bộ 25 đề thi và đáp án thi HSG môn Toán lớp 12 của các trường THPTqua các năm

bộ 25 đề thi và đáp án thi HSG lớp 12 môn toán cấp tỉnh qua các năm bộ 25 đề thi và đáp án thi HSG lớp 12 môn toán cấp tỉnh qua các năm bộ 25 đề thi và đáp án thi HSG lớp 12 môn toán cấp tỉnh qua các năm bộ 25 đề thi và đáp án thi HSG lớp 12 môn toán cấp tỉnh qua các năm bộ 25 đề thi và đáp án thi HSG lớp 12 môn toán cấp tỉnh qua các năm bộ 25 đề thi và đáp án thi HSG lớp 12 môn toán cấp tỉnh qua các năm bộ 25 đề thi và đáp án thi HSG lớp 12 môn toán cấp tỉnh qua các năm bộ 25 đề thi và đáp án thi HSG lớp 12 môn toán cấp tỉnh qua các năm

®Ò thi häc sinh giái khèi 12 Së GD & ĐT Thanh hoá Môn: toán- bảng A - năm học 2005 - 2006 Trường THPT Quảng Xương (Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số: y x4 x (C ) điểm M (C ) có hoành độ xM = a Với giá trị 2 a tiếp tiếp tuyến (C) M cắt (C) điểm phân biệt khác M Tìm m để phương trình (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) 2m +1 =0 Cã nghiÖm tho· m·n: x2 +6x + Câu 2: (4 điểm) 1.Tìm GTLN GTNN hàm số f(x) đoạn [-1; 2] biết f(0) = (1) vµ f2(x).f’(x) = 1+ 2x +3x2 (2) sin x sin x  cos x cos x   tg ( x  6 )tg ( x  3 ) Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình : T×m: log lim x ( x  2 2 ( x  x  )  log ( x  x  3)  3 x2 x3  ) x x Câu 4: (4 điểm) Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông A AB = a, cạnh bên SA = SB = SC = a tạo với đáy góc Xác định cos để thể tích hình chóp lớn TÝnh c¸c gãc cđa ABC biÕt sin 3A AC A B  sin  sin  2 2 Câu 5: (4 điểm) Tính:   I   ln (1  tg 2x )e x dx x2 Trên trục toạ ®é Oxy: Cho parabol (P): y   vµ ®­êng th¼ng () : 3x – 4y + 16 19 = Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng () có bán kính nhỏ tiếp xóc víi parabol (P) -hÕt Hä tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12 Sở GD & ĐT Thanh hoá Môn: toán- năm học 2005 2006 Trường THPT Quảng Xương Câu 1: (4 điểm) 1> Điểm M (C ) , xM = a -> y M a4   3a  ta cã Pt tiÕp tuyÕn víi (C) có 2 0,5đ dạng ( ) : y  y x' ( x  x M )  y M víi y M'  2a  6a M => () y  (2a  6a)( x  a)  a4  3a  2 Hoành độ giao điểm () (C) nghiệm phương trình 0,5đ x4 a4 x   (2a  6a )( x  a )   3a   ( x  a ) ( x  2ax  3a  6)  2 2 x  a  2  g ( x)  x  2ax  3a  0,5đ Bài toán trở thành tìm a để g(x)=0 có nghiệm phân biệt khác a ' g ( x )  a  (3a  6)   a  a      a  a  1  g (a )  6a 0,5đ a Vậy giá trị a cần tìm a 2> pt (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 2m – (x2 + 6x +5)(x2 + 6x + 8) = 2m Đặt t = x2 + 6x +5 = (x + 3)2 –  -4 0,5® Do x2 + 6x +7  x2 + 6x +5  -2 => t -2 0,5đ Bài toán trở thành tìm m ®Ĩ pt: f(t) = t(t+3) = 2m-1 cã nghiƯm t   4;2 f(t) sè giao ®iĨm cđa ®å thị f(t) = t2 + 3t đường y= 2m - y = 2m – vÏ trªn ®o¹n [-4; -2]   2m     m  -2 -4 o t -2 0,5® Vậy để phương trình có nghiệm m 0,5 đ Câu 2: (4 điểm) f ( x)3 1> Tõ (2): f2(x)f’(x) = + 2x + 3x2  x  x x c (c 0,5đ số) , hàm số f ( x) 3x  3x  3x  + Tõ (1) : f(0) = => c = XÐt g(x) = 3x3 + 3x2 + 3x + víi g’(x) = 9x + 6x + = g(-1) = 2, g(2) = 40, g(- ) = Do GTLN f(x) x [1;2] ®iĨm tíi h¹n x    => max(g(x)) = 40, min(g(x)) = - 40 vµ GTLN cđa f(x) lµ 2    0,5đ 0,5đ 2> ĐK: cos( x  )  0, cos( x  )  0; tg ( x  )  0; tg ( x   0) 6  0,5® x  [-1; 2] 0,5®  Do tg ( x  )  cot g   ( x  )   cot g ( x  )  tg ( x  ).tg ( x   1) 3 6 0,5đ Ta phương trình 1 (3 sin x sin x) sin x  (3 cos x  cos x) cos x  1  3(sin x sin x  cos x cos s3 x)  cos x  sin x   cos x  cos x  2 1   cos x   cos x   x    k (k  Z ) 2 sin x sin x  cos x cos x    k (loại tg ( x ) ) 6  NghiÖm x    k (k Z ) t/m đk toán Nghiệm x 0,5đ 0,5đ Câu 3: (4 ®iÓm) x  2x   x  1> §K:   x  2x      x  1  x  x   pt log 8 ( x  x  2)  log 74 ( x  x  3)  x  x   (8  ) y log 8 ( x  x  2)  log  ( x  x  3)  y    x  x   (7  ) y x  2x   t  t  (a 1) y đặt đưa hệ   (a  1) y  a y  y t  a 7   a  y y a  a    1 1      f ( y ) (*) v× 0< a 1  a 1  a 1 vµ   x   11   (t/m)  x   11   1  (t/m) I  lim y 0 y2 0,5® vËy pt ®· cho cã nghiƯm x1 , x2 0,5đ 2> đặt x x  th× y  y  y   3y 0,5®  (do a a > 1) Nên hàm số f(y) nghịch biến a f(1) = nên y = lµ nghiƯm nhÊt cđa pt (*) => x2 – 2x – = a1 = + Giải 0,5đ y  (1  y )  y  (1  y )   lim    y 0 y2 y2   0,5®    y2 y ( y  3)   lim   y 0  y  y  (1  y ) y (3 (1  y )  (1  y )3  y  (1  y ) )    y3   lim   y 0   y   y (1  y )  (1  y )3  y  (1  y )  1   1  2 VËy I  OA OB OC Câu 4: (4 điểm) Gọi O trung điểm BC => => SO lµ SA  SB  SC  trơc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => SO đường cao hình chóp S.ABC góc cạnh bên đáy, góc SBO = góc SAO = SCO =  1,0® 0,5® S + SO =asin  , AC = a cos   1 ( cos   ) S ABC a2  AB AC  2 a cos  B O  C 0,5® a A + VS.ABC = a3 sin  cos   áp dụng BĐT cô si cho số dương sin cos -1 > a3 a sin   cos   a sin  cos     12 12 DÊu “=” x¶y sin   cos    cos    2 V= 0,5® VËy cos   Do sin 2 h×nh chãp cã thĨ tÝch lín nhÊt 0,5® 3A  3A  cos(  ) nên gt toán trở thành 2  3A A BC BC  )  sin(  ) cos  2 4  3A  3A BC   sin (  )  sin(  ) cos  4 4  3A  3A BC B C BC   sin (  )  sin(  ) cos  cos  (1  cos )0  4 4 4   cos(  3A B C BC   sin(  )  cos  sin 0  4   0,5® 0,5® (*) BC  3A B C Do sin(  )  cos  0; sin nên VT (*) không âm  4 4   0,5®  BC sin  Khi ®ã (*) dÊu “=” xÉy  sin(   A )  cos B  C   4  A  100 Giải hệ ta được: B C 40 0,5đ Câu 5: (4 điểm) 0,5đ  x 1> Ta cã I   ln(1  tg )dx   xdx  x 2 0  TÝnh 2 x I   ln(1  tg )dx §ỉi cËn: x = => t   ;   I1  2  I1 x t đặt x t    dx  dt 2 x  => t = 0,5® t    tg 2  t   I    ln 1  tg (  ) dt   ln(1  )dt   ln dt t t    0  tg  tg 2  0,5®   t   2    ln 2dt   ln(1  tg )dt  t ln 02  I  ln  I  I  ln  I   ln 2 0 VËy I  2   ln 0,5® NhËn thấy đường thẳng () điểm chung với parabol (P) Gọi (' ) đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) vµ song song víi dt () () => pt (' ) lµ 3x – 4y - + m = ( m  19)  x 3x m    16 4 cã nghiÖm hÖ pt:  x    (d) ( ' ) I1 H M1 I (I) M0 0,5®  x  6 m  (I)   pt ®t (' ) : 3x – 4y + = toạ độ tiếp điểm M (6, )  M (6; ) + Gọi (d) đt qua điểm M0 vuông gãc vãi ( ) => (d)   nd (4;3) ' => pt ®t (d) 4x + 3y + 123 0,5đ I giao điẻm (d) () => toạ độ I nghiệm hệ 36  x 3 x  y  19       123 13 4 x  y   y    20 => I ( 36 13 ; )  M I  20 0,5® Pt đường tròn tâm I, bk R = IM0 có dạng (x  36 13 )  ( y  )2  20 Ta chøng minh: ®­êng tròn (C) có phương trình đường tròn có bk nhỏ so với đường tròn t/m ycbt Thật vậy: Lấy điểm I1 () , M1 parabol (P) H = I1M1 (' ) ta cã: I M  I H  IM => IM0 lµ nhá nhÊt Do đường tròn bk IM0 đường tròn bk nhỏ 2 36 13 Vậy đường tròn cần t×m:  x     y      20   0,5® Sở GD & ĐT Thanh Hoá Trường THPT Quảng Xương II Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Bảng A (Thêi gian 180 kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị) Bµi1: (4 ®iĨm) Cho hµm sè f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C) Khảo sát vẽ đồ thị (C) Từ điểm đường thẳng x=2 ta kẻ tiếp tuyến đến (C) (Đại học ngoại thương khối A năm 2000) Bài2: (4 điểm) TÝnh I=  x  x  x dx Cho f(x) = 2x + m + log2mx2 - 2(m – 2)x+ 2m-1 T×m m để f(x) có tập xác định R Bài3: (4 điểm) Giải phương trình: ln(sinx+1) = esinx-1 Bài4: (2 điểm) x y Giải hệ phương tr×nh: y  z   z  x Bài5: (4 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Lấy M đoạn AD', N ®o¹n BD víi AM=DN=x, (0