Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử Phòng giáo dục đào tạo huyện tiên du trờng thcs tiên du Chuyên đề BDHS Phân tích đa thức thành nhân tử Giáo viên: Trần Minh Dũng Tổ : Tự nhiên Năm học 2009 2010 Phan I: Tran Minh Duừng THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử Caực phửụng phaựp phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp 1/ Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp chung: Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) Giaûi: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử y)2 Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) Sai lầm học là: Thực đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x) = 9x(x – y) + 10(x – y)2 Sai lầm đổi dấu ba nhân tử ø: –10 (y – x)2 tích –10(y – x)2 Trần Minh Dũng – THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nh©n tư (vì –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x)) Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích Chú ý: Tích không đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng quát, tích không đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó) 2/ Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp chung: Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” Ví dụ 4: Phân tích đa thức 9(x + y) – (x – 2y)2 thành nhân tử +/ Lời giải sai: 1) 9(x + y)2 – (x – y)2 = [3(x + y)]2 – (x – 2y)2 = (3x + 3y – x – 2y)(3x +3 y + x – 2y) = ( 2x +y )(4x + y ) (kết sai) Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc,sai daáu 2) 9(x + y)2 – (x – 2y)2 = [9(x + y) – (x – 2y)][9(x +y) + (x –2y)] = (8x + 11y)(10x + 7y) (kết sai) Sai lầm học sinh là: Biến đổi sai ,kó nhận dạng HĐT chưa tốt +/ Lời giải đúng:9(x + y)2 – (x – 2y)2 = [3(x + y) – (x – 2y)] [3(x + y) + (x – 2y)] = (3x +3 y – x + 2y)(3x + 3y + x – 2y) = (2x + 5y)(4x +y) Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: - Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tư - Phép biến đổi, kó nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu Khai thác toán: * Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có toán Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử * Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” mũ “6” ta có toán Phân tích a6 – b6 thành nhân tử 2 a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) Ví dụ 5: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử Giải: a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) 2 3/ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp chung Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử toán - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, cần lưu ý: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực +Ưu tiên đẳng thức ( nhóm hạng tử lập HĐT vào nhóm */Chú ý:Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích cách triệt để 1) Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 6: Phân tích đa thức x – xy + x – y thành nhân tử (Bài tập 