Thể tích khối đa diện là một chuyên đề hay và khó dành cho các em học toán THPT Và thi Tốt nghiệp hoặc thi Cao đẳng đại học nay gọi là Thi THPT Quốc gia. Với tổng hợp kiên thức cơ bản và chuyên sâu giuos giáo viên và học sinh cùng nhau luyện thi đạt kết quả cao nhất
CHỦ ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Các hệ thức lượng tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao, AM đường trung tuyến Ta có: B A B BC = AB + AC AH BC = AB AC AB = BH BC , AC = CH CB C M H 1 = + , AH = HB HC 2 AH AB AC 2AM = BC Các hệ thức lượng tam giác thường: a Định lý cosin: A b2 + c2 - a2 2bc a2 + c2 - b2 2 * b = a + c - 2ac cosB Þ cosB = 2ac a + b2 - c2 * c2 = a2 + b2 - 2abcosC Þ cosC = 2ab * a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Þ cosA = b c a B C b Định lý sin: A c b (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) R a B C c Cơng thức tính diện tích tam giác: A c B b a C 1 b = ch c SD ABC = a.ha = bh 2 1 SD ABC = absinC = bc sin A = ac sin B 2 abc , SD ABC = pr SD ABC = 4R p = p ( p − a) ( p − b) ( p − c) p - nửa chu vi r - bán kính đường tròn nội tiếp Trang 1/35 d.Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến: A K N B AB + AC BC 2 2 BA + BC AC * BN = * AM = C M * CK = CA2 + CB AB 2 Định lý Thales: A M N * B AM AN MN = = =k AB AC BC ổ AM ữ ỗ ữ =ỗ = k2 ữ ỗ ữ AB ố ứ * MN / / BC Þ C SD AMN SDABC (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng) Trang 2/35 B Diện tích đa giác: a.Diện tích tam giác vng: Þ SD ABC = AB.AC bằng ½ tích Diện tích Ctam giác vuông A cạnh góc vuông b.Diện tích tam giác đều: ì B 32 Diệ n tích tamïï giá u:a(cạnh) S c đề= ïï D ABC đều ïí Þ SD = ï h ïï h = a ïïỵ giác đề Chiều C cao tam u: (cạnh) a A hD A = đều c Diện tí ch hình vng và hình chữ B nhật: ìï SHV = a2 ï a Diện tích hìÞnhïíïï AC vng bằn= ga cạn = BD 2h bình O D ïỵ phương C Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng d.Diện tích hình thang: SHình Thang = (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao A D Þ S= B e.Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc: C H B CÞ chéoA Diện tích tứ giác có hai đường vuông góc bằng ½ tích hai đường chéo Hình thoi có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường ( AD + BC ) AH SH Thoi = AC BD D 6.Hình chóp đều: Trang 3/35 1.Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Nhận xét: Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng 2.Hai hình chóp đều thường gặp: S C A O a.Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC B Đáy ABC là tam giác đều Các mặt bên là các tam giác cân tại S Chiều cao: SO · · · Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO = SBO = SCO · Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO Tính chất: AO = AH , OH = AH , AH = AB 3 Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy b.Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD S A I D O C B Đáy ABCD là hình vuông Các mặt bên là các tam giác cân tại S Chiều cao: SO · · · · Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO = SBO = SCO = SDO · Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO 7.Thể tích khối đa diện: S 1.Thể tích khối chóp: V = B h B : Diện tích mặt đáy hA : Chiều cao của khối chóp B D O C Trang 4/35 A C A C B tích khối lăng B 2.Thể trụ: V = B h A’ B : Diện tích mặt đáy C’ A’ h : Chiều cao của khối chóp C’ B’ Lưu ý: Lăng trụ đứnB’ g