PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH LỚP 12

Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 CHƯƠNG II CHƯƠNG ỨNG DỤNG DỤNG ĐẠO ĐẠO HÀM HÀM ĐỂ ĐỂ KHẢO KHẢO SÁT SÁT ỨNG VÀ VẼ VẼ ĐỒ ĐỒ THỊ THỊ CỦA CỦA HÀM HÀM SỐ SỐ VÀ TÍNH ĐƠN ĐƠN ĐIỆU ĐIỆU CỦA CỦAHÀM HÀM SỐ SỐ I.I TÍNH Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′ (x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′ (x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f′ (x) = 0, ∀x ∈ I f khơng đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y′ Tìm điểm mà y′ = y′ khơng tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2 + x− 4 a) y = − 2x2 + 4x + b) y = d) y = x3 − 2x2 + x − e) y = (4 − x)(x − 1)2 f) y = x3 − 3x2 + 4x − 1 x − 2x2 − 2x − k) y = x+ h) y = − x4 − 2x2 + i) y = g) y = l) y = x−1 2− x 2x2 + x + 26 o) y = − x + 3− 1− x x+ Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: n) y = a) y = −6x4 + 8x3 − 3x2 − b) y = x2 − x2 − Trang WWW.ToanCapBa.Net c) y = x2 − 4x + x + x −2 10 10 m) y = 1− 1− x p) y = c) y = 4x2 − 15x + 3x x2 − x + x2 + x + Trần Sĩ Tùng d) y = WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 2x − e) y = x2 x x2 − 3x + h) y = x − x2 g) y = 2x − − 3− x  π π < x< ÷  2 f) y = x + 3+ 2 − x i) y = 2x − x2  π π l) y = sin2x − x  − < x < ÷  2 k) y = sin2x  − VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y = f (x, m) , m tham số, có tập xác định D • Hàm số f đồng biến D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D • Hàm số f nghịch biến D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y′ = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y' = ax2 + bx + c thì:  a = b =  c ≥ • y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔    a >  ∆ ≤  a = b =  c ≤ • y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔    a <  ∆ ≤ 3) Định lí dấu tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c : • Nếu ∆ < g(x) ln dấu với a b ) 2a • Nếu ∆ > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a • Nếu ∆ = g(x) ln dấu với a (trừ x = − 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c với số 0: ∆ >  x < x < ⇔ • P > S < ∆ >  < x < x ⇔ • P > S > • x1 < < x2 ⇔ P < 5) Để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1; x2) d ta thực bước sau: • Tính y′ • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a ≠ ∆ >  • Biến đổi x1 − x2 = d thành (x1 + x2)2 − 4x1x2 = d2 (1) (2) • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: Bài Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải toán giải tích 12 a) y = x3 + 5x + 13 b) y = x3 − 3x2 + 9x + c) y = 2x − x+ x2 + 2x − x2 − 2mx − e) y = 3x − sin(3x + 1) f) y = x+1 x− m Bài Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = −5x + cot(x − 1) b) y = cos x − x c) y = sin x − cos x − 2x d) y = Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: Bài a) y = x3 − 3mx2 + (m+ 2)x − m b) y = mx + x+ m Bài Tìm m để hàm số: d) y = e) y = x3 mx2 − − 2x + c) y = x+ m x− m x2 − 2mx − x− m f) y = x2 − 2mx + 3m2 x − 2m a) y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài 1 x − mx + 2mx − 3m+ nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y = − x3 + (m− 1)x2 + (m+ 3)x − đồng biến khoảng có độ dài Bài Tìm m để hàm số: b) y = a) y = x3 + (m+ 1)x2 − (m+ 1)x + đồng biến khoảng (1; +∞) b) y = x3 − 3(2m+ 1)x2 + (12m+ 5)x + đồng biến khoảng (2; +∞) mx + (m≠ ±2) đồng biến khoảng (1; +∞) x+ m x+ m d) y = đồng biến khoảng (–1; +∞) x− m c) y = e) y = x2 − 2mx + 3m2 đồng biến khoảng (1; +∞) x − 2m f) y =   −2x2 − 3x + m nghịch biến khoảng  − ; +∞ ÷   2x + VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: • Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc π d) x < tan x, vớ i 0< x < Chứng minh bất đẳng thức sau: tana a π b) < , vớ i 0< a< b< tanb b π a − tana < b − tanb, vớ i 0< a< b< Chứng minh bất đẳng thức sau: a) x − π sin x + tan x > x, vớ i 0< x < 3 c) sin x + tan x > 2x, vớ i 0< x < Bài a) c) Bài a) sin x > 2x π , vớ i 0< x< π π a − sina < b − sinb, vớ i 0< a < b< b) x − π x3 x3 x5 < sin x < x − + , vớ i x> 6 120 π Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: c) xsin x + cos x > 1, vớ i 0< x < i x> b) ln(1+ x) < x, vớ a) ex > 1+ x, vớ i x> ( ) d) 1+ x ln x + 1+ x2 ≥ 1+ x2 , vớ i x> 1+ x Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) tan550 > 1,4 b) < sin200 < c) log2 > log3 20 1+ x HD: a) tan550 = tan(450 + 100) Xét