ÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 5 1.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 16 2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM 30 3.1 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Dãy hàm và chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 51 4.1 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Phương trình tách biến ÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 5 1.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 16 2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM 30 3.1 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Dãy hàm và chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 51 4.1 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Phương trình tách biến ÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 5 1.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 16 2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM 30 3.1 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Dãy hàm và chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 51 4.1 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Phương trình tách biến
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Lê Thái Thanh GIÁO TRÌNH TỐN II (Chương Trình Chất Lượng Cao Việt-Pháp) TP HỒ CHÍ MINH - 2015 Mục lục Mục lục TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1 Định nghĩa cách tính 1.2 Tích phân hàm hữu tỉ 1.3 Tích phân số hàm vơ tỉ 1.4 Tích phân hàm lượng giác 12 Bài tập chương 14 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 16 2.1 Định nghĩa tính chất 16 2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định 18 2.3 Tích phân suy rộng 21 2.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 21 2.3.2 Tích phân suy rộng hàm không bị chặn 24 Ứng dụng tích phân 26 Bài tập chương 27 2.4 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM 30 3.1 Chuỗi số 30 3.2 Chuỗi số dương 33 3.3 Chuỗi có dấu 37 3.4 Dãy hàm chuỗi hàm 39 3.5 Chuỗi luỹ thừa 46 Bài tập chương 49 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1 51 Phương trình vi phân cấp 51 4.1.1 Phương trình tách biến 52 4.1.2 Phương trình đẳng cấp 52 MỤC LỤC 4.1.3 Phương trình tuyến tính 53 4.1.4 Phương trình Bernoulli 54 4.1.5 Phương trình vi phân toàn phần 54 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số 56 4.2.1 Phương trình 56 4.2.2 Phương trình khơng 58 Bài tập chương 60 4.2 HÀM NHIỀU BIẾN 5.1 5.2 5.3 5.4 63 Các khái niệm 63 5.1.1 Hàm số giới hạn 63 5.1.2 Hàm liên tục 66 Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến 66 5.2.1 Đạo hàm riêng 66 5.2.2 Đạo hàm hàm hợp 68 5.2.3 Đạo hàm hàm ẩn 69 5.2.4 Vi phân toàn phần 70 Đạo hàm vi phân cấp cao 71 5.3.1 Đạo hàm cấp cao 71 5.3.2 Vi phân cấp cao 71 5.3.3 Công thức Taylor 72 Cực trị hàm nhiều biến 72 5.4.1 Cực trị tự 72 5.4.2 Cực trị có điều kiện 74 5.4.3 GTLN GTNN hàm miền đóng 76 Bài tập chương 76 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 6.1 80 Lý thuyết sơ cấp 80 6.1.1 Qua giới hạn dấu tích phân 81 6.1.2 