có chiều cao cũng là cạnh bên c a3.Thể tích hình hộp chữ nhậ a t: a b V = abc a Þ Thể tích khới lập phương: V = a3 Tỉ sớ thể Stích: VS A ¢B ¢C ¢ VS ABC = A ’ SA ¢ SB ¢ SC ¢ SA SB B SC ’ 5.Hình chóp A V = C cụt’ ( ABC A′B′C ′ B ) h B + B ¢+ BB ¢ Với B, B ¢, h là diệnC tích hai đáy chiều cao Nguyễn Văn Lành-THPT Nguyễn Khuyến B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V = 40 B V = 192 C V = 32 D V = 24 Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Tính thể tích V khối chóp S.ABC 13a 11a 11a 11a V = V = V = V = 12 12 D A B C Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính tích V khối chóp tứ giác cho 2a 2a 14a 14a V= V= V= V= 6 A B C D Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30o Tính thể tích V khối chóp cho 6a 2a 2a V= V= V = 3 3 A B C D V = 2a Câu 5(ĐỀ THI THPTQG 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và cạnh lại đều bằng Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn Trang 5/35 A x = B x = 14 C x = D x = Câu (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc a với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng Tính thể tích V khối chóp cho a3 a3 3a A V = B V = a C V = D V = Câu (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SA vng góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V khối chóp S.ABCD a3 3a A V = B V = C V = a D V = 3a 3 Câu ( ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M, N là trung điểm cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V 2a 11 2a 13 2a 2a V= V= V = V= 216 B 216 216 18 A C D Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với o · AB = AC = a, BAC = 120o , mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V khối lăng trụ cho 3a 9a a3 3a V= V = V = V= 8 A B C D Câu 10.(15/101/2018) Cho khối chóp có đáy là hình vng cạnh a , chiều cao bằng 2a Thể tích khối chóp cho bằng A 4a B a C 2a D a 3 Câu 11 (42/101/2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến BB ' bằng , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' và CC ' bằng và , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') là trung điểm M B ' C ' và A ' M = Thể tích khối lăng trụ cho bằng 3 A B C D Trang 6/35 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên lần độ dài đường cao khơng đổi thể tích S ABC tăng lên lần? A B C D Câu Có khối đa diện đều? A B C D Câu Cho khối đa diện { p; q} , số p A Số cạnh mặt C Số cạnh đa diện Câu Cho khối đa diện { p; q} , số q A Số đỉnh đa diện C Số cạnh đa diện Câu Tính thể tích khối tứ diện cạnh a B Số mặt đa diện D Số đỉnh đa diện B Số mặt đa diện D Số mặt đỉnh a3 a3 a3 B C a D × × × 12 Câu Cho S ABCD hình chóp Tính thể tích khối chóp S ABCD biết AB = a , SA = a A a3 a3 a3 C D Câu Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC tam giác Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB = a , SA = a A a B Trang 7/35 a3 a3 a3 B C a D 12 Câu Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình chữ nhật Tính thể tích S ABCD biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a A a3 × Câu Thể tích khối tam diện vng O ABC vng O có OA = a, OB = OC = 2a A a B 6a B 2a D 2a a3 a3 B C D 2a × × × Câu 10 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc mặt đáy, tam giác ABC vng A, SA = 2cm , AB = 4cm, AC = 3cm Tính thể tích khối chóp A 12 24 24 cm cm cm B C D 24cm3 Câu 11 Cho hình chóp