47a)-SGK-tr22) Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y ) Lời giaûi: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) Trần Minh Dũng THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử = x(x y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) 2) Nhoùm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) 3) Nhoùm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Lời giải : x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) 4/ Phối hợp phương pháp thông thường Phương pháp chung Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Ta thường xét phương pháp theo thứ tự: +/Đặt nhân tử chung (nếu có) +/Dùng đẳng thức (nếu đa thức đẳng thức) +/Nhóm nhiều hạng tử (ưu tiên đẳng thức) */Chú ý:Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích cách triệt để Ví dụ 9: Phân tích đa thức x – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Lời giải : x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) VÝ dô 10: a/ 3xy2 - 12xy + 12x = 3x(y2 - 4y + 4) Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du = 3x(y - 2)2 Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nh©n tư b/ 5x2 + 5xy - x - y = (5x2 + 5xy) - (x + y) = 5x(x + y) - (x + y) = (x + y).(5x - 1) c/ x3 - x + x2y + 3xy2 + y3 - y = (x3 + y3) + (3x2y + 3xy2) - (x+y) = (x+y)(x2 - xy + y2) + 3xy(x + y) - (x + y) = (x + y)(x2 - xy + y2 + 3xy - 1) = (x + y)[(x2 + 2xy + y2) - 1] = (x + y)[(x+y)2 - 1] = (x + y)(x + y - 1)(x + y + 1) Caùch : x3 - x + x 2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) Ví dụ 11: Phân tích đa thức A = (x + y + z) – x3 – y3 – z3 thaønh nhân tử Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: B) (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) Giaûi: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) Khai thác toán: 1) Chứng minh A chia hết cho với x, y, z nguyeân 2) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz Hướng dẫn: Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tư Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) vaø x + y + z = ⇔ x+y=–z 3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) 5/ Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác Ví dụ 11: Phân tích đa thức f(x) = 3x – 8x + thành nhân tử Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Giải: Cách tách hạng tử chứa biến: – x2 +/ tách hạng tử : 3x2 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + : = (2x – 2)2 – x2 = (2x – – x)( 2x – + x) = (x – 2)(3x – 2) +/ tách hạng tử : – 8x : 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x +4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách :tách hạng tử tự do: +/ 3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8) = (x – 2)(3x – 2) +/ 16 x − x + = x − x + − ÷ 9 2 4 2 2 = x − ÷ − ÷ = ( x − ) x − ÷ 3 = ( x − ) ( 3x − ) Trần Minh Dũng – THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nh©n tư Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương - Làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – - Làm xuất đẳng thức nhân tử chung 3) Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết học sinh giải toán Khai thác cách giải: Tách hạng tử: 2) – 8x (Cách Nhận xét: Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + ta thấy hệ số số hạng là: 3, – 6, –2, tỷ lệ 6) + ( – 2)= – −6 = hay (– 6).