Phương trình vô tỷ phương pháp suy luận tư duy phạm kim chung

http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Chƣơng 1: PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN VÀ CÁC KỸ THUẬT XỬ LÝ Chƣơng giới thiệu bạn đọc: - Các phương pháp giải phương trình vơ tỷ điển hình - Rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp giải tốn - Phân tích sai lầm giải khó khăn phương pháp - Phân tích ưu điểm nhược điểm phương pháp giải tốn - Những góc nhìn cho dạng toán cũ - Trải nghiệm số phương pháp giải toán kỹ thuật lạ như: Khép chặt miền nghiệm để đánh giá, truy ngược dấu biểu thức liên hợp… A PHƢƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA Một số dạng toán - Dạng toán  g(x)   hoaëc f(x)   f x  g x    f(x)  g(x) Ví dụ Giải phương trình 2x   x2  2x  Lời giải  x    x   2x    x  2x   x2  2x       x   x  2x   2x    x      x  - Kết luận Nghiệm phương trình cho x  - Lƣu ý Các bạn để ý việc chọn f(x)  2x   khiến giải toán cách đơn giản việc chọn f(x)  x2  2x   Bài tập tƣơng tự 1) Giải phương trình  x  x2  3x  2) Giải phương trình 2x2  3x    x 3) Giải phương trình 2x   x2  2x  x3  3x   x3  2x  Lời giải  x  2x   x3  3x   x3  2x    3  x  3x   x  2x  x3  2x    x  2x      (Vô nghiệm)  5x  x      - Kết luận Phương trình cho vơ nghiệm - Lƣu ý Trong việc giải phương trình vơ tỷ việc tìm giá trị x để g(x)  phức tạp, nên triển khai việc tìm nghiệm phương trình sau thử vào điều kiện để xét xem nghiệm vừa tìm có thỏa mãn điều kiện tốn hay khơng Ví dụ Giải phương trình http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Trang http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí có thỏa mãn điều kiện f(x)  x3  2x   không 6 109 cách thay trực tiếp giá trị cần tìm vào hàm f(x), ta thấy f      , nên giá trị x  không 125  5 nghiệm phương trình cho Chẳng hạn toán ta cần thử xem x  Bài tập tƣơng tự 1) Giải phương trình x3  2x2   x2 (x  2)  3x 2) Giải phương trình x4   x4  3x  3) Giải phương trình x3   x3  x2  x3  x2   x3  3x  Lời giải 3 2   x  x   x  x   x3  x2   x3  3x     2   x  x   x  3x  x  3x   x3  x     3  29 (Vô nghiệm) x   - Kết luận Phương trình cho vơ nghiệm - Lƣu ý Với tốn có nghiệm số phức tạp hơn, ta làm sau: f(x)  x3  x2   (x2  3x  5)(x 2)  11x 14 Ví dụ Giải phương trình  3  29   3  29  = (x2  3z  5)(x  2)  g(x)  f    g 0     2     Bài tập tƣơng tự 1) Giải phương trình x3  x2  x3  x  2) Giải phương trình x4  x  x4  x2  3) Giải phương trình x5  2x3  (x2  2)(x3  1) x(x3  3x 1)  x(x3  x) Lời giải  x(x  x)  x(x3  3x 1)  x(x3  x)   3  x(x  3x  1)  x(x  x) x(x3  x)     x(x  x)   x   x    x(2 x  1)     x  - Lƣu ý - Sai lầm thường gặp biến đổi phương trình dạng: Ví dụ Giải phương trình x( x3  3x   x3  x)  http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Trang http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí A  A.B  A B trường hợp  B  A.C  (hoaëc AB  0) - Hướng khắc phục: A.B  A.C   A(B  C)=0 Bài tập tƣơng tự Nguyên nhân: 1) Giải phương trình x(x2  2x  3)  x(x2  1) 2) Giải phương trình (x 1)2 (x2  x 1)  (x2  x)(x2  3) 3) Giải phương trình (x 1)2 (x2  x 1)  (x 1)(x3  x2  2) - Tổng quát: n f(x)  n g(x) g(x)  (hoaëc f(x)  0) f x  g x  f x  g x   f(x) = g(x) (Với n  , n  n chẵn) -Dạng tốn 3 x3  2x2   x3  x Lời giải Phương trình cho tương đương với:  x 3  x  2x   x  x  2x  x      x  Ví dụ Giải phương trình   - Kết luận Tập nghiệm phương trình cho T   ;1   Bài tập tƣơng tự 1) Giải phương trình 2) Giải phương trình 3) Giải phương trình 3 x2  2x   x2  x x3  2x2   x  x4  3x2    2x3 Ví dụ Giải phương trình  x  1  x     2x    x  1 x2  2x Lời giải Phương trình cho tương đương với: x   2x    x  1 x2  2x   x  1 x3  x2      x  1 - Kết luận Tập nghiệm phương trình cho T  1;1  x  1  x   Bài tập tƣơng tự 1) Giải phương trình 2) Giải phương trình 3) Giải phương trình - Tổng quát: n       x  1  x  x  1  x x x3   x3  x  1 2 2      x  1   x  1  x  x    x   x2  x x2  3 f x  n g x  f x  g x  Với n  , n  n lẻ  http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Trang http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí - Lƣu ý Chúng ta cần phân biệt rõ đâu cách làm thuộc dạng toán 1, đâu cách làm thuộc dáng toán đứng trước dạng toán n f  x   n g  x  -BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình x2  2x    x Đáp số