S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy, AB = a, AD = 2a Góc SB đáy 450 Thể tích khối chóp A a3 2a a3 a3 × A B C D × × × 3 Câu 12 Hình chóp S ABCD đáy hình vng, SA vng góc với đáy, SA = a 3, AC = a Khi thể tích khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 B C D × × × × 3 Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B Biết ∆SAB tam A giác thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB = a , AC = a a3 a3 a3 a3 B C D × × × × 12 Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi Mặt bên ( SAB ) tam giác A vuông cân S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Tính thể tích khối chóp S ABCD biết BD = a , AC = a a3 a3 a3 C D × × × 12 Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Hình chiếu S A a B lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H BC Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB = a , AC = a , SB = a a3 a3 a3 a3 B C D × × × × 6 Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu S lên A mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm H AD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết SB = 3a Trang 8/35 A a3 × B a C a3 × D 3a × a 13 Hình chiếu S lên Câu 17 Hình chóp S ABCD đáy hình vuông cạnh a, SD = ( ABCD ) trung điểm H AB Thể tích khối chóp a3 a3 a3 B C a 12 D × × × 3 · 1200 Hình chiếu Câu 18 Hình chóp S ABCD đáy hình thoi, AB = 2a , góc BAD A vng góc S lên ( ABCD ) I giao điểm đường chéo, biết SI = a Khi thể tích khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 B C D × × × × 9 3 Câu 19 Cho hình chóp S ABC , gọi M , N trung điểm SA, SB Tính tỉ số A VS ABC VS MNC 1 × C D × Câu 20 Cho khối chop O ABC Trên ba cạnh OA, OB, OC lấy ba điểm A’, B′, C ′ A B cho 2OA′ = OA, 4OB′ = OB, 3OC ′ = OC Tính tỉ số VO A ' B 'C ' VO ABC 1 1 B C D 12 24 16 32 Câu 21 Cho hình chóp S.ABC Gọi ( α ) mặt phẳng qua A song song với BC ( α ) A cắt SB , SC M , N Tính tỉ số SM biết ( α ) chia khối chóp thành SB phần tích 1 1 A B C D 2 2 Câu 22 Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a là: a3 a3 a3 a3 B C D × × × × 3 Câu 23 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình chữ nhật, A ' A = A ' B = A ' D Tính A thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a , AA ' = 2a A 3a B a C a 3 D 3a 3 Câu 24 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có ABC tam giác vng A Hình chiếu A ' lên ( ABC ) trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' biết AB = a , AC = a , AA ' = 2a A a3 × B 3a × C a 3 D 3a 3 Trang 9/35 Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi Hình chiếu A ' lên ( ABCD ) trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a , ·ABC = 1200 , AA ' = a A a B a3 × C a3 × D a3 × VABB ' C ' Câu 26 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỉ số V ABCA ' B 'C ' 1 × B × C × D 3 Câu 27 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ A a3 a3 a3 a3 B C D × × × × 12 12 Câu 28 Lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên A mặt đáy 300 Hình chiếu A′ lên ( ABC ) trung điểm I BC Thể tích khối lăng trụ a3 a3 a3 a3 B C D × × × × 12 Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, BC = 2a, AB = a A Mặt bên ( BB’C’C ) hình vng Khi thể tích lăng trụ a3 B a C 2a 3 D a 3 Câu 30 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M , N trung điểm CC ' BB ' A Tính tỉ số VABCMN VABC A ' B 'C ' 1 B C D Câu 31 