( – 2)= 3.4 vaø (– −2 Khai thác: Trong đa thức 3x2 – 8x + đặt a = 3, b = – 8, c = Tính tích a.c phân tích a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b (ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8) Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – thành nhân tử Ta có: a = – ; b = ; c = – Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12 Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3: b = = + Tran Minh Duừng THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử Khi ủoự ta có lời giải: – 6x2 + 7x – = – 6x2 + 4x + 3x – = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Ví du ïnân cao : a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x – 10xy + 3y2 b/ Cho 2x2 = y2 + xy vaø x ≠ y , xy ≠ x + xy + y Tính : A = x2 + y2 Hướng dẫn : a/ Phân tích: Chọn x làm biến ,khi hệ số : a = ; b = -10y c = 3y2 Ta coù : +/ ac = 9y2 ; ta phải tách b = -10y = b + b2 cho b1b2 = 9y2 +/ Taùch b = -10y =- y + (-9y) –y(-9y) = 9y2 Từ ta có cách giaûi : 3x2 – 10xy + 3y2 = 3x2 – xy – 9xy + 3y2 = x( 3x – y ) – 3y( 3x – y ) = (3x – y)(x – 3y) 2 b/ 2x = y + xy 2x2 - xy - y2 = (x – y)(2x + y) = ( phân tích VT câu a) y = - 2x ( Do x ≠ y ) x + xy + y x − x + x x = = = => A = x2 + y2 x2 + x2 x2 6/ Phương pháp thêm bớt hạng tử Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức Ví dụ 14: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Ta có phân tích: - Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = x4 + 2x2 + – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 - Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giaûi: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Trần Minh Dũng THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử = x(x 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 15: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Cách 1: Thêm x3 bớt x3 thức đặt nhân tử chung) Giải: (làm xuất đẳng x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x đặt nhân tử chung) Giải: (làm xuất x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + ) Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; toång quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x + Ví dụ 16: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử Gợi ý: Thêm đẳng thức) 4x2 bớt 4x2 : (làm xuất Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x) Khai thác toán: * Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có toán: x4 + 64y4 Hướng dẫn giải: Thêm 16x2y2 bớt 16x2y2 : (làm xuất đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) Naâng cao : Tìm n ∈ N cho P = n4 + số nguyên tố Hướng dẫn : P = n4 + = (n2 – 2n + 2)( n2 + 2n + 2) Do n2 – 2n + n2 + 2n + dương , P SNT 10 Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử 1/ x − x + x − 2/ x + x − 3 / x3 + x + x + 4/ x − x + 5/ x − x + x + 16 6/ 4x − 13 x + x − 18 / x3 − x − x + 8/ − x3 − x + x + 9/ 6x − x − 486 x + 81 10/ x − x − 11/ x − 3x + 12/ x − x + 3x + 13 / x + x + 17 x + 10 14/ x + x + x + 15/ x − x − 16/ 2x − 12 x + 17 x − 17 / x + x + 18/ x + x + x + 19 / x + x + 26 x + 24 20/ 2x − x + x − 21/ 3x − 14 x + x + 22/ x + x + x + x + Bài tập 10 : Phân tích đa thức thành nhân tử (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 x – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 (x + x)2 + 4(x2 + x) – 12 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 4(x + 15x + 50)(x2 + 18x +72) – 3x2 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) A = x − x3 + 12 x − 14 x + b) B = x + x + x + x + c)C = 3x + 22 xy + 11x + 37 y + y + 10 d ) D = x − x + 14 x − x + e) E = x − x + 63 20 Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tư Phần II: Các dạng toán áp dụng: A/ ¸p dụng vào toán đại số: I.Tìm x thoả mÃn đẳng thức cho trớc: Ví dụ 1:Tìm x: a/ 3x ( x − 1) + x ( x − 1) = b/ x − x − 5x + 125 = c/ 12 x + x − 27 x − = Híng dÉn: a/ 3x ( x − 1) + x ( x − 1) = ⇔ x ( x − 1) ( + x ) = x = x = ⇔ x − = ⇔ x = 3x + = x = −7 / b/ 12 x + x − 27 x − = ⇔ x ( x + 1) − ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x − 3) ( x + 3) = x = −1/ ⇔ x = / x = −3 / c/ x − x − x + 125 = ⇔ ( x + 125 ) − ( x + x ) = ⇔ ( x + ) ( x − x + 25 ) − x ( x + ) = ⇔ ( x + ) ( x − x + 25 ) = Do x − x + 25 = ( x − 3) + 16 > ⇒ x + = ⇒ x = −5 VÝ dơ 2:T×m x: 2 a/ ( x + x + 1) ( x + x + ) − 12 = 21 Trần Minh Dũng THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử b/ ( x + x + ) + 3x ( x + x + ) + x = Híng dÉn: 2 a/ ( x + x + 1) ( x + x + ) 12 = Đặt x + x + = y ⇒ y ( y + 1) − 12 = ⇔ ( y + ) ( y − ) = ⇒ ( x + x + ) ( x + x − ) = ⇒ x + x − = ⇔ ( x − 1) ( x + ) = x = ⇒ x = −2 b/ ( x + x + ) + 3x ( x + x + ) + x = Đặt x + x + = y ⇒ y + 3xy + x = ⇔ ( x + y ) ( x + y ) = ⇒ ( x + x + ) ( x + x + ) = ⇔ ( x + ) ( x + ) ( x + / ) + / = x = −2 ⇒ x = Nhận xét: Để tìm x thoả mÃn đẳng thức cho trớc,ta biến đổi đẳng thức dạng f(x) = phân tích f(x) thành nhân tử : f(x) = g(x).h(x).k(x) = 0,từ tìm x Bài tập tự luyện: Tìm x thoả mÃn đẳng thøc sau : x ( x + 1) − x − = ( x + 1) − ( x − 1) = 2 ( ) ( ) 2 ( x − ) x + x + + x − = ( x − ) x + x − x − 27 = x + x − x − x = x − x + x − 16 x + 16 = 2 x − x x − x − − = ( )( ) ( x + x − 3) − x ( x + x − 3) + x = ( x − x + 1) + ( x − x + 1) ( x + 1) + ( x 2 2 2 2 II/Tính giá trị biểu thøc: 22 Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du + 1) = Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ1:Tính nhanh: a/ 20022 2 b/ 37,5.6, − 7,5.3, − 6, 6.7,5 + 3,5.37,5 c/ 452 + 402 − 152 + 80.45 Híng dÉn: 2 a/ 2002 − = ( 2002 − ) ( 2002 + ) = 2000.2004 = 4008000 b/ 37,5.6,5 − 7,5.3, − 6, 6.7,5 + 3,5.37,5 = 37,5 ( 6,5 + 3,5 ) − 7,5 ( 3, + 6, ) = 37,5.10 − 7,5.10 = 30.10 = 300 c/ 452 + 402 − 152 + 80.45 = ( 45 + 40 ) − 152 = ( 85 + 15 ) ( 85 − 15 ) = 100.70 = 7000 Ví dụ 2:Tính giá trị biểu thức : A = x ( x − y ) − z ( y − x ) t¹i x = 1,2 , y = 1,4 , z = 1,8 Híng dÉn: A = x ( x − y ) − z ( y − 2x ) = ( 2x − y ) ( x + z ) = ( 2, − 1, ) ( 1, + 1,8 ) = 1.3 = VÝ dô 3: Cho x,y >0 tho¶ m·n : y ( y − x ) = x x −y TÝnh : A = x +y Híng dÉn : y ( y − x ) = x ⇔ y − xy − x = ⇔ ( y − x ) ( y + x ) = Do x,y >0 nªn 3y – 4x = suy x = 3y/4 Thay vào A ta đợc A = 1/7 Ví dụ 4: Cho x ≠ y vµ x − y = y − x TÝnh A = x + xy + y − 3x − y Híng dÉn: x − y = y − x ⇔ ( x − y ) ( x + y + 1) = Do x ≠ y nªn x + y +1 = hay :x + y = -1 Ta cã A = x + xy + y − 3x − y = ( x + y ) − ( x + y ) = + = 23 Tran Minh Duừng THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 5: Cho x, y ≠ vµ x + y = ( x + y ) TÝnh A = x1999 + y 1999 Híng dÉn: x5 + y = ( x + y ) ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) ( x − x y + x y − xy + y ) = ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − x + x y − x y + xy − y = ⇔ xy ( x + y ) ( x + xy + y ) = Do x, y ≠ vµ x + xy + y > nªn x + y = hay x = -y Suy A = x1999 + y 1999 =0 Bµi tËp tù lun: Bµi 1:TÝnh: a/ A = − ÷1 − Bµi ữ ữ với n sè tù nhiªn >2 n + 54 + + 17 + b/ B = + + 114 + 19 + a/Cho 3a + 3b = 10ab vµ a > b >o a −b TÝnh P = a+b 2 b/ Cho 4a + b = 5ab vµ 2a > b >0 ab TÝnh M = 4a − b c/ Cho x + y = y + x x khác y x + y + xy TÝnh A = xy − Bµi 3: Bµi 4: Cho x − y = 6 4 TÝnh B = ( x − y ) − ( x + y ) Cho: a =x −y b =y −z c =z −x 24 Tran Minh Duừng THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử Tính M theo a,b,c : M = x ( z − y ) + y ( x − z ) + z ( y − x ) + xyz ( xyz − 1) Bµi 5: Cho a + b3 + c = 3abc a b c TÝnh : N = 1 + ÷1 + ÷ + ÷ b c a III/Chứng minh đẳng thức: Ví dụ 1: a/Chøng minh :- nÕu a + b3 + c3 = 3abc a = b = c a + b +c = - NÕu a + b +c = th× a + b3 + c = 3abc b/áp dụng : Tìm x biết : ( x − 3) − ( x + 1) + ( − x + x ) = 3 Híng dÉn: a/ a + b3 + c = 3abc ⇔ a + b3 + c − 3abc = ⇔ ( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = a + b + c = a + b + c = ⇔ ⇔ 2 a = b = c ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = b/ ( x − 3) 2 − ( x + 1) + ( − x + x ) = 3 ⇔ ( x − 3) + ( − x − 1) + ( − x + x ) = 3 ⇔ ( x − 3) ( − x − 1) ( − x + x ) = Do − x − < vµ − x + x = ( x − 1) + > nªn suy 2x – = Hay x = 3/2 VÝ dơ : a/ Ph©n tích đa thức thành nhân tử: ( a + b + c ) − a − b3 − c 3 b/ áp dụng: Cho a,b,c thoả mÃn : a + b +c =1 vµ a + b3 + c3 = Chøng minh : a1999 + b1999 + c1999 = Híng dÉn : a/ 25 Trần Minh Duừng THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử ( a + b + c ) − a − b3 − c = ( b + c ) ( a + b + c ) + a ( a + b + c ) + a − ( b + c ) ( b − bc + c ) = = 3( a + b) ( b + c) ( c + a ) a + b +c =1 vµ a + b3 + c = nªn ta cã : b/ Do ( a + b + c ) − a − b3 − c = ⇔ 3( a + b) ( b + c) ( c + a ) = Do vËy ba sè a,b,c cã hai ssè ®èi , số