Số học tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ XUÂN DƯƠNG SỐ HỌC TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ XUÂN DƯƠNG SỐ HỌC TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Hữu Điển Hà Nội - Năm 2017 Mục lục Lời nói đầu Chương Cơ sở lí thuyết số học, tổ hợp 1.1 Số học 1.1.1 Tính chất chia hết tập hợp số nguyên 1.1.2 Đồng dư 1.1.3 Hàm phần nguyên 1.2 Nguyên lý Dirichlet 1.3 Nhắc lại tập hợp 1.3.1 Tập hợp 1.3.2 Tập hợp thứ tự 1.3.3 Số phần tử số tập hợp 1.4 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.4.1 Quy tắc cộng 1.4.2 Quy tắc nhân 1.5 Giai thừa hoán vị 1.5.1 Giai thừa 1.5.2 Hoán vị 1.6 Chỉnh hợp, tổ hợp 1.6.1 Chỉnh hợp 1.6.2 Tổ hợp 5 5 8 9 10 11 11 11 11 11 12 Chương Số học tổ hợp 2.1 Bài toán xếp 2.1.1 Bài toán chia hết 2.1.2 Bài toán bất đẳng thức 13 13 14 16 2.2 2.3 2.4 2.5 2.1.3 Bài toán cực trị 2.1.4 Bài toán tổng hợp Dãy số 2.2.1 Bài toán bất đẳng thức 2.2.2 Bài toán dãy 2.2.3 Lựa chọn dãy 2.2.4 Nhóm số hạng lân cận 2.2.5 Dãy số tiêu chuẩn 2.2.6 Bài toán hỗn hợp Mảng số 2.3.1 Tổng hàng tổng cột 2.3.2 Bài toán mảng 2.3.3 Bài toán tập trường 2.3.4 Bài toán trường lân cận 2.3.5 Biến đổi mảng 2.3.6 Mảng tam giác Cấu hình không thứ tự 2.4.1 Chọn tập 2.4.2 Tập hợp kiểu DS 2.4.3 Bài toán phân hoạch tập 2.4.4 Phân hoạch Phép lặp 2.5.1 Các ví dụ giới thiệu 2.5.2 Phương pháp bất biến 2.5.3 Phương pháp đánh giá 2.5.4 Phương pháp đánh giá - mở rộng 20 22 25 25 27 30 33 34 36 38 38 41 44 46 48 50 54 54 56 57 59 61 62 64 66 69 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 Lời nói đầu Có thể nói số học tổ hợp phận thiếu tốn số học nói chung, thường xun xuất đề thi học sinh giỏi cấp Nhưng tài liệu viết số học tổ hợp có đươc đề cập mảng số học Số học tổ hợp thường liên quan nhiều đến đối tượng tập hợp hữu hạn thỏa mãn tính chất số học Vì lẽ tốn mang đặc trưng rõ nét số học có hướng toán dãy số Luận văn đề cập đến phương pháp để giải tốn số học tổ hợp Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm hai chương Chương I: Cơ sở lí thuyết số học, tổ hợp Chương trình bày lại cách có hệ thống kiến thức số học tổ hợp làm sở cho việc cho việc giải toán Chương II: Số học tổ hợp Đầu tiên chúng tơi trình bày tốn xếp sử dụng tính chia hết, kiến thức bất đẳng thức, cực trị, kiến thức tổng hợp để tồn hốn vị thỏa mãn tính chất số học Mục 2.2 giải tốn có liên quan đến dãy số Dãy dãy, tìm giá trị nhỏ lớn tổng phần tử dãy chứng minh tồn dãy thỏa mãn tính chất Mục 2.3 có tốn mảng số liên quan đến toán số học xếp số vào mảng, mảng con, trường lân cân, mảng tam giác Trong Mục 2.4 giúp ta hiểu rõ toán số học đề cập tới tập, tập hợp con, phân hoạch tập phân hoạch Cuối cùng, Mục 2.5 giải toán dãy lặp hữu hạn, vơ hạn tuần hồn phương pháp bất biến phương pháp đánh giá Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Điển Tơi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội, thầy cô trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho thời gian học tập trường Hà Nội, ngày 18 tháng 10 năm 2017 Tác giả Chương Cơ sở lí thuyết số học, tổ hợp Chương nhắc lại số lý thuyết