Một số dạng toán cực trị trong lớp hàm mũ và hàm hyperbolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM MŨ VÀ HÀM HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM MŨ VÀ HÀM HYPERBOLIC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 84 60 113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục MỞ ĐẦU Một số kiến thức liên quan đến hàm mũ hyperbolic 1.1 Tính chất hàm mũ hyperbolic 1.1.1 Tính chất hàm mũ 1.1.2 Tính chất hàm hyperbolic 1.2 Đẳng thức sinh hàm mũ hàm hyperbolic 1.3 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm tích phân quan trọng ii 1 10 Bất đẳng thức cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic 2.1 Bất đẳng thức lớp hàm mũ hàm hyperbolic 2.2 Các dạng toán cực trị sinh hàm mũ hyperbolic 27 27 47 Một số dạng toán liên quan 3.1 Các phương trình đại số giải phương pháp hàm hyperbolic 3.2 Khảo sát số lớp phương trình chứa hàm mũ hàm hyperbolic 59 59 67 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 ii MỞ ĐẦU Chuyên đề hàm siêu việt (hàm mũ logarit) đề cập lớp 12 bậc trung học phổ thơng Vì ứng dụng hàm mũ logarit không đề cập lớp 10 11 Đặc biệt, giảm tải chương trình, lớp hàm hyperbobic không đưa vào SGK Các hàm khảo sát chương trình bồi dưỡng HSG lớp chuyên Toán phục vụ kỳ thi HSG quốc gia, Olympic khu vực quốc tế Trong kì thi học sinh giỏi tốn cấp bậc THPT Olympic khu vực quốc tế, toán liên quan tới hàm mũ hàm hyperbolic thường xuyên đề cập Những dạng toán thường xem thuộc loại khó phần kiến thức sâu sắc hàm mũ hàm hyperbolic không nằm chương trình thức giáo trình Đại số Giải tích bậc trung học phổ thơng Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề hàm mũ hàm hyperbolic, chọn đề tài luận văn “Một số dạng toán cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic” Luận văn nhằm tổng hợp số tính chất hàm mũ hàm hyperbolic mối quan hệ chúng Tiếp theo, xét toán cực trị, khảo sát số lớp phương trình, bất phương trình số dạng tốn đại số có sử dụng tính chất hàm mũ, hàm ngược hàm logarit hàm hyperbolic Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Một số kiến thức liên quan đến hàm mũ hyperbolic Chương Bất đẳng thức cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic Chương Một số dạng toán liên quan Luận văn sử dụng số dạng toán tập từ tài liệu [1]-[9] số iii đề thi Olympic liên quan đến hàm hàm mũ hàm hyperbolic năm gần Luận văn hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, huyện Vĩnh Bảo, thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác Thái Ngun, ngày 20 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Trần