Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 80 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
80
Dung lượng
368,26 KB
Nội dung
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HƯỜNG MỘTSỐDẠNGTOÁNCỰCTRỊTRONGLỚPHÀMMŨVÀHÀMHYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HƯỜNG MỘTSỐDẠNGTOÁNCỰCTRỊTRONGLỚPHÀMMŨVÀHÀMHYPERBOLIC Chuyên ngành: Phương pháp toánsơ cấp Mã số: 84 60 113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục MỞ ĐẦU Mộtsố kiến thức liên quan đến hàmmũhyperbolic 1.1 Tính chất hàmmũhyperbolic 1.1.1 Tính chất hàmmũ 1.1.2 Tính chất hàmhyperbolic 1.2 Đẳng thức sinh hàmmũhàmhyperbolic 1.3 Mộtsố bất đẳng thức chứa đạo hàm tích phân quan trọng ii 1 10 Bất đẳng thức cựctrịlớphàmmũhàmhyperbolic 2.1 Bất đẳng thức lớphàmmũhàmhyperbolic 2.2 Các dạngtoáncựctrị sinh hàmmũhyperbolic 27 27 47 Mộtsốdạngtoán liên quan 3.1 Các phương trình đại số giải phương pháp hàmhyperbolic 3.2 Khảo sát sốlớp phương trình chứa hàmmũhàmhyperbolic 59 59 67 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 ii MỞ ĐẦU Chuyên đề hàm siêu việt (hàm mũ logarit) đề cập lớp 12 bậc trung học phổ thơng Vì ứng dụng hàmmũ logarit không đề cập lớp 10 11 Đặc biệt, giảm tải chương trình, lớphàm hyperbobic không đưa vào SGK Các hàm khảo sát chương trình bồi dưỡng HSG lớp chuyên Toán phục vụ kỳ thi HSG quốc gia, Olympic khu vực quốc tế Trong kì thi học sinh giỏi tốn cấp bậc THPT Olympic khu vực quốc tế, toán liên quan tới hàmmũhàmhyperbolic thường xuyên đề cập Những dạngtoán thường xem thuộc loại khó phần kiến thức sâu sắc hàmmũhàmhyperbolic không nằm chương trình thức giáo trình Đại số Giải tích bậc trung học phổ thơng Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề hàmmũhàm hyperbolic, chọn đề tài luận văn “Một sốdạngtoáncựctrịlớphàmmũhàm hyperbolic” Luận văn nhằm tổng hợp số tính chất hàmmũhàmhyperbolic mối quan hệ chúng Tiếp theo, xét toáncực trị, khảo sát sốlớp phương trình, bất phương trình sốdạng tốn đại số có sử dụng tính chất hàm mũ, hàm ngược hàm logarit hàmhyperbolic Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Mộtsố kiến thức liên quan đến hàmmũhyperbolic Chương Bất đẳng thức cựctrịlớphàmmũhàmhyperbolic Chương Mộtsốdạngtoán liên quan Luận văn sử dụng sốdạngtoán tập từ tài liệu [1]-[9] số iii đề thi Olympic liên quan đến hàmhàmmũhàmhyperbolic năm gần Luận văn hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Tốn thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, huyện Vĩnh Bảo, thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác Thái Ngun, ngày 20 