tập hợp hệ thống lý thuyết toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Các nội dung giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ bản, nâng cao hệ chun nghành tốn 1.1 Số học 1.1.1 Tính chất chia hết tập hợp số nguyên Định nghĩa 1.1.1 Với hai số nguyên a b, ta nói a chia hết cho b (hay a bội b, hay b ước a), tồn số nguyên k cho a = kb Lúc ký hiệu a b Trường hợp ngược lại ký hiệu a b ta nói a khơng chia hết cho b Các tính chất tính chia hết i) Nếu a, b nguyên dương mà a b, a ≥ k ii) Nếu a b với i = 1, n ( a1 + a2 + · · · + an ) b iii) Với hai số nguyên không âm a b, b = 0, luôn tồn cặp số nguyên q r cho a = bq + r, ≤ r < b 1.1.2 Đồng dư Định nghĩa 1.1.2 Nếu hai số nguyên a b chia cho số tự nhiên m (m = 0) c1 , b1 , c1 , d1 ) với n ≥ Do đó, trừ J ( a1 , b1 , c1 , d1 ) = (mà xảy a = b = c = d), điều có nghĩa J ( an , bn , cn , dn ) = a2n + bn2 + c2n + d2n > 36 · 1012 với n đủ lớn, số | an |, |bn |, |cn |, |dn | phải lớn · 106 Tuy nhiên, an + bn + cn + dn = 0, từ giả thiết max{ an , bn , cn , dn } ≤ 106 ta thu cận min{ an , bn , cn , dn } ≥ −3 · 106 , max{| an |, |bn |, |cn |, |dn |} ≤ · 106 , mâu thuẫn Chú ý phép biến đổi bên ánh xạ tuyến tính từ R4 → R4 , nên tốn giải cách thơng thường cách tìm giá trị riêng véctơ riêng ma trận × tương ứng 68 Bài 2.5.8 Cho dãy số nguyên x1 , x2 , , xn Nếu i, j số tùy ý cho xi − x j = 1, ta thay số hạng xi , x j số xi + 1, x j − (theo thứ tự này) Chứng minh có hữu hạn bước lặp Giải Đánh giá số nguyên J = x12 + x22 + · · · + xn2 tăng lên sau phép biến đổi, ( xi + 1)2 + ( x j − 1)2 − ( xi2 + x2j ) = 2( xi − x j ) + = Nếu ta đặt m = min{ x1 , x2 , , xn } M = max{ x1 , x2 , , xn }, ta cần với n đạt (y1 , , yn ), ta có cận m − 3n < yi < M + 3n với i = 1, 2, , n (Các cận kéo theo đánh giá J bị chặn dãy lặp.) Phương pháp tiếp cận ta dựa nhận xét sau Với k ∈ Z ta có { x1 , , xn } ∩ {k − 1, k, k + 1} = ∅, {y1 , , yn } ∩ {k − 1, k, k + 1} = ∅ với n (y1 , , yn ) đạt từ ( x1 , , xn ) Do đó, ta giả sử n (y1 , , yn ) mà đạt từ ( x1 , , xn ) thỏa mãn yi ≥ M + 3n với i ∈ {1, 2, , n}, số nguyên a, M ≤ a ≤ yi , phải phần tử thuộc n xuất trình lặp Cho nên tập {y1 , , yn } phải có giao khác rỗng với (n + 1) tập rời { M − 1, M, M + 1}, { M + 2, M + 3, M + 4}, , { M + 3n − 1, M + 3n, M + 3n + 1}, mâu thuẫn Tương tự, ta ngoại trừ trường hợp yi ≤ m − 3n với i ∈ {1, 2, , n} Điều phải chứng minh Bài 2.5.9 Giả sử n số thực, n ≥ 4, viết đường tròn Nếu bốn số kề a, b, c, d thỏa mãn ( a − d)(b − c) < 0, ta đổi chỗ hai số kề b, c Chứng minh ta thực hữu hạn bước biến đổi Giải Đầu tiên ta nhận xét chí có hữu hạn hốn vị n số đường tròn, khơng hiển nhiên dãy biến đổi vô hạn (tức tuần hồn) Ta có ( a − d)(b − c) = ( ab + cd) − ( ac + bd), cặp dấu ngoặc bên phải ta có tích đặt vị trí hai đầu ( a, b, c, d), cặp dấu ngoặc thứ hai ta có tích ( a, c, b, d), mà thu từ ban đầu cách đổi chỗ b, c, ra, cặp trung tâm giống hai (sai khác 69 vị trí) Do đó, đơn giản ta ký hiệu số liên chiều x1 , x2 , , xn xét đánh giá J = x x + x x + · · · + x n −1 x n + x n x , đánh giá tăng, Vì với n cho trước có