các quy tắc tính toán dưới vi phân của hàm lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trịnh Thị Thanh Hiếu CÁC QUY TẮC TÍNH TỐN DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trịnh Thị Thanh Hiếu CÁC QUY TẮC TÍNH TỐN DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI Chun ngành: Tốn giải tích KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHÓA LUẬN : TS NGUYỄN VĂN TUYÊN Hà Nội – Năm 2018 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy giáo khoa Tốn giúp đỡ em trình học tập trường tạo điều kiện cho em hồn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Tuyên tận tình giúp đỡ em suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Trong q trình nghiên cứu, khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo tồn thể bạn đọc để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Trịnh Thị Thanh Hiếu LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên khóa luận em hồn thành khơng trùng với đề tài khác Trong thực đề tài em sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Trịnh Thị Thanh Hiếu ii Mục lục Lời mở đầu 1 Hàm lồi 1.1 Các khái niệm 1.2 Hàm lồi trơn 10 1.3 Đạo hàm theo hướng 13 Tính toán vi phân 16 2.1 Dưới-gradient vi phân 16 2.2 Các quy tắc tính tốn vi phân 30 2.3 Dưới vi phân hàm max 35 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Lời mở đầu Giải tích lồi mơn quan trọng giải tích phi tuyến đại Giải tích lồi nghiên cứu khía cạnh giải tích tập lồi hàm lồi Dưới vi phân, mở rộng cho đạo hàm hàm không khả vi, khái niệm giải tích lồi Việc khảo sát quy tắc tính tốn vi phân hàm lồi có vai trò quan trọng lý thuyết tối ưu tốn liên quan Với mong muốn tìm hiểu sâu hàm lồi phép tính vi phân hàm lồi, chọn nghiên cứu đề tài: “Các quy tắc tính tốn vi phân hàm lồi” Mục đích khóa luận trình bày cách có hệ thống, kiến thức quan trọng hàm lồi quy tắc tính tốn vi phân hàm lồi Các kết khóa luận trình bày dựa chuyên khảo [3, Chapter 2] Khóa luận gồm hai chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức tập lồi hàm lồi Chương trình bày quy tắc tính tốn vi phân Mục 2.1 nhắc lại số tính chất dưới-gradient vi phân Mục 2.2 trình bày số quy tắc tính tốn vi phân Mục 2.3 trình bày vi phân hàm max Chương Hàm lồi 1.1 Các khái niệm Kí hiệu R := R ∪ {±∞} gọi tập số thực mở rộng Cho f : Rn → R hàm số Miền hữu hiệu tập đồ thị f tương ứng kí hiệu bởi: domf = {x ∈ Rn : f (x) < +∞} , epif = {(x, v) ∈ Rn × R : v ≥ f (x)} Định nghĩa 1.1 Một tập X ∈ Rn gọi lồi với x1 , x2 ∈ X α ∈ [0, 1], ta có (1 − α)x1 + αx2 ∈ X Định nghĩa 1.2 Bao lồi tập X kí hiệu conv X giao tất tập lồi chứa X Định nghĩa 1.3 Cho X tập lồi đóng Rn x ∈ Rn Một điểm