Tìm m để tại ba điểm phân biệt, hai điểm phân biệt, một điểm và các câu hỏi phụ Xét phương trình hoành độ giao điểm và Phương trình có bao nhiêu nghiệm tại bấy nhiêu nghiệm Viet bậc 3:
Trang 13
KĨ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN
TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Biên soạn: Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Ninh Giang, Hải Dương
TRẦN HOÀI THANH https://www.facebook.com/tranhoaithanhvicko
CASIO TRẮC NGHIỆM https://tinyurl.com/casiotracnghiem
HỌC CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem
Group: THỦ THUẬT CASIO THPT https://fb.com/groups/casiotracnghiem
Website tài liệu + video + thi online miễn phí : http://vaodaihoc.tk
Phương pháp chung:
TỰ LUẬN:
Dạng toán
a,Dạng 1: Dùng đồ thị hàm số số nghiệm phương trình
Cho phương trình Tìm m để phương trình có n nghiệm
Cách giải:
+ Bước 1: Biến đổi phương trình về 2 vế (1 vế chứa x, 1 vế chứa m )
+ Bước 2: Đặt , Khảo sát, vẽ Giao điểm là nghiệm
y= h(m)
( , ) 0
f x m
( , ) 0 ( ) ( )
f x m g x h m
( )( )
yg x C yh m( )
Trang 24
*Chú ý: Đồ thị trị tuyệt đối : Giải bất phương trình đối với m
VD: Cho Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
Giải:
Có
CASIO: MODE 5 4 cho
VD2: Cho ,Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
MODE 5 4 : m =2 loại B; m =3 loại A; D
VD3: Cho Tìm m để cắt ox tại 4 điểm phân biệt
3
x mx
1
3
x mx m
x
3 2 ( ) x
f x
x
3
2
x
'
f
3m 3 m 1
1,5 0
m
3
3 1
x x m
4 2
yx x m C m
4
m m
m 3; m ; 4
Trang 35
Mode 5 3 Cho loại B ; loại C ; loại D
VD4 : Cho ( C ) Tìm m để d : cắt ( C ) tại 6 điểm phân biệt
Giải: Khảo sát, vẽ ( C ) có
5
Ví dụ 5: Tìm m để pt có 6 nghiệm phân biệt
A 0<m<2 B.0<m<1 C -1<m<1 D.-2<m<1
Giải:
;
m 3 m 0 m 5
3 2
(x) 2 x 9 12
y f x y f x x
x f
f x x x f x
x f
'
y
2 2
| 2 |
x x m
2
x x m x x m x x m
(d/ /ox)
g x x x g x x x
y m
0
1
x
g x
x
Trang 46
Dạng 2: Dùng phương trình hoành độ giao điểm số giao điểm 2 đồ thị
+) ( ) và đường thẳng ( ) Tìm m để tại ba điểm phân biệt, hai điểm phân biệt, một điểm và các câu hỏi phụ
Xét phương trình hoành độ giao điểm và
Phương trình có bao nhiêu nghiệm tại bấy nhiêu nghiệm
Viet bậc 3:
(đồng nhất thức)
Có 3 nghiệm phân biệt
Viet bậc 4:
(đồng nhất thức)
Có 4 nghiệm phân biệt
1 2 3 4
1 2 3 4
b
x x x x
a e
x x x x
a
Khi
+ Cấp số cộng: lập csc
+ Cấp số nhân: lập csn
VD1: Cho ( ) Tìm m sao cho tại ba điểm phân biệt
và
y
0 m 1
3 2
yax bx cxd C m ykxF d m C md m
(C m) d m
3 2
0
ax bx cx d
a x x x x x x
1 , 2 , 3
x x x
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
b
x x x
a c
x x x x x x
a d
x x x
a
0
ax bx cx dx e
a x x x x x x x x
1 ; 2 ; 3 ; 4
x x x x
1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 3 1 3
x x x x x x x x x x x x
1 2 3
x x x x3x2 x2x1 x3 x1 2x2
1 2 3
x x x 2
3 1 2
x x x
3 2
yx x m xm C m (C m) ox
x x x
Trang 57
Giải:
Giả sử có 3 nghiệm phân biệt:
CASIO thử :
Mode 5 4 Cho loại A,C
Cho có 3 nghiệm phân biệt loại D