hàm số f (x) = 1− x c) ln(1+ x) − ln x > b) Xét hàm số f (x) = 3x − 4x3  1  1 f(x) đồng biến khoảng  − ; ÷ ,sin200, ∈  − ; ÷  2 20  2  c) Xét hàm số f (x) = logx(x + 1) với x > VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: • Chọn nghiệm x0 phương trình • Xét hàm số y = f(x) (C 1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi (C 1) (C2) giao điểm có hồnh độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận Bài Giải phương trình sau: a) x + x− = b) x5 + x3 − 1− 3x + = c) x + x − + x + + x + 16 = 14 d) Bài x2 + 15 = 3x − + x2 + Giải phương trình sau: Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng a) WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 x + 1+ x + + x + = c) 3x + 4x = 5x Bài Giải bất phương trình sau: a) Bài x + 1+ 5x − + 7x − + 13x − < b) ln(x − 4) = 5− x d) 2x + 3x + 5x = 38 b) 2x + x + x + + x2 + 7x < 35 Giải hệ phương trình sau: 2x + 1= y3 + y2 + y  a) 2y + 1= z3 + z2 + z 2z + 1= x3 + x2 + x   x = y3 + y2 + y −  b)  y = z3 + z2 + z−  z = x3 + x2 + x −   y3 = 6x2 − 12x +  c)  z3 = 6y2 − 12y +  x3 = 6z2 − 12z +   tan x − tan y = y − x  5π 2x + 3y = d)   π π  − < x, y <  2 sin x − sin y = 3x − 3y  π e)  x + y =   x, y > sin2x − 2y = sin2y − 2x 2x + 3y = π f)   < x, y < π   cot x − cot y = x − y  g) 5x + 7y = 2π  < x, y < π h) HD: a, b) Xét hàm số f (t) = t3 + t2 + t c) Xét hàm số f (t) = 6t2 − 12t + d) Xét hàm số f(t) = tant + t II CỰC CỰC TRỊ TRỊ CỦA CỦAHÀM HÀM SỐ SỐ II I Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D ⊂ R) x0 ∈ D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b) ⊂ D x0 ∈ (a; b) cho f(x) < f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) ⊂ D x0 ∈ (a; b) cho f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f′ (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x 0, f′ (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f′′ (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f′′ (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí • Tìm f′ (x) • Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm • Xét dấu f′ (x) Nếu f′ (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí • Tính f′ (x) • Giải phương trình f′ (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) • Tính f′′ (x) f′′ (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f′′ (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f′′ (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Bài Tìm cực trị hàm số sau: a) y = 3x2 − 2x3 b) y = x3 − 2x2 + 2x − x4 e) y = x4 − 4x2 + − x2 + − x2 + 3x + 3x2 + 4x + g) y = h) y = x+ x+1 Bài Tìm cực trị hàm số sau: d) y = 4x2 + 2x − a) y = (x − 2)3(x + 1)4 b) y = d) y = x x2 − e) y = x2 − 2x + Bài 2x2 + x − c) y = − x3 + 4x2 − 15x x4 f) y = − + x2 + 2 x − 2x − 15 i) y = x− c) y = 3x2 + 4x + x2 + x + f) y = x + 2x − x2 Tìm cực trị hàm số sau: x 2x + a) y = x2 + b) y = d) y = x2 − 5x + 5+ 2ln x e) y = x − 4sin2 x c) y = ex + 4e− x f) y = x − ln(1+ x2) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f′ (x0) = x0 khơng có đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f′ (x) đổi dấu x qua x0 Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 Chú ý: • Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d có cực trị ⇔ Phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y(x0) = ax03 + bx02 + cx0 + d + y(x0) = Ax0 + B , Ax + B phần dư phép chia y cho y′ P (x) • Hàm số y = ax + bx + c = (aa′≠ 0) có cực trị ⇔ Phương trình y′ = có hai Q(x) a' x + b' b' nghiệm phân biệt khác − a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P (x0) P '(x0) y(x0) = y(x0) = Q(x0) Q '(x0) • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai • Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et Bài Chứng minh hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu: a) y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − m3 x2 + m(m2 − 1)x − m4 + x− m Bài Tìm m để hàm số: c) y = b) y = 2x3 − 3(2m+ 1)x2 + 6m(m+ 1)x + d) y = x2 + mx − m+ x − m+ a) y = (m+ 2)x3 + 3x2 + mx − có cực đại, cực tiểu b) y = x3 − 3(m− 1)x2 + (2m2 − 3m+ 2)x − m(m− 1) có cực đại, cực tiểu c) y = x3 − 3mx2 + (m2 − 1)x + đạt cực đại x = d) y = −mx4 + 2(m− 2)x2 + m− có cực đại x = 2 x − 2mx + e) y = đạt cực tiểu x = x− m x2 − (m+ 1)x − m2 + 4m− f) y = có cực đại, cực tiểu x−1 x2 − x + m g) y = có giá trị cực đại x−1 Bài Tìm m để hàm số sau khơng có cực trị: a) y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m+ − x2 + mx + x− Bài Tìm a, b, c, d để hàm số: c) y = b) y = mx3 + 3mx2 − (m− 1)x − d) y = x2 − (m+ 1)x − m2 + 4m− x−1 a) y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu x = đạt cực đại Trang WWW.ToanCapBa.Net x = 27 Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 b) y = ax4 + bx2 + c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = x2 + bx + c đạt cực trị –6 x = –1 x−1 ax2 + bx + ab d) y = đạt cực trị x = x = bx + a ax2 + 2x + b e) y = đạt cực đại x = x2 + Bài Tìm m để hàm số : c) y = a) y = x3 + 2(m− 1)x2 + (m2 − 4m+ 1)x − 2(m2 + 1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 1 + = (x + x ) x1 x2 2 x − mx2 + mx − đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 − x2 ≥ 1 c) y = mx3 − (m− 1)x2 + 3(m− 2)x + đạt cực trị hai điểm x 1, x2 cho: 3 x1 + 2x2 = b) y = Bài Tìm m để hàm số : x2 + mx − m+ có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu x − m+ x2 − (m+ 1)x − m2 + 4m− b) y = có cực đại, cực tiểu tích giá trị cực đại, cực x−1 tiểu đạt giá trị nhỏ − x2 + 3x + m c) y = có giá trị cực đại M giá trị cực tiểu m thoả M − m = x− 2x2 + 3x + m− d) y = có yCÑ − yCT < 12 x+ Bài Tìm m để đồ thị hàm số : a) y = 900m2 729 b) y = x4 − mx2 + 4x + m có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm x2 + mx + m− c) y = có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng minh x− m hai điểm cực trị ln ln nằm phía trục hoành x2 + mx d) y = có khoảng cách hai điểm cực trị 10 1− x − x2 + 2mx + e) y = có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường x−1 thẳng y = 2x x2 + 2x + m+ f) y = có hai điểm cực trị khoảng cách chúng nhỏ x− m Bài Tìm m để đồ thị hàm số : a) y = − x3 + mx2 − có hai điểm cực trị A, B AB2 = Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 a) y = 2x3 + mx2 − 12x − 13 có hai điểm cực trị cách trục tung b) y = x3 − 3mx2 + 4m3 có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y = x3 − 3mx2 + 4m3 có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): 3x − 2y + = x2 + (2m+ 1)x + m2 + có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng x+ (d): 2x − 3y − 1= Bài Tìm m để đồ thị hàm số : d) y = x2 − (m+ 1)x + 2m− có hai điểm cực trị góc phần tư thứ mặt x− m phẳng toạ độ 2mx2 + (4m2 + 1)x + 32m2 + 2m b) y = có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ x + 2m hai điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ a) y = mx2 − (m2 + 1)x + 4m2 + m có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ x− m điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ x2 + (2m+ 1)x + m2 + d) y = có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh (tung) x+ c) y = VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d • Chia f(x) cho f′ (x) ta được: f(x) = Q(x).f′ (x) + Ax + B • Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) điểm cực trị thì:  y1 = f (x1) = Ax1 + B  y = f (x ) = Ax + B  2 ⇒ Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm đường thẳng y = Ax + B P (x) ax2 + bx + c 2) Hàm số phân thức y = f (x) = = Q(x) dx + e P '(x0) • Giả sử (x0; y0) điểm cực trị y0 = Q '(x0) • Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực P '(x) 2ax + b = trị là: y = Q '(x) d Bài Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : a) y = x3 − 2x2 − x + b) y = 3x2 − 2x3 c) y = x3 − 3x2 − 6x + 2x2 − x + x2 − x − e y= x+ x− Bài Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số: d) y = Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 a) y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − m3 c) y = x3 − 3(m− 1)x2 + (2m2 − 3m+ 2)x − m(m− 1) Bài x2 + mx − x− m x + mx − m+ d) y = x − m+ b) y = Tìm m để hàm số: a) y = 2x3 + 3(m− 1)x2 + 6(m− 2)x − có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + b) y = 2x3 + 3(m− 1)x2 + 6m(1− 2m)x có điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm đường thẳng y = –4x c) y = x3 + mx2 + 7x + có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng y = 3x – d) y = x3 − 3x2 + m2x + m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (∆): y = x− 2 III GIÁ GIÁ TRỊ TRỊ LỚN LỚN NHẤT NHẤT III VÀ GIÁ GIÁ TRỊ TRỊ NHỎ NHỎ NHẤT NHẤT CỦA CỦAHÀM HÀM SỐ SỐ VÀ Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định miền D (D ⊂ R)  f (x) ≤ M ,∀x∈ D a) M = max f (x) ⇔  D ∃x0 ∈ D : f (x0) = M  f (x) ≥ m,∀x∈ D b) m= f (x) ⇔  D ∃x0 ∈ D : f (x0) = m Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến [a; b] max f (x) = f (b), f (x) = f (a) [a;b] [a;b] f (x) = f (a), f (x) = f (b) b) Nếu hàm số f nghịch biến [a; b] max [a;b] [a;b] VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng • Tính f′ (x) • Xét dấu f′ (x) lập bảng biến thiên • Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b] • Tính f′ (x) • Giải phương trình f′ (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có) • Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) • So sánh giá trị vừa tính kết luận M = max f (x) = max{ f (a), f (b), f (x1), f (x2), , f (xn)} [a;b] m= f (x) = min{ f (a), f (b), f (x1), f (x2), , f (xn)} [a;b] Trang 10 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Bài 48 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x2 − 4x − 6, y = 0, x = −2, x = 1+ ln x , y = 0, x = 1, x = e x f) y = x3, y = 0, x = −2, x = y = ln x, y = 0, x = , x = e e x 1 y= , y = 0, x = 0, x = h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 10 1− x Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: −3x − b) y = x, y = − x, y = y= , y = 0, x = x−1 d) y = x, x + y − = 0, y = y = ex, y = 2, x = c) y = e) g) Bài 49 a) c) ln x , y = 0, x = , x = e x e ln x , y = 0, x = e, x = d) y = x b) y = e) y = 2x2, y = x2 − 2x − 1, y = g) y = x2, y = x2 27 , y= 27 x f) y = x2 − 4x + 5, y = −2x + 4, y = 4x − 11 h) y = 2x2, y = x2 − 4x − 4, y = i) y2 = 2x, 2x + 2y + 1= 0, y = k) y = − x2 + 6x − 5, y = − x2 + 4x − 3, y = 3x − 15 Bài 50 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x, y = , y = 0, x = e b) y = sin x − 2cos x, y = 3, x = 0, x = π x c) y = 5x−2, y = 0, y = 3− x, x = d) y = 2x2 − 2x, y = x2 + 3x − 6, x = 0, x = e) y = x, y = 0, y = − x f) y = x2 − 2x + 2, y = x2 + 4x + 5, y = g) y = x, y = − x, y = h) y = −2x e , y = e− x, x = Bài 51 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = − x2, y = x2 − 2x c) y = x , y = − x2 + b) y = x2 − 4x + 3, y = x + d) y = 1+ x2 ,y = x2 e) y = x , y = − x2 f) y = x2 − 2x, y = − x2 + 4x x2 g) y = , y= 1+ x2 h) y = x + 3+ , y = x i) y = x2 + 2x, y = x + k) y = x2 + 2, y = − x Bài 52 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x2, x = − y2 b) y2 + x − = 0, x + y − = c) y2 − 2y + x = 0, x + y = d) y2 = 2x + 1, y = x − e) y2 = 2x, y = x, y = 0, y = f) y = (x + 1)2, x = sinπy g) y2 = 6x, x2 + y2 = 16 h) y2 = (4 − x)3, y2 = 4x i) x − y3 + 1= 0, x + y − 1= k) x2 + y2 = 8, y2 = 2x Trang 93 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 Bài 53 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = xe x; y = 0; x = −1; x = b) y = x.ln2 x; y = 0; x = 1; x = e c) y = ex; y = e− x; x = d) y = 5x−2; y = 0; x = 0; y = 3− x f) y = ln x , y = 0, x = , x = e e g) y = sin x + cos2 x, y = 0, x = 0, x = π h) y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2π e) y = (x + 1)5; y = ex; x = i) y = x + sin2 x; y = π; x = 0; x = π k) y = sin2 x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x = π Bài 54 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) (C ): y = x + , tiệm cận xiên (C), x = x = 2x2 x2 + 2x + b) (C ): y = , y = , tiệm cận xiên (C), x = –1 x = x+ c) (C ): y = x3 − 2x2 + 4x − 3, y = tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x = d) (C ): y = x3 − 3x + 2, x = −1 tiếp tuyến cới (C) điểm có hồnh độ x = –2 e) (C ): y = x2 − 2x tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) A(3; 3) (C) VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: π a) y = sin x, y = 0, x = 0, x = b) y = x3 − x2, y = 0, x = 0, x = π c) y = sin6 x + cos6 x, y = 0, x = 0, x = d) y = x, x = e) y = x3 − 1, y = 0, x = −1, x = f) y = x2, y = x g) y = x2 x3 , y= h) y = − x2 + 4x, y = x + π π k) (x − 2)2 + y2 = 9, y = , x= 2 l) y = x − 4x + 6, y = − x − 2x + m) y = ln x, y = 0, x = Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: a) x = , y = 1, y = b) y = x2, y = y i) y = sin x, y = cos x, x = c) y = ex, x = 0, y = e d) y = x2, y = 1, y = Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh: i) trục Ox ii) trục Oy a) y = (x − 2) , y = b) y = x2, y = 4x2, y = c) y = , y = 0, x = 0, x = x +1 e) y = x.ln x, y = 0, x = 1, x = e d) y = 2x − x2, y = g) y = x2, y = x h) ( x – 4) + y2 = 1  f) y = x2(x > 0), y = −3x + 10, y = Trang 94 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng i) WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 x2 y2 + =1 k) y = x − 1, y = 2, y = 0, x = l) x − y2 = 0, y = 2, x = m) y2 = x3, y = 0, x = IV ƠN ƠN TẬP TẬPTÍCH TÍCH PHÂN PHÂN IV Bài Tính tích phân sau: a) ∫ x − x dx b) 2  x−1 d) ∫  ÷ dx x+ 2 −1 g) xdx ∫ (x+ 1)2 e) x3 ∫ x2 + ∫ x − 2x ( x + − x − 2)dx h) l) dx ∫ −1 x + 2x + dx Bài 2 1+ dx xdx ∫ 1+ x2 Tính tích phân sau: Trang 95 WWW.ToanCapBa.Net ∫x c) − 2x + dx 1 ∫ f) dx 2x −3 k) ∫ x7 + 5x + 2 i) ∫ x + 2x2 + 4x + x2 + m) xdx ∫ (x+ 1)3 dx Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 a) x ∫1 + x − dx ∫ d) x + 2x3 x +1 dx e) p) ∫3 x2 + x π /4 ∫ a) π/2 ∫ s) b) ∫ 2 cos x + 4sin x ∫ dx π/4 ∫ ∫ π/2 ∫ l) 2004 sin x sin2004 x + cos2004 x dx cos3x dx sin x + dx c) π/2 ∫ f) π/4 cos x ∫ ∫ dx π i) 4sin x dx 1+ cos x xsin x ∫ 1+ cos2 x dx π/2 ∫ m) π/4 π/2 s) 1+ cos2 x sin2x dx cos x + π/2 p) tan x ∫ ∫ cos5 xdx ∫ q) sin xdx π/3 x t) sin2 x + 2cos x cos2 ∫ sin x dx 1+ 3cos x 1− 2sin2 x dx 1+ sin2x xsin2 xdx sin2x cos2 x Tính tích phân sau: a) ∫ x ln(x + 5)dx π/2 ∫ (esin x + cos x)cos xdx e g) dx sin xsin2xsin3xdx π/3 0 d) sin2x + sin x 1+ 3cos x ∫ π/2 x tan2 xdx Bài 3x + t) ∫ x 1− x dx cos2x(sin4 x + cos4 x)dx h) π/2 r) ∫ x+ x− x−1 π/2 e) o) ∫ q) dx sin2x k) 7/3 π/2 x + 1+ x + sin2x cos x dx 1+ cos x π/2 g) ∫ x− ∫3 −1 x + 1x dx 10 dx − 2sin x dx + sin x π/2 d) ∫ 1+ x dx m) (x + 1) Bài Tính tích phân sau: dx −1 0 r) ∫x i) 2+ x + 2− x o) ∫ x 1− x dx l) ∫ x x + dx 1+ x2 x3dx x5 + xdx ∫ x4 ∫ f) x+ + 1 ∫ h) 2dx −1 ∫ 2 g) ∫ x − x dx c) ∫ x 1− x dx x3 1+ x2 dx k) ∫ b) x +1 ln xdx x ∫ b) ∫ ln( x − x )dx ln5 e) ∫ dx x ln3 e −x + 2e − 2x c) ∫ (x − 2)e dx e 2 f) ∫ x ln x dx 1 x h) ∫ (x + 1)e dx Trang 96 WWW.ToanCapBa.Net i) dx ∫ 1+ ex dx Trần Sĩ Tùng k) ∫ x2ex (x+ 2) π/2 o) ∫ WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 dx e3x sin5xdx e l) ∫ (4x 2x − 2x − 1)e dx e p) ∫ 3− 2ln x e ln x x2 m) ∫ ln(1+ x) x2 dx q) ∫ x ln(1+ x )dx dx + ln x ln x dx x e3 ln2 x dx s) ∫ t) ∫ dx x 1+ 2ln x 1 x ln x+ Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x3 − 3x + 1, y = 0, x = 0, x = −1 b) y = , y = 0, x = −2, x = 2− x c) y = − x4 + 2x2 + , y = d) y = ex, y = 2, x = 4 1 e) y = x − 1+ f) y = x2 − 2x, y = − x2 + 4x , y = 0, x = 2, x = x−1 2x + − x2 + x g) y = h) y = , y = 0, x = , y= x+ x+1 x2 + 3x − m) y = , tiệ m cậ n xiê n, x = 0, x = x+1 x2 + x − n) y = , y = 0, tieá p tuyeá n vẽtừgố c toạđộ x+ o) y = x3 + 3x2 + 3x + 1, tiếp tuyến giao điểm (C) với trục tung r) ∫ 1 x − 3x , tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị có hồnh độ x = Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục: a) y = x, y = 0, x = 3; Ox b) y = x ln x, y = 0, x = 1, x = e; Ox p) y = c) y = xex, y = 0, x = 1; Ox d) y = − x2, y = x2 + 2; Ox e) y2 = − x, x = 0; Oy f) x = yey, x = 0, y = 1; Oy Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com CHƯƠNG IV IV CHƯƠNG SỐ PHỨC PHỨC SỐ SỐ PHỨC PHỨC I.I SỐ Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: C • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) • z số thực ⇔ phần ảo z (b = 0) Trang 97 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 z ảo ⇔ phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo  a = a' a + bi = a’ + bi ’ ⇔ (a, b, a', b'∈ R) b = b' Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) biểu diễn điểm M(a; b) hay r u = (a; b) mp(Oxy) (mp phức) • Hai số phức nhau: Cộng trừ số phức: • ( a + bi ) + ( a’ + bi • ( a + bi ) − ( a’ + bi ’ ) = ( a + a’) + ( b + b’) i ’ ) = ( a − a’) + ( b − b’) i • Số đối z = a + bi –z = –a – bi r r r r r r • u biểu diễn z, u' biểu diễn z' u + u'biểu diễn z + z’ u − u' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức : • ( a + bi ) ( a'+ b'i ) =  ( aa’ – bb’) + ( ab’ + ba’) i • k(a + bi ) = ka + kbi (k ∈ R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a − bi z  z • z = z ; z ± z' = z ± z'; zz ' = zz ';  ÷ = ;  z2  z2 • z số thực ⇔ z = z ; z số ảo ⇔ z = − z z.z = a2 + b2 Môđun số phức : z = a + bi uuuu r • z = a2 + b2 = zz = OM • z ≥ 0, ∀z∈ C , z = 0⇔ z= • z.z' = z z' • Chia hai số phức: −1 • z = z (z ≠ 0) z Căn bậc hai số phức: z z = z' z' • • z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z' z' z'.z z'.z = z' z−1 = = z z.z z • z' = w ⇔ z' = wz z  2 • z = x + yi bậc hai số phức w = a + bi ⇔ z2 = w ⇔  x − y = a  2xy = b • w = có bậc hai z = • w ≠ có hai bậc hai đối • Hai bậc hai a > ± a • Hai bậc hai a < ± −a.i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A ≠ 0) ∆ = B2 − 4AC −B ± δ , ( δ bậc hai ∆) 2A B • ∆ = : (*) có nghiệm kép: z1 = z2 = − 2A • ∆ ≠ : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 = Trang 98 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải toán giải tích 12 Chú ý: Nếu z0 ∈ C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) 10 Dạng lượng giác số phức: • z = r(cosϕ + i sinϕ) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (z ≠ 0)  r = a2 + b2  a ⇔ cosϕ = r  b sinϕ =  r • ϕ acgumen z, ϕ = (Ox,OM ) • z = 1⇔ z = cosϕ + i sinϕ (ϕ ∈ R) 11 Nhân, chia số phức dạng lượng giác Cho z = r (cosϕ + i sinϕ) , z' = r '(cosϕ '+ i sinϕ ') : z r • z.z' = rr '.