QUY HOẠCH TRỰC GIAO CẤP I đại học bách khoa

Tuỳ thuộc thông tin ban đầu mà người nghiên cứu tổ chức cácthí nghiệm để nhận được mô hình thống kê thực nghiệm dạngtuyến tính hoặc phi tuyếnChọn qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần và từng phần.Những thực nghệm mà mọi tổ hợp các mức của yếu tố đềuđược thực hiện để nghiên cứu gọi là thực nghiệm yếu tố toànphần (TYT nk)Tuỳ thuộc thông tin ban đầu mà người nghiên cứu tổ chức cácthí nghiệm để nhận được mô hình thống kê thực nghiệm dạngtuyến tính hoặc phi tuyếnChọn qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần và từng phần.Những thực nghệm mà mọi tổ hợp các mức của yếu tố đềuđược thực hiện để nghiên cứu gọi là thực nghiệm yếu tố toànphần (TYT nk)

QUY HOẠCH TRỰC GIAO CẤP I

Thực nghiệm yếu tố

toàn phần

Tuỳ thuộc thông tin ban đầu mà người nghiên cứu tổ chức cácthí nghiệm để nhận được mô hình thống kê thực nghiệm dạngtuyến tính hoặc phi tuyến

Chọn qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần và từng phần.Những thực nghệm mà mọi tổ hợp các mức của yếu tố đềuđược thực hiện để nghiên cứu gọi là thực nghiệm yếu tố toànphần (TYT nk)

Trong đó : N : lượng thí nghệm

n : số lượng mức của các yếu tố

k : số yếu tố ảnh hưởngXét thực nghiệm yếu tố toàn phần 2 mức k yếu tố ảnh hưởngThực nghiệm yếu tố toàn phần TYT 2k

1 Cách tổ chức thí nghiệm trực giao cấp 1

1 – Số thí nghiệm cần thực hiện: N = 2k

2 – Mức cơ sở

3 – Khoảng biến thiên

4 – Biến không thứ nguyên : kí hiệu x j

1 Cách tổ chức thí nghiệm trực giao cấp 1

Tọa độ thứ nguyên mức trên (xjmax ) luôn bằng +1;

mức dưới (xjmin ) luôn bằng – 1

và tọa độ của tâm phương án (xj) luôn bằng 0 và trùng với gốc tọa độ.

Mã hoá được thực hiện dễ dàng nhờ việc chọn tâm Zj0 của miền nghiên cứu làm gốc toạ hệ trục độ Mã hoá được thực hiện dễ dàng nhờ việc chọn tâm Zj0

của miền nghiên cứu làm gốc toạ hệ trục độ.

1 Cách tổ chức thí nghiệm trực giao cấp 1

5 – Lập ma trận thực nghiệm

Ma trận thực nghiệm với biến thực nghiệm là một dạng mô tảchuẩn các điều kiện tiến hành thí nghiệm theo bảng chữ nhật Mỗihàng là một thí nghiệm, trong ma trận có một số hàng giống nhau

mà thông số đều ở mức cơ sở Zj0

Ma trận thực nghiệm với biến ảo là ma trận chỉ bao gồm các biến

ảo xj Khi xây dựng ma trận thực nghiệm đưa thêm biến x0 = 1 và

bố trí các thí nghiệm sao cho không có thí nghiệm nào trùngnhau Theo kinh nghiệm làm như sau :

- Xác định số thí nghiệm cần thực hiện theo công thức N = 2k, cột

x0 luôn bằng 1

- Lập cho từng yếu tố ảnh hưởng và lần lượt từ x1 đến xk

1 Cách tổ chức thí nghiệm trực giao cấp 1

6 – Tính chất ma trận trực giao cấp I

Ma trận trực giao cấp I có những tính chất sau:

- Tính đối xứng qua tâm thực nghiệm

- Tính trực giao giữa 2 cột trong ma trận thực nghiệm

- Tính bất biến khi quay hệ trục quanh tâm thực nghiệm

1 Cách tổ chức thí nghiệm trực giao cấp 1

•Ưu điểm của ma trận trực giao cấp I:

-Khi loại bỏ những hệ số không có nghĩa sẽ không phảitính lại các hệ số có nghĩa

-Phương sai các hệ số b (Sbj2) trong phương trình hồi qui

có giá trị tối thiểu, xác định theo kết quả của N thí nghiệm

và nhỏ hơn phương sai tái hiện Sth2

- Tâm phương án thông tin nhiều nhất  chỉ lần thựcnghiệm lặp ở tâm thực nghiệm là đủ