VD2: Cho (C) Tìm m để tại 3 điểm lập csc
Giải:
nghiệm phương trình
Thử lại có 3 nghiệm phân biệt
VD3: Cho Có bao nhiêu giá trị m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Giải: Giả sử có 3 nghiệm phân biệt lập csn
Thay vào phương trình
;1 \ 0 4
1
;1 4
1
;1 4
3 2
x x m x m
x x x
2
2 2(1 m) 4 0
4
3 2
yx x xm C ox
1
3 2
x x x m
1 2 3
x x x
1 2 3
2
3
x x x
x x x
1 3.1 9.1 m 0 m 11
3 2
x x x
x m x m x
2
3
1 3 2
1 2 3
8
x x x
x x
x x x
2
Trang 68
Thử vào (lập thành csn)
Tìm m để tại 2 điểm , 4 điểm, không điểm nào, thỏa mãn yêu cầu
Tìm m để cắt ox tại 4 điểm phân biệt lập thành csc:
Giải: Xét
Đặt phương trình cần 4 nghiệm phân biệt
thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ta có 4 nghiệm tương ứng là
Công thức nhanh: có 4 nghiệm phân biệt csc
1; 2; 4
x
4 2
yax bx c C m
C m ox
4 2
0
ax bx c
2
0
x t x t
2
0
at bt c
0 0
0
0
b
a P
c a
x t x1x2 x3x4
1 1
3 2
x t
x t
x t
x t
2 1 3 2
2 1 4 3
x x x x CSC
x x x x
2
2 1
0 0 9
b ac b a c a
t t
yx m x m C m C m ox
1 2 3 4 1 2 3 4 11
x x x x x x x x
0
Trang 79
Giải:
Đặt
=>
Có:
CASIO: Thay Tìm được 4 nghiệm
VD2: Cho Tìm m để tiếp xúc với :
Giải:
nghiệm hệ được gọi là tiếp điểm
Xét
Chọn A
2
0
x t t
t m t m
' 0 0 0
S P
x R
1 2
3 1
4 1
0
t t
x t
x t
1 2 3 4 1 2 3 4 11
x x x x x x x x 2t2 2t1 t t1 2 11 2t1 t2t t1 2 11
0
m x x x x1; 2; 3; 4
4 2
yx x C1 d 2
3
ymx
2
12
( )
( )
y f x C
y f x C
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
2
4
0 (
0
)
x
x x mx
x
m x
x
Vô lí
Trang 810
CASIO: Thử m nếu x là nghiệm duy nhất thỏa mãn
+ Tìm m để : tại 2 điểm phân biệt, một điểm và các câu hỏi phụ
thường sử dụng viet Tìm m để tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho
có 2 nghiệm phân biệt khác
Cách 2: Để tại 2 diểm phân biệt
Tâm
VD1: Cho Tìm m để : tại A,B sao cho
Giải:
Xét
(*)
1 1
2 2
m
a x b
y C
a x b
2
2
D R
a
2
2
b x a
2
0
a a
min
C m d
2 2
;
b a
a a
1 1
x
x
\{1}
DR
2
1
1
x
x
2
2x m 3 x m 1 0
Trang 911
(chứng minh bằng cách tính ra độ dài AB, biện luận) khi
Cách 2:
Cách 3: CASIO
Tính đến (*) thay m của 4 đáp án vào phương trình hoành độ giao điểm
AB min thì lấy
Tìm m để tại A,B nằm về 2 phía Oy
Giải:
CASIO: Tính đến Thay đáp án: Mode 5 3 chọn (không thỏa mãn) Loại A,C,D
IV Tiếp tuyến hàm số
1, Cơ sở lí thuyết
Tiếp tuyến tại điểm: cho hàm số TXĐ:
Lưu ý: là tiếp điểm
min AB min
min 16
m m
1;1
I d 1 2.1 m m 1
1 1
2 2
x y
x y
2 1
x
x
1 2
y xm
C d
1
\{ 1}
DR
2
x
x
1 2
0 ( 1) 0 0
f
x x
2
m
2
( )
y f x DR
0 0
'( )( ) y
y f x x x
y k x x y
0 ; 0
0
( ) '( )
y f x
k f x
Trang 1012
VD1: Cho Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ bằng 3
Giải:
VD2: Cho Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc min là:
Giải: Gọi
(dùng Mode 5 3)
VD3: Cho Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
PHƯƠNG PHÁP CHUNG CASIO:
Bước 1: Tìm phương trình hoành độ giao điểm
Bước 2: Sử dụng chức năng giải phương trình của máy tính để giải
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ?