thuộc X gần x gọi hình chiếu x lên X kí hiệu ΠX (x) Theo [3, Theorem 2.10], ta có hình chiếu điểm lên tập Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu lồi đóng ln tồn Định nghĩa 1.4 Một tập K ⊂ Rn gọi nón αx ∈ K với α > x ∈ K Bổ đề 1.1 Giả sử X tập lồi Khi tập cone(X) = {γx : x ∈ X, γ ≥ 0} nón lồi Định nghĩa 1.5 Cho K nón Tập hợp K ◦ := {y ∈ Rn : y, x ≤ 0, ∀x ∈ K} gọi nón cực K Định nghĩa 1.6 Cho X tập lồi đóng x ∈ X Tập hợp NX (x) = {v ∈ Rn : ΠX (x + v) = x} gọi nón pháp tuyến X x Theo định nghĩa, dễ dàng chứng minh NX (x) = [cone(X − x)]◦ Định nghĩa 1.7 Một hàm số f gọi lồi epif tập lồi Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Ví dụ 1.1 Một ví dụ hàm lồi:     x ln(x) − x x > 0,    f (x) = x = 0,      +∞ x < Định nghĩa 1.8 Một hàm f gọi lõm −f lồi Định nghĩa 1.9 Một hàm f gọi thường f (x) > −∞ với x f (x) < +∞ với x Bổ đề 1.2 Một hàm f lồi với x1 , x2 ≤ α ≤ ta có f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) (1.1) Chứng minh Nếu x1 ∈ / domf x2 ∈ / domf , bất đẳng thức tầm thường Nếu x1 ∈ domf x2 ∈ domf Khi điểm     x x  ∈ epif    f (x2 ) f (x1 ) Nếu f lồi   αx + (1 − α)x   ∈ epif αf (x ) + (1 − α)f (x ) Theo định nghĩa tập đồ thị, ta có (1.1) Ngược lại, giả sử ta có (1.1), (xi , v i ) ∈ epif , i = 1, 2, α ∈ [0, 1] Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Khi đó, theo (1.1), ta có f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) ≤ αv + (1 − α)v Do đó, (αx1 + (1 − α)x2 , αv + (1 − α)v ) ∈ epif Điều có nghĩa epif tập lồi Bất đẳng thức (1.1) sử dụng định nghĩa khác hàm lồi thường Ví dụ 1.2 Hàm f (x) = x · ♦ ♦, chuẩn Rn , hàm lồi thường Thật vậy, với x, y ∈ Rn α ∈ [0, 1], theo bất đẳng thức tam giác, ta có αx + (1 − α)y ♦ ≤ αx ♦ + (1 − α)y ♦ =α x ♦ + (1 − α) y ♦ Ví dụ 1.3 Giả sử Z tập lồi đóng Rn Khoảng cách tới Z, f (x) = x − z z∈Z · ♦ ♦, chuẩn Rn , hàm lồi thường Thật vậy, xét điểm x y , α ∈ (0, 1) Do Z tập đóng, nên tồn điểm v ∈ Z w ∈ Z cho f (x) = x − v Trong trường hợp đặc biệt, f (y) = y − w ♦, · ♦ ♦ chuẩn Euclide, theo [3, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Suy ∂f (x) = NZ (z) ∩ ∂ x − z ♦ (2.7) Chú ý trường hợp tổng quát điểm z không thiết nhất, khẳng định tập bên phải cho tất hình chiếu z Ta chứng minh với z dướigradient phần tử tập bên phải (2.7) Vì g ∗ ≤ 1, y ta có f (y) = inf y − z z∈Z ♦ ≥ inf g, y − z z∈Z = g, y − x + g, x − z + inf g, z − z z∈Z Vì g ∈ ∂ x − z ta có g, x − z = x − z ♦ ♦ = f (x) Từ (2.7) ta có g ∈ NZ (z), g, z − z ≥ với z ∈ Z Do đó, cơng thức cuối kéo theo f (y) ≥ f (x) + g, y − x với y, g dưới-gradient Cụ thể, · ♦ chuẩn Euclide x ∈ / Z, điểm z hình chiếu trực giao x Z Do ∂f (x) = NZ (ΠZ (x)) ∩ ∂ x − ΠZ (x) Nhưng vi phân chuẩn chứa phần tử: ∂ x − ΠZ (x) = {x − ΠZ (x)}, x − ΠZ (x) ∈ NZ (ΠZ (x)) 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Do đó, hàm khoảng cách khả vi x ∈ Z gradient cho ∇f (x) = x − ΠZ (x) Ví dụ 2.3 Cho f (x) = max fi (x), i∈I I tập hữu hạn fi lồi hàm khả vi cho i ∈ I Định nghĩa I(x) = {i ∈ I : fi (x) = f (x)} Khi ∂f (x) = conv{∇fi (x) : i ∈ I(x)} Thật vậy, s ∈ I(x) ta có f (y) ≥ fs (y) ≥ fs (x) + ∇fs (x), y − x = f (x) + ∇fs (x), y − x Do ∇fs (x) ∈ ∂f (x) Vì vi phân tập lồi, ta có conv{∇fi (x) : i ∈ I(x)} ⊂ ∂f (x) Giả sử g ∈ ∂f (x) tồn cho g∈ / conv{∇fi (x) : i ∈ I(x)} Theo [3, Theorem 2.14], ta tách chặt g bao lồi : tồn d = ε > cho g, d ≥ max ∇fi (x), d + ε i∈I(x) 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Do đó, với τ > f (x + τ d) ≥ f (x) + τ g, d ≥ f (x) + τ max ∇fi (x), d + τ ε (2.8) i∈I(x) Cho τ > đủ nhỏ, tồn r ∈ I(x) cho f (x + τ d) = fr (x + τ d) Vì tính khả vi fi , nên tồn hàm số oi (τ ) cho fi (x + τ d) = fi (x) + τ ∇fi (x), d + oi (τ ) oi (τ )/τ ↓ τ ↓ Do đó, cho τ > nhỏ f (x + τ d) ≤ f (x) + τ max ∇fi (x), d + max oi (τ ) i∈I(x) i∈I(x) Kết hợp bất đẳng thức với (2.8) ta f (x) + τ max ∇fi (x), d + max oi (τ ) ≥ f (x) + τ max ∇fi (x), d + τ ε i∈I(x) i∈I(x) i∈I(x) Chia cho τ cho τ ↓ ta ≥ ε, mâu thuẫn Ví dụ 2.4 Cho C tập lồi đóng Rn ta xét hàm C δC (x) =   0 x ∈ C  +∞ x ∈ / C Hàm hàm lồi Ta tính vi phân δC điểm x ∈ C Ta có g ∈ ∂δC (x) δC (y)−δC (x) ≥ g, y −x với y Khi y∈ / C bất đẳng thức tầm thường Vì vậy, g dưới-gradient 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu δC (·) x g, y − x ≤ 0, với y ∈ C Do g, d ≤ với d ∈ cone(C − x) Ta thu biểu diễn cho vi phân hàm nón pháp tuyến: ∂δC (x) = [cone(C − x)]◦ = NC (x) Cụ thể, K nón lồi đóng, ∂δK (0) = K ◦ 2.2 Các quy tắc tính tốn vi phân Bổ đề 2.5 Giả sử f : Rn → R hàm lồi, α > 0, h(x) = αf (x) Khi h lồi ∂h(x) = α∂f (x), với x Chứng minh Vì h(x) = αf (x), mà f hàm lồi nên h hàm lồi Ta có g ∈ ∂f (x) với y h(y) = αf (y) ≥ α[f (x) + g, y − x ] = h(x) + αg, y − x , tương đương với αg ∈ ∂h(x) Bổ đề 2.6 Giả sử f : Rn → R hàm lồi, A ma trận có kích thước m × n h(x) = f (Ax) Khi ∂h(x) = AT ∂f (Ax), với x 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Chứng minh Ta có g ∈ ∂f (Ax) h(y) = f (Ay) ≥ f (Ax) + g, Ay − Ax = h(x) + AT g, y − x , tương đương với AT g ∈ ∂h(x) Ví dụ 2.5 Xét hàm h(x) = x, Ax , A ma trận đối xứng xác định dương Nhân tử hóa A = U T U , với U không suy biến, ta thấy h(x) = U x Do đó, từ Ví dụ 2.1 Bổ đề 2.6 ta được: ∂h(0) = {U T g : g ≤ 1} = {v : (U T )−1 v ≤ 1} = {v : v, A−1 v ≤ 1} Mà h(x) chuẩn có chuẩn đối ngẫu v A−1 = v, A−1 v