De dap an thi HSG mon toan

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học 2017 - 2018 Mơn: Tốn (Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ MINH HỌA Đề thi có 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) (Gồm 16 câu trắc nghiệm khách quan có nhiều lựa chọn Hãy chọn phương án viết tờ giấy thi.) � y x �� y  x � A�  : �x  xy y  xy �� �� xy � � � �� �.Sau rút gọn biểu thức Câu Cho biểu thức A bằng: A -1 B xy x y G Câu Cho biểu thức gọn biểu thức ta có G=? A x x y B C D x x 2 y  : x  y yx x y  x y y y2 (với x> 0; y>0; x#y) Rút x D x x2 C Câu 3: Phương trình đường thẳng qua điểm M(6;2) vng góc với đường thẳng y = - x + là: A y = -3x +20 B y = 3x -16 C y = x D y = x + Câu Cho phương trình là? A B ( x  x)  6( x  x)  Tổng nghiệm phương trình C D 2mx  3y  � � Câu 5: Điều kiện tham số m để hệ phương trình �(m  1)x  y  có nghiệm (x; y) thỏa mãn x > y > là: A 5  m  3 ; B m  5 ; C m  3 ; D m  3 m  5 Câu 6: Hàm số A 2018; y   2017  2018 x đạt giá trị lớn bằng: B 2017  2018 ; C 1; D 2 Câu 7: Giá trị m để phương trình x  2mx  m  4m  2m   có nghiệm kép là: A m = 1; C m  � ; B m = 3; D m = –3 Câu 8: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác phương trình b x  (b  c  a )x  c  có số nghiệm là: A.1 nghiệm; B nghiệm; C vơ nghiệm; D vơ số nghiệm  , có AB = 10cm, AC = Câu Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD  15cm Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E Độ dài đoạn thẳng CE là: D �BC A 10cm; B 12cm; C 15cm; D 9cm � � Câu 10 Tam gi¸c ABC cã B = C ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC? A cm B 20cm C 36cm D 6cm Câu 11 Một tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy 10 cm, chiều cao ứng với cạnh bên 12 cm Tam giác cân có diện tích A 60 cm2 B.120 cm2 C 75cm2 D.57cm2 � Câu 12 Cho tam giác ABC có ( A  90 ), AH vng góc với cạnh huyền BC(H �BC) có sinB = 0,6 Kết quả sau sai AH A cosC = AC B cosC = sin HAC C cosC = 0,6 CH D cosC = AC � � Câu 13: Cho tam giác ABC cân A, có BAC  45 AB = 2018cm Khi độ dài đoạn thẳng BC là: A 2018  (cm); B 4036 (cm); C 2018 (cm); D  2018   (cm) � � � � Câu 14: Tứ giác ABCD có A  C  90 ; B �90 ; D �90 Nhận xét sau đúng: A Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD khơng qua điểm C B Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua điểm D C Bốn điểm A; B; C; D thuộc đường tròn có tâm trung điểm BD D Bốn điểm A; B; C; D thuộc đường tròn có tâm trung điểm AC Câu 15: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 10cm Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn, qua M kẻ tiếp tuyến xy Gọi D C hình chiếu A, B xy Diện tích lớn tứ giác ABCD là: A 50cm2; B 100cm2; C 25cm2; D Kết quả khác Câu 16: Có 108 người đăng kí tham gia học tiếng Anh, Pháp, Nhật, biết số người học tiếng Nhật số người học tiếng Pháp; số người học tiếng Pháp số người học tiếng Anh Số người học tiếng Anh là: A 54 B 72 C 36 D Đáp án khác II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu1: (5,0 điểm) a) Cho biÓu thøc x � � �� S �  :�  � � � � x  x x  x  x  �� � x 1 Tìm tất giá trị x để biểu thức S nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P   22 x  3x  169  x 2011 , biÕt: 10    1 62  Câu2: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vng góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Câu3: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c      ab bc ca bc ca ab -Hết HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN I PHẦN TRẮC NGHIỆM: 8,0 điểm ( Mỗi câu 0,5 điểm Câu Đáp án Câu Đáp án A D B 10 D B 11 C A 12 A C 13 A D 14 B,C B 15 A C 16 B II PHẦN TỰ LUẬN: 12,0 điểm Câu1: (5,0 điểm) x � � �� S �  :  � � � x 1 � x  x x  x  x  �� � � � a) Cho biĨu thøc T×m tất giá trị x để biểu thức S nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P 22 x  x  169  Câu Ý x 2011 , biÕt: 10    1 62  Nội dung Điể m ĐKXĐ: x 0; x Rút gọn ta đợc: 0,25 S S a 2,5đ x 1 x  x 1 Với x 0; x ta có: Mặt khác: Đặt 0,5 x 1 0 1� � � x  � 2� � 0,25 x  a �0; a Giả sử tồn x để S có giá trị nguyên phơng trình ( ẩn a tham sè S ) cã nghiÖm � Sa  a  S  1   S  1  S a 1 a  a 1 0,25 cã nghiÖm Tacã: Câu   3S  S  �0 �  S  1 �4 �  5,0đ 3 �S �1  3 0,5 Mµ S  ; S nguyªn nªn S  1; S  x0 � x 1 1� � x4 � -Víi S  th× x  x  x 1 � x 1 � 2� � x x  x 1 � -Víi S  0,5 Vì x = không thỏa mãn ĐKXĐ nªn víi x  0; x  4; x  0,25 S nhận giá trị số nguyên x Ta có: b 2,5 Do đó: (  1)3    1 (  1)  P   22.23  3.2  169  2011  1  2 1 1 1,5  12011  1 Câu2: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a.Chứng minh: CM vng góc với EF b.Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c.Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vuông ABCD E M A N D B F C � � � Ta có: ECD  BCF (cùng phụ với ECB ) Câu2 a Chứng minh được:  EDC =  FBC (cạnh góc vng – góc nhọn) 6,0 đ 2đ � CE = CF 1.0 �  ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM  EF 1,0 b * Vì  EDC =  FBC � ED = FB  NCF vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác 0,5 vng ta có: BC2 = NB.BF � a2 = NB.DE (đpcm) *  CEF vng C có CM đường trung tuyến nên CM  2đ 0.5 EF  AEF vng A có AM đường trung tuyến nên AM  EF 0.5 � CM = AM � M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC 0.5 � B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC (đpcm) c 2đ Đặt DE = x (x > 0)  BF = x AF �  AE  CB  SACFE = SACF + SAEF =  (AB  BF) �  AE  AD   (a  x).DE  (a  x)x SACFE = 3.SABCD 0.5 0.25 � (a  x)x  3a � 6a  ax  x  � (2a  x)(3a  x)  Do x > 0; a >  3a + x > � 2a  x  � x = 2a � A trung điểm DE � AE = a 0.5 AN AE  1 Vì AE //BC nên NB BC � N trung điểm AB 0,5 Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD 0.25 Câu3: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c      ab bc ca bc ca ab Câu3 1,0đ a a ac 1�  ab abc * Vì a, b, c > nên a  b b ba  ; b  c a  b  c Tương tự: � c cb  ca abc a b c   2 ab bc ca (1) * Ta có: a a  bc a (b  c) Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cơ- si ta có: a  (b  c) � a (b  c)  2 ۣ abc a(b  c) ۣ 2a abc a a (b  c) 2a abc a bc 0,5 2b b � ; a  b  c a  c Tương tự: � 2c c � abc ba a b c   �2 bc ca ab Dấu ‘ =” xảy a = b +c; b = c + a; c = a +b tức a = b = c (vô lý) � a b c   2 bc ca ab (2) 0,5 Từ (1) (2) ta có đpcm PHỊNG GD&ĐT THANH SƠN ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP TỈNH Năm học 2017 - 2018 TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐƠN Mơn: Tốn (Phần trắc nghiệm khách quan) Thời gian 45 phút không kể thời gian giao đề (Đề minh họa) Điểm thi Họ tên, chữ ký giám khảo Bằng số: Giám khảo số 1: Bằng chữ: Giám khảo số 2: Số phách Hãy khoanh tròn vào chữ trước câu trả lời Câu Giá trị biểu thức 2017 A 2016 Câu Cho biểu thức A 2015 B 2017 a 1 2 3  1 2 3 3 2016 C 2017 � � �  1     20163 là: 3 2017 D 2015 1 3 4 2017  2016   � � �  1 23 3 2016  2017 thì: A a B a 10 C a 20 D a 2  2017 Câu Đường thẳng qua điểm A(4; 3) cắt trục tung điểm có tung độ số ngun dương, cắt trục hồnh điểm có hồnh độ số nguyên tố là: A 3x +y -15 =0 B 3x – y +5 = C x - y +15 = D x +y -7 =0 Câu Đường thẳng qua A(7; 2) cách hai điểm B(2; 8) C(8; 4) hai phía là: A 2x +y –7 =0 B 2x +y -16 =0 C 2x +3y -21 =0 D 4x – 8y +7 =0 Câu Cho đường thẳng (d): y = 2x +4 Đường thẳng (d’) đối xứng với d qua đường thẳng y =x có phương trình là: A y =4x +2 B x -2y -4 =0 C x -2y +4 =0 D x – y =0 Câu Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, trực tâm H Biết AH = 14cm; BH = HC = 30cm Độ dài AD bằng: A 11cm B 20cm C 32cm D 35cm (a  1) x  y  a  � � Câu Cho hệ phương trình: �x  (a  1) y  (tham số a ) Với điều kiện a để hệ phương trình có nghiệm A B  x; y  giá trị nhỏ x + y là: C D Câu Cho Parabol (P) y  x đường thẳng (d): y = 2x + Gọi A, B giao điểm (d) (P) Tọa độ điểm C thuộc cung AB (P) để tam giác ABC có diện tích lớn là: A (0; 0) �1 � �; � B �2 � �1 � � ;1 � C �2 � D  1;1 Câu Cho Parabol (P) y  x Tập hợp điểm M cho tiếp tún kẻ từ M với (P) vng góc với đường thẳng: 1 A y = 1 B y = C y = -1 D y = -2 Câu 10 Cho tam giác ABC có cạnh 60cm Trên đoạn BC lấy điểm D cho BD = 20cm Lấy H trung điểm AD Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AD cắt AB M Độ dài đoạn MD là: A 25cm B 28cm C 29cm D 20 cm Câu 11 Giá trị m để phương trình: x  mx  2m   (tham số m) có ít nghiệm khơng âm là: A m > B m �2 C m �2 D m < Câu 12 Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm Các đường trung tún BD CE vng góc với Độ dài cạnh BC bằng; A cm; B cm; C cm; D 5 cm Câu 13 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = cm Gọi d tiếp tuyến A đường tròn, lấy M điểm d Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BM, cắt d N Độ dài nhỏ MN là: A 10 cm B 12cm C cm D 10cm Câu 14 Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, đường phân giác AD Điểm O chia đoạn AD theo tỉ số 2:1 Gọi K giao điểm BO AC Tỉ số AK:KC bằng: A B 2cm2 C 8cm2 D 6cm2 Câu 15 Cho tam giác ABC, biết AB = 14cm, AC = 35cm, đường phân giác AD = 12cm Diện tích tam giác ABC là: A 233,5cm2 B 232,5cm2 C 235,2cm2 D 234,4cm2 Câu 16 Cho tơn hình vng có cạnh 6cm Người ta muốn cắt hình thang hình vẽ Tổng x + y để diện tích hình thang EFGH bé là: A 7cm B 5cm C cm D cm Hết PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP TỈNH TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐƠN Năm học 2017 - 2018 Mơn: Tốn (Phần tự luận) (Đề minh họa) Thời gian 90 phút không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) a) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: xy2 + 2xy + x = 32y; b) Cho số thực a, b, c khác đôi vào thỏa mãn điều kiện: a2 – b = b2 – c = c2 – a Chứng minh rằng: (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = –1 Câu (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình: x  x   x   11x  25 x   ; b) Giải hệ phương trình: Câu (4,5 điểm) / Cho đường tròn (O) (O ) cắt hai điểm A B Vẽ đường kính AC / / AD đường tròn (O) (O ) Tia CA cắt (O )tại F; tia DA cắt (O) E Qua A kẻ / cát tuyến cắt (O) (O ) M N MC a) Chứng minh tỉ số NF không đổi đường thẳng MN quay quanh A; b) Gọi K giao điểm ME NF; I trung điểm MN Chứng minh đường thẳng IK qua điểm cố định MN quay quanh A; c) Khi MN song song với EF, chứng minh: MN = BE + BF Câu (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ac  bc  Tìm giá trị 19a  19b  19c  T    b2  c2  a2 nhỏ biểu thức: Hết HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: Tốn I PHẦN TRẮC NGHIỆM: ( điểm) Mỗi câu cho 0,5 điểm Câu Đáp án B A, C A, D B B A, C A D A 10 B 11 C 12 A 13 B 14 A 15 C 16 C II PHẦN TỰ LUẬN: ( 12 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: xy2 + 2xy + x = 32y; b) Cho số thực a, b, c khác đôi vào thỏa mãn điều kiện: a2 – b = b2 – c = c2 – a Chứng minh rằng: (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = -1 Nội dung cần đạt a) pt: x(y + 1)2 = 