đại lượng biến thiên x gọi đối số hay biến độc lập tập hợp D (x ∈ D) tương ứng gọi tập xác định hay miền xác định hàm số y = f (x) Đại lượng biến thiên y thường gọi hàm số hay đại lượng phụ thuộc tập hợp D∗ tương ứng (y ∈ D∗ ) gọi tập giá trị hay miền giá trị hàm số dã cho Khi muốn mô tả hàm số quy luật người ta thường dùng ký hiệu f (g, h, ), ký hiệu f (x) dùng để đại lượng y mà theo quy luật 1.1 Một số tính chất hàm số f tương ứng với giá trị x ∈ D Về sau, cho hàm số y = f (x) ta sử dụng ký hiệu Df miền xác định f Ef miền giá trị f Đôi ta viết Ef = f (Df ) nói f ánh xạ Df lên Ef ; ảnh Ef = f (Df ) ⊂ D∗ , D∗ ⊂ R f ánh xạ Df vào D∗ Hàm f g gọi đồng (bằng nhau) Df = Dg đẳng thức f (x) = g(x) thoả mãn với giá trị đối số x ∈ Df Từ khả thực phép tính số học đại số khác R cho phép ta mở rộng phép tính hàm số để thu hàm từ hàm cho Ví dụ 1.1 Tổng hai hàm f g hiểu hàm ký hiệu f + g xác định điều kiện sau (i) Df +g = Df ∩ Dg ; (ii) (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x ∈ Df +g Cũng theo cách tương tự, ta định nghĩa tích αf với α = const , tích (số học) f g, thương f /g hàm f g hiểu hàm xác định điều kiện: (iii) Df /g = Df ∩ x ∈ Dg : g(x) = , f f (x) (iv) (x) = , ∀x ∈ Df /g g g(x) Ngồi phép tính số học đại số thực hàm người ta xét phép hợp hàm số Ví dụ 1.2 Hàm g ◦ f (đọc là: g hợp với f ) xác định công thức (g ◦ f )(x) = g(f (x)) ứng với x để biểu thức vế phải có nghĩa, gọi hàm hợp f g Biểu thức g(f (x)) có nghĩa x ∈ Df f (x) ∈ Dg Từ Dg◦f = x ∈ Df : f (x) ∈ Dg Dễ dàng chứng minh h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f Nhận xét 1.1 Nói chung, phép hợp hai hàm số khơng giao hốn, tức f ◦ g = g ◦ f Chẳng hạn, ta xét hàm f (x) = 2x g(x) = x + Khi (f ◦ g)(x) = f [g(x)] = 2g(x) = 2(x + 1) = 2x + 2, (g ◦ f )(x) = g[f (x)] = f (x) + = 2x + Ta nêu vài ví dụ cụ thể số hàm số đặc biệt Ví dụ 1.3 (Hàm Direchlet) Xét hàm số y = D(x) = x số vô tỷ, x số hữu tỷ 1.1 Một số tính chất hàm số Hàm xác định R tập hợp (miền) giá trị gồm hai số Ví dụ 1.4 Xét hàm số y = [x] hay y = E(x), ký hiệu [x] phần nguyên số x hay xác số nguyên lớn không vượt x ([x] x < [x] + 1) Hàm xác định R tập hợp giá trị Z (tập hợp số nguyên) Ví dụ 1.5 Xét hàm phần phân y = {x} (= x − [x]) Đó phần phân x Trong khoảng [n, n + 1) đồ thị hàm y toạ độ vng góc 0xy đoạn thẳng lập với trục 0x góc 45◦ Ví dụ 1.6 Hàm xác định dấu (dương âm) số   + x > 0, y = sign x = x = 0,   − x < (Thuật ngữ "sign" có nguồn gốc từ tiếng Latinh, signum - có nghĩa