[ cos(ϕ + ϕ ') + i sin(ϕ + ϕ ')] • = [ cos(ϕ − ϕ ') + i sin(ϕ − ϕ ')] z' r ' 12 Cơng thức Moa–vrơ: • [ r(cosϕ + i sinϕ)] n = r n(cosnϕ + i sinnϕ) , ( n∈ N* ) • ( cosϕ + i sinϕ ) n = cosnϕ + i sinnϕ 13 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: • Số phức z = r(cos ϕ + i sinϕ ) (r > 0) có hai bậc hai là:  ϕ ϕ r  cos + i sin ÷  2  ϕ   ϕ  ϕ ϕ và− r  cos + i sin ÷ = r  cos + π ÷+ i sin + π ÷  2  2   2 z = r (cos  ϕ + i sin ϕ ) • Mở rộng: Số phức (r > 0) có n bậc n là: ϕ + k2π ϕ + k2π  n  r  cos + i sin ÷, k = 0,1, , n − n n   VẤN ĐỀ 1: Thực phép toán cộng – trừ – nhân – chia Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức Chú ý tính chất giao hốn, kết hợp phép toán cộng nhân Bài 55 Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a) (4– i) + (2 + 3i ) – (5+ i)   1   d)  3− i ÷+  − + 2i ÷− i     −i −i g) − 1+ i i m k) i m o) 1+ i 2− i 1  b) − i +  − 2i ÷ 3  3    e)  + i ÷−  − + i ÷ 4    h) l) p) + 2i a+i a a −i a a+i b i a Trang 99 WWW.ToanCapBa.Net 2  c) ( − 3i ) −  − i ÷ 3  f) (2 − 3i)(3+ i ) i) 1+ i 1− i m) 3+i (1 − 2i )(1 + i ) q) − 3i + 5i Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 Bài 56 Thực phép toán sau: a) (1+ i )2 − (1– i)2 b) (2 + i )3 − (3− i)3 c) (3+ 4i)2 (1 + 2i ) − (1 − i ) 1  d)  − 3i ÷ e) f) (2 − i )6 2 ( + i ) − ( + i )   g) (−1 + i) − (2i )3 h) (1− i)100 i) (3+ 3i )5 Bài 57 Cho số phức z = x + yi Tìm phần thực phần ảo số phức sau: z+i a) z2 − 2z + 4i b) iz − Bài 58 Phân tích thành nhân tử, với a, b, c ∈ R: a) a2 + b) 2a2 + c) 4a4 + 9b2 d) 3a2 + 5b2 e) a4 + 16 f) a3 − 27 Bài 59 Tìm bậc hai số phức: a) −1+ 3i b) + 5i e) − − i 2 i) + i g) a3 + h) a4 + a2 + c) −1− 6i d) −5+ 12i f) 7− 24i g) −40 + 42i h) 11+ 3.i k) −5+ 12i l) 8+ 6i m) 33− 56i VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình tập số phức Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình Giải phương trình sau (ẩn z): a) z + z = b) z + z = c) z + z = − 4i e) z − z = −1 − 8i d) z − z = f) (4 − 5i)z = + i Bài  z+i g)   =1  z −i i) z − 3z = − 12i h) 2+i − + 3i z= 1− i 2+i k) (3− 2i)2(z + i) = 3i  1 l) [ (2 − i )z + 3+ i ]  iz + ÷ = 2i   3+ 5i = − 4i o) z q) (z2 + 9)(z2 − z + 1) = Bài Giải phương trình sau (ẩn x): a) x − 3.x + =   m) z 3− i ÷ = 3+ i   p) (z + 3i )(z2 − 2z + 5) = r) 2z3 − 3z2 + 5z + 3i − = b) x − 3.x + = c) x2 − (3− i )x + − 3i = e) 3x − x + = g) 3x − 24 = i) ( x + 2)5 + = d) 3i.x2 − 2x − + i = f) i.x + 2i.x − = h) x + 16 = k) x2 + = l) x2 + 2(1+ i )x + + 2i = m) x2 − 2(2 − i )x + 18+ 4i = Trang 100 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 o) ix2 + 4x + − i = p) x2 + (2 − 3i )x = Bài Tìm hai số biết tổng tích chúng là: a) + 3i vaø− 1+ 3i b) 2i và− + 4i Bài Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận α làm nghiệm: a) α = 3+ 4i b) α = − i c) α = 2− 5i d) α = −2− i e) α = − i f) α = −i 5+ i 2− i Bài Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm z1, z2 thoả mãn điều kiện ra: g) α = (2 + i )(3− i ) h) α = i 51 + 2i 80 + 3i 45 + 4i 38 i) α = a) z2 − mz + m+ 1= 0, ñk : z12 + z22 = z1z2 + b) z2 − 3mz + 5i = 0, ñk : z13 + z23 = 18 c) x2 + mx + 3i = 0, ñk : z12 + z22 = Cho z1, z2 hai nghiệm phương trình ( 1+ i 2) z2 − (3+ 2i )z + 1− i = Tính giá trị biểu thức sau: z z a) A = z12 + z22 b) B = z12z2 + z1z22 c) C = + z2 z1 Bài Giải hệ phương trình sau:  z13 + z25 =  z1 + z = + i  z1 z = −5 − 5.i a)  b)  c)  2  z1 ( z2 ) =  z1 + z = − 2i  z1 + z = −5 + 2.i Bài  z1 + z2 + z3 =  d)  z1 + z2 + z3 =  z z z =   z − 12  z − 8i =  e)   z −4 =1  z −  z − 2i = z h)   z − i = z −  z2 + z2 = 5+ 2i g)   z1 + z2 = − i Bài Giải hệ phương trình sau:  x + y = 5− i  x + 2y = 1− 2i a)  b)  2  x + y = 3− i  x + y = 8− 8i 1 1  + = − i d)  x y 2  x2 + y2 = 1− 2i   x2 + y2 = −6  e)  1 x+ y =   x + y = 5− i