2 Dạng của phương trình hồi qui cấp I

1. phải biết được sự phụ thuộc giữa các thông số đầu vào vàthông số đầu ra Y= f(x) để chọn phương trình hồi qui sao cho hợplý

Đối với qui hoạch thực nghiệm, những phương trình hồi qui cấp Ithường chọn các khai triển của đa thức có dạng tổng quát sau :

2 Dạng của phương trình hồi qui cấp I

Với k = 2 (2 yếu tố ảnh hưởng) ta có:

Với k = 3 ta có:

Để đơn giản thì chọn dạng phương trình hồi qui dạng tuyến tính.Muốn xây dựng phương trình hồi qui đầy đủ đưa thêm vàophương trình tuyến tính các hệ số tương tác

3.Công thức tính hệ số b trong PTHQ

1 – Phương pháp bình phương nhỏ nhất (BPNN)

Là phương án cơ bản có hiệu lực khi xử lí các số liệu thực nghiệm và xây dựng

mô hình thống kê cho nhiều đối tượng nghiên cứu thuộc các lĩnh vực khác nhau.

Phương pháp này cho phép xác định các hệ số của phương trình hồi qui đã chọn sao cho độ lệch của sự phụ thuộc đã cho so với số liệu thực nghiệm là nhỏ nhất.

Trong đó :

Yu là giá trị thực nghiệm ứng với k thông số tối ưu ở thí nghiệm thứ u.

là giá trị theo phương trình hồi qui số tối ưu ở thí nghiệm thứ u.

(1)

3.Công thức tính hệ số b trong PTHQ

Viết thành hệ phương trình:

3.Công thức tính hệ số b trong PTHQ

(4) Được gọi là hệ phương trình chuẩn tắc

(4)

u N

j ju u

u N

ij iu ju u

u N

Hệ số nào có giá trị tuyệt đối lớn nhất thì yếu tố tương ứng sẽ ảnh hưởng đến quá trình là nhiều nhất.

4 Kiểm tra ý nghĩa hệ số b của PTHQ

Để kiểm tra ý nghĩa của các hệ số b trong phương trình hồi qui phải tính phương sai tái hiện (làm thí nghiệm song song ở mỗi điểm thực nghiệm).

Hệ số b trong phương trình hồi qui độc lập nhau và xác định với một độ chính xác (Sbj).

Tính ý nghĩa của các hệ số b được kiểm định theo chuẩn Student (t)

xác định :

bj là hệ số thứ j trong phương trình hồi qui

Sbj: độ lệch quân phương của hệ số j

N: số thí nghiệm ứng mỗi phương án.

4 Kiểm tra ý nghĩa hệ số b của PTHQ

1 – Phương án thực nghiệm tại tâm

Khi hoàn tất 2 k thí nghệm ở nhân phương án, người nghiên cứu phải làm thêm m (m ít nhất bằng 3) thí nghiệm ở tâm phương án với các giá trị ứng với thí nghiệm tâm là:

Phương sai tái hiện được xác định:

i = 1,2,3 m

Trong đó : Yi0 là giá trị đo được ở lần lặp thứ i

là giá trị trung bình của m lần đo

m : số lần lặp

4 Kiểm tra ý nghĩa hệ số b của PTHQ

2 – Phương án thí nghiệm song song

Tại mỗi điểm thí nghiệm được lặp lại m lần.Trước khi tính toán hệ số b và kiểm định các thông số thông kê phải kiểm tra sự đồng nhất của các phương sai theo chuẩn Cohoren (G), chỉ được phép ước lượng các sai số khi phương sai đồng nhất.

Phương sai phân phối trung bình của

một cuộc thí nghiệm

Phương sai của hệ số bj:

Sai số chuẩn (độ lệch quân phương) của hệ số bj:

Phương sai tái hiện của một cuộc thí

nghiệm:

5 Kiểm tra tương thích thực nghiệm

Sự tương thích của PTHQ với thực nghiệm được kiểm định theo chuẩn Fisher

Đối với phương án thí nghiệm tại tâm:

Phương án thí nghiệm song song,với lần lặp ở mỗi

điểm thực nghiệm là m

Ví dụ TYT 2k

Ví dụ 1:

Nghiên cứu tối ưu hoá quy trình cố định tế bào nấm men bằng Alginat để lên men rượu Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến mạng lưới gel: nồng độ alginat; nồng độ glucose; nồng độ tế bào:

Sau quá trình lên men, vớt các hạt gel ra và xác định tỉ lệ (%) hạt gel bị nứt Tỉ lệ hạt gel bị nứt càng thấp càng tốt nghĩa là hạt gel càng chắc càng tốt.