dấu) Hàm xác định R tập giá trị −1, Định nghĩa 1.2 f gọi hàm tăng thực (đồng biến) ∀x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) f gọi tăng (tăng theo nghĩa rộng, không giảm) ∀x1 , x2 ∈ Df , x1 < x2 ⇒ f (x1) f (x2 ) Hàm giảm thực (nghịch biến) hàm giảm (giảm theo nghĩa rộng, không tăng) định nghĩa tương tự f gọi hàm đơn điệu thuộc bốn lọai hàm liệt kê π π Ví dụ 1.7 Hàm y = sin x tăng đoạn − , Thật 2 π π ∀x1 , x2 ∈ − , , x1 < x2 , 2 ta có x + x2 x − x1 sin · (1.1) 2 π π π x + x2 π x − x1 π Vì − x , x2 , nên − < < < Do đó, 2 2 2 π π hai thừa số vế phải (1.1) dương đoạn − , sin x2 > sin x1 2 sin x2 − sin x1 = cos 1.1 Một số tính chất hàm số 10 Ví dụ 1.8 Hàm y = [x] hàm tăng theo nghĩa rộng Thật vậy, [x] số nguyên lớn không vượt x Do x1 < x2 [x1] < x2 [x1] [x2], m x1 < x2 < m + [x1 ] = [x2] = m ứng với m ∈ Z Định nghĩa 1.3 Hàm g gọi hàm ngược hàm f đồng thời xảy đồng thức g ◦ f = eDf f ◦ g = eDg , e(x) ≡ x Hàm ngược f ký hiệu f −1 Điều kiện đầu có nghĩa x ∈ Df ⇒ f (x) ∈ Dg (vì Ef ⊂ Dg ) g(f (x)) = x (vì Df ⊂ Eg ) Điều kiện thứ hai giải thích theo ý nghĩa tương tự Nhận xét hàm đơn điệu thực (đồng biến nghịch biến) có hàm ngược ánh xạ thực hàm đơn trị - Tuy nhiên, tính đơn điệu thực (đồng biến nghịch biến) điều kiện đủ để tồn hàm ngược điều kiện cần Thật vậy, tồn hàm khơng đơn điệu lại có hàm ngược, chẳng hạn hàm xác định tập R \ {0} có hàm ngược x Thơng thường, để chứng minh hàm khơng có hàm ngược ta cần có hai số phân biệt x1 , x2 cho f (x1 ) = f (x2 ) Ví dụ 1.9 Hàm y = x2 , x ∈ R khơng có hàm ngược với x1 = −3 ∈ R x2 = ∈ R f (−3) = f (3) = Nhưng ta xét y = x2 , x ∈ R+ có √ hàm ngược y = x Thật vậy, ứng với x1 , x2 ∈ R+ , x1 = x2, ta có y1 = x21 , y2 = x22 Suy y1 − y2 = x21 − x22 = (x1 − x2 )(x1 + x2 ) = Về sau, ta thường sử dụng kết sau Định lý 1.1 Hàm ngược hàm tăng thực (đồng biến) hàm tăng thực Tương tự, hàm ngược hàm giảm thực (nghịch biến) hàm giảm thực Chứng minh Giả sử f hàm tăng thực Ta cần chứng minh y1 , y2 ∈ Df −1 y1 < y2 suy f −1 (y1 ) < f −1 (y2) Thật vậy, giả sử ngược lại, f −1 (y1) f −1 (y2 ) Do f đồng biến nên f (f −1 (y1 )) f (f −1 (y2 )) hay y1 y2 , mâu thuẫn 289 7.4 Nội suy dãy số thoả mãn điều kiện Giả sử g(t0) ∈ Z g(t0 + 1) ∈ Z g(t0 + 1) − n−d g(t0) = 2a ∈ Z+ Chọn n tự nhiên để y = số vơ tỷ Khi a f (y) = a n−d + d = n ∈ Z, a f (y + 1) = f (y) + 2ay + a số vô tỷ, trái với giả thiết 7.4 Nội suy dãy số Trước hết, ta xét dãy số tuần hoàn số tính chất liên quan Tương tự hàm số thơng thường, ta