hữu hạn giá trị J, sau số bước J đạt giá trị lớn nhất, phép biến đổi sau khơng thể xảy 2.5.4 Phương pháp đánh giá - mở rộng Bây ta xét thêm ba tốn khó mà giải cách đánh giá đơn điệu Bài 2.5.10 Giả sử dãy gồm 2n + số ngun có tính chất: Nếu ta xóa số số lại chia thành hai tập n phần tử cho tổng số hai tập giống Chứng minh dãy tạo thành từ 2n + số giống Giải Mỗi số hạng dãy xét sai khác với tổng tất 2n + số hạng số chẵn Điều có nghĩa tồn dãy chứa riêng số chẵn chứa riêng số lẻ Do ta có dãy có dạng 2a1 , 2a2 , , 2a2n+1 , dãy có dạng 2a1 − 1, 2a2 − 1, , 2a2n+1 − 1; hai trường hợp ta xét dãy số nguyên a1 , a2 , , a2n+1 Cách rút gọn bảo toàn tính chất ban đầu dãy, với hai tập n phần tử có số I, J ⊂ {1, 2, , 2n + 1} ta có đẳng thức ∑ 2ai = ∑ 2a j , ∑(2ai − 1) = ∑ (2a j − 1), i∈ I j∈ J i∈ I j∈ J ∑ = ∑ a j i∈ I j∈ J Vì bất đẳng thức | x | ≤ |2x | | x | ≤ |2x − 1| với x ∈ Z, cách rút gọn bên không làm tăng tổng S trị tuyệt đối tất 2n + số hạng dãy Ngoài ra, giá trị S số ngun khơng âm, sau số bước ta thu dãy số nguyên b1 , b2 , , b2n+1 , cho tổng S = |b1 | + |b2 | + · · · + |b2n+1 | không thay đổi sau rút 70 gọn thêm Cho nên với i ∈ {1, 2, , 2n + 1} ta có |bi | = |2bi | (tức bi = 0) |bi | = |2bi − 1| (tức là, bi = 1) Tuy nhiên, số b1 , b2 , , b2n+1 có tính chẵn lẻ, ta có bi = (1 ≤ i ≤ 2n + 1) bi = (1 ≤ i ≤ 2n + 1) Bây dễ kiểm tra theo quy nạp tất (2n + 1) trước chứa số đồng Bài 2.5.11 Từ n số nguyên a1 , a2 , , an ta tạo thành n số a1 + a2 a2 + a3 a + a n a n + a1 , , , n −1 , 2 2 , tiếp tục phép biến đổi Tìm tất n ban đầu biết tất n xuất sau tạo thành số nguyên Giải Nếu a1 = a2 = · · · = an , rõ ràng sau phép biến đổi ta thu ban đầu gồm số nguyên giống Tuy nhiên, ta không vội kết luận tất trường hợp n cần tìm Ví dụ, trường hợp n chẵn, (c, d, c, d, , c, d) có tính chất cần tìm, c d cặp số ngun có tính chẵn lẻ Cho ( a1 , a2 , , an ) n có tính chất cho, đặt M = max{ a1 , a2 , , an } m = min{ a1 , a2 , , an } Vì M (tương ứng m) đánh giá số nguyên không tăng (tương ứng không giảm) phép biến đổi cho M ≥ m, điều có nghĩa giá trị M m dãy lặp vô hạn không thay đổi từ vị trí định (cụ thể bắt đầu với phép lặp (b1 , b2 , , bn )) Nhưng ta có đẳng thức max bn + b1 b1 + b2 b2 + b3 , , , 2 = max{b1 , b2 , , bn } (= M ) dãy b1 , b2 , , bn , b1 số M xuất hai vị trí Nếu ta lặp lại lập luận cho phép lặp sau, theo quy nạp theo k ≥ ta thu khẳng định sau: Trong dãy tuần hồn vơ hạn b1 , b2 , , bn , b1 , b2 , , bn , ... Có thể nói số học tổ hợp phận khơng thể thiếu tốn số học nói chung, thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi cấp Nhưng tài liệu viết số học tổ hợp có đươc đề cập mảng số học Số học tổ hợp thường... Chương Cơ sở lí thuyết số học, tổ hợp Chương nhắc lại số lý thuyết tập hợp hệ thống lý thuyết toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Các nội dung giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ... chương Chương I: Cơ sở lí thuyết số học, tổ hợp Chương trình bày lại cách có hệ thống kiến thức số học tổ hợp làm sở cho việc cho việc giải toán Chương II: Số học tổ hợp Đầu tiên chúng tơi trình