Lấy đạo hàm dấu tích phân 81 6.1.3 Lấy tích phân dấu tích phân 82 6.2 Sự hội tụ tích phân 83 6.3 Các tích phân Euler 87 6.3.1 87 Tích phân Euler loại MỤC LỤC 6.3.2 Tích phân Euler loại 88 Bài tập chương 90 TÍCH PHÂN BỘI 7.1 7.2 7.3 92 Tích phân kép 92 7.1.1 Định nghĩa tính chất 92 7.1.2 Cách tính tích phân kép 93 7.1.3 Đổi biến tích phân kép 95 7.1.4 Ứng dụng tích phân kép 96 Tích phân bội ba 98 7.2.1 Định nghĩa cách tính 98 7.2.2 Đổi biến tích phân bội ba 99 7.2.3 Ứng dụng tích phân bội ba 101 Tích phân nhiều lớp 102 Bài tập chương 104 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT 8.1 8.2 8.3 108 Tích phân đường 108 8.1.1 Tích phân đường loại 108 8.1.2 Tích phân đường loại hai 110 8.1.3 Công thức Green 113 Tích phân mặt 117 8.2.1 Mặt hai phía 117 8.2.2 Tích phân mặt loại 119 8.2.3 Tích phân mặt loại hai 120 8.2.4 Công thức Stock 122 8.2.5 Công thức Gauss 123 Sơ lược lý thuyết trường 124 8.3.1 Trường vô hướng trường vectơ 124 8.3.2 Đạo hàm theo hướng 125 8.3.3 Thông lượng vectơ qua mặt 126 8.3.4 Lưu thông vectơ dọc theo đường cong kín 127 Bài tập chương 127 Tài liệu tham khảo 134 Chương Một TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Mục lục 1.1 1.2 1.3 1.4 Bài Định nghĩa cách tính Tích phân hàm hữu tỉ Tích phân số hàm vơ tỉ Tích phân hàm lượng giác tập chương 12 14 §1.1 Định nghĩa cách tính Định nghĩa 1.1 Hàm số F pxq tập X nguyên hàm hàm f pxq, @x P X , F pxq “ f pxq Ví dụ 1.1: : sin x nguyên hàm hàm cos x psin xq1 “ cos x : x3 ` x nguyên hàm hàm 3x2 ` px3 ` xq1 “ 3x2 ` Nếu F pxq nguyên hàm hàm f pxq X , F pxq ` C với C số nguyên hàm f pxq Ngược lại, biết, hai hàm F pxq Gpxq có đạo hàm f pxq X , hai hàm F pxq Gpxq sai khác số: Gpxq “ F pxq ` C Vậy biết nguyên hàm F pxq hàm f pxq X nguyên hàm f pxq phải có dạng F pxq ` C Biểu thức gọi tích phân bất định hàm f pxq X ta ký hiệu: ż f pxq dx “ F pxq ` C Từ tính chất đạo hàm bảng đạo hàm hàm số bản, ta có tính chất tích phân bất định bảng tích phân sau: Tính chất ˙1 ˆż f pxq dx “ f pxq ż Cf pxq dx “ C f pxq dx C số ż ż ż rf pxq ˘ gpxqs dx “ f pxq dx ˘ gpxq dx ż 1.1 Định nghĩa cách tính Bảng tích phân bất định ż ż xα`1 dx α x dx “ ` C pα “ ´1q, “ ln |x| ` C α`1 x ż dx “ arctan x ` C ` x2 ˇ ˇ ż ˇˇ ` x ˇˇ dx “ ln ˇ `C ´ x2 ´ xˇ ż dx ? “ arcsin x ` C ´ x ż ˇ ˇ a dx ˇ ˇ ? “ ln ˇx ` x2 ˘ 1ˇ ` C ż ż x ˘1 x a x a dx “ ` C, pa ą 0, a “ 1q; ex dx “ ex `C ln a ż ż cos x dx “ sin x ` C, sin x dx “ ´ cos x ` C ż ż dx dx “ ´ cot x ` C “ tan x ` C, 2 cos x sin ż ż x sinh x dx “ cosh x ` C, cosh x dx “ sinh x ` C Ví dụ 1.2: Sử dụng bảng tích phân bản, tính tích phân sau: ż ż ż ż x3 2 paq px ` 2x ` 3q dx “ x dx ` x dx ` dx “ ` x2 ` 3x ` C ˙ ż ż ż ˆ ` ˘ pbq tan2 x dx “ ´ dx “ tan x ´ x ` C ptan2 x ` 1q ´ dx “ cos2 x ż ż ż ż sin2 x ` cos2 x 1 dx “ dx “ dx “ tan x ´ cot x ` C pcq dx ` 2 2 cos x sin x cos x sin x cos x sin2 x Bây ta xét hai phương pháp để tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến ş Giả sử gptq hàm liên tục theo biến t, ωpxq hàm có đạo hàm liên tục theo x gptq dt “ Gptq ` C Khi ta có: ż ż gpωpxqqω pxq dx “ gptq dt “ Gptq ` C “ Gpωpxqq ` C Ví dụ 1.3: Tính tích phân sau: ż ż ˇ ˇ ż t4 sin4 x ˇ ˇ paq sin3 x cos x dx “ sin3 x dpsin xq “ ˇĐặt t “ sin xˇ “ t3 dt “ `C “ `C 4 ż ż ˇ x dt dt ˇˇ 1 ˇ pbq dx “ Đặt t “ x , xdx “ “ “ arctan t ` C “ arctanpx2 q ` C ˇ ˇ ` x4 2 ` t2 2 ? ˇ ˇ ż ż a ˇ Đặt x “ sinh t ñ ` x “ cosh t, ˇ dx ˇ “ dt “ t ` C “ lnpx ` ` x2 q ` C ? ? pcq “ ˇˇ dx “ cosh tdt, t “ lnpx ` ` x2 q ˇ ` x2 1.1 Định nghĩa cách tính Phương pháp tích phân phần Giả sử upxq vpxq hai hàm khả vi liên tục theo biến x Khi theo qui tắc lấy vi phân tích dpuvq “ vdu ` udv, ta có cơng thức sau: ż ż ż ż u dv “ uv ´ v du upxqv pxq dx “ upxqvpxq ´ vpxqu1 pxq dx Ví dụ 1.4: Tính tích phân sau: ˇ ˇ ż ż ˇ u “ ln x ñ u1 “ ˇ x ˇ “ x ln x ´ paq ln x dx x ă dx x ln x ´ x ` C ˇ v “1ñv“x x ˇ ˇ ż ż ˇ ˇ u “ x2 ñ u1 “ 2x ˇ “ x2 sin x ´ x sin x dx “ pbq x cos x dx “ ˇˇ v “ cos x ñ v “ sin x ˇ ˇ ˇ ˆ ˙ ż ˇ u “ x ñ u1 “ ˇ ˇ ˇ “ˇ “ x sin x ´ ´x cos x ` cos x dx “ v “ sin x ñ v “ ´ cos x ˇ “ x2 sin x ` 2x cos x ´ sin x ` C Ví dụ 1.5: Chúng ta tìm cơng thức truy hồi để tính tích phân ż dx , pn “ 1, 2, 3, q Jn “ px ` a2 qn Sử dụng phương pháp tích phân phần với u “ ´2nxdx , v “ x, du “ , dv “ px2 ` a2 qn px2 ` a2 qn`1 dx, ta được: x ` 2n Jn “ px ` a2 qn ż x x2 dx “ ` 2nJn ´ 2na2 Jn`1 2 n`1 px ` a q px ` a2 qn Và ta có cơng thức truy hồi: Jn`1 “ Đã biết J1 “ x 2n ´ ` Jn , 2 n 2na px ` a q 2na2 n “ 1, 2, 3, x arctan ` C nên ta tính được: a a x x ` arctan ` C 2 2a x ` a a a x x x x J3 “ 2 ` J2 “ 2 ` ` arctan ` C 2 2 4a px ` a q 4a 4a px ` a q 8a x ` a 8a a J2 “ Từ cơng thức tích phân hai phương pháp ta có số cơng thức quan trọng sau: 1.2 Tích phân hàm hữu tỉ ż dx x “ arctan ` C pa “ 0q `x a a ˇ ˇ ˇ dx a ` x ˇˇ ˇ “ ln ` C pa “ 0q a2 ´ x2 2a ˇ a ´ x ˇ dx x ? “ arcsin pa ą 0q 2 a a ´x ˇ ˇ a dx ˇ ˇ ? “ ln ˇx ` x2 ˘ a2 ˇ pa ą 0q x2 ˘ a2 a xa a2 x a2 ´ x2 dx “ a ´ x2 ` arcsin ` C pa ą 0q 2 a ˇ ˇ a a a x a ˇ ˇ x2 ˘ a2 dx “ x2 ˘ a2 ˘ ln ˇx ` x2 ˘ a2 ˇ ` C 2 a2 ż ż ż ż ż §1.2 Tích phân hàm hữu tỉ Hàm hữu tỉ (phân thức hữu tỉ) hiểu tỉ số hai đa thức Nếu bậc tử số nhỏ bậc mẫu số ta có hàm hữu tỉ thực Vì hàm hữu tỉ, phép chia đa thức, phân tích thành tổng đa thức hàm hữu tỉ thực sự, nên phép tính tích phân, ta cần xét hàm hữu tỉ thực Trong số ta xét phân thức gọi tối giản; phân thức thuộc bốn loại sau đây: pIq A Mx ` N Mx ` N A , pIIq , pIIIq , pIV q x´a x ` px ` q px ´ aqk px ` px ` qqk A, M, N, a, p, q số thực; phân thức dạng (III) (IV) giả thiết tam thức x2 ` px ` q khơng có nghiệm thực, nghĩa p2 ´ 4q ă Các phân thức dạng (I) (II) dễ dàng lấy tích phân: ż dx “ A ln |x ´ a| ` C x´a ż dx A pIIq A “´ ` C, pk “ 2, 3, q k ´ px ´ aqk´1 px ´ aqk pIq A Đối với dạng (III) (IV), trước tiên ta phân tích: ˙ ´ ´ p ¯2 ˆ p p2 p ¯2 2 x ` px ` q “ x ` ¨ ¨ x ` ` q´ “ x` ` a2 2 a ˆ ˙ Mp 4q ´ p2 p 2 với a “ Đặt x ` “ t, dx “ dt, x ` px ` q “ t ` a , M x ` N “ M t ` N ´ , ta 2 có: ˆ ˙ż ż ż M 2tdt Mp dt Mx ` N dx “ ` N´ “ 2 2 x ` px ` q t `a a t ` a2 ˆ ˙ M Mp t 2 “ lnpt ` a q ` N´ arctan ` C a a 1.3 Tích phân số hàm vơ tỉ Trở biến cũ x thay a giá trị nó, ta có: ż Mx ` N M 2N ´ M p 2x ` p dx “ lnpx2 ` px ` qq ` a arctan a `C x2 ` px ` q 4q ´ p 4q ´ p2 Đối với trường hợp (IV) ta được: ˆ ˙ż ż ż M Mp Mx ` N 2tdt dt dx “ ` N´ k 2 k 2 px ` px ` qq pt ` a q pt ` a2 qk Tích phân thứ tính dễ dàng phép u “ t2 ` a2 , tích phân thứ hai tính theo cơng thức truy hồi ví dụ cuối mục trước (ví dụ 1.5) Như ta biết cách lấy tích phân phân thức tối giản Còn với phân thức hữu tỉ thực sự, việc lấy tích phân dựa định lý sau đây: Định lý 1.1 Mỗi phân thức thực biểu diễn dạng tổng số hữu hạn phân thức tối giản 2x2 ` 2x ` 13 dx px ´ 2qpx2 ` 1q2 2x2 ` 2x ` 13 A Bx ` C Dx ` E Ta khai triển: “ ` ` Hoá đồng mẫu số, ta đến đồng 2 px ´ 2qpx ` 1q x´2 x `1 px ` 1q2 thức dùng để xác định A, B, C, D, E : ż Ví dụ 1.6: Tính tích phân: I “ 2x2 ` 2x ` 13 “ Apx2 ` 1q2 ` pBx ` Cqpx ´ 2qpx2 ` 1q ` pDx ` Eqpx ´ 2q Từ ta có: A “ 1, B “ ´1, C “ ´2, D “ ´3, E “ ´4; và: ż 2x2 ` 2x ` 13 dx “ px ´ 2qpx2 ` 1q2 “ ż ż ż dx x`2 3x ` ´ dx ´ dx “ x´2 x `1 px2 ` 1q2 ´ 4x px ´ 2q2 ă ` ln arctan x ` C x2 ` x `1 Chú ý tích phân hàm hữu tỉ biểu diễn dạng tổng hữu hạn hàm hữu tỉ, logarithm arctan §1.3 Tích phân số hàm vô tỉ Trong phần ta qui ước R hàm hữu tỉ theo đối số Nguyên tắc chung để tính tích phân sử dụng phép đổi biến thíchˆhợpc để đưa tích ˙ phân dạng hữu tỉ m ax ` b Tích phân biểu thức dạng R x, Đặt: cx ` d c ax ` b dtm ´ b m ax ` b , tm “ , x “ ϕptq “ t “ ωpxq “ cx ` d cx ` d a ´ ctm ş Tích phân trở thành Rpϕptq, tq ă ptq dt v cú dng hu t 10 1.3 Tích phân số hàm vơ tỉ ż c dx x ` dx Ví dụ 1.7: Tính tích phân I “ a “ 3 x´1 x`1 px ´ 1qpx ` 1q c x`1 t3 ` 6t2 dt Ta đặt: t “ ñx“ , dx “ ´ Khi đó: x´1 t ´1 pt ´ 1q2 ˙ ż ż ˆ ż c dx 3dt t`2 x ` dt “ “ ´ “ ´ ` x´1 x`1 t3 ´ t ´ t2 ` t ` c t2 ` t ` ? 2t ` x`1 “ ` arctan ? ` C với t “ ln 2 pt ´ 1q x´1 ż Có thể áp dụng phương pháp cho tích phân dạng tổng quát hơn: „ ˆ ˙ ˆ ˙ ż ax ` b r ax ` b s R x, , , dx cx ` d cx ` d với số mũ r, s, số hữu tỉ Gọi m BSCNN mẫu số số r, s, Bằng phép ax ` b , ta đưa tích phân dạng hữu tỉ đổi biến tm “ cx ` d ż dx ? Ví dụ 1.8: Tính tích phân I “ ? x` 3x Đặt t6 “ x, dx “ 6t5 dt, ta được: ż ż ż ż ż dx 6t5 6t3 dt ? ? “ dt “ dt “ pt ´ t ` 1q dt ´ “ 3 x` x t `t 1`t t`1 “ 2t3 ´ 3t2 ` 6t ´ ln |t ` 1| ` C “ ˇ? ˇ ? ? ? “ x ´ 3 x ` 6 x ´ ln ˇ x ` 1ˇ ` C Tích phân hàm vơ tỉ dạng xm pa ` bxn qp với a, b số m, n, p số hữu tỉ Chebysev chứng minh tích phân hàm dạng hữu tỉ hoá trường hợp sau đây: : Nếu p P Z đặt x “ tN với N mẫu số chung m n : Nếu m`1 P Z đặt a ` bxn “ tN với N mẫu số p n : Nếu m`1 ` p P Z đặt ax´n ` b “ tN với N mẫu số p n ż Ví dụ 1.9: Tính I “ Do dx ? “ ` x4 ż 1 x0 p1 ` x4 q´ dx với m “ 0, n “ 4, p “ ´ , a “ 1, b “ m`1 1 ` p “ ´ “ P Z, nên ta đặt n 4 ? a ` x4 t “ x´4 ` “ ñ x “ pt4 ´ 1q´1{4 , dx “ ´t3 pt4 ´ 1q´5{4 dt x 121 8.2 Tích phân mặt trường hợp đó, ta lấy diện tích hình chiếu với dấu cộng Trong trường hợp phía chiều quay chiều ngược lại, ta lấy diện tích hình chiếu với dấu trừ Bây ta đưa định nghĩa tích phân mặt loại hai Định nghĩa 8.4 Cho hàm Rpx, y, zq xác định mặt cong S Chia mặt S thành phần tử S1 , S2 , , Sn lưới đường cong trơn khúc Gọi ∆Sk , k “ 1, 2, , n diện tích hình chiếu phần tử Sk lên mặt phẳng xOy chọn dấu theo qui tắc nêu Trong phần tử Sk lấy điểm Mk pxk , yk , zk q lập tổng σn “ n ÿ Rpxk , yk , zk q∆Sk k“1 Nếu tồn giới hạn tổng σn n Ñ cho đường kính tất phần tử Sk dần tới khơng, giới hạn gọi tích phân mặt loại hai hàm Rpx, y, zq mặt cong S có hình chiếu tương ứng lên mặt phẳng xOy ký hiệu ij ij RpM q dxdy “ Rpx, y, zq dxdy S (8.17) S Tương tự ta có tích phân mặt sau tương ứng với việc chiếu mặt cong S lên mặt phẳng yOz xOz: ij ij P px, y, zq dydz S Qpx, y, zq dxdz (8.18) S Trong thực tế thường gặp kết hợp tích phân dạng (8.17) (8.18): ij P px, y, zq dydz ` Qpx, y, zq dxdz ` Rpx, y, zq dxdy S Để tính tích phân mặt loại hai, ta xét tích phân (8.17) với S mặt cong cho phương trình z “ zpx, yq, px, yq P D, z hàm liên tục với đạo hàm riêng D Khi ta có cơng thức ij ij Rpx, y, zq dxdy “ ˘ S Rpx, y, zpx, yqq dxdy (8.19) D tích phân vế phải tích phân kép dấu ` chọn pháp vectơ S tạo với trục Oz góc nhọn, ngược lại, pháp vectơ S tạo với trục Oz góc tù, dấu ´ chọn ij z dxdy với S phía ngồi nửa mặt cầu x2 ` y ` z “ a2 Ví dụ 8.13: Tính I “ S 122 8.2 Tích phân mặt Do pháp vectơ mặt cầu tạo với trục Oz góc nhọn nên I “ ij a a2 ´ x2 ´ y dxdy, D D hình tròn x2 ` y ď a2 Chuyển sang toạ độ cực ta đến kết I “ 2π ża a a2 ´ r2 rdr “ πa3 Ngồi ta có cơng thức sau nói lên mối quan hệ tích phân mặt loại hai tích phân mật loại một: ij ij P dydz ` Q dxdz ` R dxdy “ pP cos α ` Q cos β ` R cos γq dS S (8.20) Ω cos α, cos β, cos γ cosin phương pháp vectơ mặt cong S xác định theo công thức (8.15) Nếu mặt cong S cho phương trình tham số (8.12), ta có cơng thức ij ij P dydz ` Q dxdz ` R dxdy “ pAP ` BQ ` CRq dS S (8.21) Ω hệ số A, B, C xác định theo công thức (8.14) 8.2.4 Công thức Stock Bây ta nêu lên công thức liên hệ tích phân mặt tích phân đường Cơng thức mở rộng cơng thức Green biết Ta có định lý sau: Định lý 8.4: Stock Trong không gian Oxyz cho mặt cong S trơn mảnh, bao quanh biên kín C ba hàm P px, y, zq, Qpx, y, zq, Rpx, y, zq liên tục miền chứa S với đạo hàm riêng chúng Hướng mặt cong S chọn tương ứng với hướng đường cong C Khi ta có cơng thức Stock: ˙ ˙ ˙ ˆ ˆ ¿ ij ˆ BR BQ BP BR BQ BP ´ ´ ´ P dx ` Qdy ` Rdz “ dydz ` dxdz ` dxdy By Bz Bz Bx Bx By C S (8.22) ¿ py `z q dx`pz `x2 q dy`px2 `y q dz với C đường giao hình trụ Ví dụ 8.14: Tính I “ C x2 ` y “ 2rx hình cầu x2 ` y ` z “ 2Rx$với R ą r ą z ą ’ &x “ rp1 ` cos tq, Sử dụng biểu diễn tham số đường cong C y “ r sin t, ’ a ? % z 2rpR rq ă ` cost vi ď t ď 2π , ta 123 8.2 Tích phân mặt đưa tích phân đường dạng: ż2π " “ I“ ‰ r2 sin2 t ` 2rpR ´ rqp1 ` cos tq p´r sin tq` ‰ ` 2rpR ´ rqp1 ` cos tq ` r2 p1 ` cos tq2 pr cos tq` c * “ ‰1 2rpR ´ rq 2 ` r p1 ` cos tq ` r sin t sin t dt “ 2πRr2 ` cos t “ Để tính cơng thức Stock, ta chọn mặt cong S phần nhỏ mặt cầu bao bọc đường cong kín C Hướng dương hướng pháp vectơ ngồi mặt cầu Khi ta có: ij py ´ zq dydz ` pz ´ xq dxdz ` px ´ yq dxdy “ I“2 S ij rpy ´ zq cos α ` pz ´ xq cos β ` px ´ yq cos γs dS “2 S Vì cos α “ x´R y z , cos β “ , cos γ “ , nên thay vào tích phân trên, đơn giản, ta có: R R R ij ij I “ pz ´ yq dS “ 2R dxdy “ 2πRr2 S D Từ định lý Stock ta khảo sát vấn đề tích phân đường không phụ thuộc vào đường (trong không gian)? biểu thức P dx ` Qdy ` Rdz vi phân tồn phần hàm ba biến đó? Điều kiện cần đủ xảy vấn đề là: BQ BP “ , Bx By 8.2.5 BR BQ “ , By Bz BP BR “ Bz Bx (8.23) Cơng thức Gauss Ta có cơng thức nói lên mối quan hệ tích phân mặt loại hai tích phân bội ba Định lý 8.5: Gauss Trong không gian cho miền V bao bọc mặt cong kín S trơn mảnh ba hàm P px, y, zq, Qpx, y, zq, Rpx, y, zq liên tục với đạo hàm riêng chúng V Khi ta có cơng thức ij ¡ ˆ P dydz ` Q dxdz ` R dxdy “ S BP BQ BR ` ` Bx By Bz ˙ dxdydz (8.24) V Trong vế trái cơng thức (8.24) tích phân mặt loại hai lấy theo pháp vectơ ngồi mặt cong kín S bao quanh miền V 124 8.3 Sơ lược lý thuyết trường ij x3 dydz ` y dxdz ` z dxdy với S phía ngồi mặt cầu tâm O bán kính Ví dụ 8.15: Tính I “ S a ą Theo công thức Gauss (8.24) ta có: ż2π ¡ px2 ` y ` z q dxdydz “ I“3 dϕ V żπ ża r4 dr “ sin θ dθ 12 πa Từ cơng thức (8.24) ta đưa cơng thức sử dụng tích phân mặt loại hai để tính thể tích vật thể V có biên mặt cong kín S lấy theo pháp vectơ sau: ij ij 1 xdydz ` ydxdz ` zdxdy “ px cos α ` y cos β ` z cos γq dS V “ 3 S S §8.3 Sơ lược lý thuyết trường 8.3.1 Trường vô hướng trường vectơ Ta nhắc lại số khái niệm giải tích vectơ đại lượng vơ hướng (chẳng hạn thể tích, khối lượng, mật độ, nhiệt độ, ) đặc trưng hồn tồn giá trị số đại lượng vectơ (như vận tốc, gia tốc, lực, ) đặc trưng giá trị số, mà phụ thuộc vào hướng Ta hình dung vectơ đoạn thẳng định hướng ký hiệu chữ Ñ Ý Đ Ý Đ Ý với mũi tên phía chúng ˇ ˇ F , n , r , Cũng chữ mà khơng có mũi tên độ dài ݡ ˇÑ Ý Ý vectơ đó: F “ ˇ F ˇ, n “ |Ñ n |, r “ |Ñ r |, Còn chữ với số Fx , ny , rn , Ý hình chiếu chúng, tương ứng lên trục Ox, Oy, Ñ n , Ở ta qui ước số vectơ Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ý thường gặp: i , j , k vectơ đơn vị tương ứng với trục toạ độ Ox, Oy, Oz; Ñ n pháp vectơ; Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý r “ x i ` y j ` z k bán kính vectơ Khi vectơ A viết dạng: Đ Ý Đ Ý Ñ Ý Ñ Ý A “ Ax i ` Ay j ` Az k Đ Ý Đ Ý Tích vô hướng hai vectơ A B số, ký hiệu Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý p A , B q A ă B AB cosp A , B q “ Ax Bx ` Ay By ` Az Bz Đ Ý Đ Ý Đ Ý Đ Ý Tích có hướng hay tích vectơ hai vectơ A B vectơ có độ dài AB sinp A , B q Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Đ Ý có hướng vng góc với mặt phẳng chứa hai vectơ A B , tạo với vectơ A B thành tam diện thuận Ta ký hiệu tích ˇ Đ ˇ Ýi ˇ Đ Ý Đ Ý Ñ Ý Ñ Ý r A , B s “ A ˆ B “ ˇˇ Ax ˇ Bx có hướng sau Ñ Ý Ñ Ý ˇˇ j k ˇ Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ay Az ˇˇ “ pAy Bz ´ Az By q i ` pAz Bx ´ Ax Bz q j ` pAx By ´ Ay Bx q k By Bz ˇ 125 8.3 Sơ lược