coi dãy số {xn } hàm f (n) = xn xác định tập N nhận giá trị R Ta quan tâm đến hai loại dãy tuần hoàn tuần hồn cộng tính tuần hồn nhân tính Định nghĩa 7.4 Dãy số {un } gọi dãy tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho un+l = un , ∀n ∈ N (7.19) Số nguyên dương l nhỏ để dãy {un } thoả mãn (7.19) gọi chu kỳ sở dãy Trong thực hành, để chứng minh dãy cho tuần hồn, khơng thiết phải xác định chu kỳ sở Nhận xét 7.2 Dãy tuần hồn chu kỳ dãy dãy Tương tự, ta có định nghĩa dãy tuần hồn nhân tính Định nghĩa 7.5 Dãy số {un } gọi dãy tuần hồn nhân tính tồn số nguyên dương s (s > 1) cho usn = un , ∀n ∈ N (7.20) Số nguyên dương s nhỏ để dãy {un } thoả mãn (7.20) gọi chu kỳ sở dãy Bài toán 7.8 Chứng minh dãy {un } tuần hồn (cộng tính) chu kỳ dãy có dạng un = [α + β + (α − β)(−1)n+1], α, β ∈ R (7.21) 290 7.4 Nội suy dãy số Giải Giả sử u0 = α, u1 = β un+2 = un , ∀n ∈ N Khi ta thấy (bằng quy nạp tốn học) dãy {un } có dạng (7.21) Ngược lại, dãy xác định theo (7.21) dãy tuần hồn chu kỳ Bài tốn 7.9 Chứng minh dãy {un } tuần hồn nhân tính chu kỳ dãy có dạng un = tuỳ ý u2k+1 với n lẻ, với n = 2m (2k + 1), m ∈ N∗, k ∈ N Giải Chứng minh suy trực tiếp từ hệ thức truy hồi Bài toán 7.10 Chứng minh dãy {un } tuần hoàn chu kỳ dãy có dạng √ 2nπ 2nπ un = [α+β+γ+(−α−β+2γ)] cos + (α−β) sin , α, β, γ ∈ R (7.22) 3 Giải Giả sử u0 = α, u1 = β, u2 = γ un+3 = un , ∀n ∈ N Khi đó, ta thấy (bằng quy nạp tốn học) dãy {un } có dạng (7.22) Ngược lại, dãy xác định theo (7.22) dãy tuần hồn chu kỳ α, β, γ, α, β, γ, Bài toán 7.11 Cho k ∈ Q \ Z Chứng minh dãy số {un } xác định theo công thức u0 = 1, u1 = −1, un+1 = kun − un−1 , n ∈ N∗ không dãy tuần hồn Giải Khi |k| > |un+1 | |k||un| − |un−1 | > 2|un | − |un−1 | Nếu luôn xảy |un | < |un−1 | với n ∈ N∗ ta có điều phải chứng minh Nếu xảy |um | |um−1 | > suy |um | < |um+1 | < · · · dãy {un } khơng dãy số tuần hồn p Xét |k| với k = , (p, q) = 1, q ∈ Z∗ , p ∈ Z Bằng quy nạp theo n ta q thu pj uj = j−1 , pj ∈ Z, (pj , q) = 1, ∀j ∈ {1, , n} q 291 7.4 Nội suy dãy số Từ suy p pn+1 un+1 = un − un−1 = n , q q pn+1 = ppn − q 2pn−1 ∈ Z (pn+1 , q) = Do q tuần hoàn nên un = um n = m dãy {un } khơng dãy số Bài tốn 7.12 Xác định giá trị k ∈ Q để dãy số {un } xác định theo công thức u0 = 1, u1 = −1, un+1 = kun − un−1 , n ∈ N∗ dãy số tuần hoàn Giải Theo kết Bài toán 7.11, |k| > |k| 2, k = p với (p, q) = 1, q q ∈ Z∗ dãy {un } khơng dãy số tuần hồn Xét |k| k ∈ Z Với k = {un } cấp số cộng với công sai −2 nên hiển nhiên