g)  2  x + y = 1+ 2i x+ y = h)  3  x + y = −2 − 3i    f)    z −1 =1 z −i z − 3i =1 z +i  z + z + 4z z = 12  z1 + z2 = 2i i)  x+ y = c)   xy = 7+ 4i  x + y = 3+ 2i  f)  + = 17 + i  x y 26 26 VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z + z + = b) z − z + 1− i = c) z − z + 2i = z − i Bài Trang 101 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 d) 2i.z − = z + e) 2i − z = z − g) z + i = z − − 3i h) z − 3i =1 z+ i f) z+ = i) z − 1+ i = k) + z = i − z l) z + < m) < z − i < Bài Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z + 2i số thực b) z − 2+ i số ảo c) z.z = VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác số phức Sử dụng phép toán số phức dạng lượng giác Tìm acgumen số phức sau: a) − + 3.i b) – 4i π π π π d) cos − i sin e) − sin − i cos 4 8 Bài Thực phép tính sau: Bài a) 3( cos20o + i sin20o ) ( cos25o + i sin25o ) c) ( cos120o + i sin120o ) ( cos 45o + i sin 45o ) e) g) ( cos18o + i sin18o ) ( cos 72o + i sin 72o ) (cos 45 + i sin 45 ) (cos15 + i sin 15 ) c) 1− 3.i f) (1 − i )(1 + i )  π π  π π b) 5 cos + i.sin ÷.3 cos + i.sin ÷  6  4 π π  π π  d)  cos + i sin ÷3  cos + i sin ÷ 6  4  o o cos85 + i sin 85 f) cos 40o + i sin 40o 2(cos 45o + i sin 45o) h) 3(cos15o + i sin15o) 2π 2π  2π 2π   cos + i sin + i sin ) ÷ 3   3 i) k) π π π π  2(cos + i sin )  cos + i sin ÷  2 2 Bài Viết dạng lượng giác số phức sau: a) − i b) 1+ i c) (1 − i )(1 + i ) d) 2.i.( − i ) 1− i e) f) g) sin ϕ + i cos ϕ h) + i 2 + 2i 1+ i 5π i) + i k) − i l) + 0i m) tan + i Bài Viết dạng đại số số phức sau: π π  a) cos 45o + i sin 45o b)  cos + i sin ÷ c) ( cos120o + i sin120o ) 6  3+ i d) (2 + i)6 e) f) (1+ i )(1− 2i) i (cos 1+ i g) 2i + h) ( −1+ i 3) 60 Trang 102 WWW.ToanCapBa.Net 40   i) (2 − 2i)7. 1+ i ÷  1− i  Trần Sĩ Tùng k) Bài WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 100  3π 3π   cos + i sin ÷ 4 2 l)  1+ i ÷  1− i   π π  cos + i sin ÷ m)  4 ( 3− i) 17 Tính: a) ( cos12o + i sin12o ) b) ( + i ) 16 d)  ( cos300 + i sin300 )  c) ( − i ) e) (cos15o + i sin15o )5 f) (1+ i)2008 + (1− i)2008 21 12 2008  + 3i  1 3 i +     g)  h)  + i i)      i   − 2i  2 1 π π 2008 + , bieá t z+ = k) (cos − i sin )i (1 + 3i ) l) z z 3 z2008 Bài Chứng minh: a) sin5t = 16sin5 t − 20sin3 t + 5sint b) cos5t = 16cos5 t − 20cos3 t + 5cost c) sin3t = 3cos2 t − sin3 t d) cos3t = 4cos3 t − 3cost II ÔN ÔN TẬP TẬPSỐ SỐ PHỨC PHỨC II Bài Thực phép tính sau: 16     b)  −1+ i ÷ +  1− i ÷     a) (2 − i )(−3+ 2i)(5− 4i) c)  1+ i ÷ +  1− i ÷  1− i   1+ i  e) (2 − 4i )(5+ 2i) + (3+ 4i )(−6 − i) d) 3+ 7i 5− 8i + + 3i − 3i f) 1+ i + i + i3 + + i 2009 h) 1+ i + i + + i n, (n ≥ 1) g) i 2000 + i1999 + i 201 + i 82 + i 47 k) i −5(−i )−7 + (−i )13 + i −100 + (−i )94 Bài Cho số phức z1 = 1+ 2i, z2 = −2 + 3i, z3 = 1− i Tính: i) i.i 2.i i 2000 a) z1 + z2 + z3 d) Bài b) z1z2 + z2z3 + z3z1 z z z e) + + z2 z3 z1 z12 + z22 + z32 Rút gọn biểu thức sau: a) A = z4 + iz3 − (1+ 2i )z2 + 3z + 1+ 3i, vớ i z = + 3i b) B = (z − z2 + 2z3)(2 − z + z2), vớ i z= Bài 1( 3− i) Tìm số thực x, y cho: a) (1− 2i)x + (1+ 2y)i = 1+ i b) x − y− + =i 3+ i 3− i Trang 103 WWW.ToanCapBa.Net c) z1z2z3 f) z12 + z22 z22 + z32 Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải toán giải tích 12 x + (3xy − 2y2)i Bài Tìm bậc hai số phức sau: a) 8+ 6i b) 3+ 4i c) 1+ i c) (4 − 3i)x2 + (3+ 2i)xy = 4y2 − d) 7− 24i 2  1− i  f)  g) − h) i, –i i ÷  3− i ÷ 2   1 3− i 1 + i i) k) l) −2( 1+ i 3) m) + 1+ i 1− i 2 1+ i Bài Tìm bậc ba số phức sau: a) −i b) –27 c) + 2i d) 18+ 6i Bài Tìm bậc bốn số phức sau: a) − i 12 b) + i c) −2i d) −7+ 24i Bài Giải phương trình sau: a) z3 − 125 = b) z4 + 16 = c) z3 + 64i = d) z3 − 27i =  1+ i  e)  ÷  1− i  e) z7 − 2iz4 − iz3 − = f) z6 + iz3 + i − 1= g) z10 + (−2 + i)z5 − 2i = Bài Gọi u1; u2 hai bậc hai z1 = 3+ 4i v1; v2 hai bậc hai z2 = 3− 4i Tính u1 + u2 + v1 + v2 ? Bài 10 Giải phương trình sau tập số phức: a) z2 + = d) z2 − 5z + = g) (z + z)(z − z) = b) z2 + 2z + = e) −2z2 + 3z − = h) z2 + z + = c) z2 + 4z + 10 = f) 3z2 − 2z + = i) z2 = z + k) 2z + 3z = + 3i l) ( z + 2i ) +2( z + 2i ) − = m) z3 = z n) 4z2 + z = o) iz2 + (1+ 2i )z + 1= Bài 11 Giải phương trình sau tập số phức:  4z + i  4z + i a)  + 6= ÷ −5 z− i  z− i  c) ( z2 + 2z) − 6( z2 + 2z) − 16 = p) (1+ i )z2 + + 11i = b) ( z + 5i ) ( z − 3) ( z2 + z + 3) = d) z3 − ( 1+ i ) z2 + ( 3+ i ) z − 3i = e) ( z + i ) ( z2  − 2z + 