T = 2; 1 x2  4x   3x  10 Đáp số T = 3; 4 2x3  3x  x2  2x   Đáp số T =  ;    Bài Giải phương trình x2    x  5 Bài Giải phương trình -Dạng toán x3 x 3 x   5x  Đáp số T = 3;1 Đáp số x = 1; x = g  x    f x  g x   f  x   g  x   15  33 x2  2x   x  Lời giải x   x  x5 x2  x   x    2   x  x  x    x  1 - Kết luận Nghiệm phương trình cho x  Bài tập tƣơng tự Ví dụ Giải phương trình 1) Giải phương trình 4x2  2x   2x  2) Giải phương trình 2x2  3x    x 3) Giải phương trình 2x2  x   3x  Ví dụ Giải phương trình x4  2x2    x2 Lời giải 1  x     1 x 1    x 2  4x  x      3  - Kết luận Tập nghiệm phương trình cho T   ;  2     Bài tập tƣơng tự 1  x   x  2x    x   x  2x    x   2  1) Giải phương trình x4  x2   x2  2) Giải phương trình x3  x    x 3) Giải phương trình x6  x3   x3  Ví dụ Giải phương trình   x  3  x  1  x  Lời giải http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Trang http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí x   x    x  3  x  1  x    x   x   1   x   x       x    - Kết luận Nghiệm phương trình cho x  - Lƣu ý -Sai lầm thường gặp:  x  3  x  1  x    x  3 x   x  x  x 1 1    x  A,A  - Nguyên nhân sai lầm: A  A   A,A   A  - Hướng khắc phục: A B  A    A  B  1  Bài tập tƣơng tự   x  3   1) Giải phương trình  x  1  2x  3  x  2) Giải phương trình  2x  1 3x    2x  3) Giải phương trình  x  4  x 2 2    x  g  x    - Tổng quát : n f  x   g  x    n f  x   g  x   - Dạng toán f  x   g  x   f  x   g  x   Với n  , n  n chẵn  3 x3  x2   x  Lời giải Phương trình cho tương đương với: x  3 x  x    x  1  2x  3x    x    Ví dụ Giải phương trình   - Kết luận Tập nghiệm phương trình cho T   ;    Bài tập tƣơng tự 1) Giải phương trình x3  3x2   x  2) Giải phương trình x2  x    x 3) Giải phương trình x3  2x2   x  Ví dụ Giải phương trình  x  3  x  1  x  3 Lời giải Phương trình cho tương đương với:  x  3 x   x    x  3   x  x 1 1    x  http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Trang http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí - Kết luận Tập nghiệm phương trình cho T  2;3 - Lƣu ý Phép biến đổi Bài tập tƣơng tự A3  A phép biến đổi tương đương 1) Giải phương trình  x  1  2x  1  x  2) Giải phương trình 3x  1  x  2  3x  3) Giải phương trình x - Tổng quát: n 3   2x  1  x 1  f  x   g  x   f  x   g  x  n  Với n  , n  n lẻ  - Lƣu ý Chúng ta cần phân biệt rõ đâu cách làm thuộc dạng toán 3, đâu cách làm thuộc dạng toán đứng trước dạng toán n f x  g x - BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Giải phương trình 3x  x3  x   2 Đáp số x =  x4  4x3  14x  11   x Đáp số x  2;x  x3  x2  2x   x Đáp số x  Bài Giải phương trình  10  3x  x  Đáp số x  Bài Giải phương trình  x2  x x    2x  x2 Đáp số x  1 Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình - Dạng toán a1x  b1  a2 x  b2  a3x  b3 - Quy trình giải tốn: a1x  b1   + Bước Giải hệ điều kiện: a2 x  b2  a x  b   + Bước Bình phương vế, đưa phương trình cho dạng + Bước Giải phương trình F x  G x F x  G x + Bước Kiểm tra thỏa mãn nghiệm vừa tìm với điều kiện tốn kết luận Ví dụ Giải phương trình x   x   Lời giải x    x  1 Điều kiện  x   Phương trình cho tương đương với:  x 1  x   2  x    2x   x2  5x    x2  5x    x   2 x  5x     x  x    x  (thỏa mãn) 9x  - Kết luận Nghiệm phương trình cho x  Bài tập tƣơng tự http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Trang http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí 1) Giải phương trình  x  2x   2) Giải phương trình 2x   x  3) Giải phương trình  5x  2x   Ví dụ Giải phương trình  2x  x   3x  Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với:  x  1  3x  2x  5x   3x   2x  5x     x     3 - Kết luận Tập nghiệm phương trình cho T  1;   2  Bài tập tƣơng tự 2 1) Giải phương trình x    x   2x 2) Giải phương trình x   2x   3x  3) Giải phương trình 5x   14x   2x  Ví dụ Giải phương trình  x  x   3x  Lời giải Điều kiện 1  x  Phương trình cho tương đương với:  x  x   3x    x  4x   3x2  10x   5x   3x2  10x  x  1    x     x  1  x  13  13x  10x      x  1 - Kết luận Nghiệm phương trình cho x  1 - Lƣu ý Ở ví dụ 3, để sử dụng phép biến đổi tương đương việc đưa phương trình cho dạng  x  x   3x  để đảm bảo hai vế không âm cần thiết Sai lầm thường mắc phải biến đổi:  x  x   3x     x  x 1   3x  - Biến đổi phép biến đổi tương đương - Để khắc phục