dãy {un } không dãy tuần hồn Với k = {un } dãy tuần hoàn chu kỳ : u2 = −2, u3 = −1, u4 = 1, u5 = 2, u6 = 1, u7 = −1, Với k = {un } dãy tuần hoàn chu kỳ : u0 = 1, u1 = −1, u2 = −1, u3 = 1, u4 = 1, u5 = −1, Với k = −1 {un } dãy tuần hồn chu kỳ : u0 = 1, u1 = −1, u2 = 0, u3 = 1, u4 = −1, Với k = −2 {un } dãy tuần hoàn chu kỳ : u0 = 1, u1 = −1, u2 = 1, u3 = −1, u4 = 1, Định nghĩa 7.6 a) Dãy số {un } gọi dãy phản tuần hoàn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho un+l = −un , ∀n ∈ N (7.23) Số nguyên dương l nhỏ để dãy {un } thoả mãn (7.23) gọi chu kỳ sở dãy 292 7.4 Nội suy dãy số b) Dãy số {vn } gọi dãy phản tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s (s > 1) cho vsn = −vn , ∀n ∈ N (7.24) Số nguyên dương s (s > 1) nhỏ để dãy {vn } thoả mãn (7.24) gọi chu kỳ sở dãy Nhận xét 7.3 a) Dãy phản tuần hoàn với chu kỳ l dãy tuần hoàn chu kỳ 2l b) Dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ s dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ 2s Bài tốn 7.13 Chứng minh dãy {un } phản tuần hồn chu kỳ r có dạng un = (vn − vn+r ) với vn+2r = (7.25) Giải Giả sử un+r = −un , ∀n ∈ N Khi đó, ta thấy dãy {un } tuần hoàn chu kỳ 2r un = (un − un+r ), tức có dạng (7.25) Ngược lại, kiểm tra trực tiếp, ta thấy dãy xác định theo (7.25) dãy phản tuần hoàn chu kỳ r Bài toán 7.14 Cho f (x) đa thức với deg f = k 1, f (x) ∈ Z ứng với x ∈ Z Ký hiệu r(k) = min{2s | s ∈ N∗, 2s > k} Chứng minh dãy số {(−1)f (k)} (k = 1, 2, ) dãy tuần hoàn với chu kỳ r(k) Giải Ta có k!f (x) ∈ Z[x] Biểu diễn f (x) dạng f (x) = a0 + a1 x x + · · · + ak , k x k = x(x − 1) · · · (x − k + 1) k! Ta cần chứng minh f (x + r(k)) − f (x) chia hết cho với x ∈ Z Nhận xét x + 2s x Mi = − i i 293 7.4 Nội suy dãy số chia hết cho với i ∈ N∗ , 2s Mi = i, x ∈ Z Thật vậy, ta có (2s + x)(2s + x − 1) (2s + x − i + 1) − x(x − 1) (x − i + 1) i! Tử số hiển nhiên chia hết cho 2s Mặt khác, số mũ khai triển i! ∞ ∞ i i < = i 2s , 2j 2j j=1 j=1 nên Mi chia hết cho với i ∈ N∗ , i Ti = chia hết cho với i ∈ Z, i 2s , x ∈ Z Từ suy x + r(k) x − i i k, ∀x ∈ Z Do aj ∈ Z nên k f (x + r(k)) − f (x) = aj Tj j=0 chia hết cho 2, điều phải chứng minh Bài toán 7.15 Xác định dãy số {un } thoả mãn điều kiện u2n+1 = 3un , ∀n ∈ N (7.26) Giải Đặt n + = m, m = 1, 2, Khi viết (7.26) dạng u2m−1 = 3um−1 , ∀m ∈ N∗ hay v2m = 3vm , ∀m ∈ N∗ (7.27) vm = um−1 , ∀m ∈ N∗ (7.28) với Từ (7.27) ta có v0 = Đặt vm = mlog2 ym , m ∈ N∗ Khi (7.27) có dạng y2m = ym , m ∈ N∗ Vậy {ym } dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ Khi theo Bài tốn 7.9 ta có tuỳ ý với n lẻ, yn = y2k+1 với n có dạng 2m (2k + 1), m ∈ N∗, k ∈ N 294 7.4 Nội suy dãy số Từ suy um = vm+1 = mlog2 ym+1 , với yn = tuỳ ý y2k+1 với n lẻ, với n có dạng 2m (2k + 1), m ∈ N∗, k ∈ N Bài toán 7.16 Xác định dãy {un } thoả mãn điều kiện u2n+1 = −3un + 4, ∀n ∈ N (7.29) Giải Đặt n + = m, m = 1, 2, Khi viết (7.29) dạng u2m−1 = −3um−1 + 4, ∀m ∈ N∗ hay v2m = −3vm + 4, ∀m ∈ N∗ (7.30) với vm = um−1 Đặt vm = + xm Khi (7.30) có dạng x2m = −3xm , ∀m ∈ N∗ Đặt xm = mlog2 ym , m ∈ N∗ Khi (7.31) có dạng y2m = −ym , m ∈ N∗ Vậy {ym } dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ Khi đó, theo Bài tốn 7.9, ta có   với n lẻ, tuỳ ý yn = −y2k+1 với n có dạng 22m+1 (2k + 1), m, k ∈ N,   y2k+1 với n có dạng 22m (2k + 1), m ∈ N∗, k ∈ N Từ suy um = vm+1 = + (m + 1)log2 ym+1 , với   tuỳ ý yn = −y2k+1   y2k+1 với n lẻ, với n có dạng 22m+1 (2k + 1), m, k ∈ N, với n có dạng 22m (2k + 1), m ∈ N∗, k ∈ N (7.31) 295 7.4 Nội suy dãy số Bài toán 7.17 (Lupas) Cho dãy số thực {x1, x2, , xn}, n > 10, thoả mãn điều kiện x1 x2 x10 = 38 xn n n x2j = 10n xj = 2n, j=1 j=1 Chứng minh n ∈ {2005, 2006, 2007} Giải Ta n x ¯= n 2170 Giả sử n n (xk − x ¯)2 = 6n2 = xk = 2, ∆ := n i=1 k=1 (xi − xj )2 i xk0 +1 − x ¯ xn − x ¯ n Nếu + k0 p n, mp := (xi − x ¯), i=p mp (n − p + 1)(xp − x ¯) (xp − x ¯) (xn − x ¯) Tương tự, từ hệ thức n ∆= m2 + n p−1 p p−1 i=1 mp xi − x ¯+ p−1 n (xi − x ¯ )2 +n i=p n(n − p + 1)2 ¯)2 + n(n − p + 1)(xp − x ¯ )2 , (xp − x p−1 ta suy xp x ¯− n p−1 ∆ n−p+1 Lập luận tương tự, ta thu được( thay xk −xn+1−k ) tức ứng với k ∈ {2, 3, , n − 1}, ta có x ¯− n k−1 ∆ ≤ xk n−k+1 x ¯+ n n−k ∆ k Trong (7.32) ta chọn k = 10 Từ x ¯ = 2, ∆ = 6n2 , ta thu 36 hay n 6(n − 10) , 10 2170 Điều có nghĩa n ∈ {2005, 2006, 2007} (7.32) 296 7.4 Nội suy dãy số Bài toán 7.18 (Lupas) Giả sử n dãy số x1 , x2, , xn thoả mãn điều kiện  √ xj − xj = n,   max j j x1 + x2 + + xn = 0,   x1 + x22 + + x2n = 10 Xác định giá trị có n ? Giải Ký hiệu n ∆ := (xi − xj ) = n 1≤i log2 log2 e dãy {vn } giảm bị chặn Bài 7.13 Cho a1 = a ∈ R an+1 = an an−1 , ∀n ∈ N∗ Hỏi với giá trị a dãy {an } dãy đơn điệu Bài 7.14 Cho Sn = 22 23 n+1 2n + + + · · · + 2n+1 n Chứng minh dãy {Sn } dãy đơn điệu giảm bị chặn 299 7.4 Nội suy dãy số Bài 7.15 Các dãy số {xn } {yn } xác định sau : x1 = a > 0, y1 = b > 0, xn−1 + yn−1 √ , yn = xn−1 yn−1 , n 2 Chứng tỏ dãy {xn } đơn điệu giảm dãy {yn } đơn điệu tăng xn = Bài 7.16 Cho a, b, c ∈ Z, a chẵn, b lẻ Chứng minh với n ∈ N∗ tồn x ∈ N∗ cho ax2 + bx + c chia hết cho 2n Bài 7.17 Cho P (x) ∈ Z[x] A = {a1, a2, , an } ⊆ N∗ Biết với k ∈ Z tồn ∈ A cho aj | P (k) Chứng minh tồn a ∈ A cho P (k) chia hết cho a với k ∈ Z Bài 7.18 Cho A = {0, 1, 2, , 7} P (x) ∈ A[x] Biết P (8) = 2001 Hãy tính P (10) P (7) Bài 7.19 Cho A = {0, 1, 2}, P (x) ∈ A[x] Biết P (3) số phương Chứng minh số hệ số P (x) có hệ số Bài 7.20 Dãy {xn } xác định sau : x1 = 1990, x2 = 1989, x3 = 2000, xn+3 = 19xn+2 + 9xn+1 + xn + 1991, với n ∈ N∗ Cho P (x) = 5xl992 + 5x1954 + 4x1975 + 8x1945 + 2x1930 + 11x2 + 48 Chứng minh tồn vô số số n ∈ N∗ cho P (xn ) chia hết cho 1992 Bài 7.21 Dãy {xn } xác định sau : √ √ (2 + 3)n − (2 − 3)n √ xn = , ∀n ∈ N∗ Chứng minh dãy {xn } nguyên Xác định n để xn chia hết cho Bài 7.22 Chứng minh với dãy Fibonassi {xn }, x1 = x2 = 1, xn+2 = xn+1 + xn với n ∈ N∗ tồn số tự nhiên (a, b, c) (a > b, a > c) cho xn − nbcn luôn chia hết cho a Bài 7.23 Xét hàm số f : Z+ → Z+ thoả mãn điều kiện : (i) f (n + 1) f (n) − 4f (n) − 1, (ii) Với m ∈ Z+ cho trước, tồn n ∈ Z+ để f (n) = m Tính f (2002) 300 7.4 Nội suy dãy số Bài 7.24 Giải phương trình x3 = e với e, x ∈ X Bài 7.25 Giải phương trình 2x2 = e với e, x ∈ X Bài 7.26 Giải phương trình 4x3 − 3x = với 0, x ∈ X Bài 7.27 Giải phương trình x2 − 3x + = với 0, x ∈ X Bài 7.28 Giải phương trình 4x3 − 3x = e với e, x ∈ X Bài 7.29 Xác định công thức tính đạo hàm cấp n tích u = ab với a, b ∈ X Bài 7.30 Xác định cơng thức tính đạo hàm cấp n u = a−1 với a ∈ X, a0 = Bài 7.31 Chứng minh đạo hàm nguyên hàm dãy số ln ln dãy số cho Bài 7.32 Xác định dãy số x = {xn } thoả mãn điều kiện x(n) = ∈ X Bài 7.33 Chứng minh ứng với đa thức P (t) = p0 + p1t + p2 t2 + · · · + ps ts , ta đặt tương ứng (1 − 1) dãy số p = (p0, p1, p2, , ps, 0, 0, ) đa thức đạo hàm P (t) tương ứng với dãy đạo hàm p = (p1, 2p2, 3p3, , sps , 0, 0, ) 301 7.4 Nội suy dãy số Bài 7.34 Chứng minh dãy {un } tuần hoàn chu kỳ dãy có dạng √ 2nπ 2nπ un = [α+β+γ+(−α−β+2γ)] cos + (α−β) sin , α, β, γ ∈ R (7.34) 3 Bài 7.35 Chứng minh dãy {un } phản tuần hoàn chu kỳ r có dạng un = (vn − vn+r ) với vn+2r = (7.35) Bài 7.36 Xác định dãy {un } thoả mãn điều kiện u2n+1 = −3un + 4, ∀n ∈ N (7.36) Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu,2006, Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kỳ dị, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu, 2004, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Gíao Dục [3] Nguyen