2) = f) z2 − 2iz + 2i − 1= g) z2 − (5− 14i )z − 2(12 + 5i ) = h) z2 − 80z + 4099− 100i = i) (z + 3− i )2 − 6(z + 3− i) + 13 = k) z2 − (cosϕ + i sinϕ)z + i cosϕ sinϕ = Bài 12 Giải phương trình sau tập số phức: a) x2 − (3+ 4i )x + 5i − 1= b) x2 + (1+ i )x − 2− i = c) 3x2 + x + = d) x2 + x + 1= e) x3 − 1= Bài 13 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: a) z3 − iz2 − 2iz − = b) z3 + (i − 3)z2 + (4 − 4i )z − 4+ 4i = ( ) Bài 14 Tìm m để phương trình sau: ( z + i ) z2 − 2mz + m2 − 2m = a) Chỉ có nghiệm phức b) Chỉ có nghiệm thực c) Có ba nghiệm phức Bài 15 Tìm m để phương trình sau: z3 + (3+ i )z2 − 3z − (m+ i ) = có nghiệm thực Bài 16 Tìm tất số phức z cho (z − 2)(z + i ) số thực Trang 104 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 Bài 17 Giải phương trình trùng phương: a) z4 − 8(1− i )z2 + 63− 16i = b) z4 − 24(1− i )z2 + 308− 144i = c) z4 + 6(1+ i )z2 + 5+ 6i = Bài 18 Cho z1, z2 hai nghiệm phương trình: z2 − ( 1+ i 2) z + − 3i = Tính giá trị biểu thức sau: a) z12 + z22 b) z12z2 + z1z22 c) z13 + z23  2  2 z1 z2 3 + z + + d) z1  + ÷ e) f) z z + z z  ÷ 2 12 ÷ ÷ z2 z1  z2 z1   z1 z2  Bài 19 Cho z1, z2 hai nghiệm phương trình: x2 − x + 1= Tính giá trị biểu thức sau: a) x12000 + x22000 b) x11999 + x1999 c) x1n + x2n, n∈ N Bài 20 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn hệ thức sau: a) z =3 z− i c) z = b) z2 + z2 = Bài 21 Hãy tính tổng S = 1+ z + z2 + z3 + zn−1 biết z = cos z 2π 2π + i sin n n Bài 22 Viết dạng lượng giác số phức sau: b) (1− i )(2 + i ) a) i + i + i + i + c)  π π π e) −3 cos + i sin ÷  6 π g) sinα + i(1− cosα ), < α < Bài 23 Tìm mơđun acgumen số phức sau: d) 1− sinα + i cosα , < α < a) (2 + 2i ) + (1− i ) (1+ i )6 (2 − 2i ) b) (−1+ i )4 ( 3− i) 10 + f) cotα + i, π < α < (2 2+ i 1− i + 2i ) π c) ( 1+ i 3) + ( 1− i 3) n n π π d) − sin + i cos 8 π π e) cos − i sin f) −2 + 3i 4 π 1+ cosα + i sinα π g) 1− sinα + i cosα , < α < h) i) − 3i , 0< α < 1+ cosα − i sinα Bài 24 Tìm mơđun acgumen số phức sau: a) (2 + 2i ) + (1+ i )6 b) (−1+ i )4 + ( − i ) ( + 2i ) − 2i ) Bài 25 Chứng minh biểu thức sau có giá trị thực: (1− i ) (2 a) ( 2+ i 5) + ( 2− i 5) 10 n c) ( 1+ i 3) + ( 1− i 3) n n b)  19+ 7i ÷ +  20 + 5i ÷  9− i   7+ 6i      c)  −1+ i ÷ +  −1− i ÷     5     d)  −1+ i ÷ +  −1− i ÷     Trang 105 WWW.ToanCapBa.Net n Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải tốn giải tích 12 6     e)  i + ÷ +  i − ÷     Bài 26 Trong số phức z thoả mãn điều kiện z − + 3i = Tìm số phức z có mơđun nhỏ Bài 27 Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức sau: 4i 2+ 6i ; (1− i)(1+ 2i); i −1 3− i a) Chứng minh ABC tam giác vng cân b) Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vng Bài 28 Giải phương trình sau, biết chúng có nghiệm ảo: a) z3 + (2 − 2i )z2 + (5− 4i)z − 10i = b) z3 + (1+ i )z2 + (i − 1)z − i = c) z3 + (4 − 5i )z2 + (8− 20i )z − 40i = Bài 29 Cho đa thức P (z) = z3 + (3i − 6)z2 + (10 − 18i )z + 30i a) Tính P (−3i) b) Giải phương trình P (z) =  z +  , biết z = 3+ 4i nghiệm phương trình Bài 30 Giải phương trình z =  − ÷ z− 7  Bài 31 Giải phương trình sau: a) z4 + 2z3 − z2 + 2z + 1= b) z4 − 2z3 − z2 − 2z + 1= c) z4 − ( 1+ 2) z3 + ( + 2) z2 − ( 1+ 2) z + 1= e) z6 + z5 − 13z4 − 14z3 − 13z2 + z + 1= Bài 32 Giải phương trình sau: d) z4 − 4z3 + 6z2 − 4z − 15 = a) (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) − 3z2 =   b)  z + i ÷ =  z− i  c) (z2 − z + 1)4 − 6z2(z2 − z + 1)2 + 5z4 =       d)  z − i ÷ +  z − i ÷ +  z − i ÷+ 1=  z+ i   z+ i   z+ i  Bài 33 Chứng minh rằng: z ≤ 2z − i ≤ + iz Bài 34 Cho số phức z1, z2, z3 Chứng minh: 2 2 2 a) z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 2 ( ) ( 1+ z ) = ( 1− z ) ( 1− z ) b) 1+ z1z2 + z1 − z2 = 1+ z1 c) 1− z1z2 − z1 − z2 2 2 2 2 d) Nếu z1 = z1 = c z1 + z2 + z1 − z2 = 4c2 Trang 106 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải toán giải tích 12 Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 107 WWW.ToanCapBa.Net ... CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Trang 21 WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải toán giải tích 12 • Cơ sở phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Số nghiệm phương. .. Trang WWW.ToanCapBa.Net Trần Sĩ Tùng a) WWW.ToanCapBa.Net Phương pháp giải toán giải tích 12 x + 1+ x + + x + = c) 3x + 4x = 5x Bài Giải bất phương trình sau: a) Bài x + 1+ 5x − + 7x − + 13x −