Thị Hường Chương Một số kiến thức liên quan đến hàm mũ hyperbolic 1.1 Tính chất hàm mũ hyperbolic 1.1.1 Tính chất hàm mũ Xét hàm số mũ dạng f (x) = ax với < a = * Tập xác định: D f = R * Tập giá trị: I f = R+ * Tính đơn điệu: Hàm số f (x) = ax đồng biến R a > nghịch biến R < a < Nhận xét 1.1 Đồ thị hàm số mũ có tiệm cận ngang trục Ox phía −∞ a > tiệm cận ngang trục Ox phía +∞ < a < Tiếp theo, ta xét số đẳng thức lớp hàm mũ Tính chất 1.1 (Cơng thức tính đạo hàm) (ex )′ = ex ; (eu )′ = u′ eu , (ax )′ = ax ln a; (au )′ = u′ au ln a Tính chất 1.2 (Đồng thức lớp hàm mũ) Cho < a = Khi đó: a) a f (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x) b) Giả sử b > Khi a f (x) = b ⇔ f (x) = loga b c) a f (x) > ag(x) ⇔ (a − 1)( f (x) − g(x)) > d) Giả sử b > Khi a f (x) > b ⇔ (a − 1)( f (x) − loga b) > 1.1.2 Tính chất hàm hyperbolic Trong phần này, ta trình bày số tính chất hàm mũ đặc biệt, hàm hyperbolic sinh e±x Tính chất 1.3 (Hàm sin hyperbolic) Hàm sin hyperbolic ex − e−x sinh x = hàm số lẻ R sinh x ≥ 0, ∀x ≥ 0, sinh x < 0, ∀x < (sinh x)′ = cosh x; (sinh u)′ = u′ cosh u Ta có (sinh x)′ = cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R nên hàm số sinh x đồng biến R Do (sinh x)′′ = sinh x nên hàm số sinh x lồi (0; +∞) lõm (−∞; 0) Tính chất 1.4 (Hàm cosin hyperbolic) Hàm cosin hyperbolic cosh x = ex + e−x hàm số chẵn R Ta có (cosh x)′ = sinh x; (cosh u)′ = u′ sinh u (cosh x)′ = sinh x nên hàm số cosh x đồng biến (0; +∞) nghịch biến (−∞; 0) Do (cosh x)′′ = cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R cosh x lồi R Tính chất 1.5 (Hàm tang hyperbolic) Hàm tang hyperbolic sinh x ex − e−x = x = cosh x ex + e−x hàm số lẻ R Ta có u′ ′ (tanh x) = ; (tanh u) = cosh2 x cosh2 u ′ Do (tanh x)′ = > 0, ∀x ∈ R cosh2 x nên hàm số x đồng biến R Tính chất 1.6 (Hàm cotang hyperbolic) Hàm cotang cosh x ex + e−x = coth x = sinh x ex − e−x hàm số lẻ R \ {0} Ta có (coth x)′ = −1 −u′ ′ ; (coth u) = sinh2 x sinh2 u < 0, ∀x ∈ R\ {0} nên hàm số coth x đồng biến sinh2 x khoảng (−∞; −1) (1; +∞) (coth x)′ = − Tính chất 1.7 (Cơng thức khai triển tổng hiệu) cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, (1.1) cosh (x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y, (1.2) sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, (1.3) sinh (x − y) = sinh x cosh y − cosh x sinh y, (1.4) (x + y) = x + y , + x y (1.5) (x − y) = x − y − x y (1.6) Chứng minh Ta có cosh x cosh y + sinh x sinh y = ex + e−x ey + e−y ex − e−x ey − e−y + 2 2 ex+y + e−x−y = = cosh(x + y) Từ đó, suy (1.1) Tiếp theo, công thức (1.1) thay y −y, ta