Bài tập tổng hợp nón- trụ -cầu ( mức độ 3)

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ 4.1 Bài tập tổng hợp nón-trụ-cầu MỨC ĐỘ Câu [2H2-4.1-3] [THPT Quảng Xương lần 2] Cho hình chữ nhật ABCD nửa đường trịn đường kính AB hình vẽ Gọi I , J trung điểm AB, CD Biết AB = 4; AD = Thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình quanh trục IJ là: A V = 56 π 104 40 π B V = C V = π 3 Hướng dẫn giải D V = 88 π Chọn D Khi xoay mơ hình quanh trục IJ nửa đường trịn tạo thành nửa mặt cầu có R = ; hình chữ nhật ABCD tạo thành hình trụ có r = 2; h = 16π ⇒ Thể tích nửa khối cầu V1 = π R = Thể tích khối trụ V2 = π r h = 24π 3 88π ⇒ V = V1 + V2 = Câu [2H2-4.1-3] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3] Hình trụ có thiết diện qua trục hình vuông cạnh 2a Một mặt cầu tiếp xúc với đường sinh hình trụ hai đáy hình trụ Tỉ số thể tích khối trụ khối cầu A B C D 2 Hướng dẫn giải Chọn D Do thiết diện qua trục hình trụ hình vng cạnh 2a nên bán kính đáy, chiều cao hình trụ mặt cầu nội tiếp khối trụ có bán kính a Thể tích khối trụ là: VT = h.π R = 2.π a 4 3 Thể tích khối cầu là: VC = π R = π a 3 TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN VT = VC Tỉ số thể tích Câu PHƯƠNG PHÁP [2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cắt hình nón đỉnh S cho trước mặt phẳng qua trục SO ta tam giác vng cân có cạnh bên độ dài a Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón cho 2 A 2π − 2 a B π a C 2π + 2 a D 2π a Hướng dẫn giải Chọn A ( ( ) Ta thấy ∆SIH : ∆SAO ( g - g ) SI IH SO − IO IO ⇒ ⇔ = = SA AO SA AO ) ( Vì IO = IH ) (1) AB a Vì ∆SAB vuông cân S O trung điểm AB ⇒ SO = AO = (2) = 2 a − IO IO a 2− = ⇔ IO = Từ (1) (2) ⇒ a a 2 2 Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón S = 4π IO = 2π − 2 a ( ) ( Câu ) [2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho hình trụ có hai đáy hai hình tròn ( O; R ) , ( O′; R ) với OO′ = R hình nón có đỉnh O′ đáy hình trịn ( O; R ) Kí hiệu S1 , S2 diện tích xung quanh hình trụ hình nón Tính k = A k = B k = C k = S1 S2 D k = Hướng dẫn giải Chọn D Ta có SπR =R SπR = Câu =πR R3 R + πR =2 2 Vậy S1 = S2 [2H2-4.1-3] [BTN 164] Người ta bỏ ba bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn chiều cao ba lần đường kính TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP bóng bàn Gọi S1 tổng diện tích ba bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số S1 bằng: S2 A C Hướng dẫn giải B D Chọn A Gọi R bán kính bóng Diện tích bóng S = 4π R , suy S1 = 3.4π R Chiều cao hộp hình trụ lần đường kính bóng bàn nên h = 3.2r S1 =1 Suy S = 2π R.3.2 R Do S2 Câu [2H2-4.1-3] [BTN 163] Một phễu rỗng phần có kích thước hình vẽ Diện tích xung quanh phễu là: A S xq = 360π cm B S xq = 960π cm C S xq = 296π cm D S xq = 424π cm Hướng dẫn giải Chọn C S xq = 2.π 8.10 + π 8.17 = 296π cm Câu [2H2-4.1-3] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy r = 2m , chiều cao h = 6m Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành khúc gỗ có dạng hình khối trụ hình vẽ Gọi V thể tích lớn khúc gỗ hình trụ sau chế tác Tính V A V = 32π (m ) B V = 32π (m ) C V = 32 (m ) D V = 32π (m ) Hướng dẫn giải Chọn D TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Giả sử khối trụ có bán kính đáy đường cao r , h ' ( < x < 2;0 < h′ < ) h′ − x ⇔ h′ = − x Ta có: = 2 2 Thể tích khối trụ: V = π x h′ = π x ( − x ) = 6π x − 3π x V ′( x ) = 12π x − 9π x , V ′( x) = ⇔ x = ∨ x = 32π m Khi ta suy với x = V đạt giá trị lớn V = ( ) Câu [2H2-4.1-3] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Trong mặt phẳng cho hình lục giác cạnh Tính thể tích hình trịn xoay có quay hình lục giác quanh đường thẳng qua hai đỉnh đối diện A 2π B 6π C 8π D π Hướng dẫn giải Chọn C Thể tích V hình trịn xoay bao gồm thể tích khối trụ ACFD khối nón BAC , DEF Có : R = AC = = 2 Chiều cao h khối trụ h = Chiều cao h′ khối nón h′ = = Thể tích khối trịn xoay : V = π R h + π R h′ 2 = π + π = 8π ( ) ( ) TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN Câu PHƯƠNG PHÁP [2H2-4.1-3] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn ( O, R ) ( O ', R ) ; OO ' = a Một hình nón có đỉnh O ' đáy hình trịn ( O, R ) Gọi S1 S1 , S diện tích xung quanh hình trụ hình nón Tính tỉ số S2 A S1 = S2 B S1 = S2 C S1 = S2 D S1 = S2 Hướng dẫn giải Chọn C S1 2π Rh = = S2 π Rl 2OO ' R + OO ' 2 = 2R = 2R Câu 10 [2H2-4.1-3] [THPT Thuận Thành] Cho hình nón trịn xoay ( N ) có đỉnh S đáy hình trịn tâm O bán kính r nằm mặt phẳng ( P ) , đường cao SO = h Điểm O′ thay đổi đoạn SO cho SO′ = x ( < x < h ) Hình trụ trịn xoay ( T ) có đáy thứ hình trịn tâm O bán kính r ′ ( < r ′ < r ) nằm mặt phẳng ( P ) , đáy thứ hai hình trịn tâm O′ bán kính r ′ nằm mặt phẳng ( Q ) , ( Q ) vng góc với SO O′ (đường tròn đáy thứ hai ( T ) giao tuyến ( Q ) với mặt xung quanh ( N ) ) Hãy xác định giá trị x để thể tích phần khơng gian nằm phía ( N ) phía ngồi ( T ) đạt giá trị nhỏ A x = h B x = h 2 h Hướng dẫn giải C x = D x = h Chọn C Vlt = ( h - x ) pr ¢2 Áp dụng Talet vào D SOA có O ¢B //OA O ¢B SO ¢ r ¢ x rx = Û = Þ r ¢= OA SO r h h pr Þ Vlt = ( h - x ) x h Để thể tích phần ( N ) ngồi ( T ) nhỏ Þ Vlt : lớn Þ ( h - x) x lớn Xét hàm số y = f ( x ) = ( h - x ) x TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP y ¢= xh - x = x ( 2h - x ) éx = y Â= ị 2h ờx = ê ë Câu 11 [2H2-4.1-3] [THPT Quảng Xương lần 2] Cho hình chữ nhật ABCD nửa đường trịn đường kính AB hình vẽ Gọi I , J trung điểm AB, CD Biết AB = 4; AD = Thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình quanh trục IJ là: 56 A V = π 104 π B V = 40 C V = π Hướng dẫn giải D V = 88 π Chọn D Khi xoay mơ hình quanh trục IJ nửa đường trịn tạo thành nửa mặt cầu có R = ; hình chữ nhật ABCD tạo thành hình trụ có r = 2; h = 16π ⇒ Thể tích nửa khối cầu V1 = π R = Thể tích khối trụ V2 = π r h = 24π 3 88π ⇒ V = V1 + V2 = Câu 12 [2H2-4.1-3] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hịa] Cho hình trụ có bán kính đáy r1 nội tiếp hình cầu bán kính r khơng đổi Xác định bán kính r1 theo r để hình trụ tích lớn 6 A r1 = B r1 = C r1 = D r1 = r r r r 3 Hướng dẫn giải Chọn B TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Chiều cao hình trụ h = IH = r − r12 Thể tích khối trụ V = 2π r12 r − r12 Xét f ( r1 ) = r12 r − r12 f ′ ( r1 ) = 2r1r − 3r13 − r12 ( < r1 < r ) ( ∗) ( < r1 < r ) = ⇔ r1 = (Có thể thử chọn vào ( ∗) )  6 r ( < r1 < r ) ⇒ Max f ( r1 ) = f   ÷ ÷   Câu 13 [2H2-4.1-3] [THPT Ng.T.Minh Khai(K.H)] Người ta bỏ ba bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn chiều cao ba lần đường kính bóng bàn Gọi S1 tổng diện tích ba bóng bàn, S diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số A 1,2 B S1 : S2 D 1,5 C Hướng dẫn giải Chọn B Gọi R bán kính bóng bàn hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h = R nên S1 3.4π R 12π R = = = S2 2π Rh 2π R.6 R Câu 14 [2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cắt hình nón đỉnh S cho trước mặt phẳng qua trục SO ta tam giác vng cân có cạnh bên độ dài a Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón cho 2 A 2π − 2 a B π a C 2π + 2 a D 2π a Hướng dẫn giải Chọn A ( ) ( ) TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Ta thấy ∆SIH : ∆SAO ( g - g ) SI IH SO − IO IO ⇒ ⇔ = = SA AO SA AO ( Vì IO = IH ) (1) AB a Vì ∆SAB vng cân S O trung điểm AB ⇒ SO = AO = (2) = 2 a − IO IO a 2− 2 = ⇔ IO = Từ (1) (2) ⇒ a a 2 2 Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón S = 4π IO = 2π − 2 a ( ) ( ) Câu 15 [2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Q Đơn] Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn ( O; R ) , ( O′; R ) với OO′ = R hình nón có đỉnh O′ đáy hình trịn ( O; R ) Kí hiệu S1 , S2 diện tích xung quanh hình trụ hình nón Tính k = A k = B k = C k = S1 S2 D k = Hướng dẫn giải Chọn D Ta có SπR =R SπR = =πR R3 R + πR =2 2 Vậy S1 = S2 Câu 16 [2H2-4.1-3] [BTN 164] Người ta bỏ ba bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn chiều cao ba lần đường kính bóng bàn Gọi S1 tổng diện tích ba bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số A S1 bằng: S2 B C Hướng dẫn giải D Chọn A Gọi R bán kính bóng Diện tích bóng S = 4π R , suy S1 = 3.4π R Chiều cao hộp hình trụ lần đường kính bóng bàn nên h = 3.2r S1 =1 Suy S = 2π R.3.2 R Do S2 TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN PHƯƠNG PHÁP Câu 17 [2H2-4.1-3] [BTN 163] Một phễu rỗng phần có kích thước hình vẽ Diện tích xung quanh phễu là: A S xq = 360π cm B S xq = 960π cm C S xq = 296π cm D S xq = 424π cm Hướng dẫn giải Chọn C S xq = 2.π 8.10 + π 8.17 = 296π cm Câu 18 [2H2-4.1-3] [BTN 161] Có hộp nhựa hình lập phương, người ta bỏ vào hộp bóng đá Tính tỉ số V1 , V1 thể tích bóng đá, V2 thể tích hộp đựng V2 bóng Biết mặt hình lập phương tiếp xúc với bóng A V1 = π B V1 = π C V1 = π V2 V2 V2 D V1 = π V2 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi R bán kính mặt cầu, cạnh hình lập phương 2R Ta Thể tích hình lập phương V2 = 8R , thể tích bóng V1 = 4π R3 V π ⇒ = V2 Câu 19 [2H2-4.1-3] [THPT Kim Liên-HN] Một hình nón có góc đỉnh 17 nội tiếp Tính thể tích khối cầu 8p C D 2p Hướng dẫn giải hình cầu Biết thể tích khối nón A 2p B 32p Chọn B TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Thiết diện qua trục hình sau: uuu r r éMA; u ù ê ú 52 + 52 5 ë û é ù = = = Vì góc đỉnh d ëM ; ( d ) û= nên D ABC tam r u + 22 +( - 1) giác Ta có: AD = BC V = 3p Þ Þ 3 = DC Þ DC = AD pDC AD = 3p 1 p AD3 = 3p Þ AD = 3 AD = 32p Thể tích khối cầu là: VC = pR = 3 Từ đó: Bán kính khối cầu R = Câu 20 [2H2-4.1-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh Một mặt cầu có diện tích diện tích tồn phần hình nón Tính bán kính mặt cầu A B C D Hướng dẫn giải Chọn D  Vì thiết diện qua trụ tam giác cạnh nên hình nón có bán kính r = , độ dài đường sinh l =  Diện tích tồn phần hình nón: Stp = π r ( l + r ) = 3π  Mặt cầu có bán kính R có diện tích S mc = 4π R  Theo đề 4π R = 3π ⇒ R = Câu 21 [2H2-4.1-3] [THPT Hùng Vương-PT] Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có AB = a , AB′ = 2a Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A′B′C ′ Biết mặt đáy khối trụ nằm mặt phẳng ( ABC ) π a3 A V = π a3 B V = π a3 C V = Hướng dẫn giải D V = π a3 Chọn A Gọi F , G trung điểm BC trọng tâm ∆ABC ∆ABB′ vng B , có: BB′ = AB′2 − AB = 4a − a = 3a 3 ∆ABC cạnh a nên AF = a ⇒ AG = a Gọi h , R chiều cao bán kính hình trụ Ta có h = BB′ = 3a , R = a = GA Vậy thể tích khối trụ ngoại tiếp ABC A′B′C ′ là: TRANG 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN PHƯƠNG PHÁP   3π a V = hπ R = π 3a  a÷ = ÷   Câu 22 [2H2-4.1-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Trong mặt phẳng ( P ) cho hình vng MNPQ có cạnh hình trịn ( C ) có tâm M , đường kính 14 Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục đường thẳng PM A V = C V = ( ) 343 7+ π ( ) 343 + π B V = D V = ( ) 343 6+ π ( ) 343 12+ π Hướng dẫn giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta tích khối trịn xoay gồm chỏm cầu sinh cung lớn NQ quay quanh Ox khối nón đỉnh P , đường kính đáy NQ Vậy thể tích tính bằng: ∫ ( V=π − 2 ( )   343 + π 49 − x dx + π  ÷ =  ÷  ) TRANG 11 ... 2π r12 r − r12 Xét f ( r1 ) = r12 r − r12 f ′ ( r1 ) = 2r1r − 3r13 − r12 ( < r1 < r ) ( ∗) ( < r1 < r ) = ⇔ r1 = (Có thể thử chọn vào ( ∗) )  6 r ( < r1 < r ) ⇒ Max f ( r1 ) = f   ÷ ÷ ... ( < r ′ < r ) nằm mặt phẳng ( P ) , đáy thứ hai hình trịn tâm O′ bán kính r ′ nằm mặt phẳng ( Q ) , ( Q ) vng góc với SO O′ (? ?ường trịn đáy thứ hai ( T ) giao tuyến ( Q ) với mặt xung quanh (. .. ( Vì IO = IH ) (1 ) AB a Vì ∆SAB vng cân S O trung điểm AB ⇒ SO = AO = (2 ) = 2 a − IO IO a 2− = ⇔ IO = Từ (1 ) (2 ) ⇒ a a 2 2 Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón S = 4π IO = 2π − 2 a ( ) (