Van Mau, Algebraic Elements and Boundary Value Problems in Linear Spaces, Vietnam National University Publishers, Hanoi 2005 [4] Nguyen Van Mau, Pham Quang Hung, On a general classical interpolation problem, Journal of Science−HU, 1993 (pages 2-6) [5] Nguyễn Văn Mậu, 2006 Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Gíao Dục [6] Walsh J L., 1969 Interpolation and approximation by rational functions in the complex domain, American Mathematical Society [7] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo Dục [8] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, 2005, Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo Dục [9] Titu Andreescu and Zuming Feng, 2000, Mathematical Olympiads, 19981999: Problems and Solutions From Around the World, The Mathematical Association of America [10] Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề chọn lọc bồi dưỡng học sinh khiếu Toán Hệ THPT Chuyên", Hà Nội 20-21/03/2004 [11] Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề chọn lọc Hệ THPT Chuyên", Hà Nội 2005 [12] Trần Nam Dũng, Gabriel Dospinescu, Mixing variables, 2005, Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề chọn lọc Hệ THPT Chuyên", Hà Nội 2005 302 Tài liệu tham khảo 303 [13] Đỗ Thị Hồng Anh, 2005, Sử dụng Định lý Lagrange bất đẳng thức cực trị hàm số dãy số, Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề chọn lọc Hệ THPT Chuyên", Hà Nội 2005 [14] Đặng Huy Ruận, 2005, Bài toán cực trị hình học, Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề chọn lọc Hệ THPT Chuyên", Hà Nội 2005 [15] Trần Xuân Đáng, 2005, Đa thức với hệ số nguyên đồng dư thức Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề chọn lọc Hệ THPT Chuyên", Hà Nội 2005 [16] Nguyễn Văn Tiến, 2004, Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, Hội thảo khoa học " 30 năm Việt Nam tham dự Olympic Toán quốc tế ", Hà Nội 2004 ... Bài toán nội suy cổ điển tổng Bài toán nội suy cổ điển tổng quát Bài toán nội suy Taylor mở rộng Bài toán nội suy Lagrange mở rộng Bài toán nội suy Newton mở rộng Bài toán nội suy Hermite... nhiều đến tốn nội suy tương ứng Các toán nội suy đặc biệt tập ứng dụng công thức nội suy chúng thường đề cập giáo trình sách tham khảo đại số giải tích tốn học Các tốn nội suy chuyên đề chọn... đó) Hàm số P (x) xây dựng theo cách gọi hàm nội suy f (x), điểm xki thường gọi mốc nội suy toán xây dựng hàm P (x) gọi toán nội suy Sử dụng hàm nội suy P (x), ta dễ dàng tính giá trị tương đối xác