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Tỉ số thể tích khối chóp A′ ABC khối lăng trụ 1 1 A B C D Câu 32 Cho khối lập phương ABCD A′B′C ′D′ Tỉ số thể tích khối A′ ABD khối lập A phương là: 1 1 A B C D Cho hình chóp tứ giác có chiều cao , góc hai mặt S ABCD h Câu 33 phẳng ( SAB ) ( ABCD) α Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h α A 3h3 tan α B 4h tan α C 8h3 tan α D 3h3 tan α Trang 10/35 Gọi H trung điểm BC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) ABC tam giác vuông A ⇒ BC = AB + AC = 2a ⇒ AH = BC = a ∆A ' AH vuông H ⇒ A ' H = AA '2 − AH = a S ∆ABC = a2 AB AC = 2 3a VABCA ' B ' C ' = A ' H S ABC = Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi Hình chiếu A ' lên ( ABCD ) trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a , ·ABC = 1200 , AA ' = a a3 × Hướng dẫn giải: Gọi H trọng tâm tam giác ABD ⇒ A ' H ⊥ ( ABCD ) A a B a3 × C a3 × A' B' C' D' · · Ta có: BAD = 1800 − ABC = 600 · Tam giác ABD cân có BAD = 600 nên tam giác ABD ABD tam giác cạnh a ⇒ AH = D A B H a 3 C D ∆A ' AH vuông H ⇒ A ' H = AA '2 − AH = a a2 a2 a3 ; VABCDA ' B ' C ' D ' = A ' H S ABC = = 2 VABB ' C ' Câu 26 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỉ số V ABCA ' B 'C ' S ABCD = S ABD = × Hướng dẫn giải: Ta có: BB ' C ' C hình bình hành A × B × 1 S BB 'C 'C ⇒ VA BB ' C ' = VA BB ' C 'C 2 Ta có: VA A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C ' ⇒ VA.BB ' C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C ' C D A' C' B' ⇒ S BB 'C ' = A C B Trang 21/35 V 1 ⇒ VABB 'C ' = VABCA ' B 'C ' ⇒ ABB 'C ' = VABCA ' B 'C ' Câu 27 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ A a3 × 12 B a3 a3 C × × Hướng dẫn giải: D A' h = BB′ = a a2 S = A′B′C ′ a3 × 12 C' B' a3 ⇒ VA′BB′C ′ = BB′.S A′B′C ′ = 12 A C B Câu 28 Lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên mặt đáy 300 Hình chiếu A′ lên ( ABC ) trung điểm I BC Thể tích khối lăng trụ A a3 × B a3 a3 C × × 12 Hướng dẫn giải: D a3 × a 3 a × = A′I = AI tan ( 30 ) = a S = AB C ⇒ VABC A’ B’C’ = A′I S ABC = a3 Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, BC = 2a, AB = a Mặt bên ( BB’C’C ) hình vng Khi thể tích lăng trụ A a3 B a C 2a 3 D a 3 Hướng dẫn giải: h = BB′ = 2a 2 AC = BC − AB = a a2 AB AC = 2 ⇒ VABC A’ B’C ’ = BB′.S ABC = a 3 ⇒ S ABC = C' A' B' A C B Trang 22/35 Câu 30 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M , N trung điểm CC ' BB ' Tính tỉ số A VABCMN VABC A ' B 'C ' B Hướng dẫn giải: C Ta có: BB ' C ' C hình bình hành D A' B' S BB 'C ' C ⇒ VA.BCMN = VA.BB 'C 'C Ta có: VA A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C ' ⇒ S BCMN = ⇒ VA.BB ' C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA A ' B ' C ' = VABCA ' B 'C ' V 1 ⇒ VA.BCMN = VABCA ' B 'C ' ⇒ A BCMN = VABCA ' B 'C ' C' M N A B C Câu 31 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Tỉ số thể tích khối chóp A′ ABC khối lăng trụ 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: C' A' 1 AA′.S ABC = VABC A′B′C ′ 3 VA′ABC ⇒ = VABC A′B′C ′ B' VA′ABC = A C B Câu 32 Cho khối lập phương ABCD.A′B ′C ′D′ Tỉ số thể tích khối A′ ABD khối lập phương là: 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: A' D' VA’ ABD = AA′.S ABD C' B' 1 = AA′ AB AD = AA′.S ABCD D A = VABCD A’ B’C ’ D’ C B VA’ ABD ⇒ = VABCD A’ B’C’ D’ VẬN DỤNG THẤP Trang 23/35 Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao h , góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD) α Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h α A 3h3 tan α B 4h C 8h tan α tan α Hướng dẫn giải: D 3h3 tan α S Gọi O tâm mặt đáy SO ⊥ mp ( ABCD ) Từ đó, SO đường cao hình chóp.Gọi M trung điểm đoạn CD Ta có: h CD ⊥ SM ⊂ ( SCD ) · =α CD ⊥ OM ⊂ ( ABCD ) ⇒ SMO CD = ( SCD ) ∩ ( ABCD ) A α O D M B C V = SABCD.SO; B = SABCD = AB ; Tìm AB: AB = 2OM SO h h ⇒ OM = Tam giác SOM vng tại O, ta có: tan α = = OM OM tan α 2h 4h ⇒ AB = Suy ra: B = SABCD = SO = h tan α tan α 4h 4h Vậy VS.ABCD = h = tan α tan α Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , cạnh SB vng góc với đáy mặt phẳng ( SAD ) tạo với đáy góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD A V = 3a 3 Hướng dẫn giải: B V = 3a C V = 8a 3 3 D V = 4a AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ Ta có: S AD ⊥ SB AD ⊥ SA · ⇒ SAB = 600 SABCD = 4a2 A D Xét tam giác SAB vng B, ta có: α SB = AB tan 600 = 2a 2a 8a B C Vậy V = 4a2 2a = 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , Câu 35 BC = a , mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với đáy góc 30° tam giác A ' BC có diện tích a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Trang 24/35 a3 3a 3 B Hướng dẫn giải: V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’ BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ A′B Do BC ⊥ AA′ A BC ⊥ AB ⊂ ( ABC ) Và BC ⊥ A ' B ⊂ ( A′BC ) BC = ( ABC ) ∩ ( A ' BC ) ( ) ( C 3a 3 D 3a 3 A’ C’ B’ ) ⇒ (·ABC ), ( A ' BC ) = ·AB, A ' B = ·ABA ' A Ta có: C 30o a A′B.BC B 2.S∆A′BC 2.a ⇒ A′B = = = 2a BC a · ′ = 2a 3.sin 30 = a AB = A′B.cos ·ABA′ = 2a 3.cos 300 = 3a; AA′ = A′B.sin ABA S ∆A′BC = 1 3a 3 VABC A ' B ' C ' = B.h = S ABC AA′ = AB.BC AA′ = 3a.a.a = 2 Câu 36 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A ' ( AA ' C ' C ) ( ABC ) trung điểm AB Mặt phẳng tạo với đáy góc 45° Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V = 3a 16 B V = 3a 3a C V = Hướng dẫn giải: A’ Gọi H, M, I trung điểm đoạn thẳng AB, AC, AM VABC A ' B 'C ' = S ∆ABC A ' H a2 Ta có IH đường trung bình tam giác AMB , MB trung tuyến tam giác ABC IH // MB ⇒ IH ⊥ AC Do đó: MB ⊥ AC D V = 3a B ’ C ’ S ∆ABC = H A I B a M C AC ⊥ A ' H ⇒ AC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ AC ⊥ A ' I AC ⊥ IH AC ⊥ IH ⊂ ( ABC ) Mà: AC ⊥ A ' I ⊂ ( ACC ' A ') ⇒ ·A ' IH góc gữa hai mặt phẳng ( AA ' C ' C ) ( ABC ) ∩ ( ACC ' A ') = AC Trang 25/35 ( ABCD ) ⇒ ·A ' IH = 45° Trong tam giác A ' HI vng H, ta có: tan 45° = A'H ⇒ A ' H = IH tan 45o HI a a a 3a Vậy V = MB = = 4 16 Câu 37 Cho hình chóp S ABC , góc mặt bên mặt phẳng đáy = IH = 600 , khoảng cách hai đường thẳng SA BC ( ABC ) 3a Thể tích khối chóp S ABC theo a a3 16 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC Trong mp(SAM), Kẻ MH ⊥ SA, ( H ∈ SA) BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ MH Ta có: BC ⊥ SO A a3 12 B a3 18 C D a3 24 Do MH đường vng góc chung SA BC 3a · Suy MH = Ta có: SM ⊥ BC ⇒ (· = 600 ( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA Đặt OM = x ⇒ AM = 3x, OA = x ⇒ SO = OM tan 600 = x SA = ( x ) S + ( 2x) = x Trong VSAM ta có: SA.MH = SO AM 3a a ⇔ x = x 3.3 x ⇔ x = Khi đó: AM = x = a = H C A O a ⇒ AB = a N B 1 a2 a a2 VS ABC = S∆ABC SO = = 3 24 Câu 38 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AC = 3a , BD = 2a , hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt phẳng a O đến mặt phẳng ( SAB ) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a S a3 a3 a3 a3 A B C D 16 18 12 Hướng dẫn giải I Ta có tam giác ABO vng ( ABCD ) Biết khoảng cách từ điểm O AO = a , BO = a Do D 2a C A O B Trang 26/35 AO = = tan 600 ⇒ ·ABO = 600 BO Suy ∆ABD Ta có: ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO Trong tam giác ABD , gọi H trung điểm AB, K trung điểm BH, suy DH ⊥ AB DH = a ; OK / / DH OK = Suy OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SOK ) a DH = 2 Gọi I hình chiếu O lên SK, ta có: OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ ( SAB ) ⇒ OI = d O; ( SAB ) 1 a = + ⇒ SO = 2 OI OK SO 1 1 a VS ABCD = S∆ABCD SO = 4.S ∆ABO SO = .OA.OB.SO = 3 3 Cho hình chóp tứ giác , giao điểm S ABCD O AC BD Biết mặt Câu 39 bên hình chóp tam giác khoảng từ O đến mặt bên a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Tam giác SOK vuông O, OI đường cao: A 2a 3 B 4a 3 C 6a 3 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm CD , ∆SOM kẻ đường cao OH ⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ OH = a Đặt A CM = x Khi OM = x , D 8a 3 SM = x , SO = A SM − x = x Ta có: SM OH = SO.OM ⇔ x 3.a = x 2.x ⇒ x = a M ⇒ CD = a 6, SO = a 1 VS ABCD = S ABCD SO = CD SO = 6a a = 2a 3 3 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ABCD hình thang vng Câu 40 A B biết AB = 2a AD = 3BC = 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a biết góc ( SCD ) ( ABCD ) 600 Trang 27/35 A 6a B 6a C 3a Hướng dẫn giải: Dựng AM ⊥ CD M · Ta có: SMA = 600 S ABCD = CD = S AD + BC AB = 4a 2 ( AD − BC ) + AB = 2a AB.BC = a 2 = S ABCD − S ABC = 3a A S ABC = S ACD D 3a D M C B 2S AM CD ⇒ AM = ACD = a CD · Ta có: SA = AM tan SMA = a VS ABCD = SA.S ABCD = 6a Câu 41 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD hình thang vng A B biết AB = 2a AD = 3BC = 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , S ACD = biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a A 6a B 6a C 3a D 3a Hướng dẫn giải: Dựng AM ⊥ CD M Dựng AH ⊥ SM H S Ta có: AH = a AD + BC S ABCD = AB = 4a 2 CD = S ABC S ACD ( AD − BC ) + AB = 2a H A = AB.BC = a 2 = S ABCD − S ABC = 3a D M B C 2S S ACD = AM CD ⇒ AM = ACD = a CD 1 AH AM = + ⇒ AS = = a Ta có: 2 AH AM AS AM − AH VS ABCD = SA.S ABCD = 6a 3 Câu 42 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB ' = a , góc đường thẳng BB ' ( ABC ) · 60° , tam giác ABC vuông C góc BAC = 60° Hình chiếu vng góc điểm B ' lên ( ABC ) trùng với trọng tâm ∆ABC Thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a Trang 28/35 A 13a 108 B 7a 106 15a 108 Hướng dẫn giải: C Gọi M , N trung điểm AB, AC G trọng tâm ∆ABC · ', ( ABC ) = B · ' BG = 600 B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ BB ) ( 60° D 9a 208 1 VA ' ABC = S∆ABC B ' G = AC.BC.B ' G · ' BG = 600 Xét ∆B ' BG vng G , có B ⇒ B 'G = 60° a (nửa tam giác đều) · Đặt AB = x Trong ∆ABC vng C có BAC = 600 AB ⇒ tam giác ABC tam giác ⇒ AC = = x, BC = x 3 3a Do G trọng tâm ∆ABC ⇒ BN = BG = Trong ∆BNC vuông C : BN = NC + BC 3a AC = 13 9a x 9a 3a ⇔ = + 3x ⇔ x = ⇒x= ⇒ 16 52 13 BC = 3a 13 3a 3a a 9a = Vậy, VA ' ABC = 13 13 208 Câu 43 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng ( A ' BC ) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' 3a 3a C 28 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC , A' ta có ( A ' AM ) ⊥ ( A ' BC ) theo giao A 3a B D 3a 16 C' tuyến A ' M Trong ( A ' AM ) kẻ OH ⊥ A ' M ( H ∈ A ' M ) B' ⇒ OH ⊥ ( A ' BC ) Suy ra: d ( O, ( A ' BC ) ) = OH = a a2 S ∆ABC = Xét hai tam giác vng A ' AM ¶ chung nên chúng OHM có góc M đồng dạng A C H O M B Trang 29/35 a a OH OM = ⇒ = Suy ra: A ' A A ' M A' A a ⇒ = A' A A ' A2 + AM a 3 A' A + ÷ a a a 3a Thể tích: VABC A ' B 'C ' = S ∆ABC A ' A = = 4 16 VẬN DỤNG CAO Câu 44 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm ⇒ A' A = cạnh SC cho NS = NC Kí hiệu V1 ,V2 thể tích khối chóp A.BMNC S AMN Tính tỉ số A V1 = V2 B V1 = V2 V1 V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Hướng dẫn giải VS AMN SM SN = × = × = ; VS ABC SB SC 3 VS AMN + VA BMNC = VS ABC Suy ra, VA BMNC = VS AMN Câu 45 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS = NC , P điểm cạnh SA cho PA = PS Kí hiệu V1 ,V2 thể tích khối tứ diện BMNP SABC Tính tỉ số A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 D V1 V2 V1 = V2 Hướng dẫn giải ×d ( N , ( SAB )) ×S BMP VN BMP = ; VC SAB ×d (C, ( SAB)) ×S SAB d ( N , ( SAB)) NS = = d (C, ( SAB)) CS , S BPM = 1 S BPS = × S SAB 2 VN BMP 1 = × = Suy ra, V C SAB Trang 30/35 Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD) 45° , M , N P trung điểm cạnh SA, SB AB Tính thể tích V khối tứ diện DMNP A V = a3 Ta có: S SMN SM SN = × = S SAB SA SB Tương tự, Suy B V = a3 a3 12 Hướng dẫn giải C V = D V = a3 S BNP S AMP = , = S SAB S SAB S MNP = (có thể khẳng S SAB S MNP = nhờ hai tam giác S SAB định MNP BAS hai tam giác đồng dạng với tỉ số k = ) VD.MNP = (1) VD.SAB = VS DAB = VS ABCD (2) Do VD.SAB VS ABCD 1 4a (3) Từ (1), (2) (3): = SO.S ABCD = OP.tan 45°.S ABCD = 3 1 4a a VDMNP = = Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng cân B , AC = 2a ; Câu 47 cạnh bên AA′ = 2a Hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 2a A V = a B V = C V = a D V = 3 Hướng dẫn giải Vì ABC tam giác vng cân B nên trung tuyến BH đường cao nó, HB = HA = HC = AC = a A′H = A′A2 − AH = 2a − a = a VABC A′B′C ′ = A′H ×S ABC = A′H × BH ×AC = a Câu 48 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với Gọi G1 , G2 , G3 G4 trọng tâm mặt ABC , ABD, ACD BCD Biết AB = 6a, AC = 9a , AD = 12a Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 Trang 31/35 A 4a B a C 108a Hướng dẫn giải D 36a Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh VG1G2G3G4 = VABCD 27 Thật vậy, ta có (G2G3G4 ) P(CBA) VG2G3G4 ) : VCBA (tỉ số đồng dạng k = ) Từ đó: SG2G3G4 SCBA = k2 = d (G1 , (G2G3G4 )) = d (G4 , ( ABC )) 1 = d ( D, ( ABC )) (do G4 M = DM ) 3 VG1G2G3G4 d (G1 , (G2G3G4 )) SG2G3G4 1 = × = × = Suy VABCD d ( D, ( ABC )) SCBA 27 1 VABCD = × AB AC AD = 4a 27 27 Câu 49 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 11m , BC = AD = 20m , BD = AC = 21m Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 360m3 B 720m3 C 770m3 D 340m3 Hướng dẫn giải Dựng tam giác MNP cho C, B, D trung điểm cạnh MN, MP, NP Do BD đường trung bình tam giác MNP nên ⇒ VG1G2G3G4 = 1 MN hay AC = MN 2 Tam giác AMN vuông A (do có trung tuyến nửa cạnh tương ứng), hay AM ⊥ AN Tương tự, AP ⊥ AN AM ⊥ AP 1 1 Ta có S MBC = S MNP , S NCD = S MNP , S BPD = S MNP Suy S BCD = S MNP 4 4 BD = Từ đó, VABCD = VAMNP x + y = 4.202 AM AN AP 2 ,y= ,z = Đặt x = Ta có y + z = 4.21 , m m m x + z = 4.112 Trang 32/35 x = 160 1 suy y = 1440 ⇒ xyz = 1440 ⇒ VABCD = VAMNP = 360m z = 324 (AM, AN, AP đơi vng góc nên VAMNP = AM AN AP ) (a + b − c )(a − b + c )(−a + b + c ) 12 Câu 50 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy vng; mặt bên ( SAB ) tam giác V= nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A đến mặt phẳng ( SCD) 3a A V = a B V = a C V = a D V = 3 Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB, suy SH chiều cao khối chóp cho Kí hiệu x độ dài cạnh đáy 3 x VS ABCD = x Kẻ HK ⊥ CD ( K ∈ CD ) ; Kẻ HL ⊥ SK (L ∈ SK ) Ta có SH = Suy HL ⊥ ( SCD) d ( A, ( SCD)) = d ( H , ( SCD)) = HL = HS ×HK = 21 x HS + HK 21 7a 3 3 Theo gt, x= ⇒ x = a Suy VS ABCD = x = (a 3)3 = a 7 6 Cho tứ diện , điểm thuộc cạnh cho S ABC N SA SB M Câu 51 MA = 2SM , SN = NB , (α ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu ( H1 ) ( H ) khối đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng (α ) , đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H ) chứa điểm A ; V1 V2 thể tích ( H1 ) ( H ) Tính tỉ số D Hướng dẫn giải Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P , Q giao điểm (α ) với đường thẳng BC , AC Ta có NP //MQ //SC Khi chia khối ( H1 ) mặt phẳng (QNC ) , ta hai khối A B V1 V2 C chóp N SMQC N QPC Trang 33/35 VN SMQC Ta có: VB ASC = d ( N , ( SAC )) SSMQC × ; d (B, ( SAC )) S SAC d ( N , ( SAC )) NS = = ; d (B, ( SAC )) BS S AMQ S ASC S SMQC AM = = ÷ = ⇒ S ASC AS Suy VN QP C VS ABC = VN SMQC VB ASC = 10 × = 27 d ( N , (QP C )) SQPC × d (S, (A BC )) S ABC NB CQ CP 1 2 × × == × × = SB CA CB 3 27 V V1 VN SMQC VN QP C 10 V1 = + = + = ⇒ = ⇒ 5V1 = 4V2 ⇒ = V2 V VB ASC VS ABC 27 27 V1 + V2 = Câu 52 Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) ( SBC ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc Biết AB = 25 , BC = 17 , AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy góc 45° Tính thể tích V khối chóp S ABC A V = 408 B V = 680 C V = 578 D V = 600 Hướng dẫn giải Gọi J chân đường cao hình chóp S.ABC; H, K L hình chiếu J cạnh AB, · · · BC CA Suy ra, SHJ , SLJ SKJ góc tạo mặt phẳng ( ABC ) với mặt phẳng (S AB ) , ( SBC ) ( SAC ) Theo giả thiết, ta · · · có SHJ , suy tam = SLJ = SKJ giác vuông SJH , SJL SJK Từ đó, JH = JL = JK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng cơng thức Hê-rơng, ta tính diện tích S tam giác ABC S = 204 Trang 34/35 Kí hiệu p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường tròn nội S 204 = =6 p 34 Đặt x = BH = BL , y = CL = CK , z = AH = AK x + y = 17 Ta có hệ phương trình x + z = 25 y + z = 26 Giải ( x; y; z ) = (8;9;17) tiếp ABC Ta có r = JB = JH + BH = 62 + 82 = 10 · · , ( ABC )) = 45° , suy SJB tam giác vuông cân J Ta có SBJ = ( SB SJ = JB = 10 Thể tích V khối chóp S.ABC V = SJ S ABC = 680 Trang 35/35 ... Có khối đa diện đều? A B C D Câu Cho khối đa diện { p; q} , số p A Số cạnh mặt C Số cạnh đa diện Câu Cho khối đa diện { p; q} , số q A Số đỉnh đa diện C Số cạnh đa diện Câu Tính thể tích khối. .. Hướng dẫn giải: Khi độ dài cạnh đáy tăng lên lần diện tích đáy tăng lên lần ⇒ Thể tích khối chóp tăng lên lần Câu Có khối đa diện đều? A B C D Hướng dẫn giải: Có khối đa diện là: tứ diện đều,... phương, khối mặt đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt Câu Cho khối đa diện { p; q} , số p A Số cạnh mặt C Số cạnh đa diện Câu Cho khối đa diện { p; q} , số q A Số đỉnh đa diện C Số cạnh đa diện