Định lý 2.2 Giả sử f = f1 + f2 f1 : Rn → R f2 : Rn → R hàm lồi thường Nếu tồn điểm x0 ∈ domf cho fi liên tục x0 , ∂f (x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x), với x ∈ domf Chứng minh Giả sử g ∈ ∂f1 (x) g ∈ ∂f2 (x) Khi đó, với y f (y) = f1 (y) + f2 (y) ≥ f1 (x) + g , y − x + f2 (x) + g , y − x = f (x) + g + g , y − x 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Suy ∂f (x) ⊃ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) Giả sử dưới-gradient g ∈ ∂f (x) tồn cho g ∈ / ∂f1 (x) + ∂f2 (x) Để áp dụng định lý tách [3, Theorem 2.14] ta cần chứng minh ∂f1 (x) + ∂f2 (x) tập lồi đóng Từ tính lồi vi phân ∂f1 (x) ∂f2 (x) (xem Định lý 2.1 nhận xét sau chứng minh nó) [3, Lemma 2.3] ∂f1 (x) + ∂f2 (x) tập lồi Cả hai vi phân đóng tổng ∂f1 (x) + ∂f2 (x) đóng Chúng ta chứng minh tính chất kĩ thuật sau ý chứng minh Nếu ∂f1 (x) + ∂f2 (x) đóng, kết hợp [3, Theorem 2.14] tách g từ tổng ∂f1 (x) + ∂f2 (x) Khi đó, tồn hướng d ∈ Rn ε > cho g, d ≥ g + g , d + ε, (2.9) với g ∈ ∂f1 (x) g2 ∈ ∂f2 (x) Suy g , d bị chặn với g ∈ ∂f1 (x) Do đó, theo Bổ đề 2.2 ta f1 (x; d) = 1max g , d < ∞ f2 (x; d) = 2max g , d < ∞ g ∈∂f1 (x) Tương tự g ∈∂f2 (x) Lấy cận bên phải (2.9) g ∈ ∂f1 (x) g ∈ ∂f2 (x) ta g, d ≥ 1max g ∈∂f1 (x) g , d + 2max g ∈∂f2 (x) g , d + ε = f1 (x; d) + f2 (x; d) + ε 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Mặt khác, g, d ≤ f (x; d) nên f (x; d) ≥ f1 (x; d) + f2 (x; d) + ε, mâu thuẫn Do dưới-gradient g ∈ ∂f (x)\(∂f1 (x) + ∂f2 (x)) tồn Nếu hàm f1 , f2 liên tục x, vi phân compact, tổng ∂f1 (x) + ∂f2 (x) đóng Nếu hai vi phân không bị chặn Xét hai dãy g1k ∈ ∂f1 (x) g2k ∈ ∂f2 (x) cho g1k + g2k → s, k → ∞ Giả sử g ∈ / ∂f1 (x) + ∂f2 (x) Vì tất điểm giới hạn dãy phải phần tử phép tương ứng vi phân nên g1k → ∞ g2k → ∞ Xét dãy g1k z = k g1 k Giả sử z k có giới hạn z Ta có f1 (x0 ) − f1 (x) ≥ g1k , x0 − x Chia cho g1k qua giới hạn với k → ∞ ta kết luận z, x0 −x ≤ Ta có g2k = s − g1k f2 (x0 ) − f2 (x) ≥ s − g1k , x0 − x Chia cho g1k qua giới hạn ta z, x0 − x Do z, x0 − x = 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Vì f1 liên tục x0 , tồn ε > cho f1 (x0 + εz) < ∞ ta f1 (x0 + εz) − f1 (x) ≥ g1k , x0 + εz − x Chia cho g1k qua giới hạn ta kết luận ≥ z, x0 − x + εz = ε z = ε, mâu thuẫn Do đó, tổng ∂f1 (x) + ∂f2 (x) đóng Định lý gọi Định lý Moreau-Rockafellar Ví dụ 2.6 Xét tập K = K1 ∩ K2 ∩ ∩ Km , Ki , i = 1, 2, , m nón lồi Từ Ví dụ 2.4 ta biết ∂δK (0) = K ◦ Mặt khác, δK (x) = δK1 (x) + δK2 (x) + + δKm (x) Nếu K1 ∩ intK2 ∩ ∩ intKm = ∅, sử dụng Định lý 2.2 ta ◦ ∂δK (0) = ∂δK1 (0) + ∂δK2 (0) + + ∂δKm (0) = K1◦ + K2◦ + + Km Tổng quát hơn, cho Xi , i = 1, 2, , m