CASIO:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm :
3 2
x
x
3
y x y x 3 y 2x 3 y 2x 3
0 3 0 0
x y
3
3 2
d x
k y
x
dx x
3
y x
3 2
yx x C
3
y x y 3x 4 y 4x 3 y 3x 3
0 ; 0 '( ) 0 3 0 6 0 min 3
M x y k f x x x
3 2
y x
9 26
y x y 9x 2 y 9x 1 y 9x 3
yx mx m x
1
2
m
m
1 2
m m
1 2 2
m m m
Trang 1113
Bước 1: Thay giá trị của m từng đáp án, nếu phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt
khác 0 thì nhận đáp án đó là đáp án đúng
Bước 2: w53:
Với m = 3 => Giải phương trình Loại B
Với m = -2 => Giải phương trình Loại A; C
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
y = m tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn ?
A 0 < m < 2 C.
B -2 < m < 2 D
CASIO:
Phương trình hoành độ giao điểm:
Bước 1:w 54
Với m = -1 => Giải phương trình ta được 3 nghiệm thực có 1 nghiệm nhỏ hơn => Loại B; D
Với m = 1 => Giải phương trình ta được 3 nghiệm thực có 1 nghiệm nhỏ hơn => Loại A
Đáp án cuối cùng là C
Bài tập tương tự:
2
0
x
x mx m
5
x
x x
x
4
x
x x
x
3 2
yx x 1
2
9
2
8 m
2 m 2
3 2
x x m
3 2
1
2
3 2
1
2
Trang 1214
1 Tất cả giá trị tham số để đồ thị cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt là:
2 Với giá trị nào của thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt
A B C D
3 Cho phương trình Điều kiện của tham số để có ba nghiệm phân biệt thỏa khi:
4 Định m để chỉ có một điểm chung với trục hoành
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]: Xét , phương trình có hai nghiệm (loại)
có 1 điểm chung với
Vậy chọn
Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra trực tiếp các đáp án của đề bài
+ Với , phương trình thu được là nghiệm duy nhất loại B, D + Với , phương trình thu được là nghiệm duy nhất loại C
Vậy chọn
C y x x d y: m
2 m 2
4; 3
m m 3 m 4 m 3; m ; 4
3 2
1 1 2 3
x x x
m
C y m x x m
4 0
3
3
m
1
1
2
0
x y m
2
CD CT
m m m m
y y
m
4 0
3
m m
3
m m
1
2x x 1 0
2
4 0
3
m m
Trang 1315
5.Cho hàm số có đồ thị Giá trị để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là:
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi
có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng
Suy ra đường thẳng đi qua điểm uốn của đồ thị
(Do đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng)
Mà điểm uốn của là Suy ra Vậy chọn
Phương pháp trắc nghiệm
Chọn thay vào phương trình
Ta được Dùng chức năng tìm nghiệm phương trình bậc ba ta được ba nghiệm thỏa cấp số cộng
Vậy chọn
6.Cho hàm số: có đồ thị và đường thẳng Đường thẳng cắt
đồ thị tại hai điểm và Với , giá trị để tam giác đều là
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng :
3 2
yx x m ( )C m ( )C
3
( )C
3 2
yx x ( )C
3 2
yx x I(1; 3) m 3 m 3
3
x x m
3 2
x x x
3
m
1
x y x
2
1
x
x m x x m x m
x
Trang 1416
Khi đó cắt tại hai điểm phân biệt , khi và chi khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác
Gọi trong đó là nghiệm của
Nên theo Vi – et ta có
Gọi là trung điểm của
Suy ra , suy ra
Mặt khác
Tam giác đều khi và chỉ khi
7.Cho hàm số có đồ thị Giá trị để đường thẳng : cắt
đồ thị tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn là:
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng :
1
2
m R
m R
m m
A x x m B x x m x x1, 2 (1)
1 2
1 2
3 1
x x m
1 2 1 2 2
x x x x m
I
AB
m m
m m
CI CI m m
AB x x x x AB x x m m
CI AB m m m
5
m
m m m m m
m
m m
yx m x m ( )C m ( )d y 2
3 2 11 1
2
m
m
3 2
m m
11 1
2
m
Trang 1517
Đường thẳng cắt tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3
Vậy chọn
thị tại ba điểm phân biệt và Với , giá trị của để tam giác
có diện tích bằng là:
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm
Đường thẳng cắt tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai
nghiệm phân biết khác
Khi đó ta có: trong đó là nghiệm của
Nên theo Vi-et ta có
Ta có:
2
2
1
2 2 (1)
x
x m x m x m x m
x m
( )d ( )C
(1)
3
1
2
m m
m
m
3 2 11 1
2
m
m
yx mx m x ( )C ( ) :d y x 2
2 7
2
0
x mx m x x x x mx m
x
x mx m
0
2
1 1
1 0
m R
m m
m
C x x B x x x x1, 2 (1)
1 2
1 2
2
x x m
CB x x x x CB x x m m
Trang 1618
Diện tích tam giác bằng khi và chỉ khi
( thỏa ) Vậy chọn
9.Cho Tất cả giá trị tham số để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa là:
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Phương trình hoành độ giao điểm của và trục hoành là
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác
Gọi còn là nghiệm phương trình nên theo Vi-et ta có:
Vậy chọn
10.Cho hàm số có đồ thị Giá trị của m để cắt trục tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa là
3 1 2
2
d M d
1
4 2
m
m
m m
m
C y x x m x m m C m
1 , , 2 3
x x x x12x22x32 4 1
m
1 4 0
m m
2
x x x m 2 1
0 (1)
x
x x m
0
m m
1 (*) 4 0
m m
3 1
x x x1, 2 1 1 2
1 2
1
x x
x x m
x x x 2 2
1 2 1 4
x x 2
1 2 2 1 2 3 0
x x x x m 1 1
m
:
1 , 2 , 3
x x x x12 x22 x32 15
Trang 1719
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận:
Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng :
cắt tại ba điểm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt khác
Gọi còn là nghiệm phương trình nên theo Vi-et ta có:
Hệ thức:
Vậy chọn
Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra ngay trên đáp án
+Với , ta giải phương trình bậc ba: thu được 3 nghiệm
Ta chọn những giá trị nhỏ hơn các nghiệm này và kiểm tra điều kiện của bài toán Cụ thể ta tính loại C, D +Với , ta làm tương tự thu được 3 nghiệm
Vậy chọn
3x mx x m 3 x x m x m
1
x
g x x m x m
2
0
m
1 1
x x x2, 3 1 2 3
2 3
x x m
2 2 2
1 2 3 15 1 2 3 2 2 3 15
x x x x x x x
m m
m m
2
3x x x 3
1 6.37 , 2 1, 3 0.62
x x x
6.4 1 0.63 42.3569 15
2
2 2
6.2 1 1.3 41.13 15
m m
Trang 1820
11.Cho đồ thị và đường thẳng Giá thị tham số để cắt tại hai điểm phân biệt , sao cho là:
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm và là cắt tại hai điểm phân biệt Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình (1) nên theo Vi-et ta có:
Vậy chọn
12 Cho đồ thị và đường thẳng Giá trị để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách từ và từ đến trục hoành bằng nhau là
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng :
cắt tại hai điểm phân biệt Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác
:
1
x x
C y
x
1
x x
m
x
1
x
1 3 0
m m
m m
1 , 2
x x
1 2
1 2
1 1
x x m
x x m
A x m 1 ; B x m 2 ; AB 2 2
2
AB 2
2 1 2
x x
2
1 2 4 1 2 2 0
x x x x 1 2 6
m m
m m
m
1
x
H y
x
( ) :d ykx2k1 k H ( )d ,
3
3
2
k
2 1
2 1
1
x
kx k
x
1
3 1 2 0 (1)
x
Trang 1921
Hoành độ là nghiệm của phương trình nên theo Vi-et ta có:
1
2
0
0
( 1) (3 1)( 1) 2 0
k
2
0
k
k k
0
(*)
k
,
1 2
1 3 2
k
x x
k
x x