32y Điểm Vì (y, y+1) = nên 32 M(y + 1)2 � (y + 1)2 � {1; 4; 16} Vì y nguyên dương nên y � {1; 3} 1.5 Vậy (x; y) � {(8;4), (6;3)} b) Ta có: a – b = b2 – c 2 b –c=c –a a2 – b = c2 – a � a  b 1  ac a b � b  c 1  ba bc � c  a 1  c b ca 1.5 � (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = -1 Câu (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình: x  x   x   11x  25 x   ; b) Giải hệ phương trình: Nợi dung cần đạt Điểm a) Điều kiện : x �3 2 PT � x  x   x   11x  25x  2 � ( x  x  5)( x  3)  x  x  25 � ( x  x  5)( x  3)  ( x  x  5)  10( x  3) 2 � �a  x  x  � Đặt �b  x  ( a  0, b �0 ) Pt : 3ab = a2 – 10b2 � (a + 2b)(a – 5b) = � a = 5b ( a + 2b > 0) � x  x  25  25( x  3) Giải pt nghiệm 2,0 � (1) �x + y + x(1- 2y) = �2 2 b) Hệ tương đương �(x + y) + 3x (1- 2y) = (2) Thay (1) vào (2) x0 � �  x(1  y )   3x (1  y)  � x (1  y )(2  y)  � �y  � � y2 � Với x = suy y = x2   y  Với 1-2y = thay vào (1) suy 1 (Vô lí) 2.0 Với y = suy x = x = Hệ có nghiệm (0,0), (1,2), (2,2) Câu (4,5 điểm) / Cho đường tròn (O) (O ) cắt hai điểm A B Vẽ đường kính AC / / AD đường tròn (O) (O ) Tia CA cắt (O )tại F; tia DA cắt (O) E Qua A kẻ / cát tuyến cắt (O) (O ) M N MC a) Chứng minh tỉ số NF không đổi đường thẳng MN quay quanh A; b) Gọi K giao điểm ME NF; I trung điểm MN Chứng minh đường thẳng IK qua điểm cố định MN quay quanh A; c) Khi MN song song với EF, chứng minh MN = BE + BF .Nội dung cần đạt Vẽ hình: Điểm a) AEC : AFD( g.g ) 0,50 �  MAC �  FAN �  FDN � ; MCE �  MAE �  NAF �  FDN � � EMC : FND( g.g ) MEC � MC EC AC   ND FD AD (không đổi) 0,50 0,50 � � � � b) Ta có KMA  ECA  ADF  ANF � KMN cân K � KI đường cao KMN � IK  MN (1) Tứ giác MCDN hình thang vuông Gọi P trung điểm CD � P cố định 0,50 0,50 IP đường trung bình hình thang MCDN � IP  MN (2) Từ (1) (2) suy đường thẳng IP IK trùng � P; I ; K thẳng hàng 0,50 � IK qua P cố định � � c) EF//MN � EFA  FAN (so le trong) �  EDC �  sdCE � � EFA Tứ giác EFDC nội tiếp � � � � � � � FAN ADB � FN AB � FN AF  � AB  � AF 0,50 0,50 � � AN  BF �� AFN  BAF Chứng minh tương tự ta BE = AM 0,50 Mà MN  AM  AN � MN  BE  BF Câu (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ac  bc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T 19a  19b  19c     b2  c2  a2 Ta có: a  b  c �3 b c � �a  b  c  � �a T  16 �   � 2 � �  � 1 b 1 c 1 a2 � � 1 b 1 c2 1 a2 � � a b c a 1 b 1 c 1 A   B   2  b  c  a  b2  c  a Đặt Ta lại có: b c � �a abc A  abc�   �  b  c  a2 � � *) 0.5 ab bc ca ab bc ac 3    �     A a b c 2 2 (*) 1 b 1 c 1 a 2 2 �a  b  c  � a  b  c  3 B  a  b  c  3 �   �  b  c  a2 � � *)     a  ab  a    b b  bc  b    c c  a 2c  c    a     b2  c2  a2 ab  b bc  c a 2c  a a  b  c    �   b2  c2 1 a2 2 a bc a bc B a b c (**) 2 2 Từ (*) (**) ta có: � �a  b  c � � 16 A  3B �16 � a  b  c  � �  � � � 2� � 2� � 35 39 � T �  a b c  33 2 Vậy giá trị nhỏ T 33 a  b  c  Dấu “=” xảy 0.5 0.5 Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa  ... GD&ĐT THANH SƠN ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP TỈNH Năm học 2017 - 2018 TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐƠN Mơn: Tốn (Phần trắc nghiệm khách quan) Thời gian 45 phút không kể thời gian giao đề (Đề minh họa) Điểm thi. .. kí tham gia học tiếng Anh, Pháp, Nhật, biết số người học tiếng Nhật số người học tiếng Pháp; số người học tiếng Pháp số người học tiếng Anh Số người học tiếng Anh là: A 54 B 72 C 36 D... cạnh 6cm Người ta muốn cắt hình thang hình vẽ Tổng x + y để diện tích hình thang EFGH bé là: A 7cm B 5cm C cm D cm Hết PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP