1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

(GV nguyễn thị lanh ) 34 câu số phức image marked image marked

14 78 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 14
Dung lượng 607,77 KB

Nội dung

Câu (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau? A Số phức z = a + bi biểu diễn M ( a; b ) mặt phẳng phức Oxy B Số phức z = a + bi có mơ đun a + b2 a = C Số phức z = a + bi =   b = D Số phức z = a + bi có số phức đối z = a − bi Đáp án D Câu (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z = a + a i với a  Khi điểm biểu diễn số phức liên hợp nằm A Đường thẳng d : y = 2x B Đường thẳng: y = − x + C Parabol y = x D Parabol y = − x Đáp án D x = a Ta có: z = a − a i nên   y = −x 2 y = − a  Lỗi sai EM có qn khơng nhìn chữ LIÊN HỢP không? Câu 3: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hai số phức z = a + bi;a, b  diễn số phức z nằm dải ( −2; ) Có điểm biểu (hình 1) điều kiện a b là: a  A  b   a  −2 B   b  −2 C −2  a  2, b  D a, b  ( −2;2) Đáp án C - Nhìn vào hình vẽ ta có phần thực a bị giới hạn −2  a  2, b  Chú ý: Cho số phức z = a + bi , điểm M ( a; b ) hệ trục tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z Câu (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm số phức z thỏa mãn z − i = z − z + 2i z + i = 2i100 A z = + i; z = − i B z = −2 + i; z = + i C z = −2 + i; z = + 2i D z = −2 + i; z = + i; −3 + 3i; −3 − 3i Đáp án B Đặt z = a + bi, a, b  Từ a + ( b − 1)2 = ( b + 1)2 ( b + 1)2 = (1)   2 2 a + ( b − 1) = a + ( b − 1) = ( )  b =  a =  a = 2  b + =  b + =  , () ( )  b = −  a = − 12  với a = −12 (loại) Số phức z = + i z = −2 + i Câu (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Xác định số phức thỏa mãn điều kiện sau z + + 2i = z + có mơ đun nhỏ D −1 + i C − i B –i A i Đáp án B Gọi z = a + bi, a, b  a + bi + + 2i = a − bi +  ( a + 1) + ( b + 2) = ( a + 1) + b2  b = −1  z = a + b2 = a +   z = Vậy z = −i Câu (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Gọi M P điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y  ), w = z Tìm tập hợp điểm P M thuộc đường thẳng d : y = 3x A y = −5x B y = −3 x, x  −3 x D y = −6 x, với x  C y = Đáp án B Đặt z = x + yi; ( x, y  ) ; w = u + vi; ( u, v  ) Ta có u = x − y 2 w = z  u + vi = ( x + yi )  u + vi = x − y2 + 2xyi   v = 2xy Mà M thuộc đường thẳng d : y = 3x , nên tọa độ P thỏa mãn u = −8x  u = x − 9x u = −8x      3u  v = 6x  v = 2x ( 3x ) v = −  −3 x , với x  Vậy tập hợp điểm P đường thẳng y = Câu (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong số phức z thỏa mãn z − 5i  , số phức có z nhỏ có phần ảo bao nhiêu? A B C D Đáp án D Gọi M điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Từ z − 5i  suy tập hợp điểm M hình tròn có tâm I ( 0;5) , bán kính R = Vì z = OM nên số phức z có môđun nhỏ z = 2i ứng với điểm M1 ( 0;2) Câu 8: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn: z + + i = Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ z − 1− 2i Tính S = M + m A B C 2 D Đáp án A Em có: = z + + i = z − − 2i + + 3i  z − − 2i − + 3i   z − 1− 2i −  z − − 2i −    z − − 2i −  −4  z − − 2i  +   z − − 2i  −4 + M = +  m = −4 + M +m=6 Câu (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn z + 2i + = z − i Tìm giá trị nhỏ z A 10 B C Đáp án A Gọi: z = a + bi ( a,b  )  z = a − bi Em có: z + 2i + = z − i  a + bi + 2i + = a − bi − i  a + + ( b + 2) i = a − ( b + 1) i  ( a + 3) + ( b + 2) = a2 + ( b + 1) 2  a2 + 6a + + b2 + 4b + = a2 + b2 + 2b +  6a + 2b + 12 = 10 D 10  3a + b + =  b = −6 − 3a  z = a + b = a + ( −6 − 3a) 2 2  18  = 10a + 36a + 36 = 10  a +  + 5  18 10 = 5 Câu 10 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho số phức z thay đổi hoàn toàn thỏa mãn: z z − i = z − 1+ 2i Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức w thỏa mãn: w = ( − i ) z + đường thẳng Viết phương trình đường thẳng A −x + 7y + = B x + 7y − = x + 7y + = C D x − 7y+ = Đáp án C Đặt z = x + yi, ( x;y  ) Đặt w = x'+ y'i, ( x',y'  ) Số phức w biểu diễn điểm M ( x ';y') 10 9  z = a=− b=−  z=− − i 5 5  x + ( y − 1) i = ( x − 1) + ( y + 2) i  x + ( y − 1) = ( x − 1) + ( y + 2) 2 Em có: z − i = z − 1+ 2i  x + yi − i = x + yi − 1+ 2i  −2y + = −2x + 1+ 4y +  x = 3y + Em có: w = ( − i ) z + = ( − i )( x + yi ) + = 2x + 2yi − xi + y + = ( 2x + y + 1) + ( −x + 2y ) i x ' = 7y +  x '+ 7y '+ = Mà x = 3y + nên w = ( 7y + 5) + ( −y − 2) i   y ' = −y − Vậy số phức w biểu diễn đoạn thẳng: x + 7y + = Câu 11 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Số phức có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm M hình bên? A z = + i B z = + 2i C z3 = −2 + i D z1 = − 2i Đáp án C Từ hình vẽ ta thấy M có tọa độ M ( −2;1)  M điểm biểu diễn số phức z = −2 + i Câu 12 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm tổng giá trị m để hai phương trình z + mz + = −z + 2z + m = có nghiệm phức chung A −2 B C D Đáp án C Giả sử hai phương trình cho có nghiệm phức chung z0 ta có hệ phương trình: z 02 + mz + =  mz + 2z + + m =  −z + 2z + m = m = −2  ( z0 + 1)( m + ) =   z0 = −1 TH1: Nếu m = −2 phương trình trở thành: z − 2z + = trùng nên có nghiệm chung TH2: Nếu z = −1 thay vào hệ ta được: 1 − m + =  m =  −1 − + m = Vậy giá trị cần tìm m = −2 m = Câu 13 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( z + )(1 + 2i ) = 5z Tìm phần ảo số phức w = ( z + 2i ) A 21009 2019 B C −21009 Đáp án A Đặt z = x + yi với x, y  Ta có: ( z + )(1 + 2i ) = 5z  ( x + ) + yi  (1 + 2i ) = 5x − 5yi  ( x + ) − 2y  +  ( x + ) + y  i = 5x − 5yi D 2019  x + − 2y = 5x x =    z = 1− i 2x + + y = −5y  y = −1 Do w = ( z + 2i ) 2019 = (1 + i ) 2019 = (1 + i )(1 + i ) 2018 = (1 + i )( 2i ) 1009 = 21009 ( −1 + i ) Vậy w có phần ảo 21009 Câu 14 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn: z − − 2i = Tìm giá trị nhỏ z − + i A B −1 C D +1 Đáp án B Gọi: z = a + bi (a,b  )  z = a − bi Ta có: z − − i = a + bi − − i = a − + ( b − 1) i = ( a − 1) + ( b − 1) z − + i = a − bi − + i = a − + (1 − b ) i = ( a − 1) + (1 − b ) 2 2  z −1 + i = z −1 − i  z − + i = z − − 2i + + i  z − − 2i − + i  z −1 + i  − = −1  Giá trị nhỏ z − + i −1 Câu 15 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho số phức z thỏa mãn: z = Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức w thỏa mãn: w = ( + 4i ) z + i đường tròn có bán kính là: A B C 20 D 22 Đáp án C Đặt w = x + yi, ( x; y  ) Số phức w biểu diễn điểm M (x;y) Ta có: w = ( + 4i ) z + i = x + yi z= x + ( y − 1) i  x + ( y − 1) i  ( − 4i ) ( 3x + 4y − ) + ( −4x + 3y − 3) i = = + 4i 25 25 z = 25 ( 3x + 4y − ) + ( −4x + 3y − 3)  ( 3x + 4y − ) + ( −4x + 3y − 3) = 1002 2 =4  ( 3x + 4y ) + ( −4x + 3y ) − ( 3x + 4y ) + 16 − ( −4x + 3y ) + = 10000 2  25 ( x + y ) − 50y = 9975  