tập lồi đóng, cho X = X1 ∩ X2 ∩ ∩ Xm 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Ta có ∂δX (x) = NX (x) Nếu X1 ∩ intX2 ∩ ∩ intXm = ∅, Định lý 2.2 suy NX (x) = NX1 (x) + NX2 (x) + + NXm (x) 2.3 Dưới vi phân hàm max Xét hàm F (x) = sup f (x, y) y∈Y Giả sử f : Rn × Y → R thỏa mãn điều kiện sau: (i) f (·, y) lồi với y ∈ Y ; (ii) f (x, ·) nửa liên tục với x lân cận xác định điểm x0 ; (iii) Tập Y ⊂ Rm compact Hàm F lồi theo công thức Bổ đề 1.4 Nó thường (ii) Mục đích phần đưa công thức tính vi phân hàm F x0 Kí hiệu Y (x) tập phần tử y ∈ Y mà f (x, y) = F (x) Vì f (x, ·) nửa liên tục Y compact, nên tập Y (x) không rỗng compact, với x lân cận xác định x0 Kí hiệu ∂x f (x0 , y) vi phân hàm f (·, y) x0 Định lý 2.3 Giả sử có điều kiện (i) − (iii) Khi ∂F (x0 ) ⊃ conv( ∂x f (x0 , y)) y∈Y (x0 ) 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu Ngoài hàm f (·, y) liên tục x0 với y ∈ Y , ∂F (x0 ) = conv( ∂x f (x0 , y)) (2.10) y∈Y (x0 ) Chứng minh Giả sử g ∈ ∂x f (x0 , y0 ) cho số y0 ∈ Y (x0 ) Khi đó, với x ta có F (x) = sup f (x, y) ≥ f (x, y0 ) ≥ f (x0 , y0 ) + g, x − xo y∈Y Do g ∈ ∂F (x0 ) Vì vi phân lồi nên khẳng định Ta chứng minh tập bên phải (2.10) đóng Xét dãy hội tụ vector sk ∈ ∂x f (x0 , xk ), với yk ∈ Y (x0 ) cho s∗ = limk→∞ sk Vì tập Y (x0 ) compact, ta giả sử chuỗi yk hội tụ Giới hạn nó, y ∗ , phần tử Y (x0 ) Với x lân cận nhỏ x0 , nửa liên tục f (x, ·) sk dưới-gradient suy f (x, y ∗ ) ≥ lim sup f (x, yk ) ≥ lim sup[f (x0 , yk ) + sk , x − x0 ] k→∞ k→∞ = f (x0 , y ∗ ) + s∗ , x − x0 Trong phép biến đổi cuối cùng, ta sử dụng f (x0 , yk ) = F (x0 ) = f (x0 , y ∗ ) suy s∗ ∈ ∂f (x0 , y ∗ ) Giả sử khẳng định thứ hai sai, tức là, tồn g ∈ ∂F (x0 ) cho g∈ / conv( ∂x f (x0 , y)) y∈Y (x0 ) Vì tập bên phải lồi đóng, từ [3, Theorem 2.14] suy tồn d = 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu ε > cho g, d ≥ s, d + ε (2.11) với s ∈ ∂x f (x0 , y) y ∈ Y (x0 ) Xét điểm cơng thức x0 + τk d, τk ↓ Vì tính lồi F ta có F (x0 + τk d) − F (x0 ) ≥ g, d τk Định nghĩa tập Yk = {y ∈ Y : f (x0 + τk d, y) − F (x0 ) ≥ g, d }, k = 1, 2, τk Chúng đóng f (x, ·) nửa liên tục Chúng khơng rỗng, Y (x0 + τk d) ⊂ Yk Hơn nữa, với y ∈ Y đẳng thức f (x0 + τ d, y) − F (x0 ) f (x0 + τ d, y) − f (x0 , y) f (x0 , y) − F (x0 ) = + τ τ τ định nghĩa hàm tăng τ Thật vậy, phân số thương hàm lồi (xem cơng thức (1.8)) phân số thứ hai có tử số không dương cố định Điều suy Y1 ⊃ Y2 ⊃ Y3 ⊃ Các tập Yk compact khơng rỗng, tồn điểm y thuộc tất tập Khi f (x0 + τk d, y) − F (x0 ) ≥ g, d , k = 1, 2, τk Bởi f (x0 +τk d, y) → f (x0 , y) k → ∞, có f (x0 , y) = F (x0 ), 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu nghĩa là, y ∈ Y (x0 ) Đi qua giới hạn bất đẳng thức cuối với k → ∞ sử dụng Định lý 2.1 ta kết luận f (x0 + τk d, y) − F (x0 ) = s, d ≥ g, d , k→∞ τk lim với số s ∈ ∂x f (x0 , y) Điều mâu thuẫn với (2.11) Ví dụ 2.7 Xét hàm giá trị riêng lớn λmax (·) xác định không gian Sn ma trận đối xứng có kích thước n × n Nó lồi (xem Ví dụ 1.4) Vì λmax (A) = max y, Ay , y =1 Chúng ta tính tốn vi phân Định lý 2.3, Tập Y (A) = {y ∈ Rn : y, Ay = λmax (A), y = 1}, tập tất vector riêng A tương ứng với giá trị riêng lớn có chiều dài Trong [3, Example 2.31], ta sử dụng tích Frobenius, n A, H S n = tr(AH) = aij hij , i=1 i=1 ta viết lại hàm sau: λmax (A) = max yy T , A S y =1 Với y ∈ Rn hàm fy (A) + yy T , A 38 S tuyến tính gradient Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Thanh Hiếu ∇fy (A) = yy T Do ∂λmax (A) = conv{yy T : Ay = λmax (A)y, y = 1} Khi đó, tập ma trận có dạng W = yy T đặc trưng sau: W có hạng W ∈ Sn+ Khi tr(W ) = y A, W S = λmax (A) Ta ∂λmax (A) = conv{W ∈ Sn+ : A, W S = λmax , tr(W ) = 1, rank(W ) = 1} Ta bỏ qua bao lồi hạn chế hạng biểu diễn cuối vi phân: ∂λmax (A) = {W ∈ Sn+ : A, W S = λmax , tr(W ) = 1} Thật vậy, phần tử tập có dạng W = n T j=1 µj yj yj , với vector riêng trực giao yj W có chuẩn 1, với giá trị riêng tướng ứng µj ≥ Điều kiện tr(W ) = đưa n j=1 µj n A, W S = Do đó, n µj yj , Ayj ≤ = j=1 µj λmax (A) = λmax (A) j=1 Bất đẳng thức xảy tương ứng yj với µj dương vector riêng A tương ứng với giá trị riêng lớn Khi W tổ hợp lồi hạng ma trận yj yjT hình thành từ vector riêng chúng, với trọng lượng µj 39 Kết luận Khóa luận trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất tập lồi hàm lồi Sau đề cập dưới-gradient, vi phân, tính tốn vi phân chứng minh cách cụ thể số tính chất chúng Cuối khóa luận trình bày vi phân hàm max 40 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng, Cơ sở Giải tích lồi, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [B] Tài liệu tiếng Anh [2] R T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 [3] A Ruszczy´ nski, Nonlinear Optimization, Princeton University Press, 2006 41 ... thức tập lồi hàm lồi Chương trình bày quy tắc tính tốn vi phân Mục 2.1 nhắc lại số tính chất dưới- gradient vi phân Mục 2.2 trình bày số quy tắc tính tốn vi phân Mục 2.3 trình bày vi phân hàm max... sát quy tắc tính tốn vi phân hàm lồi có vai trò quan trọng lý thuyết tối ưu toán liên quan Với mong muốn tìm hiểu sâu hàm lồi phép tính vi phân hàm lồi, chọn nghiên cứu đề tài: Các quy tắc tính. .. hướng 13 Tính tốn vi phân 16 2.1 Dưới- gradient vi phân 16 2.2 Các quy tắc tính toán vi phân 30 2.3 Dưới vi phân hàm max 35 Kết luận