Hàm mục tiêu: Y = Y(Z1,Z2,Z3)

Ví dụ TYT 2k

Ví dụ TYT 2k

Để tính phương sai tái hiện, cần sử dụng thông tin từ 3 thí nghiệm ở tâm.

Ví dụ TYT 2k

Để kiểm định ý nghĩa các hệ số, tính các hệ số tj, thu được kết quả sau:

Tra bảng phân phối phân vị Student với mức ý nghĩa p = 0.05, f = N0-1 = 2 ta

có t0.05(2) = 4,3.

Bảng phân phối tiêu chuẩn FIsher

Thực nghiệm yếu tố

từng phần

- Khi dùng mô hình tuyến tính TYT số thí nghiệm sẽ quá nhiều.

- Thực nghiệm yếu tố từng phần sẽ làm giảm số thí

trưng cho độ từng phần, là số hiệu ứng tương tác được thay bằng số hiệu ứng tuyến tính

- Muốn xác định hệ số hồi qui cho thực nghiệm yếu tố

chất đây là qui hoạch thực nghiệm yếu toàn phần bớt

đi p cột của k thông số độc lập, số thí nghiệm giảm đi

2p lần nhưng vẫn đảm bảo tính trực giao của ma trận X

1.Thực nghiệm yếu tố từng phần TYP 2k-p

Quá trình qui hoạch thực nghiệm yếu tố

từng phần theo các bước sau:

đến hàm mục tiêu trong k thông số đầu vào:

r = k – p ↔ p = k - r

Lập qui hoạch thực nghiệm yếu toàn phần 2r

với số thí nghiệm là N = 2r Tuy nhiên, khi lựa chọn giá trị p phải đảm bảo điều kiện sau:

k + 1 ≤ N = 2r = 2k-p ≤ 2k

1 Thực nghiệm yếu tố từng phần TYP 2k-p

Trong lời giải từng phần, phần tương tác được thay bằng yếu tố mới Do đó, hệ số hồi quy tìm được ứng với yếu tố mới là ước lượng đồng

thời của các hiệu ứng tuyến tính và hiệu ứng

Bước 2: tiến hành thiết lập các biểu thức tương quan sinh biểu diễn các mối tương quan giữa mỗi thông số p với một tích các thông số trong r

- Thay x4=x1x2x3 hoặc x4=-x1x2x3 : biểu thức sinh.

- Nhân 2 vế của biểu thức sinh với yếu tố vế trái:

I= x1x2x3x4 hay I= - x1x2x3x4 : độ tương phản xác định

1 Thực nghiệm yếu tố từng phần TYP 2k-p

+ Nhân độ tương phản xác định với các hiệu ứng,

Thực tế, những hiệu ứng tương tác ba thường

bằng 0 hơn là tương tác đôi

-Nếu quan tâm đến hiệu ứng tuyến tính → chọn biểu thức sinh là x4=±x1x2x3

1 Thực nghiệm yếu tố từng phần TYP 2k-p

-Nếu chọn 2 yếu tố bất kỳ của các yếu tố làm biểu thức sinh:

Bước 3: kiểm tra tính tiện lợi của mô hình đã

được lập: nếu ma trận X không có các cột giống nhau hoặc ngược dấu nhau thì vẫn đảm bảo

tính trực giao, qui hoạch thực nghiệm đạt yêu

cầu.

Bước 4: tiến hành xác định và kiểm tra ý nghĩa của các hệ số hồi qui bj, kiểm tra sự tương thích của phương trình hồi qui thu được.

1 Thực nghiệm yếu tố từng phần TYP 2k-p

• Ví dụ: Xét ảnh hưởng của 3 yếu tố (x1, x2, x3) vào Y

Mô hình tuyến tính có dạng:

- Muốn xác định bj cho thực nghiệm yếu tố từng phần

ta dùng TYT 2 yếu tố (x1, x2) làm cơ sở, cột x3 thay bằng x3 = x1.x2

- Như vậy ta chỉ thực hiện 4 thí nghiệm thay vì 8 thí

nghiệm như trong thực nghiệm toàn phần TYT.