thu cosh (x − y) = cosh x cosh(−y) + sinh x sinh(−y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y Ta nhận (1.2) Các công thức cịn lại (1.3)-(1.6) chứng minh tương tự Từ cơng thức cộng ta dễ dàng chứng minh cơng thức nhân sau Tính chất 1.8 (Cơng thức khai triển góc nhân hai nhân ba) sinh (2x) = sinh x cosh x, cosh (2x) = cosh2 x + sinh2 x = 2cosh2 x − = + 2sinh2 x, (2x) = x , + tanh2 x sinh (3x) = 4sinh3 x + sinh x, cosh (3x) = 4cosh3 x − cosh x Tính chất 1.9 (Cơng thức biến đổi tích thành tổng) [cosh(x + y) + cosh(x − y)] , sinh x sinh y = [cosh(x + y) − cosh(x − y)] , sinh x cosh y = [sinh(x + y) + sinh(x − y)] cosh x cosh y = Tính chất 1.10 (Cơng thức biến đổi tổng thành tích) x+y x−y cosh , 2 x+y x−y cosh x − cosh y = sinh sinh , 2 x−y x+y cosh , sinh x + sinh y = sinh 2 x+y x−y sinh x − sinh y = cosh sinh , 2 sinh(x + y) x + y = , cosh x cosh y sinh(x − y) x y = cosh x cosh y cosh x+ cosh y = cosh 1.2 Đẳng thức sinh hàm mũ hàm hyperbolic Trong phần ta xét số dạng toán áp dụng tính chất hàm mũ hàm hyperbolic Bài tốn 1.1 Tính giá trị hàm hyperbolic điểm ln ln Lời giải Theo định nghĩa, ta có eln − e−ln = sinh(ln 2) = 61 Ta chứng minh phương trình (3.2) có nghiệm Thật vậy, đặt x = sinht, ta phương trình sinh 3t = q ⇔ t = ln (q ± Từ đó, ta nghiệm x = q2 + 1) ⇔ x = sinh q+ q2 + + q− ln (q + q2 + 1) q2 + c Nhận xét phương trình x3 + px = q quy dạng (3.1) (3.2) cách đặt x = my; m2 = ±4p d Xét phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0, a = Chia hai vế cho a, ta b c d x3 + x2 + x + = 0, a = a a a Phương trình ln quy dạng (3.1) phép đặt y = x + b 3a Bài tốn 3.1 Giải phương trình x3 − 3x = 10 m3 Lời giải Đặt x = my ta = 2015 chọn = ⇒m=2 3m Thay vào ta 8y3 − 6y = 10 ⇔ 4y3 − 3y = m3 y3 − 3my Áp dụng cơng thức nghiệm phương trình (3.1) ta y= √ + 24 + 3 √ + 24 + suy x=2 √ − 24 √ − 24 Bài toán 3.2 Giải phương trình x3 − 12x = −32 62 m3 Lời giải Đặt x = my ta = −32 chọn = ⇒m=4 12m 3 Thay vào ta 64y − 48y = −32 ⇔ 4y − 3y = −2 ⇔ 4(−y)3 − 3(−y) = m3 y3 − 12my Đặt z = −y, 4z3 − 3z = Áp dụng công thức nghiệm phương trình (3.1), ta z= √ 2+ 3+ suy x = −4 3 √ 2+ 3+ √ − 3, √ 2− Bài tốn 3.3 Giải phương trình x3 + 5x = Lời giải Đặt x = my ta m3 y3 + 5my m3 = , m = = Chọn m cho 5m 20 Thay vào phương trình cho, ta thu 20 20 y +5 y=1 3 √ 3 ⇔4y + 3y = √ 20 20 Áp dụng cơng thức nghiệm phương trình (3.2) ta y= Suy √ √ 3 + 527 √ + 20  √ √ √ 20  3 + 527 √ + x= 20 √ √ 3 − 527 √ 20  √ √ 3 − 527  √ 20 Bài toán 3.4 Giải phương trình x3 − 3x2 + 4x+3 = 63 Lời giải Ta sử dụng biến đổi sau x3 − 3x2 + 4x+3 = ⇔ x3 − 3x2 + 3x − + x + = ⇔ (x − 1)3 + (x − 1) = −5 Đăt y = x − phương trình cho trở thành y3 + y = −5 m3 = hay m = √ Đặt y = mz, ta m3 z3 + mz = −5 Chọn m cho m 3 Thay vào phương trình cho, ta thu √ −15 3 √ z + √ z = −5 ⇔ 4z + 3z = 3 Áp dụng cơng thức nghiệm phương trình (3.2), ta z= √ √ −15 + 676 + hay  x= √  √ √ 3 + 527 √ + 20 3 √ √ −15 − 676  √ √ 3 − 527  √ + 20 Nhận xét 3.2 Ta nêu cách xây dụng phương trình hệ liên quan: sinh u = sinh v ⇔ cos h ⇔ sinh u−v sinh u = − sinh v ⇔ sinh ⇔ sinh u+v u−v sinh 2 u+v cosh u = cosh v ⇔ sinh =0 ⇔ u = v, u−v u+v cos h 2 =0 ⇔ u = −v, u−v u+v sinh 2 =0 64 ⇔ sinh u+v u = −v u=v ⇔ sinh (u − v) = ⇔ sinh (u − v) ⇔ u = v, cosh u cosh v sinh (u + v) = ⇔ sinh (u + v) ⇔ u = −v, u = − v ⇔ cosh u cosh v u = v ⇔ a2 − b2 = ⇒ ∃u : cosh u = |a| ; sinh u = b √ √ Bài tốn 3.5 Giải phương trình + + x2 = x − + x2 Lời giải Đặt x = sinh 2t phương trình trở thành + sinh2 2t = x − 1+ ⇔ 1+ ⇔ √ + sinh2 2t cosh2 2t = sinh 2t + cosh2 2t + cosh 2t = sinh 2t (1 + cosh 2t) √ ⇔ cosht = sinht cosht + 2(1 + 2sin2t) ⇔ √ = sinht + 4sin2t √ 1+ √ √ 1+ √ 1 sinh 3t = √ ⇔ t = ln ⇔ x = sinh ln √  1+ √ ⇔x= 2  − √ 1+ √ − 32   65 Bài toán 3.6 Giải phương trình √ √ + + x2 = x + + x2 Lời giải Đặt x = sinh 2t phương trình trở thành + sinh2 2t = x + 1+ cosh2 2t = sinh 2t + 1+ ⇔ ⇔ + sinh2 2t √ cosh2 2t + cosh 2t = sinh 2t (1 + cosh 2t) √ cosht = sinht cosht + 2(1 + 2sin2t) √ = sinht + 4sin2t √ 1 1+ √ sinh 3t = √ ⇔ t = ln 2 √ 1+ √ ln ⇔ x = sinh   √ 32 √ − 32 1+ 1+  √ √ ⇔x=  − 2 √ Bài tốn 3.7 Giải phương trình 16x3 + 7x = + x2 ⇔ Lời giải Đặt x = sinht phương trình trở thành 16sinh3t + sinht = + sinh2t ⇔ 16sinh3t + sinht = cosht ⇔ 16sinh3t + 12 sinht = sinht + cosht 66 ⇔ 4sinh3t + sinht = Do sinht + cosht 4 (∗)   2  cosh u = − = ⇒ ∃u : nên u = ln  4  sinh u = (∗) ⇔ sinh 3t = cosh u sinht + sinh u cosht ⇔ sinh 3t = sinh (t + u) ⇔ t = Thay vào ta x = sinh ln 2 u ln = 2 = √ 2 √ Bài tốn 3.8 Giải phương trình 32x4 − 32x2 − 5x + = x2 − x≥1 x ≤ −1 Nếu x ≥ đặt x = cosht phương trình trở thành Lời giải Điều kiện 32cosh4t − 32cosh2t − cosht + = cosh2t − ⇔ 32cosh4t − 32cosh2t − cosht + = sinh2t ⇔ cosh 4t = cosht + |sinht| Nhận xét 3.3 Nhận xét phương trình có nghiệm t có nghiệm −t nên ta cần xét t ≥ Phương trình trở thành cosht + sint 4 4t = −t − ln 4t = t + ln cosh 4t = cosht + sint ⇔ cosh 4t = ⇔ cosh 4t = cosh(t + ln 2) ⇔  −ln t =  ⇔ t = ln ⇔ ln t= 67 ln Thay vào phương trình ban đầu, ta x = cosh Nếu x ≤ −1, đặt x = − cosht phương trình trở thành = √ 4+1 √ 232 32cosh4t − 32cosh2t + cosht + = cosh2t − ⇔ 32cosh4t − 32cosh2t + cosht + = sinh2t ⇔ cosh 4t = −5 cosht + |sinht| Nhận xét phương trình có t nghiệm −t nghiệm, nên ta cần xét t ≥ Khi đó, phương trình trở thành cosh 4t = −5 cosht + sint ⇔ cosh 4t = − cosht − sint 4 ⇔ cosh 4t = − cosh(t − ln 2) ⇔ / 3.2 Khảo sát số lớp phương trình chứa hàm mũ hàm hyperbolic Bài tốn 3.9 Giải phương trình 9x (3x + 2x ) = 2x (8x + 7x ) + 5x (5x − 2x ) Lời giải Phương trình chứa hàm số mũ x, số khác Ta dùng định lí Lagrange sau đưa biểu thức dạng f (a) = f (b) Ta có 9x (3x + 2x ) = 2x (8x + 7x ) + 5x (5x − 2x ) ⇔ 10x − 16x − 25x = 14x − 18x − 27x ⇔ 10x + 12x − 16x − 25x = 12x + 14x − 18x − 27x (∗) Đến đây, ta xét hàm số f (t) = t x + (t + 2)x − (t + 6)x − (t + 15)x , t > 0, 68 x nghiệm phương trình cho Do (∗) ⇔ f (10) = f (12) Hàm f (t) liên tục đoạn [10, 12] nên theo định lí Lagrange, tồn c ∈ (10, 12) f (10) − f (12) cho f ′ (c) = = Do đó, x nghiệm phương trình cho 10 − 12 phải thỏa mãn điều kiện x[cx−1 + (c + 2)x−1 − (c + 6)x−1 − (c + 15)x−1 ] = ⇔x = ∨ cx−1 + (c + 2)x−1 = (c + 6)x−1 + (c + 15)x−1 Đẳng thức thứ hai cho ta x = • Nếu x < x − < nên cx−1 + (c + 2)x−1 > (c + 6)x−1 + (c + 15)x−1 • Nếu x > x − > nên cx−1 + (c + 2)x−1 < (c + 6)x−1 + (c + 15)x−1 Thử trực tiếp, ta thấy hai giá trị x = 0, x = thỏa mãn nên phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Bài tốn 3.10 Giải phương trình x e + (x − x)ln (x + 1) = e √ 3x Lời giải Ta dễ thấy phương trình có ba nghiệm x = 0, x = ±1 Tiếp theo, ta chứng minh trường hợp x = 0, x = ±1 phương trình cho vơ nghiệm Thật vậy, giả sử có số x0 = 0, x0 = ±1 nghiệm phương trình cho √ Khi đó, rõ ràng x0 = x0 ex0 + (x03 − x0 )ln (x02 + 1) = e √ x0 Vì hàm số f (t) = et liên tục nên tồn giá trị c nằm hai số x0 , cho √ ex0 − e x0 c e = √ x0 − x0 (3.3) √ x 69 Nhưng từ (3.3), ta lại có √ ex0 − e x0 √ = x0 − x0 √ − x02 − x0 x0 + x02 ln (x0 + 1) < 0, tức ec < 0, vơ lí Do đó, ta có đpcm Phương trình cho có ba nghiệm x = 0, x = ±1 Bài toán 3.11 Cho a, b số thực với a < b Xét hàm f (x) = sinh x g(x) = cosh x Chứng minh phương trình sinh a − sinh b = (a − b) cosh x cosh a − cosh b = (a − b) sinh x có nghiệm thuộc (a; b) Lời giải Áp dụng định lí giá trị trung bình Lagrange, ta thấy f (x) khả vi (a, b) liên tục [a.b] tồn x1 ∈ (a; b) cho f (a) − f (b) = (a − b) f ′ (x1 ) Mặt khác, (cosh x)′ = sinh x (sinh x)′ = cosh x nên ta áp dụng định lí giá trị trung bình Lagrange, tồn x1 , x2 ∈ (a; b) cho sinh a − sinh b = (a − b) cosh x1 cosh a − cosh b = (a − b) sinh x2 , ta thu điều cần chứng minh 70 Bài toán 3.12 Cho số thực < a < b Chứng minh phương trình x cosh x − sinh x = a sinh b − b sinh a b−a có nghiệm thuộc (a; b) sinh x h(x) = (a, b) Ta có g′ (x) = Lời giải Xét hàm số g(x) = x x x cosh x − sinh x ′ −1 , h (x) = x2 x Theo định lý Cauchy tồn x0 ∈ (a; b) cho [h(b) − h(a)]g′ (x0 ) = [g(b) − g(a)]h′ (x0 ), hay sinh b sinh a −1 1 x0 cosh x0 − sinh x0 − = − b a x0 b a x0 a sinh b − b sinh a (a − b)(x0 cosh x0 − sinh x0 ) = − bax0 abx0 a sinh b − b sinh a Suy x0 cosh x0 − sinh x0 = b−a a sinh b − b sinh a Vậy phương trình x cosh x − sinh x = có nghiệm b−a thuộc (a; b) Do Bài tốn 3.13 Cho a > chứng minh phương trình nghiệm thực aex x2 = + x + có Lời giải Trước hết, xét hàm số g(x) = e−x f (x) Ta có g′ (x) = e−x [ f ′ (x) − f (x)] > Do g hàm tăng nên g(x) > g(x0 ) = 0, ∀x > x0 Vậy f (x) > 0, ∀x > x0 x2 Áp dụng với hàm số f (x) = aex −1−x− Khi lim f (x) = −∞ lim f (x) = x→+∞ x→+∞ +∞ Do f có nghiệm thực Ta chứng minh f có nghiệm 71 Thật vậy, ∀x ∈ R ta có f ′ (x) = aex − − x > f (x) Theo nhận xét phương trình có nghiệm Bài tốn 3.14 Giải phương trình 4|x| + 2|x| = 4x + Lời giải Theo bất đẳng thức Bernoulli t α + α − > α t ∀t > 1, α > t α + α − < α t ∀t > 1, < α < 2x ≤ x + x ∈ [0; 1) 4x ≤ 3x + Khi x < vế trái phương trình nhỏ vế phải phương trình suy 2x ≥ x + 1, 4x ≥ 3x + x ≥ Đẳng thức xảy x = x = 1, từ suy phương trình có nghiệm x = 0, x = Bài tốn 3.15 Giải phương trình 41+x + 41−x = 2x + 2−x + 31+x + 31−x Lời giải Sử dụng bất đẳng thức a > b > ax + a−x ≥ bx + b−x , ∀x ∈ R ⇔ (ax − bx ) + a−x − b−x ≥ ⇔ (ax − bx ) − ax bx > (ab)x < Nếu x < (ax − bx ) < 0; − (ab)x Nếu x = ta có đẳng thức Nếu x > (ax − bx ) > 0; − ≥ 72 Áp dụng vào toán cho, ta có 4x + 4−x ≥ 2x + 2−x 4x + 4−x ≥ 3x + 3−x Do [4x + 4−x ] ≥ 2x + 2−x + (3x + 3−x ) Dấu = xảy x = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tốn 3.16 (Tuyển tập Olympic 30 tháng 4, lần XII - 2006) Giải phương trình 3x +x+2 + x3 − 3x + 32x−x = 34x+1 Lời giải Ta có 3x +x+2 ⇔ 3x + x3 − 3x + 32x−x = 34x+1 +x+2 ⇔ 32x ⇔ 32x ⇔ 32x 3x −x+2 −x+2 −x+2 −2x + x3 − 3x + 32x−x 3x + x3 − 3x + = 3x +2x+1 + 2x3 − x + = 3x +2x+1 −2x = 34x+1 3x + 2x3 − x + − x3 + 2x + = 3x −2x +2x+1 + x3 + 2x + Đặt f (t) = 3t + t, u = 2x3 − x + 2, v = x3 + 2x + Phương trình trở thành f (u) = f (v) , f ′ (t) = 3.ln + > 0, ∀t ∈ R nên f (t) đồng biến R Vậy nên f (u) = f (v) ⇔ u = v Vậy nên 2x3 − x + = x3 + 2x + ⇔ x3 − 3x + = Đặt g (x) = x3 −3x+1 Ta có g (x) liên tục R g (1) = −1 < 0, g (2) = > Đặt x = cos α ; α ∈ (0; π ) phương trình x3 − 3x + = trở thành: 8cos3 α − cos α + = ⇔ cos 3α = −1 2π k2π ⇔ cos 3α = − ⇔ α = ± + (k ∈ Z) 73 Vậy phương trình cho có ba nghiệm x1 = cos 4π 8π 2π ; x2 = cos ; x3 = cos 9 Bài tốn 3.17 Tìm nghiệm ngun dương a b thỏa mãn phương trình ab = ba Lời giải Ta thấy (a, b) = (n, n), n ∈ N∗ nghiệm Xét trường hợp a = b Giả sử a < b Xét hàm số f (x) = ln x Rõ ràng ab = ba x f (a) = f (b) − ln x Ta có f ′ (x) = , f x) tăng (0, e) giảm (e, ∞) x2 Như vậy, để f (a) = f (b) < a < e, b > e Ta có a ∈ {1, 2}, b ∈ {3, 4, } Với a = 1, tốn khơng có lời giải Với a = 2, ta có b = Rõ ràng 24 = 42 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm (a, b) = (n, n), n ∈ N∗ , (a, b) = (2, 4) (a, b) = (4, 2) 74 Kết luận Luận văn “Một số dạng toán cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic” trình bày vấn đề sau: - Luận văn trình bày chi tiết số đẳng thức bất đẳng thức liên quan đến hàm mũ hàm hyperbolic - Tiếp theo trình bày chi tiết dạng toán cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic nêu phương pháp khảo sát chúng - Cuối cùng, luận văn trình bày dạng tốn liên quan đến phương trình, bất phương trình số toán chọn lọc từ đề thi HSG quốc gia, Olympic khu vực quốc tế 75 Tài liệu tham khảo A Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu 2006, Bất đẳng thức, định lí áp dụng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) 2010, Số phức áp dụng, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, 2003, Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Các đề thi olympic Tốn sinh viên tồn quốc, NXB Giáo dục [5] Tạ Duy Phượng, Hoàng Minh Quân (2017), Phương trình bậc ba với hệ thức hình học lượng giác tam giác, NXBGD Việt Nam [6] Tạp chí TH&TT (2007), Các thi Olympic Tốn trung học phổ thơng Việt Nam (1990-2006), NXB Giáo dục [7] Trương Đức Thịnh (2015), Đẳng thức bất đẳng thức lớp hàm hyperbolic áp dụng, Luận văn Thạc sĩ, ĐH Thái Nguyên B Tiếng Anh [8] Paulo Ney de Sauza, Jorge- Nume Silva (1998), Berkeley Problems in Mathematics, Springer [9] T-L.T Radulescu, V.D Radulescu, T.Andreescu (2009) Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the real axis Springer ... tài luận văn ? ?Một số dạng toán cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic? ?? Luận văn nhằm tổng hợp số tính chất hàm mũ hàm hyperbolic mối quan hệ chúng Tiếp theo, xét toán cực trị, khảo sát số lớp phương... đẳng thức cực trị lớp hàm mũ hàm hyperbolic Chương Một số dạng toán liên quan Luận văn sử dụng số dạng toán tập từ tài liệu [1]-[9] số iii đề thi Olympic liên quan đến hàm hàm mũ hàm hyperbolic. .. Các dạng toán cực trị sinh hàm mũ hyperbolic 27 27 47 Một số dạng tốn liên quan 3.1 Các phương trình đại số giải phương pháp hàm hyperbolic 3.2 Khảo sát số lớp phương trình chứa hàm mũ