lại Suy : a1999 + b1999 + c1999 = VÝ dô 3: a/ Cho a + b3 = ( a + b ) vµ a, b ≠ chøng minh : a + b = b/ áp dụng : Tìm số tự nhiên x thoả mÃn : (2 x ) + ( x + 13) = ( x + x + 15 ) 3 Híng dÉn: 3 a/ a + b3 = ( a + b ) ⇔ ( a + b ) − a − b3 = ⇔ 3ab ( a + b ) = Do a, b ≠ suy a + b = b/ Đặt a = 2x b = x + 13 Ta cã: a + b = ( a + b ) ⇔ 3ab ( a + b ) = 2x − = a = ⇔ b = ⇔ x + 13 = 0(loai ) ⇔ x=3 x x + + = 0(loai ) a + b = VÝ dô 4: Chøng minh víi mäi x,y,z tho¶ m·n ( x − y + z) n ( x − y + z) = xn − y n + z n = x − y + z th× : ( n∈¥∗ ) Híng dÉn: ( x − y + z) y = x = x2 − y + z ⇔ ( y − x ) ( y − z ) = ⇔ y = z 26 Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử Từ suy đpcm Bài tập tự luyện: Bài 1: a/Cho a + b + c + d = chøng minh : a + b3 + c + d = ( ab − cd ) ( c + d ) b/áp dụng : Tìm x tho¶ m·n : ( x − 3) + ( x − ) − ( − x ) + ( 15 − 3x ) = 3 Bài Cho a,b,c,d số nguyên dơng a + b = c + d , ab +1 = cd Chøng minh : c = d Bµi 3: Cho: ( x + y ) = x + y chøng minh : x + y =0 Bµi : Cho x + y + z = Chøng minh : 3 a/ ( x − y ) z + ( z − x ) y + ( y − z ) x = ( b/ x + y + z ) = ( x4 + y4 + z ) Bµi 5: a/ Chøng minh : ( x + y + z ) = x3 + y3 + z + ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) b/ áp dụng :Phân tích thành nhân tử : 3 3 ( a + b + c) + ( a − b − c) + ( b − c − a) + ( c − a b) IV/Chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 1:Chứng minh : A = ( x + 1) + ( x + 1) + 21( x + 1) − x − 31 ≥ 0∀x Hớng dẫn: Đặt y = x2 + ⇒ y ≥ ⇒ A = ( x + 1) + ( x + 1) + 21( x + 1) − x − 31 = y + y + 21y − y − 30 = ( y − 1) ( y + ) ( y + ) ( y + ) Đẳng thøc x¶y y = hay x = VÝ dô : Cho M = ( x − ) ( x − 1) ( x + ) ( x + ) + 25 x Chứng minh M không âm với x Híng dÉn: 27 Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử M = ( x − ) ( x − 1) ( x + ) ( x + ) + 25 x = ( x + x − 16 ) ≥ 0∀x Ví dụ 3: Cho a,b,c độ dài cạnh cđa mét tam gi¸c , chøng minh : ( a/ 4a 2b − a + b − c ) >0 3 2 b/ a + b + c + 2abc < a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) Híng dÉn : a/ A = 4a b − ( a + b − c ) = 2ab − ( a + b − c ) 2ab + ( a + b − c ) = ( a + b + c) ( a + b − c) ( a + c − b) ( b + c − a) > 14 43 14 43 14 43 14 43 >0 >0 >0 >0 ⇒ A>0 b/ a + b3 + c3 + 2abc < a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) ⇔ a − a ( b + c ) + ( b3 + c3 − b c − c 2b ) ( 2abc − b a − c a ) < ⇔ a2 ( a − b − c ) + ( b + c ) ( b − c ) − a ( b − c ) < 2 a − b − c) ( a + c − b) ( b + c − a) < (14 43 14 43 14 43 0 >0 Bđt suy đpcm Nhận xét : Để chứng minh đa thức A dơng ( âm ) ta phân tích A thành nhân tử xét nhân tử A Bài tập tự lun: Bµi 1:Cho a > b > c > Chøng minh : 2 a ( a + b + b ) + ( a − b + c ) − 4b > ( ) ( ) ( ) 2 2 2 b/ a b − c − b c − a + c a − b > Bµi 2: Cho x > y > z chøng minh : x4 ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) > Bài 3: Cho a,b,c độ dài ba cạnh mét tam gi¸c,chøng minh: 28 Trần Minh Dũng – THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nh©n tư a/ a + b3 + c < a ( b + c ) + b ( c − a ) + c ( a + b ) 2 b/ ( a + b + c ) ≤ 9bc víi a ≤ b ≤ c c/ 2a 2b + 2b c + 2c a > a + b + c a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a − b2 Bµi 4: Cho : M = + + 2ab 2bc 2ac a/Giả sử a,b,c độ dài ba cạnh tam giác , chứng minh: M >1 b/Giả sử M = Chøng minh ba ph©n thøc cđa M 1,phân thức lại -1 Bài 5: Chøng minh : a − 2a 3b − 2ab3 + b + 2a 2b ≥ 0∀a, b b.áp dụng vào số học I/Các toán chia hÕt: VÝ dô 1:Chøng minh: a/ 3920 + 3913 M40 b/ 999 + 999M 1000 101 c/ 11 − 11M 100 Lêi gi¶i: a/ 3920 + 3913 = 3913 ( 397 + 1) = 3913 ( 39 + 1) ( 396 − 395 + 394 − − 39 + 1) = 3913.40 ( 396 − 395 + 394 − − 39 + 1) M40 b/ 9994 + 999 = 999 ( 9993 + 1) = 999 ( 999 + 1) ( 999 − 999 + 1) M 1000 c/ 11101 − 11 = 11( 11100 − 1) = 11( 11 − 1) ( 1199 + 1198 + + 11 + 1) = 11.10 ( 1199 + 1198 + + 11 + 1) Tæng ( 11 99 + 1198 + + 11 + 1) có 100số hạng,mỗi số hạng 99 98 có chữ số tận 1,nên tổng ( 11 + 11 + + 11 + 1) cã ch÷ sè tËn cïng lµ ⇒ 1199 + 1198 + + 11 + 1M 10 ⇒ 11.10 ( 1199 + 1198 + + 11 + 1) M 100 Suy ®pcm 29 Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du Chuyªn đề : Phân tích đa thức thành nhân tử Ví dô 2:Cho: B = x ( x − ) − 36 x Chøng minh BM ∀x ∈ Z Híng dÉn: B = x ( x − ) − 36 x = x ( x − 3) ( x + 3) ( x − 1) ( x + 1) ( x − ) ( x + ) Lµ tÝch sè nguyªn liªn tiÕp ⇒ B M VÝ dơ Chøng minh: n + 6n + 11n + 6n M24 ∀n ∈ N Híng dÉn: Đặt A = n + 6n + 11n + 6n = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) Do A lµ tÝch sè tù nhiªn liªn tiÕp ⇒ AM (1) +/ NÕu n ch½n : ⇒ n = 2k ⇒ A = 4k ( k + 1) ( k + ) ( 2k + 1) ( 2k + 3) DÔ thÊy k ( k + 1) M2 ⇒ 4k ( k + 1) M8 ⇒ AM +/ NÕu n lỴ ⇒ n = 2k + ⇒ A = ( k + 1) ( k + ) ( 2k + 1) ( 2k + 3) DÔ thÊy ( k + 1) ( k + ) M2 ⇒ ( k + 1) ( k + ) M VËy AM ∀n ∈ N Mµ (8;3) = Tõ (1),(2),(3) ⇒ AM24 VÝ dô 4: Chøng minh: A = n3 − 13nM6 (k ∈N ) (k ∈N ) ⇒ AM (2) (3) (dpcm) ∀n ∈ Z Híng dÉn: A = n3 − 13n = n − 12n − n = n(n − 1) ( n + 1) − 12n vµ DÔ thÊy n( n − 1) ( n + 1) M ⇒ n( n − 1) ( n + 1) M6 Mặt khác 12nM (dpcm) A = M6 VÝ dô 5: Chøng minh: n + 4n + không chia hết cho n lẻ Hớng dÉn: Do n lỴ 30 Trần Minh Dũng – THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nh©n tư ⇒ n = 2k + ⇒ n + 4n + = (n + 4n + 3) + = ( n + 1) ( n + 3) + = ( k + 1) ( k + ) + dÔ thÊy ( k + 1) ( k + ) M8 mà không chia hết cho dpcm NhËn xÐt: §Ĩ chøng minh AM m ta cã thĨ phân tích A thành nhân tử áp dụng tính chất chia hết đà học để chứng minh Hoặc ®Ĩ chøng minh AM m ta cã thĨ t¸ch A = B + km phân tích B thành nhân tư , chøng minh B M m Bµi tËp tù lun: Bµi 1: Chøng minh: 55n+1 − 55M270 ∀n ∈ ¥ + + 73 + + + k M400 ∀k ∈ ¥ ∗ M = 55100 − 5100 Chøng minh: M M 300 Bµi 2:Chøng minh: n3 + 20n M48 víi mäi n ch½n 2 n − 6n + 27 n − 104n + 32 số chẵn n Ơ n  n5 − 5n3 + 4n M 120 n − 3n − n + 3M48 ∀ n lỴ Bµi Chøng minh: 8.16n − chia hÕt cho 120 ∀n ∈ N ∀n ∈ ¥ 7.52 n + 12.6n M 19 n+2 n 2n+ + 26.5 + M59 n Ơ Bài 4:Chøng minh: n3 − n + kh«ng chia hÕt cho ∀n ∈ ¢ n + 11n + 39 kh«ng chia hÕt cho 49 ∀n ∈ ¢ 31 Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du Chuyªn đề : Phân tích đa thức thành nhân tử II/ dạng toán Tìm cặp số (x,y) thoả mÃn đẳng thức cho trớc: x, y  thoả mÃn: A ( x, y ) = m A ( x, y ) = m ⇔ B ( x, y ) C ( x, y ) =(nn  ) Phơng pháp: Để tìm (m B ( x, y ) = n1 ( n1 , n2 ∈ ¢ , n1.n2 = n ) ⇔ C ( x, y ) = n2 Ví dụ 1:Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mÃn: x + y = xy xy − x + y = 15 Híng dÉn: x + y = xy ⇔ x + y − xy = ⇔ x (1 − y ) − (1 − y ) = −1 ⇔ ( y − 1)( x − 1) = x − = x = y − = y = ⇒ ⇔ x − = −1 x = y − = −1 y = V ậy ta đợc cặp (x,y) thoả mÃn ®Ị bµi: (2;2) , (0;0) xy − x + y = 15 ⇔ x ( y − 1) + 2( y − 1) = 13 ⇔ ( y 1)( x + 2) = 13 Ta tìm đợc cặp (x,y) thoả mÃn đề bài: (11;12) , (-1;14) , (15;0) , (-3;-12) Ví dụ 2:Tìm x,y thoả mÃn: Híng dÉn: 32 Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử x + y = xy ⇔ ( x − 1) ( y − 1) = x = x − = y ∈ ¡ ⇒ ⇒ y − = x ∈ ¡ y = Ví dụ 3:Tìm x,y nguyên thoả mÃn: x y + xy − y = H¬ng dÉn: x y + xy − y = ⇔ xy ( y +1) − ( y +1) = ⇔ ( xy − ) ( y +1) = ta tìm đợc cặp (x,y) thoả mÃn : (0;-2) , (3;1) Ví dụ 4:Tìm x,y nguyên dơng thoả mÃn: 1 + = x y Híng dÉn: 1 + = x y ⇔ x + y = xy ⇔ x ( − y ) − ( − y ) = −4 ⇔ ( x − 2) ( y − 2) = ta t×m đợc cặp (x,y) thoả mÃn :(4;4) , (3;6) , (6;3) Ví dụ 5: Tìm x,y nguyên thoả mÃn: x y + xy − x − y = 25 Híng dÉn: x y + xy − x − y = 25 ⇔ ( xy −1) ( x + y ) = 25 Xảy trờng hỵp: +/TH 1: 33 Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tö xy − = xy = ⇔ x + y = x + y = Do x,y nguyên nên ta có cặp (x,y) thoả mÃn : (2;3) , (3;2) Tơng tự ta xét trờng hợp lại.thì thấy không thoả mÃn Vậy ta có cặp (x,y) thoả mÃn : (2;3) , (3;2) Bài tập tự luyện: Tìm cặp số nguên (x,y) thoả mÃn: 1/ xy + 3x y = 2/ xy + x − y − = 3/ xy − = x − y 4/ x y − xy = x +13 2 + =1 x y 1 + = 2x 3y 5/ 6/ 7/ x y − xy + x = y 10 III/dạng toán số nguyên tố Ví dụ 1:tìm n nguyên để n + số nguyên tố Hớng dẫn: n + = n + 4n + − 4n = ( n + ) − ( 2n ) 2 = ( n − n + ) ( n + 2n + ) để n + số nguyên tố n 2n + n + 2n + b»ng +/NÕu : n − 2n + = ⇔ ( n − 1) = ⇔ n = Víi n = th× n + = số nguyên tố +/Nếu n + 2n + = ⇔ ( n + 1) = ⇔ n = −1 Víi n = -1 n + = số nguyên tố Vậy với n = n =-1 n + số nguyên tố Ví dụ 2: Tìm tất số nguyên tố P có d¹ng : 34 Trần Minh Dũng – THCS Tiên Du ... + = Mà n ∈ N => n = Thử lại n = => P = SNT 7/ Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ) VÝ dơ 17: PT§TTNT a/6x4 - 11x2 + b/ ( x2 + x + 4)2 + 8x (x2 + x + 4) + 15x2 Híng dÉn: a/6x4 - 11x2 + (1) Đặt x2... 13 Traàn Minh Duừng THCS Tieõn Du Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử Lửu yự: Khi phaõn tich đa thức thành nhân tử trình nhẩm nghiệm ta làm nháp,chỉ trình bày cách phân tích 9/ Phửụng... n + = P Thư l¹i : 2.13 + = 27 = 33 thoả mÃn Nhận xét: - Để tìm n cho A(n) số nguyên tố,ta phân tich A(n) = B(n).C(n), A(n) số nguyên tố nên B(n) C(n) 1, từ tìm đợc n thử lại - Để tìm số nguyên