1 Thực nghiệm yếu tố từng phần TYP 2k-p

• Bảng ma trận TYT 22 và TYP 23-1

22

1 Thực nghiệm yếu tố từng phần TYP 2k-p

- Một cách tổng quát số thí nghiệm trong phương án TYP được tính theo công thức:

N = 2k-p

Trong đó:

k : số yếu tố chung

p : giá trị đặc trưng cho độ từng phần

(k-p): số yếu tố trong TYT dùng làm cơ sở (Khi p = 1 số thí

nghiệm trong TYP bằng một nửa số thí nghiệm trong TYT, khi

p = 2 số thí nghiệm TYP bằng ¼ số thí nghiệm trong TYT, khi p

= 3 số thí nghiệm bằng 1/8…)

1 Thực nghiệm yếu tố từng phần TYP 2k-p

* Các phương án TYT 2k và TYP 2k-p có một số ưu điểm sau:

- Là những phương án trực giao vì vậy tính toán đơn giản và những hệ số được xác định độc lập với nhau

- Mỗi hệ số đều được xác định theo kết quả của N thí nghiệm

- Có tính chất tối ưu D (với số TN đã có phương án tối ưu D bảo đảm các ước lượng của các hệ số có độ chính xác lớn nhất)

- Có tính chất quay (đồng đều), quy hoạch có tính chất quay gọi là quy hoạch quay

1 Thực nghiệm yếu tố từng phần TYP 2k-p

j j

s s

Ví dụ:

Nghiên cứu sự biến tính của nhôm nguyên chất bằng

môlipden Thông số hàm mục tiêu được chọn là số hạt nhômtrên bề mặt 1 cm2 Các yếu tố ảnh hưởng đến hàm mục tieugồm:

Z1: Lượng Mo đưa vào nhôm, (%kl)

Z2: nhiệt độ đun nóng, oC

Z3: thời gian đun nóng, (phút)

Z4: tốc độ làm lạnh

Z4 là yếu tố định tính

2 Ví dụ TYP 2k-p

Các mức Z1 Z2 Z3 Z4

Mức cơ sở 0.4 840 60

Khoảng biến thiên 0.15 100 60

Mức trên 0.55 940 120 Đá graphic Mức dưới 0.25 740 0 Gạch chịu lửa

2 Ví dụ TYP 2k-p

Tối ưu hóa thực

nghiệm đường dốc

nhất

6.3 Tối ưu hóa thực nghiệm đường dốc nhất

Vector grad ŷ(x) : vector có chiều biểu thị sự biến thiên nhanh nhất của ŷ(x) thay đổi từ điểm này sang điểm khác trong không gian yếu tố.

Với mô hình tuyến tính bội k

6.3 Tối ưu hóa thực nghiệm đường dốc nhất



δj, bước chuyển động được chọn của yếu tố j

δl, bước chuyển động được tính của yếu tố l

Δj, Δl, : khoảng biến thiên của các yếu tố tương ứng

bj, bl: hệ số hồi quy của các yếu tố tương ứng

- Chuyển động theo grad phải bắt đầu từ điểm 0 (mức cơ sở)

- Bước chuyển động không quá lớn hoặc quá nhỏ

- Bài toán sẽ dừng khi đến điểm tối ưu hoặc những hạn chế đặt vào các yếu tố là cho chuyển động tiếp tục của grad không hợp lý nữa

6.3 Tối ưu hóa thực nghiệm đường dốc nhất

Qui hoạch thí nghiệm song song

6.4 Qui hoạch thí nghiệm có TN song song

• * Nếu thí nghiệm được lập lại m lần, ma trận qui hoạch thí nghiệm được lập theo bảng:

• Bảng ma trận qui hoạch thí nghiệm có TN song song

6.4 Qui hoạch thí nghiệm có TN song song

Quá trình tính toán thực hiện

1- Tính giá trị trung bình của yi ở mỗi điểm thí nghiệm:

2- Tính phương sai ở mỗi điểm thí nghiệm:

6.4 Qui hoạch thí nghiệm có TN song song

3- Kiểm định sự đồng nhất của phương sai theo tiêu chuẩn Cochran:

6.4 Qui hoạch thí nghiệm có TN song song

4- Tính phương sai tái hiện

5 Tính hệ số phương trình hồi qui

6.4 Qui hoạch thí nghiệm có TN song song

6 Kiểm định ý nghĩa của các hệ số hồi qui theo tiêu chuẩn Student (t)

- Nếu tj < tp(f) ; f = N (m – 1): thì bj bị loại

7 Kiểm định sự tương thích của phương trình hồi qui

6.4 Qui hoạch thí nghiệm có TN song song

• Với: l : Số hệ số có nghĩa trong phương trình hồi qui.

• f1 = N - l

• f2 = N (m – 1)

thực nghiệm.

với thực nghiệm và ta phải tăng bậc của đa thức.

Ví dụ TN song song

Nghiên cứu quá trình tổng hợp biodiesel từ dầu động vật

Hàm mục tiêu được chọn là hàm lượng ester có trong

dầu Các yếu tố ảnh hưởng đến hàm mục tieu gồm:

Nghiên cứu quá trình tổng hợp biodiesel từ dầu động vật Hàmmục tiêu được chọn là hàm lượng ester có trong dầu Các yếutố ảnh hưởng đến hàm mục tieu gồm: