Chuyên đề 3 hệ THỨC LƯỢNG

Các chuyên đề hình học dành cho bạn THCS(Số 3) Nguyễn Duy Khương-khoá 1518 chuyên Toán-THPT chuyên Hà Nội Amsterdam Đôi điều chuyên mục: Ở chuyên mục mở tơi trình bày chun đề liên quan tới hình học phẳng qua kì thi vào lớp 10, thi chọn HSG TP lớp Mỗi tháng viết chuyên đề Mong bạn ủng hộ, đặc biệt bạn lớp chuẩn bị bước vào kì thi chuyên cam go Do giới hạn kiến thức cho học sinh lớp khó tránh việc lời giải có lúc dài(do phải xét nhiều trường hợp hình vẽ khác nhau) mong bạn, thầy cô thông cảm Chuyên đề số 3: Hệ thức lượng đường tròn hàng điểm điều hồ góc nhìn kiến thức THCS I) Một số hệ thức lượng đường tròn : Ở lớp chương tứ giác nội tiếp có xuất số tập liên quan tới tứ giác nội tiếp hệ thức lượng đường tròn Sau tơi nêu lại chúng bổ sung thêm số hệ thức khác hàng điểm điều hoà cần thiết quan trọng 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Gọi giao điểm AD, BC điểm M Thế M A.M D = M B.M X = OM − R2 Giả M nằm (O) ta kẻ tiếp tuyến M S, M T đến (O)(S, T tiếp điểm) M S = M T = M A.M D = M B.M C 2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Gọi AC ∩ BD = N Thế N A.N D = N B.N C = R2 − ON (đây trường hợp N nằm tứ giác ABCD) 3) Từ điểm E ngồi đường tròn kẻ cát tuyến EF K đến (O) Kẻ tiếp tuyến EX, EY đến (O) Gọi XY ∩ EF = I Chứng minh hệ thức sau: +) IF FE = IK EK +) Gọi M trung điểm IE Khi đó: M E = M I = M F.M K(Hệ thức N ewton) +) Gọi N trung điểm F K Chứng minh rằng: EI.EN = EF.EK(Hệ thức M aclaurin) Cũng cần ý hệ thức sau gọi hệ thức M aclaurin: IE.IN = IF.IK Chứng minh: Các hệ thức 1) 2) tơi nêu chứng minh hệ thức 3) Lưu ý có ba hệ thức 3)(không thiết có giả thiết tứ giác nội tiếp) ta có hai hệ thức lại Ta chứng minh hệ thức tương đương Giả sử ta có hệ thức M aclaurin, thì: M E = M F.M K ⇔ M E = (EF − M E)(EK − M E) ⇔ M E = EF.EK + M E − M E(EF + EK) ⇔ EF.EK = EI EI (EF + EK) = 2EN = EN.EI(đúng) Do có hệ thức M aclaurin 2 ta có hệ thức N ewton Ta quay lại hệ thức thứ nhất, giả sử ta có sẵn hệ FE IF = ⇔ IK.EF = EK.IF ⇔ (EK − EI)EF = IK EK (IK + EI)IF ⇔ EI.EN − EI.EF = EI.IF + IK.IF ⇔ EI(EN − EF − IF ) = IK.IF ⇔ IE.IN = IF.IK(đúng theo hệ thức M aclaurin) Như ba hệ thức tương đương miễn có sẵn hệ thức Hệ bốn điểm thoả mãn hệ thức thứ người ta thường gọi hàng điểm điều hoà Do vấn đề độ dài đại số chưa trình bày tường minh cấp THCS tơi nêu cách chứng minh phụ thuộc hình vẽ, mong bạn đọc thơng cảm thức M aclaurin thì: Bây ta quay lại toán chứng minh hệ thức số 3, ta có ba điều bởi: Gọi S trung điểm XY Hiển nhiên N trung điểm F K tứ giác N ISO nội tiếp áp dụng hệ thức 1) ta có: EI.EN = ES.EO = EX = EF.EK tức có hệ thức M aclaurin ln hiển nhiên chứng minh có hệ thức đương nhiên hệ thức lại Nhận xét: Các hệ thức có chiều ngược lại tức đồng thời cách chứng minh điểm đồng viên, cách chứng minh tiếp tuyến đường tròn, Bây để bạn hiểu rõ ý nghĩa hệ thức lượng đường tròn tơi giới thiệu số toán luyện tập Việc có tảng hệ thức lượng đường tròn quan trọng khơng học sinh cấp mà với học sinh cấp bắt đầu tiếp xúc với khái niệm Chính lẽ mà ngày hệ thức lượng đường tròn trường lấy làm nội dung thi vào chuyên, xuất nhiều kì thi HSG lớp II) Các toán ứng dụng: Bài toán 1(Tuyển sinh vào chuyên Toán THPT chuyên TPHCM): Cho điểm M nằm ngồi đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến M A, M B đến (O) với tiếp điểm A, B Gọi H giao AB OM , I trung điểm M H AI ∩ (O) = K, A a) Chứng minh rằng: HK ⊥ AI b) Chứng minh rằng: ∠M KB = 90◦ Lời giải: a) Gọi M O ∩ (O) = D, E(như hình vẽ) Áp dụng hệ thức N ewton thì: IH = IM = ID.IE = IK.IA hiển nhiên ∠IHA = 90◦ , theo hệ thức lượng tam giác vng đảo thì: HK ⊥ AI(đpcm) b) Từ a) suy ra: ∠KHI = ∠KAB = ∠M BK(do M B tiếp xúc (O)) Vậy tứ giác M KHB nội tiếp ∠M KB = 90◦ (đpcm) Nhận xét: Có thể thấy việc sử dụng hệ thức 3) giúp làm ngắn gọn lời giải nhiều xong lưu ý bạn cần phải chứng minh lại hệ thức lúc bước vào phòng thi Bài tốn 2(Thi vào lớp chuyên Toán chuyên ĐHSP 2016-2017): Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC Kẻ đường cao AH Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC tương ứng điểm D, E Đường thẳng DE cắt BC điểm S a) Chứng minh rằng: BDEC nội tiếp b) Chứng minh rằng: SB.SC = SH c) Đường thẳng SO cắt AB, AC M, N tương ứng, đường thẳng DE cắt HM, HN điểm P, Q tương ứng Chứng minh rằng: BP, CQ, AH đồng quy Lời giải: a) Gọi (I) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta thấy theo hệ thức lượng cho tam giác vuông AHB AHC thì: AD.AB = AE.AC(= AH ) Do thu được: B, D, E, C đồng viên b) Ta để ý thấy: ∠SHD = ∠HED(do SH tiếp xúc (O)) SH = SE.SD = SB.SC ta có: SH = SB.SC BM BS BS = = , lại MA SK SH BH SB có: SB.SC = SH nên SB.HC = SH(SH − SB) = SH.BH = SH HC BM HB = M H AC Điều dẫn tới BDHP nội tiếp BP ⊥ M H MA HC suy BP ⊥ AC Hoàn toàn tương tự CQ ⊥ AB Vậy ta có: BP, CQ, AH đường cao tam giác ABC nên chúng đồng quy điểm(đpcm) c) Gọi K điểm đối xứng H qua S Ta có: SO AK Bài tốn 3: Cho tam giác ABC điểm D, E, F thuộc BC, CA, AB DB SB cho AD, BE, CF đồng quy Giả sử EF ∩ BC = S Chứng minh rằng: = DC SC Lời giải(Bạn đọc tự vẽ hình): Áp dụng định lí Ceva cho AD, BE, CF đồng quy DB EA F B thì: = Áp dụng định lí M enelaus cho cát tuyến S, E, F tam DC EC F A SC EA F B giác ABC thì: = Chia vế cho vế dĩ nhiên ta đpcm SB EC F A Nhận xét: Bài tốn quan trọng gạch nối lớn để ta có cách làm tốn khác Bài tốn 4(Tuyển sinh vào chuyên Toán chuyên Vĩnh Phúc 2013-2014): Cho tam giác ABC nhọn(AB < AC) Gọi D, E, F chân đường cao hạ từ A, B, C Gọi P = BC ∩ EF Đường thẳng qua D EF cắt AB, AC, CF Q, R, S Chứng minh rằng: a) Tứ giác BQCR nội tiếp b) D trung điểm QS c) (P QR) chia đơi BC Lời giải: a) Ta có: ∠CF B = ∠BEC = 90◦ tứ giác BF EC nội tiếp Vậy ∠QBC = ∠F EC = ∠QRC BQCR nội tiếp DQ DB SD DC b) Theo định lí T hales thì: = = đpcm tương đương với: PF BP PF CP DB PB = (đúng theo toán 3) PC DC c) Gọi M trung điểm BC Do tứ giác BQCR nội tiếp nên DB.DC = DQ.DR Áp dụng hệ thức M aclaurin cho hàng điểm điều hoà DP BC(đã chứng minh tốn 3) hiển nhiên DP.DM = DB.DC = DQ.DR ta thu đpcm Nhận xét: Cả hai ý b) c) tốn mở rộng lên cho ba đường đồng quy không thiết phải đường cao Bài toán 5(China TST 2012): Cho tứ giác bàng tiếp ABCD đường tròn (O) nội tiếp đường tròn (J) CD tiếp xúc đường tròn (O) điểm T Hai đường chéo gặp P Dựng đường tròn qua A, B tiếp xúc (O) điểm S Chứng minh rằng: ∠P ST = 90◦ Lời giải : Gọi X, Y, Z, T tiếp điểm ABCD (O) hình vẽ Ta gọi tiếp tuyến từ S (O) cắt AB điểm I, Y Z cắt AB điểm M Do tứ giác ABCD bàng tiếp nên có hàng điểm điều hồ ABM X(bạn đọc thử chứng minh tập) mà ta lại có: IS = IX = IB.IA nên theo hệ thức N ewton I trung điểm M X Do thu M P SX nội tiếp đường tròn tâm I Đến ta thực biến đổi góc bình thường ,có: ∠P ST = ∠P SX − ∠T SX = ∠AM P − ∠P XM = 90◦ (đpcm) Nhận xét: Ở ta thường cách dựng giả thiết tiếp xúc đặc biệt tứ giác bàng tiếp đồng thời nội tiếp Sau cách dựng: +) Ta biết tính chất việc đường nối tiếp điểm tương ứng tứ giác bàng tiếp nội tiếp vng góc với ta dựng đường tròn tiếp xúc trước(bàng tiếp tứ giác) Dựng đường tròn (I) dây cung XY, ZT vng góc phân biệt +) Sau vẽ tiếp tuyến X, Y, Z, T (I) giao điểm thoả mãn tính chất Cuối để bạn luyện tập xin đề nghị số tập: Bài toán 6(Đề dự bị chuyên Trần Phú-Hải Phòng 2016-2017) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AA1 , BB1 đường cao tam giác ABC Gọi M trung điểm AB CM cắt (CA1 B1 ), (O) P, Q Chứng minh rằng: M P = M Q Bài tốn 7(trích VMO 2016-ngày 1): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) M trung điểm BC (AM = 2R) cắt AB AC E F khác A Tiếp tuyến E F (AEF ) cắt T Chứng minh rằng: T B = T C Bài tốn 8(Trần Quang Hùng-T12/466-THTT): Cho tam giác ABC nhọn khơng cân nội tiếp đường tròn (O) Lấy P điểm thuộc tam giác ABC cho AP vng góc BC Kẻ P E, P F vng góc AB, AC( E, F thuộc AB AC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt lại (O) G Chứng minh GP, BE, CF đồng quy điểm Mình lưu ý có nhiều hệ thức lượng đường tròn quan trọng khác(đặc biệt định lí P tolemey) Xong để rõ ràng chi tiết đề cập tới chúng chuyên đề sau ... thức sau gọi hệ thức M aclaurin: IE.IN = IF.IK Chứng minh: Các hệ thức 1) 2) tơi nêu chứng minh hệ thức 3) Lưu ý có ba hệ thức 3) (không thiết có giả thiết tứ giác nội tiếp) ta có hai hệ thức lại... IE.IN = IF.IK(đúng theo hệ thức M aclaurin) Như ba hệ thức tương đương miễn có sẵn hệ thức Hệ bốn điểm thoả mãn hệ thức thứ người ta thường gọi hàng điểm điều hoà Do vấn đề độ dài đại số chưa trình... minh hệ thức sau: +) IF FE = IK EK +) Gọi M trung điểm IE Khi đó: M E = M I = M F.M K (Hệ thức N ewton) +) Gọi N trung điểm F K Chứng minh rằng: EI.EN = EF.EK (Hệ thức M aclaurin) Cũng cần ý hệ thức