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Trần Thị Hường Chương Mộtsố kiến thức liên quan đến hàmmũhyperbolic 1.1 1.1.1 Tính chất hàmmũhyperbolic Tính chất hàmmũ Xét hàmsốmũdạng f (x) = ax với < a = * Tập xác định: D f = R * Tập giá trị: I f = R+ * Tính đơn điệu: Hàmsố f (x) = ax đồng biến R a > nghịch biến R < a < Nhận xét 1.1 Đồ thị hàmsốmũ có tiệm cận ngang trục Ox phía −∞ a > tiệm cận ngang trục Ox phía +∞ < a < Tiếp theo, ta xét sốđẳng thức lớphàmmũ Tính chất 1.1 (Cơng thức tính đạo hàm) (ex ) = ex ; (eu ) = u eu , (ax ) = ax ln a; (au ) = u au ln a Tính chất 1.2 (Đồng thức lớphàm mũ) Cho < a = Khi đó: a) a f (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x) b) Giả sử b > Khi a f (x) = b ⇔ f (x) = loga b c) a f (x) > ag(x) ⇔ (a − 1)( f (x) − g(x)) > d) Giả sử b > Khi a f (x) > b ⇔ (a − 1)( f (x) − loga b) > 1.1.2 Tính chất hàmhyperbolicTrong phần này, ta trình bày số tính chất hàmmũ đặc biệt, hàmhyperbolic sinh e±x Tính chất 1.3 (Hàm sin hyperbolic) Hàm sin hyperbolic ex − e−x sinh x = hàmsố lẻ R sinh x ≥ 0, ∀x ≥ 0, sinh x < 0, ∀x < (sinh x) = cosh x; (sinh u) = u cosh u Ta có (sinh x) = cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R nên hàmsố sinh x đồng biến R Do (sinh x) = sinh x nên hàmsố sinh x lồi (0; +∞) lõm (−∞; 0) Tính chất 1.4 (Hàm cosin hyperbolic) Hàm cosin hyperbolic cosh x = ex + e−x hàmsố chẵn R Ta có (cosh x) = sinh x; (cosh u) = u sinh u (cosh x) = sinh x nên hàmsố cosh x đồng biến (0; +∞) nghịch biến (−∞; 0) Do (cosh x) = cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R cosh x lồi R Tính chất 1.5 (Hàm tang hyperbolic) Hàm tang hyperbolic sinh x ex − e−x x = = cosh x ex + e−x hàmsố lẻ R Ta có (tanh x) = u ; (tanh u) = cosh x cosh2 u Do (tanh x) = > 0, ∀x ∈ R cosh2 x nên hàmsố x đồng biến R Tính chất 1.6 (Hàm cotang hyperbolic) Hàm cotang cosh x ex + e−x coth x = = sinh x ex − e−x hàmsố lẻ R \ {0} Ta có (coth x) = −1 −u ; (coth u) = sinh2 x sinh2 u < 0, ∀x ∈ R\ {0} nên hàmsố coth x đồng biến sinh2 x khoảng (−∞; −1) (1; +∞) (coth x) = − Tính chất 1.7 (Cơng thức khai triển tổng hiệu) cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, (1.1) cosh (x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y, (1.2) sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, (1.3) sinh (x − y) = sinh x cosh y − cosh x sinh y, (1.4) (x + y) = x + y , + x y (1.5) (x − y) = x − y − x y (1.6) Chứng minh Ta có cosh x cosh y + sinh x sinh y = ex + e−x ey + e−y ex − e−x ey − e−y + 2 2 ex+y + e−x−y = cosh(x + y) = Từ đó, suy (1.1) Tiếp theo, cơng thức (1.1) thay y −y, ta thu cosh (x − y) = cosh x cosh(−y) + sinh x sinh(−y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y Ta nhận (1.2) Các cơng thức lại (1.3)-(1.6) chứng minh tương tự Từ công thức cộng ta dễ dàng chứng minh công thức nhân sau Tính chất 1.8 (Cơng thức khai triển góc nhân hai nhân ba) sinh (2x) = sinh x cosh x, cosh (2x) = cosh2 x + sinh2 x = 2cosh2 x − = + 2sinh2 x, (2x) = x , + tanh2 x sinh (3x) = 4sinh3 x + sinh x, cosh (3x) = 4cosh3 x − cosh x Tính chất 1.9 (Cơng thức biến đổi tích thành tổng) [cosh(x + y) + cosh(x − y)] , sinh x sinh y = [cosh(x + y) − cosh(x − y)] , sinh x cosh y = [sinh(x + y) + sinh(x − y)] cosh x cosh y = Tính chất 1.10 (Cơng thức biến đổi tổng thành tích) x−y x+y cosh , 2 x+y x−y cosh x − cosh y = sinh sinh , 2 x−y x+y cosh , sinh x + sinh y = sinh 2 x+y x−y sinh x − sinh y = cosh sinh , 2 sinh(x + y) x + y = , cosh x cosh y sinh(x − y) x y = cosh x cosh y cosh x+ cosh y = cosh 1.2 Đẳng thức sinh hàmmũhàmhyperbolicTrong phần ta xét sốdạngtoán áp dụng tính chất hàmmũhàmhyperbolic Bài tốn 1.1 Tính giá trịhàmhyperbolic điểm ln ln Lời giải Theo định nghĩa, ta có eln − e−ln = sinh(ln 2) = 61 Ta chứng minh phương trình (3.2) có nghiệm Thật vậy, đặt x = sinht, ta phương trình sinh 3t = q ⇔ t = ln (q ± Từ đó, ta nghiệm x = q2 + 1) ⇔ x = sinh q+ q2 + + q− ln (q + q2 + 1) q2 + c Nhận xét phương trình x3 + px = q quy dạng (3.1) (3.2) cách đặt x = my; m2 = ±4p d Xét phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0, a = Chia hai vế cho a, ta b c d x3 + x2 + x + = 0, a = a a a Phương trình ln quy dạng (3.1) phép đặt y = x + b 3a Bài tốn 3.1 Giải phương trình x3 − 3x = 10 m3 Lời giải Đặt x = my ta = 2015 chọn = ⇒m=2 3m Thay vào ta 8y3 − 6y = 10 ⇔ 4y3 − 3y = m3 y3 − 3my Áp dụng công thức nghiệm phương trình (3.1) ta y= √ + 24 + √ − 24 √ + 24 + √ − 24 suy x=2 Bài toán 3.2 Giải phương trình x3 − 12x = −32 62 m3 Lời giải Đặt x = my ta = −32 chọn = ⇒m=4 12m 3 Thay vào ta 64y − 48y = −32 ⇔ 4y − 3y = −2 ⇔ 4(−y)3 − 3(−y) = m3 y3 − 12my Đặt z = −y, 4z3 − 3z = Áp dụng cơng thức nghiệm phương trình (3.1), ta z= √ 2+ 3+ suy x = −4 3 √ 2+ 3+ √ − 3, √ 2− Bài toán 3.3 Giải phương trình x3 + 5x = Lời giải Đặt x = my ta m3 y3 + 5my m3 = Chọn m cho = , m = 5m 20 Thay vào phương trình cho, ta thu 20 20 20 y +5 y=1 3 √ 3 ⇔4y + 3y = √ 20 Áp dụng cơng thức nghiệm phương trình (3.2) ta y= Suy √ √ 3 + 527 √ + 20 √ √ √ 20 3 + 527 √ x= + 20 √ √ 3 − 527 √ 20 √ √ 3 − 527 √ 20 Bài toán 3.4 Giải phương trình x3 − 3x2 + 4x+3 = 63 Lời giải Ta sử dụng biến đổi sau x3 − 3x2 + 4x+3 = ⇔ x3 − 3x2 + 3x − + x + = ⇔ (x − 1)3 + (x − 1) = −5 Đăt y = x − phương trình cho trở thành y3 + y = −5 m3 Đặt y = mz, ta m3 z3 + mz = −5 Chọn m cho = hay m = √ m 3 Thay vào phương trình cho, ta thu √ −15 3 √ z + √ z = −5 ⇔ 4z + 3z = 3 Áp dụng cơng thức nghiệm phương trình (3.2), ta z= √ √ −15 + 676 + hay x= √ √ √ 3 + 527 √ + 20 √ √ −15 − 676 √ √ 3 − 527 √ + 20 Nhận xét 3.2 Ta nêu cách xây dụng phương trình hệ liên quan: sinh u = sinh v ⇔ cos h ⇔ sinh u−v sinh u = − sinh v ⇔ sinh ⇔ sinh u−v u+v sinh 2 u+v cosh u = cosh v ⇔ sinh =0 ⇔ u = v, u−v u+v cos h 2 =0 ⇔ u = −v, u+v u−v sinh 2 =0 64 ⇔ sinh u+v u = −v u=v ⇔ sinh (u − v) = ⇔ sinh (u − v) ⇔ u = v, cosh u cosh v sinh (u + v) u = − v ⇔ = ⇔ sinh (u + v) ⇔ u = −v, cosh u cosh v u = v ⇔ a2 − b2 = ⇒ ∃u : cosh u = |a| ; sinh u = b √ √ Bài tốn 3.5 Giải phương trình + + x2 = x − + x2 Lời giải Đặt x = sinh 2t phương trình trở thành + sinh2 2t = x − 1+ ⇔ 1+ ⇔ + sinh2 2t cosh2 2t = sinh 2t + cosh2 2t √ + cosh 2t = sinh 2t (1 + cosh 2t) √ ⇔ cosht = sinht cosht + 2(1 + 2sin2t) ⇔ √ = sinht + 4sin2t √ 1+ √ √ 1+ √ 1 sinh 3t = √ ⇔ t = ln ⇔ x = sinh ln √ 1+ √ ⇔x= 2 − √ 1+ √ − 23 65 Bài toán 3.6 Giải phương trình √ √ + + x2 = x + + x2 Lời giải Đặt x = sinh 2t phương trình trở thành + sinh2 2t = x + 1+ 1+ ⇔ ⇔ + sinh2 2t cosh2 2t = sinh 2t + cosh2 2t √ + cosh 2t = sinh 2t (1 + cosh 2t) √ cosht = sinht cosht + 2(1 + 2sin2t) √ = sinht + 4sin2t √ 1 1+ √ sinh 3t = √ ⇔ t = ln 2 √ 1+ √ ⇔ x = sinh ln √ 23 √ − 23 1+ 1+ √ √ ⇔x= − 2 √ Bài tốn 3.7 Giải phương trình 16x3 + 7x = + x2 ⇔ Lời giải Đặt x = sinht phương trình trở thành 16sinh3t + sinht = + sinh2t ⇔ 16sinh3t + sinht = cosht ⇔ 16sinh3t + 12 sinht = sinht + cosht 66 ⇔ 4sinh3t + sinht = Do sinht + cosht 4 (∗) 2 cosh u = − = ⇒ ∃u : nên u = ln 4 sinh u = (∗) ⇔ sinh 3t = cosh u sinht + sinh u cosht ⇔ sinh 3t = sinh (t + u) ⇔ t = Thay vào ta x = sinh ln 2 u ln = 2 = √ 2 √ Bài toán 3.8 Giải phương trình 32x4 − 32x2 − 5x + = x2 − x≥1 x ≤ −1 Nếu x ≥ đặt x = cosht phương trình trở thành Lời giải Điều kiện 32cosh4t − 32cosh2t − cosht + = cosh2t − ⇔ 32cosh4t − 32cosh2t − cosht + = sinh2t ⇔ cosh 4t = cosht + |sinht| Nhận xét 3.3 Nhận xét phương trình có nghiệm t có nghiệm −t nên ta cần xét t ≥ Phương trình trở thành cosht + sint 4 4t = −t − ln 4t = t + ln cosh 4t = cosht + sint ⇔ cosh 4t = ⇔ cosh 4t = cosh(t + ln 2) ⇔ −ln t = ⇔ t = ln ⇔ ln t= 67 ln Thay vào phương trình ban đầu, ta x = cosh Nếu x ≤ −1, đặt x = − cosht phương trình trở thành √ 4+1 = √ 232 32cosh4t − 32cosh2t + cosht + = cosh2t − ⇔ 32cosh4t − 32cosh2t + cosht + = sinh2t ⇔ cosh 4t = −5 cosht + |sinht| Nhận xét phương trình có t nghiệm −t nghiệm, nên ta cần xét t ≥ Khi đó, phương trình trở thành cosh 4t = −5 cosht + sint ⇔ cosh 4t = − cosht − sint 4 ⇔ cosh 4t = − cosh(t − ln 2) ⇔ / 3.2 Khảo sát sốlớp phương trình chứa hàmmũhàmhyperbolic Bài tốn 3.9 Giải phương trình 9x (3x + 2x ) = 2x (8x + 7x ) + 5x (5x − 2x ) Lời giải Phương trình chứa hàmsốmũ x, số khác Ta dùng định lí Lagrange sau đưa biểu thức dạng f (a) = f (b) Ta có 9x (3x + 2x ) = 2x (8x + 7x ) + 5x (5x − 2x ) ⇔ 10x − 16x − 25x = 14x − 18x − 27x ⇔ 10x + 12x − 16x − 25x = 12x + 14x − 18x − 27x (∗) Đến đây, ta xét hàmsố f (t) = t x + (t + 2)x − (t + 6)x − (t + 15)x , t > 0, 68 x nghiệm phương trình cho Do (∗) ⇔ f (10) = f (12) Hàm f (t) liên tục đoạn [10, 12] nên theo định lí Lagrange, tồn c ∈ (10, 12) f (10) − f (12) cho f (c) = = Do đó, x nghiệm phương trình cho 10 − 12 phải thỏa mãn điều kiện x[cx−1 + (c + 2)x−1 − (c + 6)x−1 − (c + 15)x−1 ] = ⇔x = ∨ cx−1 + (c + 2)x−1 = (c + 6)x−1 + (c + 15)x−1 Đẳng thức thứ hai cho ta x = • Nếu x < x − < nên cx−1 + (c + 2)x−1 > (c + 6)x−1 + (c + 15)x−1 • Nếu x > x − > nên cx−1 + (c + 2)x−1 < (c + 6)x−1 + (c + 15)x−1 Thử trực tiếp, ta thấy hai giá trị x = 0, x = thỏa mãn nên phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Bài toán 3.10 Giải phương trình x e + (x − x)ln (x + 1) = e √ 3x Lời giải Ta dễ thấy phương trình có ba nghiệm x = 0, x = ±1 Tiếp theo, ta chứng minh trường hợp x = 0, x = ±1 phương trình cho vơ nghiệm Thật vậy, giả sử có số x0 = 0, x0 = ±1 nghiệm phương trình cho √ Khi đó, rõ ràng x0 = x0 ex0 + (x03 − x0 )ln (x02 + 1) = e √ 3x Vì hàmsố f (t) = et liên tục nên tồn giá trị c nằm hai số x0 , cho √ ex0 − e x0 c e = √ x0 − x0 (3.3) √ x 69 Nhưng từ (3.3), ta lại có √ ex0 − e x0 √ = x0 − x0 √ − x02 − x0 x0 + x02 ln (x0 + 1) < 0, tức ec < 0, vơ lí Do đó, ta có đpcm Phương trình cho có ba nghiệm x = 0, x = ±1 Bài toán 3.11 Cho a, b số thực với a < b Xét hàm f (x) = sinh x g(x) = cosh x Chứng minh phương trình sinh a − sinh b = (a − b) cosh x cosh a − cosh b = (a − b) sinh x có nghiệm thuộc (a; b) Lời giải Áp dụng định lí giá trị trung bình Lagrange, ta thấy f (x) khả vi (a, b) liên tục [a.b] tồn x1 ∈ (a; b) cho f (a) − f (b) = (a − b) f (x1 ) Mặt khác, (cosh x) = sinh x (sinh x) = cosh x nên ta áp dụng định lí giá trị trung bình Lagrange, tồn x1 , x2 ∈ (a; b) cho sinh a − sinh b = (a − b) cosh x1 cosh a − cosh b = (a − b) sinh x2 , ta thu điều cần chứng minh 70 Bài toán 3.12 Cho số thực < a < b Chứng minh phương trình x cosh x − sinh x = a sinh b − b sinh a b−a có nghiệm thuộc (a; b) sinh x Lời giải Xét hàmsố g(x) = h(x) = (a, b) Ta có g (x) = x x x cosh x − sinh x −1 , h (x) = x2 x Theo định lý Cauchy tồn x0 ∈ (a; b) cho [h(b) − h(a)]g (x0 ) = [g(b) − g(a)]h (x0 ), hay 1 x0 cosh x0 − sinh x0 sinh b sinh a −1 − − = b a x0 b a x0 a sinh b − b sinh a (a − b)(x0 cosh x0 − sinh x0 ) = − bax0 abx0 a sinh b − b sinh a Suy x0 cosh x0 − sinh x0 = b−a a sinh b − b sinh a có nghiệm Vậy phương trình x cosh x − sinh x = b−a thuộc (a; b) Do Bài tốn 3.13 Cho a > chứng minh phương trình nghiệm thực aex x2 = + x + có Lời giải Trước hết, xét hàmsố g(x) = e−x f (x) Ta có g (x) = e−x [ f (x) − f (x)] > Do g hàm tăng nên g(x) > g(x0 ) = 0, ∀x > x0 Vậy f (x) > 0, ∀x > x0 x2 Áp dụng với hàmsố f (x) = aex −1−x− Khi lim f (x) = −∞ lim f (x) = x→+∞ x→+∞ +∞ Do f có nghiệm thực Ta chứng minh f có nghiệm 71 Thật vậy, ∀x ∈ R ta có f (x) = aex − − x > f (x) Theo nhận xét phương trình có nghiệm Bài tốn 3.14 Giải phương trình 4|x| + 2|x| = 4x + Lời giải Theo bất đẳng thức Bernoulli t α + α − > αt ∀t > 1, α > t α + α − < αt ∀t > 1, < α < 2x ≤ x + x ∈ [0; 1) 4x ≤ 3x + Khi x < vế trái phương trình nhỏ vế phải phương trình suy 2x ≥ x + 1, 4x ≥ 3x + x ≥ Đẳng thức xảy x = x = 1, từ suy phương trình có nghiệm x = 0, x = Bài toán 3.15 Giải phương trình 41+x + 41−x = 2x + 2−x + 31+x + 31−x Lời giải Sử dụng bất đẳng thức a > b > ax + a−x ≥ bx + b−x , ∀x ∈ R ⇔ (ax − bx ) + a−x − b−x ≥ ⇔ (ax − bx ) − ax bx > (ab)x Nếu x < (ax − bx ) < 0; − < (ab)x Nếu x = ta có đẳng thức Nếu x > (ax − bx ) > 0; − ≥ 72 Áp dụng vào toán cho, ta có 4x + 4−x ≥ 2x + 2−x 4x + 4−x ≥ 3x + 3−x Do [4x + 4−x ] ≥ 2x + 2−x + (3x + 3−x ) Dấu = xảy x = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài toán 3.16 (Tuyển tập Olympic 30 tháng 4, lần XII - 2006) Giải phương trình 3x +x+2 + x3 − 3x + 32x−x = 34x+1 Lời giải Ta có 3x +x+2 ⇔ 3x + x3 − 3x + 32x−x = 34x+1 +x+2 3x −2x + x3 − 3x + 32x−x 3x −2x = 34x+1 3x ⇔ 32x −x+2 + x3 − 3x + = 3x ⇔ 32x −x+2 + 2x3 − x + − x3 + 2x + = 3x ⇔ 32x −x+2 + 2x3 − x + = 3x −2x +2x+1 +2x+1 +2x+1 + x3 + 2x + Đặt f (t) = 3t + t, u = 2x3 − x + 2, v = x3 + 2x + Phương trình trở thành f (u) = f (v) , f (t) = 3.ln + > 0, ∀t ∈ R nên f (t) đồng biến R Vậy nên f (u) = f (v) ⇔ u = v Vậy nên 2x3 − x + = x3 + 2x + ⇔ x3 − 3x + = Đặt g (x) = x3 −3x+1 Ta có g (x) liên tục R g (1) = −1 < 0, g (2) = > Đặt x = cos α; α ∈ (0; π) phương trình x3 − 3x + = trở thành: 8cos3 α − cos α + = ⇔ cos 3α = −1 2π k2π ⇔ cos 3α = − ⇔ α = ± + (k ∈ Z) 73 Vậy phương trình cho có ba nghiệm x1 = cos 2π 4π 8π ; x2 = cos ; x3 = cos 9 Bài tốn 3.17 Tìm nghiệm ngun dương a b thỏa mãn phương trình ab = ba Lời giải Ta thấy (a, b) = (n, n), n ∈ N∗ nghiệm Xét trường hợp a = b Giả sử a < b Xét hàmsố f (x) = ln x Rõ ràng ab = ba x f (a) = f (b) − ln x Ta có f (x) = , f x) tăng (0, e) giảm (e, ∞) x2 Như vậy, để f (a) = f (b) < a < e, b > e Ta có a ∈ {1, 2}, b ∈ {3, 4, } Với a = 1, toán khơng có lời giải Với a = 2, ta có b = Rõ ràng 24 = 42 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm (a, b) = (n, n), n ∈ N∗ , (a, b) = (2, 4) (a, b) = (4, 2) 74 Kết luận Luận văn “Một sốdạngtoáncựctrịlớphàmmũhàm hyperbolic” trình bày vấn đề sau: - Luận văn trình bày chi tiết sốđẳng thức bất đẳng thức liên quan đến hàmmũhàmhyperbolic - Tiếp theo trình bày chi tiết dạng tốn cựctrịlớphàmmũhàmhyperbolic nêu phương pháp khảo sát chúng - Cuối cùng, luận văn trình bày dạng tốn liên quan đến phương trình, bất phương trình số tốn chọn lọc từ đề thi HSG quốc gia, Olympic khu vực quốc tế 75 Tài liệu tham khảo A Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu 2006, Bất đẳng thức, định lí áp dụng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) 2010, Số phức áp dụng, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, 2003, Mộtsốtoán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Các đề thi olympic Tốn sinh viên tồn quốc, NXB Giáo dục [5] Tạ Duy Phượng, Hoàng Minh Quân (2017), Phương trình bậc ba với hệ thức hình học lượng giác tam giác, NXBGD Việt Nam [6] Tạp chí TH&TT (2007), Các thi Olympic Tốn trung học phổ thông Việt Nam (1990-2006), NXB Giáo dục [7] Trương Đức Thịnh (2015), Đẳng thức bất đẳng thức lớphàmhyperbolic áp dụng, Luận văn Thạc sĩ, ĐH Thái Nguyên B Tiếng Anh [8] Paulo Ney de Sauza, Jorge- Nume Silva (1998), Berkeley Problems in Mathematics, Springer [9] T-L.T Radulescu, V.D Radulescu, T.Andreescu (2009) Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the real axis Springer ... tài luận văn Một số dạng toán cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic Luận văn nhằm tổng hợp số tính chất hàm mũ hàm hyperbolic mối quan hệ chúng Tiếp theo, xét toán cực trị, khảo sát số lớp phương... đẳng thức cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic Chương Một số dạng toán liên quan Luận văn sử dụng số dạng toán tập từ tài liệu [1]-[9] số iii đề thi Olympic liên quan đến hàm hàm mũ hàm hyperbolic. .. Các dạng toán cực trị sinh hàm mũ hyperbolic 27 27 47 Một số dạng tốn liên quan 3.1 Các phương trình đại số giải phương pháp hàm hyperbolic 3.2 Khảo sát số lớp phương trình chứa hàm mũ