x + y2 − 2y = 399  x + ( y − 1) = 400 Vậy số phức w biểu diễn đường tròn tâm I (0;1), bán kính R = 20 có phương trình: x + ( y − 1) = 400 Câu 16 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Tính mơđun số phức z biết z = ( − 3i )(1 + i ) A z = 25 B z = C z = D z = Đáp án C Cách 1: Áp dụng quy tắc nhân, em tính z = ( − 3i )(1 + i ) = + 4i − 3i − 3i = +  z = − i  z = 72 + ( −1) = 2 Cách 2: Áp dụng công thức giải nhanh: z = z z.w = z w  z = z = ( − 3i )(1 + i ) = − 3i + i = 42 + ( −3) 12 + 12 = 2 * Câu em sử dụng MTCT kết hợp với tính chất z = z : Em ấn MODE SHIFT hyp (để tính mơ đun) nhập ( − 3i )(1 + i ) = Em kết Câu 17 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Kết phép tính: P = + i + i + + i 2016 + i 2017 B P = A P = C P = + i D P = 2i Đáp án C Em thấy biểu thức P gồm số hạng số hạng có quan hệ gì? ✓ P có 2018 số hạng Nếu em tính riêng số hạng ik với k = 1, 2,3 , 2016, 2017 việc cộng kết khơng đơn giản chút ✓ Kể từ số hạng thứ hai, số hạng sau gấp số hạng đứng trước i Vậy nên P tổng 2018 số hạng đầu cấp số nhân, với số hạng đầu u1 = công bội q = i Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân với số hạng dầu u1 công bội q: S = u1 − qn ;q  1− q − i 2018 − ( i ) = = 1− i 1− i 1009 P = + i + i + + i 2016 +i 2017 = = + i 1− i Câu 18: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Mệnh đề sau A z.z  z.z B z ' z.z ' = z z D z + z = 2a C z.z = 2a Đáp án D  Kiểm tra từ đáp án đơn giản đến phức tạp em thấy: Đặt z = a + bi, ( a, b  )  z = a − bi nên z + z = ( a + bi ) + ( a − bi ) = 2a Câu 19 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z −1 = z + − 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức z A Đường thẳng B Đường tròn C Một điểm xác định D Elip Đáp án A Em thực Câu theo cách nhé! Cách 1: Đặt z = x + yi, ( x, y  ) z −1 = z + − 2i  x + yi −1 = x + yi + − 2i  ( x − 1) + yi = ( x + 3) + ( y − ) i  ( x −1) + y2 = ( x + 3) + ( y − ) 2  x − 2x + + y2 = x + 6x + + y2 − 4y +  −8x + 4y − 12 =  2x − y + = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình: 2x − y + = Cách 2: z −1 = z + − 2i  MA = MB với M ( x; y ) , A (1;0) B ( −3; 2) Em thấy, điểm M cách hai điểm A, B nên M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Em tìm phương trình đường trung trực  đoạn thẳng AB sau: AB = ( −4; ) , trung điểm AB I ( −1;1) ,  qua điểm I nhận AB = ( −4; ) làm vectơ pháp tuyến  : −4 ( x + 1) + ( y −1) =  −4x + 2y − =  2x − y + = Câu 20 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Gọi z1, z2, z3 z4 bốn nghiệm phức phương trình z − z − 12 = Tính tổng T = z1 + z2 + z3 + z4 B T = A T = C T = + D T = Đáp án C z2 =  z = 2  ❖ z − z − 12 =    z =  3i  z = −3 ❖ T = z1 + z + z3 + z = −2 + + − 3i + 3i = + + + = + Câu 21 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn điều kiện sau: ( + 3i ) z = z − A Phần thực a = − phần ảo b = 10 10 B Phần thực a = −1 phần ảo b = 10 10 C Phần thực a = − phần ảo b = i 10 10 D Phần thực a = phần ảo b = 10 10 Đáp án A ( + 3i ) z = z −  z(1+ 3i ) = −1  z = 1−+13i = Câu 22 − (1− 3i ) 10 = −1 + i 10 10 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hai số phức z = ( 2x + 3) + ( 3y − 1) i z = ( y −1) i Ta có z = z khi: A x = ; y = B x = −3 ; y = C x = 3; y = D x = 0; y = −3 Đáp án B  −3 2 x + = x =  Ta có z = z   3y − = y −  y =  ( ) Câu 23 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Tìm tham số m để số phức z = m m2 − − mi số ảo B m =  A m= C m = 0; m =  D m= Đáp án C ( ) Ta có z = m m2 − − mi m =  Để z số ảo m − m2 =   m = −   m = ( ) Câu 24 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong mặt phẳng phức cho điểm M khẳng định sau, khẳng định sai? A Điểm M biểu diễn cho số phức có mơđun B Điểm M biểu diễn cho số phức có phần thực C Điểm M biểu diễn cho số phức u = + 4i D Điểm M biểu diễn cho số phức có phần thực ( ) 2; Trong Đáp án B Ta có M ( ) 2;  u = + 4i  u = nên A, C đúng; số phức có phần thực Nên B SAI Câu 25 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Gọi z1 ,z2 hai nghiệm phức phương trình z2 − 2z + = Khi giá trị biểu thức A = z12020 + z22020 bằng: A −21011 C −21010 B D −2 Đáp án A Biệt số  = − = −4 = ( 2i ) Do phương trình có nghiệm phức là: z1 = 2020 Suy z = (1− i ) z22020 = (1+ i ) 2020 2020 1010 = (1− i )    1010 = (1+ i )    = ( 2i ) − 2i + 2i = 1− i z2 = = 1+ i 2 = ( −2i ) 1010 1010 = ( −2) 1010 i 1010 = 21010 ( −1) = −21010 = 21010.i 1010 = 21010 ( −1) = −21010 Vậy A = z12020 + z22020 = −21010 − 21010 = −21011 Câu 26 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho số phức z thỏa mãn z + i = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z − 2i đường tròn Tâm đường tròn là: A I ( 0; −1) B I ( 0; −3) D I ( 0; 1) C I ( 0; 3) Đáp án B Ta có w = z − 2i  z = w + 2i Gọi w = z + yi ( x,y  ) Suy z = x + ( + y) i Theo giả thiết, ta có x + ( + y) i + i =  x + ( + i ) i =  x2 + ( + y) =  x2 + ( y + 3) = Vậy tập hợp số phức w = z − 2i đường tròn tâm I ( 0; −3) Câu 27 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm z biết z = + 2i + (1 − i ) A z = B z = C z = −1 D z = Đáp án B Em có: z = + 2i + (1 − i ) = + 2i + (1 − 3i + 3i − i3 ) = + 2i + (−2 − 2i) = −1  z = Câu 28: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Phương trình: ( z + − i ) − ( z + − i ) + 13 = có 2 nghiệm phân biệt Khẳng định sau đúng? A Trong nghiệm có nghiệm B Cả nghiệm số thực C Cả nghiệm số ảo D Trong nghiệm có nghiệm số thực, nghiệm số ảo Đáp án C Em có:  z + − i = − 2i  z = −i − ( z + − i ) + 13 =     z + − i = + 2i  z = 3i 29: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho (z + − i) Câu số phức z thỏa mãn z + − i + z − + 6i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z −1 + 2i Tổng M + m là: A B C D Đáp án C Đặt z = x + yi, (x; y  ) Số phức z biểu diễn điểm N ( x; y ) Số phức z1 = −2 + i biểu diễn điểm A ( −2;1) Số phức z = − 6i biểu diễn điểm B ( 5; −6 ) Ta có: z + − i + z − + 6i =  NA + NB = Mà AB = nên N thuộc đoạn thẳng AB qua A ( −2;1)  phương trình đường thẳng AB là: x + y +1 = Đường thẳng AB :  qua B 5; − ( )  Vì N ( x; y ) thuộc đoạn thẳng AB nên x + y +1 = 0, x  −2;5 Ta có: P = z − + 2i = ( x − 1) + ( y + ) i = ( x −1) + ( y + ) 2  P = ( x − 1) + ( y + ) = ( x − 1) + ( − x − + ) = ( x − 1) 2 2 Xét f ( x ) = ( x − 1)  −2;5 ta có: f  ( x ) = ( x −1) ; f  ( x ) =  x = 1 −2;5 f ( −2 ) = 18  f ( x ) =    x−2;5 min P = = m Ta có: f ( 5) = 32    f ( x ) = 32  max P = = M   xmax  −2;5  f (1) = Vậy M + m = Câu 30: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Biết số phức z có tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ hình tròn tơ đậm hình vẽ Modul lớn số phức z là: A z C z max max = = B z = D z max = max Đáp án C Giả sử A điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng toạn độ, B ( 3; 0) Tam giác OAB có góc OAB góc tù nên OA  OB  z  OB = Do z max = Câu 31 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho số phức z thỏa mãn: z − − 4i = Tìm giá trị lớn z A B C D Đáp án C Em có: z = z − − 4i + + 4i  z − − 4i + + 4i  z  1+ =  Giá trị lớn z Câu 32: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình ? z2 + z + = Tính giá trị biểu thức z12018 + z2018 A 22019 B 21010 C Đáp án D Cách 1: Em có z = khơng nghiệm phương trình ( )  z2 + z + =  ( z − 1) z2 + z + =  z3 − =  z3 = với z  D −1  z1 = 3.672+ 2.672+ 2   z12018 + z2018 = z + z = z + z = z + z − 2z1z2 ( ) 2 2  z2 = z + z = −1  z12018 + z22018 = ( z1 + z2 ) − 2zzz2 = − = −1 Theo định lý Vi-ét em có  z1z2 =  −1 + 3i z1 = Cách 2: Em có z2 + z + =    −1 − 3i z2 =  z 2018 +z 2018  −1+ 3i  =      2018  −1− 3i  +      2018  −1+ 3i  =      3.672+  −1 − 3i  +      3.672+ 2  −1 + 3i   −1 − 3i  3i 3i = − + = −1  +  =− −     2 2 2     Câu 33 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho số phức z thỏa mãn: z − + i = Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là: A Một đường thẳng B Một đường Parabol C Một đường tròn có bán kính D Một đường tròn có bán kính Đáp án C Cách 1: Số phức z biểu diễn điểm M ( x; y ) Số phức z1 biểu diễn điểm A (1; −1) Em có: z − + i =  MA = Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm A (1; −1) , bán kính R = có phương trình: ( x − 1) + ( y + 1) 2 = Cách 2: Đặt z = x + yi, ( x; y  ) Số phức z biểu diễn điểm M ( x; y ) Em có: z − 1+ i =  ( x − 1) + ( y + 1) i =  ( x − 1) + ( y + 1) =  ( x − 1) + ( y + 1) = Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I (1; −1) , bán kính R = có phương trình: ( x − 1) + ( y + 1) = Câu 34 2 2 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho số phức z1 z2 thỏa mãn: z1 − − i = 3, z2 + − 2i = iz2 − Giá trị nhỏ biểu thức P = z1 − z2 là: A −3 − B + C − D −3 + Đáp án D Đặt z1 = x1 + y1i, ( x1; y1  Đặt z2 = x + y 2i, ( x ; y  ) Số phức z biểu diễn điểm M ( x ; y ) ) Số phức z2 biểu diễn điểm N ( x ; y ) 1 2 Suy ra: z1 − z2 = MN Em có: z1 − − i =  ( x1 − 5) + ( y1 − 1) i =  ( x1 − 5) + ( y1 − 1) = 2 Vậy điểm M thuộc đường tròn ( C) : ( x − 5) + ( y − 1) = , có tâm điểm I ( 5;1) , bán kính 2 R = Em có: z2 + − 2i = iz2 −  ( x + 5) + ( y − 2) i = x 2i − y −  ( x + 5) + ( y − 2) = x 22 + ( y + 3) 2  x2 − y2 + = Vậy điểm N thuộc đường thẳng d : x − y + = Dễ thấy đường thẳng d đường tròn C khơng cắt Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ba điểm I, M, N em có: MN  IM − IN = IN − R  d ( I;d ) − R = − 1+ − = −3 + 2 Dấu “=” xảy I, M, N thẳng hàng N hình chiếu I đường thẳng d Vậy z1 − z2 = −3 + ... = −1 Do w = ( z + 2i ) 2019 = (1 + i ) 2019 = (1 + i )( 1 + i ) 2018 = (1 + i )( 2i ) 1009 = 21009 ( −1 + i ) Vậy w có phần ảo 21009 Câu 14 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn: z −... 400 Vậy số phức w biểu diễn đường tròn tâm I (0; 1), bán kính R = 20 có phương trình: x + ( y − 1) = 400 Câu 16 (GV Nguyễn Thi Lanh 201 8) Tính mơđun số phức z biết z = ( − 3i )( 1 + i ) A z =... Đáp án A ( + 3i ) z = z −  z(1+ 3i ) = −1  z = 1−+13i = Câu 22 − (1− 3i ) 10 = −1 + i 10 10 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hai số phức z = ( 2x + 3) + ( 3y − 1) i z = ( y − 1) i Ta có z = z

Ngày đăng: 11/08/2018, 11:39

TỪ KHÓA LIÊN QUAN