vấn đề phải thử lại tập nghiệm tìm vào phương trình ban đầu để kiểm tra nghiệm hay khơng Bài tập tƣơng tự 1) Giải phương trình x   x  x  2) Giải phương trình 3x   x   2x  3) Giải phương trình 11x   x   2x  - Dạng toán a1x2  b1x  c1  a2 x2  b2 x  c2  a3x  b3x  c3 (Trong a1  a2  a3 a1  a3  a2 a2  a3  a1 ) Quy trình giải tốn http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Trang http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí a1x  b1x  c1    Bước Giải hệ điều kiện: a2 x  b2 x  c2    a3 x  b3 x  c3  Bước + Trường hợp: a1  a2  a3 bình phương hai vế đưa phương trình cho dạng  hoaëc a + Trường hợp: a1  a3  a2 F x  G x  a3  a1  , biến đổi phương trình dạng: a2 x2  b2 x  c2  a3x2  b3x  c3  a1x2  b1x  c1  a x2  b x  c  a x2  b x  c  3 1   a2 x  b2 x  c2  a3x  b3x  c3  a1x  b1x  c1    F x  G x Bước Tìm nghiệm phương trình Bước Kiểm tra thỏa mãn nghiệm vừa tìm với điều kiện toán kết luận x2  x   x2  x   2x2  Lời giải Ví dụ Giải phương trình Phương trình cho tương đương với:  x     x2  x   x2  x     2x  2  x  x  x    x   x   x  x2   x  - Kết luận Nghiệm phương trình cho x  Ví dụ Giải phương trình x2  x   x2  x    x Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với:   x  x2  x     x  2x   2 x  x 1   x  x  x 1    2  4  x    x  x  x  4x  11x  4x  3  x  x     x   x  11  185   4x  11x         11  185   - Kết luận Tập nghiệm phương trình cho T  0;      - Lƣu ý - Trường hợp: a1  a3  a2 (ví dụ 2) dạng tốn việc sử dụng hệ điều kiện để biến đổi giúp vừa sử dụng phép biến đổi tương đương vừa sử dụng phép biến đổi hệ - Đặc thù dạng toán việc tìm điều kiện a3x2  b3x  c3  a1x2  b1x  c1  tương đối đơn giản Nếu trường hợp việc tìm điều kiện khó khăn, ưu tiên cho việc sử dụng phép biến đổi hệ - BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Giải phương trình x2   2x2   3x2  Đáp số x  1 http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Trang http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Bài Giải phương trình x2  2x   x2  2x  10  29 Đáp số x  Bài Giải phương trình x2  x  x2  2x  2x2 Đáp số x  0; x  Bài Giải phương trình 2x2   2x   2x2  Đáp số x  Bài Giải phương trình x2  x   2x2  2x  x2  x  Đáp số x  1;x  1  10 http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí Trang http://topdoc.vn - Sách tham khảo, đề thi, giáo án dạy thêm, file word 100% => Truy cập http://topdoc.vn để download miễn phí -Dạng tốn 7: a1x  b1  a2 x  b2  a3x  b3 Phương pháp giải tốn Biến đổi phương trình dạng: 3 a1x  b1 a2 x  b2   a1x  b1  a2 x  b2   a3  a2  a1  x   b3  b2  b1   3  a1x  b1  a1x  b1  a1x  b1    a3  a2  a1  x   b3  b2  b1   27  a1x  b1  a1x  b1  a1x  b1    a3  a2  a1  x   b3  b2  b1  x   x   2x  Lời giải Phương trình cho tương đương với: Ví dụ Giải phương trình  x 1  x    2x   3  x  1 x  2   x 1  x    x    3  x  1 x   2x  3    x   x   thỏa mãn phương trình cho  3 - Kết luận Tập nghiệm phương trình cho T  1;2;  2  Thử lại ta thấy giá trị x  1; x  2; x  2x   x  x  Lời giải Phương trình cho tương đương với: Ví dụ Giải phương trình  2x   x   3 x  2x  1  x   3x   3 x  2x  1     2x   x  x  2x   x  2x  3 x  2x  1 x  1  2x  62x3  81x2  27x   x  Thử lại ta thấy giá trị x  thỏa mãn phương trình cho - Kết luận Nghiệm phương trình cho x  - Lƣu ý - Chúng ta sử dụng đẳng thức  a  b   a3  b3  3ab  a  b  nâng lên lũy thừa - Trong phép biến đổi toán, việc thay a1x  b1  a2 x  b2  a3x  b3 phép biến đổi hệ Vì ta cần thử lại tập nghiệm tìm vào phương trình ban đầu để kiểm tra có nghiệm hay khơng - BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Giải phương trình 2x   x   3x  Đáp số: x    Bài Giải phương trình x   x   2x  Đáp số: T= 1; ;2   Bài Giải phương trình x   x   x   Đáp số: x  2 Bài Giải phương trình 2x   2x   2x   Đáp số: x  1 Trang   2x   3x   3x  5   3x   2x  3   2x  3    3x   2x    3x    2x  3    x   8x  20x  11  Cách 2: Nhờ nhân tử   3x   2x  , ta 3x   2x  Vậy biến đổi PTVT thành  2x  3   2x  3  3x   3x  Xét hàm số f  t   t  t Ta có f '  t   3t   0, t nên f  t  ln đồng biến, mà theo giả thiết f  2x  3  f Suy 2x   3x   3x    2x  3    x   8x  20x  11   3x    Cách 3: Sử dụng nhân liên hợp nhờ nhân tử 3x   2x  3  *  8x3  36x  51x  22  3x   2x  3x    2x  3  8x  36x  51x  22  3  3x  5    8x  36x  51x  22  1      x   8x  20x  11  3  3x   2x  3   2x  3  0   3x   2x  3   2x  3   3x  5 Ví dụ 2: Giải phương trình 81x3  162x  114x  29  2x   Phần nháp: Đầu tiên, tìm nhân tử PTVT 114 162 29 81 Cách 1: Với a  , b  , d  , m  2, n  1, ta được: , c 4 4 u 9a  3an  bm  bu  3 v   2 27a d  9abc  2b 3a u  v    Cách 2: Dễ thấy PTVT có nghiệm x  1, ta có hệ phương trình sau:  u  v  u  3  Tóm lại, PTVT có nhân tử 2x   3x  v    Lời giải 81x3  162x  114x  29  2x    81x  162x  114x  29   3x    2x   3x        3x     2x  1    2x   3x      3x     3x     2x  1  2x  1 Xét hàm số f  t   3t  4t Ta có f '  t   9t   nên f  t  luông đồng biến Từ 1 suy  3x    2x  hay  x  1  27x  27x    - Nhận xét: Phương pháp giúp bạn đọc tìm đẳng thức đẹp PT 1 II Phương trình vơ tỷ có thức dạng So sánh với PTVT có thức dạng f  x  với f  x  có bậc lớn ax  b , nhận thấy phương pháp tìm nhân tử cách đặt ẩn t  f  x  khó để thực Do đó, với PTVT dạng này, phương pháp biết trước nghiệm phổ biến hơn… - Ý tưởng tìm lời giải: Trang Phương pháp biết trước nghiệm giúp tìm nhân tử PTVT qua nghiệm tìm Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 4x  4x    x  1 2x   Phần nháp: Ta tìm nghiệm x   CASIO Khi 2x       x   Vật PTVT có nhân tử  2x   x  Bước biến đổi PTVT: 4x  4x    x  1 2x   3x  6x    x  1 3       x  1  2x   x    x  1 2x   x  2x 2x   2x      2x   x   2x   x  Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… - Nhận xét: Chắc bạn đọc nhận rằng: CASIO mộ trợ thủ đắc lực việc giải tốn Ví dụ 2: Giải phương trình x  7x    x  3 2x  x   Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO để tìm nghiệm PTVT, PTVT lại có nghiệm hữu tỷ: 10 x  x  Nếu nghiệm vơ tỷ ví dụ ta tìm ln nhân tử mà khơng cần nghiệm khác, nghiệm hữu tỷ phải làm sau: Giả sử PTVT có nhân tử 10 Khi x    2x  x   ax  b Khi ấy, nhân tử chứa nghiệm x  10 10a 2x  x   ax  b   b 7 a  b  a  3   Từ ta thấy a,b nghiệm hệ phương trình sau:  10a b     b  x Vậy nhân tử  2x  x   ax  b  a  b Khi x  2x  x   3x   Bước biến đổi PTVT theo nhân tử ta tìm được: x  7x    x  3 2x  x   7x  17x  10   x  3  2x  x 1  3x  3   x  3     2x  x   3x  3 2x  x   x  3   2x  x   3x  2  2x  x   3x  2x  x   3x    Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm - Nhận xét: Những ví dụ cho PTVT có khơng hai nghiệm để bạn dọc dễ tiếp cận với ý tưởng giải PTVT phương pháp Vậy PTVT cho nhiều nghiệm sao? Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 7x  6x  26   5x  32  x  3x   Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta tìm nghiệm PTVT Nhưng bạn sử dụng CASIO để   34 tìm kiếm thêm nghiệm nữa, bạn tìm nghiệm PTVT: x   ; 5; ;  Thực thì,   bạn đọc cần nghiệm số nghiệm đó, làm tương tự ví dụ 2, ta đưa kết quả…Thật vậy, ta có cặp nhân tử tương ứng sau: Trang  34   20 43    ;5    x  3x   19 x  19       34   11    ;    x  3x   x   7     34      ;    x  3x   x        5 4   5;    x  3x   x        5;   x  3x      ;    x  3x   15 x     11 11   Điều khiến PTVT có cách nhóm nhân tử với nhóm cặp nghiệm khác nhau:   7x  6x  26   5x  32  x  3x  209  20 43  15 3  x  3x   x   x  3x   x   13  19 19  11 11  11    x  3x    x  3x   x   7  1 4     x  3x   x   x    x   3   Lời giải: Dành cho bạn dọc tự làm… - Nhận xét: Nếu PTVT có nhiều cặp nghiệm hữu tỷ có nhiều cách phân tích thành nhân tử, chọn lấy cách biến đổi nó… Giờ bạn nhìn ví dụ sau, thấy cách giải đơn giản:    Ví dụ 4: Giải phương trình sau: x  4x   x x  x   13 Phần nháp: Ta tìm nghiệm x  62 14 13 x     2 9 3 x   Vậy nhân tử có  x  x    , từ ta được:   x   x  4x   x x  x  x  2x   x  x  x    2   x x x        x  x    x  x     x  x  x    2      Từ ta  x2  x   x2  x  x   x2  x  x   Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x  6x   x  x   Phần nháp: Dễ thấy phương trình có nghiệm x  x  1  a  b  a  2  Tương tự ví dụ 2, ta có hệ  5  3a  b  b  Từ ta nhân tử Với ý:    x  x   2x   x  x   2x   x  x   2x   x  x  1 x  3 , từ ta được: Trang  x  x 1  2x 1 x  x   2x  1 x  x   2x  1     x  x   2x  1 x  x  x   2x  1 x  x   3x 1  x  6x   x  x    x  1 x  3  3 3 3 x Lời giải: Dành cho bạn đọc tự giải… - Nhận xét: Đôi phải biến đổi nhân tử dạng phân số Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x  3x  7x    3x  1 x  7x   Phần nháp: Ta thấy PTVT có nghiệm x  Suy nhân tử Chú ý 15  5    2x 2 x  7x   Suy   1   x  7x   x  x  7x   x    x  7x   x    x    x  x  1 Do ta có: f  x   x  3x  7x    3x  1 x  7x    x  1  x  x  1   3x  1           x  7x   x       x 1  x  7x   x      3x  1 x  7x   x  x     x  7x   x   x  1    x  7x  6x  x   3x    x2     x  7x   x    x  7x   x    x 1  x  7x   2x  2x   x2 x  7x   x    x 1  x  7x    x  1 x    x2  x  1 x   x  3  x     x  1  x  1 x   x  3   x  1 x    * x2 Đến đây, bạn đọc nhận nhân tử có chung x  2!!! Điều chưa xác, đkxđ: 3  x  x  Vì phải xét trường hợp: TH1: x  Từ * ta có:    x  1 x  3  x     x 1  x 1 x  3   x  1 x   TH2: x  Từ * ta có: f  x      x  1 x  3   x    x  1   x  1 x  3   x  1  x  f x  Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… - Nhận xét: Có lẽ bạn đọc thấy điều: TH2, nhân tử Trang A  x 1    x  1 x  3   x  1  x phân tích tiếp nghiệm x   Thực A     x  1 x  3   x  x  3   x  1 x   x  3  x  3 x 3 Sau đó, có TH trên…Nhưng lại phân tích A thành vậy? Các trường hợp cách làm thức, nhiều thức Vì vậy, đọc tiếp phần III để hiểu phương pháp làm dạng Phần III phần khó thường gặp đề thi đại học, cao đẳng… III Phương trình vơ tỷ có nhiều thức - Ý tưởng tìm lời giải: Phương pháp biết trước nghiệm giúp ích nhiều việc tìm nhân tử… Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 5x   x   x   45  17 32 x  x  Phần nháp: Bước tìm nghiệm PTVT Sử dụng CASIO ta nghiệm x  Để ý rằng: x    x  1 x  1 Vì vậy, coi PTVT chứa thức,  13  17 3  17  x 1   45  17 32  Với x   32  77  17 1  17   x 1  32  Tuy nhiên, PTVT dạng thường khồn có nhân tử dạng dạng    *    x   ax  b  x   ax  b mà có x   m x   n , tức bao gồm dạng Để ý từ * , ta thấy để có nhân tử dạng x 1  x    3  17 Vậy nhân tử PTVT     1   x   m x   n ta lấy: 17  1 để m, n số hữu tỷ x   x   Bước biến đổi PTVT để có nhân tử đó:  5x   x   x   5x   x   x 1 x     8x   x   x  x   x     Để 8x   x  có nhân tử x   x   , ta cần nhân liên hợp: 3   x   x   x   x    8x   x  Do đó: 5x   x   x    3  x   1  x   1    x 1  x   x 1  x    x 1 x 1  x   x 1  x 1  Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… - Nhận xét: Chắc nhiều bạn thắc mắc: Tại lại nhân liên hợp x   x   với x   x   , mà lại 3        x   x   x   x   ???    Thực thì: x   x   x   x    10x   x  3   x   x   x   x    8x  11  x  Chúng khơng có thức dạng x  cần Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 4x    x   x  Trang (Đề thi thử ĐH lần chuyên Lam Sơn 2013) 36  19 Phần nháp: Bước tìm nghiệm x  CASIO 50 1  19 36  19  19 Khi  x   x  thỏa mãn Suy x  10 10 50  x   x 1  Suy PTVT có nhân tử  x   x    Do đó: 4x    x   x  4x    x   x  x  10x    x   x  x   x      Để nhân liên hợp  x   x  với biểu thức để thu  x ta phải chọn: 3  x     x   x   x   10x   x  Từ ta được: 4x    x   x   x   x   x   x 1   x  x   x 1   3  x    x  1      x   x 1 Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x    x   x   x  Phần nháp: Viết lại PTVT dạng sau: x   1 x  1 x  1 x 1 x  24 Sử dụng CASIO, ta tìm nghiệm x  x   25 Giả sử nhân tử có dạng  x  a  x  b   1  a  b  a    Khi ta hệ phương trình:  b  3   a  b   Từ ta nhận nhân tử 1 x  1 x   Từ ta được: x    x   x   x  x   x   1 x  1 x 1 1 x   12  5x  12  x    x Cần nhân liên hợp    1   x     x   x  với biểu thức để thu biểu thức chứa thức 1 x Ta lấy  x   x    x   x   12  5x 12 x     Từ ta được: x    x   x   x  x  x    x   x   x      x  3    x  2 1 x  1 x   1 x  1 x   1 1 x  1 x  1 x   1 x  1 x  Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… - Nhận xét: Bài toán có nghiệm hữu tỷ Chúng thuộc nhân tử lại        x   x  , nhân tử  x   x  khơng có nghiệm Điều tạo điều kiện thuận lợi cho phươn pháp biết trước nghiệm Tuy nhiên, nhiều PTVT có nghiệm hữu tỷ, nghiệm lại thuộc nhân tử khác Để hiểu rõ hơn, bạn đọc xem ví dụ 4: Trang Ví dụ 4: Giải phương trình sau: 5x  15   x  12  x  15  x  24 Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta dễ dàng tìm nghiệm là: x   x  25 Nếu theo phương pháp trên, giả sử PTVT có nhân tử  x  a  x  b   Thì ta có hệ phương trình:   10  10 10  a  b  a    5   1  a  b  b   10  10  5  15 Thật lẻ! Trong PTVT có hệ số nguyên, nên việc phân tích PTVT để có nhân tử   10 10  10  1 x    x   khó khăn, khơng phải không thể! Thật vậy: 15   5x  15   x  12  x  15  x   10 10  10     x  1 x   15     10 15  10 10  1 x  1 x     2   Vậy điều cần gì? Chính tìm nhân tử có dạng    x  a  x  b vừa thỏa mãn nghiệm toán, vừa thỏa mãn a, b  10 10 thỏa mãn nhân tử  ab0 5 a  2 b  Tóm lại, PTVT tồn nhân tử  x   x Từ ta được: Để ý ta thấy: x  Vậy, để a, b    5x  15   x  12  x  15  x    15  25x   6  15  x   x   x   5   x   x   x   x    6  15     x   x   x   x    5x  15  12  x   x 6  15  x Lời giải: Dành cho bạn dọc tự làm…   1 x  1 x   24 nhân tử  x   x nghiệm x   nhân tử 25  x   x  Vậy trường hợp PTVT có nghiệm hữu tỷ sao… - Nhận xét: PTVT có nghiệm x   1 x  Trang Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 3x  10   x   x  4  x  (Đề thi ĐH khối B năm 2011) Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta tìm thấy nghiệm x  5 Tương tự ví dụ 4, ta thấy  x   x  5 Vì lý giá trị  x  x chứa , PTVT có hệ số nguyên, nên ta nghĩ đến nhân tử    x  2  x Khi đó, ta có: 3x  10   x   x  4  x    3x  10   x   x   x        x  2  x   x  2  x       x  2  x  2  x   x  3  5x   2 x  2 x 3 2 x  2 x 2 2x 34 2x - Nhận xét: PTVT có nghiệm hữu tỷ, thay x     2 x  2x   x  2  x Tuy nhiên giả sử thay x  , ta thấy  x  x số hữu tỷ sao? Ví dụ 6: Giải phương trình sau: 2x  5x 1  x    x  Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy PTVT có nghiệm x  a) Phương pháp nhân liên hợp: Khi x  x    x  Do đó: 2x  5x 1  x    x Từ dễ dàng tìm nhân tử  2x  5x      x  1    x 1 x 3 x 3  x  1  x 1 1     x  3  2x     x  1  x 1   Vì PTVT có nghiệm x  nên nhân tử 1     2x    chứa nghiệm x  vơ nghiệm Thành thử ta thấy x  1  x 1     2x  1 x  3  1     2x    không chứa nghiệm x  Vậy ta chứng minh vơ nghiệm: x  1  x 1   1 1 Ta thấy 2x    2x  0  2x  1    x 1 x  1  x 1  x 1 Vậy toán giải theo hướng đó… b) Phương pháp đạo hàm: xét hàm f  x   2x  5x   x    x 1  x 2 4x Giải phương trình f '  x   ta thấy có nghiệm x  2,021126 Do đó, ta phải xét khoảng miền cho x: 73  Nếu x  ta có  36 x2 Ta có f '  x   4x   Trang Khi f '  x    x     f  x   Nếu  x  73 Ta có 36 1   Vì vậy, f  x  đồng biến, suy x  nghiệm x 2 4x x    x  73  55  73  1889  Suy f  x   2x  5x    x    x     x    0 36  18  36  648  Từ ta có giải trọn vẹn toán phương pháp đạo hàm Ví dụ 7: Giải phương trình sau: x    x  1 x    x  1 x   Phần nháp: Sử dụng CASIO ta thấy PTVT có nghiệm x  Do đó, có nhiều cách làm cho dạng này: a) Phương pháp nhân liên hợp: Khi x  x   x   Từ ta được: x    x  1 x    x  1 x    x  1  x  1 x     x  1 x     x     x  1  x2 2  x 1   x 1   x  2    x 1  x2 2 x2 2  x 1 1 Với lý PTVT có nghiệm x   x   chứa nghiệm x  rồi,  x 1   x 1    vô nghiệm chứa nghiệm x  Thành thử, ta thấy x  không thỏa x 2 2   x 1 1 mãn nhân tử Do ta cần chứng minh nhân tử vô nghiệm: x 1 x 1 x 1 x 1     0 x22 x 1  x22 x2 2 x22 x 1   x 1  Vậy    vơ nghiệm Từ dễ dàng có lời giải hồn chỉnh cho tốn… x 2 2   x 1 1 b) Phương pháp đạo hàm: xét hàm số f  x   x    x  1 x    x  1 x  3x  3x   x 1 x  Vì ta thấy f  x   có nghiệm x  f '  x   vô nghiệm nên ta cần chứng minh Khi f '  x    f '  x   f '  x   với x Để biết f '  x   hay f '  x   , ta thử gái trị x mà thỏa mãn đkxđ 0 Vậy ta cần chứng minh f '  x   với x  Ta thấy: Ví dụ: Thay x  f '    3x  3x  3x  3x    1  2 x 1 x  2 3 1 3  1  x   0 2 2 3x  3x  3x  3x    1   1 0 Nếu x  f '  x    x 1 x  2 x2 x2 x2 Từ ta có đpcm Vậy, ta ln có f '  x   0, suy f  x  đồng biến, suy x  nghiệm Nếu  x  f '  x    f  x   Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… Trang - Nhận xét: Phương pháp đạo hàm giúp chứng minh phương trình có nghiệm Tuy nhiên, thường PTVT đa thức phức tạp, việc đạo hàm trở lên khó khăn, đặc biệt việc chứng minh f '  x   f '  x   Trong đó, phương pháp nhân liên hợp ưa chuộng hơn… Tuy nhiên, cố gắng phân tích nhân tử PTVT trên, ta có: x    x  1 x    x  1 x   x   x 1  x x   x 1  3 Sẽ có nhiều bạn thắc mắc: PTVT có nghiệm x  có nhân tử        x   x   ??? Thực PTVT cách phân tích nữa: x    x  1 x    x  1 x     x   x 1 1 Vẫn tồn đọng câu hỏi khó: có nhân tử  x   x 1  x   x   x   ??? Nếu bạn đọc muốn sâu vào việc phân tích nhân tử, đến với ví dụ sau: Ví dụ 8: Giải phương trình sau: x  2x   x  1 x    x  1 x   Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta thấy PTVT có nghiệm x  x   a 3  Giả sử PTVT có nhân tử  x   a x     với a hữu tỷ Khi ta có: 2  x  2x   x  1 x    x  1 x  x  Khi x  x 1  a   ax  a  x  5  x   x  2x  x 2a  2ax  a 1    x  1 x   x   a x      2    ax  a  x  5 x   x  2x  x 2a  2ax  a chứa nhân tử  a 3 Ta cần  x   a x 1    2 2  a 3 a 3   Do  x   a x       x   a x     2 2   3  a  a  3 x   x  a  a  a x    4 ax  a  x  x  2x  x 2a  2ax  a  Suy * với x  3 a  a   x  a  a  a x  4 Nếu x  từ * ta có a  1 a  5  Nhưng a hữu tỉ nên a  1 Vậy nhân tử   x   x   Từ 1   ta được: x  2x   x  1 x    x  1 x  x     x  1 x  Và    x   x 1 1  x 1 1   x   x 1 1  x   x 1 1  x 1 1 Vậy là: x  2x   x  1 x    x  1 x     x  1 x       x   x 1 1    x 1 x   x 1 1  x   1  x   x 1 1  x   x 1 1 x 1  x   Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… - Nhận xét: Phương pháp biết trước nghiệm cho lời giải dài… Trang Tuy nhiên, việc sử dụng số phương, ta sáng tạo cách làm khác độc đáo hơn! Bạn đọc thử quan sát cách làm sau: Với x  x   x   Khi đơi khác biệt 15 x2 1 Ta có x  2x   x  1 x    x  1 x     15 Giả sử PTVT có nhân tử a 3   x   a x     (giống cách làm trên), ta giá trị nhân tử x  là: 2  a 3    a    2    15  p  q  r với p, q, r hữu tỷ Chúng ta cần tìm a hữu tỷ để a a 3  2 a 3  Ta nhân liên hợp   a    với biểu thức để thu đa thức chứa 15 2  a  a 3    a      n    2  2  11  3 1   a  a  3an    a  n  a  an    n  a  15 4 2 2  Đồng với   15 ta được: 11   a  n  a  an  a  a  3an    2  n a 4  2  3 Giải hệ phương trình với nghiệm hữu tỉ, ta  a, n    1; 4  Vậy nhân tử   x   x   Đến bạn đọc tự giải quyết… Ví dụ 9: Giải phương trình sau: x    x  1 x    x  1 x   Phần nháp: Đây tập ví dụ 7, bạn đọc tham khảo cách làm Ngoài ra, phương pháp số phương giúp ích cho tốn này: PTVT có nghiệm x  nên giả sử nhân tử PTVT  x   a x    2a Ta cho x  8,  x   x   10 Giá trị nhân tử   a 10   2a  Và x    x  1 x 1   x  1 x     10 Cần tìm a hữu tỷ để Ta có    10  p  q  r 10 với p, q, r hữu tỷ  a 10   2a  a 10   2a   a 10  n    10a  n  2an   n   2a    an  a  2a  10 Đồng với   10, ta  10a  n  2an n   2a an  a  2a   7 3  Giải hệ phương trình với nghiệm hữu tỷ, ta  a, n   1;   ;  1;8  8  Vậy ta có cách phân tích với nhân tử   x   x     x 1  x   - Nhận xét: Phương pháp phân tích thành nhân tử PTVT hệ số hữu tỷ có thức khó khăn PTVT có nghiệm hữu tỷ Vì vậy, bạn đọc gặp dạng này, sử dụng phương pháp nhân liên hợp đạo hàm để có lời giải nhanh chóng… Trang Tuy nhiên, chưa xét tới việc PTVT vô nghiệm Bạn đọc đọc tiếp phần sau để hiểu thêm cách làm dạng này: IV Phương trình vơ tỷ vơ nghiệm - Lưu ý: Phương pháp đạo hàm sử dụng nhiều phương trình vơ tỷ vơ nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 15x  9x   10x   2x   Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy PTVT vô nghiệm - Ý tưởng 1: Như nói, ta sử dụng phương pháp đạo hàm: Xét hàm số f  x   15x  9x   10x   2x  30x  17 2x  Vì 30x  16   30x  15   30x  15  15 2x   2x  Ta có f '  x   30x   30x  17 2x    30x    30x  15  0 2x  2x  2x     1 Vậy f  x  đồng biến   ;   Suy f  x   f         2 Điều chứng tỏ phương trình f  x   vô nghiệm Suy f '  x   30x   - Ý tưởng 2: Đây trường hợp nhỏ phương trình vơ tỷ có thức dạng theo ý tưởng ta có: t 1 Đặt t  2x   x  Khi phương trình vô tỷ trở thành: 15x  9x   10x   2x    t 1    t 1   t 1   15     10       7 t         1  15t  20t  12t  8t  1   5t  10t  1 3t  2t  1 4 Thế t  2x  vào * ta ax  b Vậy 15x  9x   10x   2x     * 5t  10t  13t  2t  1   2x  1  10 2x    2x  1  2x    5x   2x  3x   2x      Từ đó, ta biến đổi 15x  9x   10x   2x      5x   2x   2x  2x  lời giải chi tiết - Ý tưởng 3: Ta tìm nhân tử phương pháp biết trước nghiệm… Tuy nhiên, điều kiện để sử dụng phương pháp PTVT phải có nghiệm Vậy ta lấy nghiệm đâu ra??? Cách tìm nhân tử sau gây cảm giác khó hiểu cho bạn đọc, thử tìm hiểu xem Ta cần tìm nghiệm phương trình 15x  9x   10x   2x   1 , tiếc, vơ nghiệm Vậy tìm nghiệm phương trình 15x  9x   10x   2x     Giải phương trình CASIO, ta nghiệm x   1 22 Từ ta được: 2x   94 5 x 5 3  Vậy nhân tử PT    2x   x   5  Trang Nhận xét PT 1 PT   biến đổi từ PT 1 giả thiết tạm: 2x  giả sử  2x  3 3   Vậy PT   có nhân tử  2x   x   PT 1 có nhân tử   2x   x   5 5   Tức PT   vay hệ số  2x  có nghiệm, sau trả lại  2x  cho PT 1 3 3   Vì vậy, ta biến đổi PTVT theo nhân tử   2x   x   hay dễ nhìn  2x   x   : 5 5   15x  9x   10x   2x  16  3   2x   x   10x    5  3 3     2x   x    2x   x     2x   x   10x    5 5   3    2x   x   15x  10  2x  5   25x  4x    5x    2x   3x    2x   - Ý tưởng 4: Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh PTVT vơ nghiệm: Ta có 10x   10x    10x   2 2x   2x  Vậy 15x  9x 1  10x 7  2x 1  15x  9x   10x   2x   2x   15x  9x    2x  1  2x   15x  17x   2x   Ta đpcm - Nhận xét: Ý tưởng cho ta cách làm tổng quát tập dạng này, việc sử dụng khó Ý tưởng áp dụng cho tập có thức dạng ax  b Ý tưởng áp dụng cho toán mà sau đổi dấu thức phương trình có ab c nghiệm dạng d Ý tưởng khơng định hình cách làm tổng qt, yêu cầu ta phải tư để biểu thức đẹp Để hiểu ý tưởng trên, bạn đọc thử đến với tốn sau đây: Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 4x  8x  11   4x   x   Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy phương trình vơ tỷ vơ nghiệm Ta thử làm theo ý tưởng - Ý tưởng 1: Đạo hàm Xét hàm số f  x   4x  8x  11   4x   x  Ta có f '  x   8x    6x    8x    6x    x 1 x 1 x 1 x 1 Theo BĐT Cauchuy ta có    x 1 2 x 1 7x    x  1  16  112 x 1  21 x 1 4  8x   24 x   x 1 x 1 x 1 x 1      x    7x   21 x   suy f '  x   7x   21 x    2  x 1  Vậy f  x  đồng biến 1;   Vậy f  x   f 1   - Ý tưởng 2: Đặt ẩn phụ t  x   x  t    Ta có: 4x  8x  11   4x   x    t  1   t  1  11  4  t  1  t  4t  16t  16t  8t  Trang Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy phương trình bậc 4: 4t  16t  16t  8t   vô nghiệm Vậy ta sử dụng phương pháp nhóm thành tổng bình phương (xem thêm đọc thêm, trang   ) Ta tìm được: 2  32   25  4t 16t  16t  8t    t  2t     t    1 9   162  2  16    Hoặc 4t 16t  16t  8t 1   t  2t     t     2 5   25  Hoặc nhiều cách phân tích thành tổng bình phương khác nhau… Sau đó, ta ngược t  x 1 vào PT 1 PT   ta được: 4x  8x  11   4x   x   4t  16t  16t  8t  2 13 1 25   32    x   x 1    x 1    0 9   162   4x  8x  11   4x   x   4t  16t  16t  8t  2 1   16    x   x 1    x 1    0 5  25   Từ ta có nhiều cách phân tích thành tổng bình phương cho tốn - Ý tưởng 3: Phương pháp biết trước nghiệm Theo cách làm ví dụ thay giải phương trình 4x  8x  11   4x   x   , ta giải phương trình 4x  8x  11   4x   x 1  * Nhưng tiếc, PT * không cho nghiệm, chứng tỏ ý tưởng giải phương trình phương pháp bị gạt bỏ… - Ý tưởng 4: Sử dụng bất đẳng thức: x 1  x 3 Theo BĐT Cauchuy ta có: x    x 1  Suy ra: 4x  8x  11   4x   x   4x  8x  11   4x   x   x   4x  8x  11   4x   x 3  x 1   x 1  Vậy ta có đpcm - Nhận xét: Tuy ý tưởng bị gạt bỏ với lý PT * khơng có nghiệm phương trình khơng có ab c ab c , tốn có lời giải Nhưng giả sử PT * cho nghiệm vô tỷ dạng d d “đẹp” Bạn đọc thử sử dụng ý tưởng để giải toán sau: Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 10x   11  x   x  Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy phương trình vơ tỷ vơ nghiệm Phương trình vơ tỷ có thức khác nên cần phải ý… Ta không giải phương trình 10x   11  x   x  mà đổi dấu đồng thời hết tất hệ số đứng trước thức để phương trình mới: 10x   11  x   x  * dạng Giải phương trình * CASIO, ta nghiệm x  3  25  2   1 x    1 x  1 x   Từ ta    1 x   Vậy nhân tử *  1 x  1 x   Trang   “Có vay, có trả”, phương trình 10x   11  x   x  có nhân tử   x   x  , tức đổi dấu đồng thời tất hệ số thức nhân tử    x   x  , hệ số lại   giữ nguyên… Từ đó, ta biến đổi 10x   11  x   x theo nhân tử   x   x  :  10x   11  x   x  10x  14  16  x  11   x   x     x   x  2 11   x    x   x     1 x  1 x     1 x  1 x  1 x    Vậy toán giải quyết! - Nhận xét: Hầu hết cách làm bà tập dựa nghiệm phương trình vơ tỷ Do đó, với CASIO phòng thi, hẳn nhiều bạn đọc thấy hữu ích nó… Một tập nhỏ cho bạn đọc: Thử giải ví dụ ý tưởng ý tưởng 4, sau so sánh cách làm với ý tưởng 3? Cũng có nhiều bạn đọc cho phương pháp nhóm nhân tử thật dài vơ vị, khơng việc “bình phương” hai vế phương trình để phương trình bậc dễ dàng hơn… Có thể bạn bạn giải phương trình vơ tỷ dễ Trang ... Kết luận Tập nghiệm phương trình cho T  1;2  - Lƣu ý - Quan sát phương trình, ta nhận thấy sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa phương trình cho đưa phương trình hữu tỷ bậc Để tìm nghiệm phương. .. Giải phương trình x3  3x2   x  2) Giải phương trình x2  x    x 3) Giải phương trình x3  2x2   x  Ví dụ Giải phương trình  x  3  x  1  x  3 Lời giải Phương trình cho tư ng... 1) Giải phương trình  x  2x   2) Giải phương trình 2x   x  3) Giải phương trình  5x  2x   Ví dụ Giải phương trình  2x  x   3x  Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tư ng đương