lý thuyết trường Định nghĩa 8.5 Nếu với điểm M miền không gian xác định liên hệ đại lượng vơ hướng hoạc vectơ, ta nói trường vơ hướng vectơ tương ứng đại lượng cho Các ví dụ trường vơ hướng trường nhiệt độ, trường điện thế, v.v ; trường vectơ trường vận tốc, trường lực, v.v Bây giờ, không gian ta xác định hệ trục toạ độ vng góc Oxyz Khi việc cho trường vô hướng đại lượng U tương đương với việc cho hàm số U px, y, zq Ta ln giả thiết hàm có đạo hàm riêng liên tục theo tất biến Nếu đạo hàm khơng đồng thời khơng, phương trình U px, y, zq “ C pC “ sốq xác định mặt cong khơng gian mà dọc theo mặt đại lượng U nhận giá trị không đổi Mặt gọi mặt mức Tồn miền xét ln chất đầy mặt mức chúng không giao nhau, nghĩa là, có mặt mức qua điểm miền Ñ Ý Tương tự, việc cho trường đại lượng vectơ A thực cách cho hình chiếu vectơ lên trục toạ độ hàm theo toạ độ: Ax px, y, zq, Ay px, y, zq, Az px, y, zq Ta giả thiết hàm có đạo hàm riêng liên tục Khi khái niệm đường vectơ có vai trò quan trọng: đường cong mà hướng đường điểm trùng với hướng Đ Ý vectơ A điểm gọi đường vectơ Cũng tương tự, toàn miền lấp đầy đường vectơ điểm miền, có đường vectơ qua 8.3.2 Đạo hàm theo hướng Định nghĩa 8.6 Cho trường vô hướng U pM q “ U px, y, zq xác định lân cận điểm M0 px0 , y0 , z0 q hướng Ñ Ý l với vectơ phương l Trên đường thẳng qua M0 theo hướng l ta lấy điểm M px, y, zq Đạo hàm hàm U pM q theo hướng l điểm M0 định nghĩa: BU U pM q ´ U pM0 q pM0 q “ lim M ÑM0 Bl M M0 với M Ñ M0 hiểu M tiến M0 dọc theo đường thẳng ngang qua M M0 Đạo hàm theo hướng l M0 thể tốc độ biến thiên hàm U theo hướng l điểm M0 Bây đặt M M0 “ t, ta có: x “ x0 ` t cos λ, y “ y0 ` t cos µ, z “ z0 ` t cos ν Đ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý với cos λ, cos µ, cos ν cosin phương vectơ l , nghĩa l “ cos λ i ` cos µ j ` cos ν k cos2 λ ` cos2 µ ` cos2 ν “ Khi đạo hàm hàm U pM q theo hướng l điểm M0 đạo hàm hàm hợp U px0 ` t cos λ, y0 ` t cos µ, z0 ` t cos νq theo tham số t t “ Thực tính 126 8.3 Sơ lược lý thuyết trường tốn thích hợp, ta đến kết quả: BU BU BU BU pM0 q “ cos λ ` cos µ ` cos ν Bl Bx By Bz (8.25) Ta đưa khái niệm gọi vectơ gradient hàm U theo cơng thức: grad U “ BU Đ BU Ñ BU Ñ Ý Ý Ý i ` j ` k Bx By Bz (8.26) Khi cơng thức (8.25) viết lại dạng BU Ñ Ý “ l ¨ grad U Bl Từ rõ ràng giá trị lớn đạo hàm theo hướng l đạt hướng l trùng với hướng grad, giá trị lớn dˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ BU BU BU ` ` |grad U | “ Bx By Bz Điều cho phép ta đưa ý nghĩa vectơ gradient đại lượng U vectơ đặc trưng cho tốc độ biến thiên lớn đại lượng U theo giá trị số theo hướng Dễ dàng thấy hướng grad U trùng với hướng pháp tuyến mặt mức U px, y, zq “ C qua điểm cho W R Hamilton đưa vào ký hiệu ∇“ B Ñ B Ñ BÑ Ý Ý Ý i ` j ` k Bx By Bz gọi toán tử Hamilton toán tử "nabla" Toán tử nabla tác động lên hàm U hiểu theo nghĩa sau: ˆ ∇U “ ˙ B Ñ BÑ BU Ñ BU Ñ BU Ñ B Ñ Ý Ý Ý Ý Ý Ý i ` j ` k U“ i ` j ` k “ grad U Bx By Bz Bx By Bz Cùng với toán tử nabla, ta đưa vào toán tử Laplace sau: ˆ ∆U “ ∇ U “ 8.3.3 B Ñ B Ñ BÑ Ý Ý Ý i ` j ` k Bx By Bz ˙2 ˆ U“ B2 B2 B2 ` ` Bx2 By Bz ˙ U“ B2U B2U B2U ` ` Bx2 By Bz Thông lượng vectơ qua mặt Định nghĩa 8.7 Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Cho trường vectơ F px, y, zq “ P px, y, zq i ` Qpx, y, zq j ` Rpx, y, zq k mặt cong S định Ý hướng Gọi cos α, cos β, cos γ cosin phương pháp vectơ định hướng Đ n Khi tích phân mặt ij S Ñ Ý Ý pF , Ñ n q dS “ ij pP cos α ` Q cos β ` R cos γq dS S Ñ Ý gọi thông lượng trường vectơ F qua mặt S theo hướng Bài tập chương 127 Ñ Ý Ta đưa vào khái niệm divergence trường vectơ F : BP BQ BR Ñ í ẹ í div F ă F ` ` Bx By Bz Khi cơng thức Gauss (8.24) viết dạng vectơ: ¡ ij Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý div F dxdydz p F , n q dS “ V S S mặt cong kín bao quanh V theo hướng pháp vectơ ngồi 8.3.4 Lưu thơng vectơ dọc theo đường cong kín Định nghĩa 8.8 Đ Ý Đ Ý Đ Ý Ñ Ý Lưu thông trường vectơ F px, y, zq “ P px, y, zq i `Qpx, y, zq j `Rpx, y, zq k dọc theo đường cong kín C tích phân ¿ ¿ P dx ` Qdy ` Rdz “ C Ñ Ý Ý p F , dÑ rq C Ñ Ý Nếu F trường lực tích phân biểu diễn cơng trường lực dịch chuyển điểm dọc theo đường cong kín C Ñ Ý Ta đưa vào khái niệm rotate trường vectơ F : Ñ Ý Ñ Ý rot F “ ∇ ˆ F “ ˆ BR BQ ´ By Bz ˙ Ñ Ý i ` ˆ BP BR ´ Bz Bx ˙ Ñ Ý j ` ˆ BQ BP ´ Bx By ˙ ˇ ˇ ˇ ˇ Ñ Ý k “ ˇˇ ˇ ˇ Ñ Ý i B Bx P Ñ Ý j B By Q Ñ Ý k B Bz R ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Khi cơng thức Stock (8.22) viết lại dạng ¿ ij Ñ Ý Ñ Ñ Ý Ý Ý pF , d r q “ prot F , Ñ n q dS C S Bài tập Câu Tính tích phân đường loại sau: ż (a) I “ px`yq ds với C chu vi tam giác với đỉnh Op0, 0q, Ap1, 0q, Bp0, 1q C ż y ds với C nhịp cycloide x “ apt ´ sin tq, y “ ap1 ´ cos tq, (0 ď t ď 2π) (b) I “ C ż px2 ` y q ds với C cho x “ apcos t ` t sin tq, y “ apsin t ´ t cos tq, (0 ď t ď 2π) (c) I “ C ż px4{3 ` y 4{3 q ds với C đường astroide x2{3 ` y 2{3 “ a2{3 (d) I “ C Bài tập chương 128 ż |y| ds với C đường lemniscate px2 ` y q2 “ a2 px2 ´ y q (e) I “ C ż x ds với C phần đường cong r “ a ekϕ pk ą 0q, nằm đường tròn r “ a ą (f ) I “ C (g) I “ ż a x2 ` y ds với C đường tròn x2 ` y “ ax C Câu Tính tích phân đường loại lấy theo đường cong không gian ż px2 ` y ` z q ds với C đường xoắn ốc x “ a cos t, y “ a sin t, z “ bt, (0 ď t ď 2π) (a) I “ C ż x2 ds với C đường tròn x2 ` y ` z “ a2 , x ` y ` z “ (b) I “ C ż (c) I “ z ds với C đường cong cho x “ t cos t, y “ t sin t, z “ t, (0 ď t ď t0 ) C ż (d) I “ ? z ds với C đường cong x2 `y “ z , y “ ax từ điểm Op0, 0, 0q đến điểm Apa, a, a 2q C Câu Tính độ dài đường cong sau: (a) y “ a cosh (b) y “ a ln x từ điểm Ap0, aq đến điểm Bpb, hq a a2 với ď x ď b ă a a2 ´ x2 (c) x2{3 ` y 2{3 “ a2{3 (d) x “ apt ´ sin tq, y “ ap1 ´ cos tq, (0 ď t ď 2π) (e) r “ ap1 ` cos ϕq (f ) r “ a ϕ , p0 ď ϕ ď 2πq (g) x “ 3t, y “ 3t2 , z “ 2t3 , từ điểm Op0, 0, 0q đến điểm Ap3, 3, 2q (h) x “ e´t cos t, y “ e´t sin t, z “ e´t với ď t ă `8 Câu Tìm toạ độ trọng tâm đường cong sau: (a) Biên phần tám mặt cầu x2 ` y ` z “ a2 với x ě 0, y ě 0, z ě (b) x “ e´t cos t, y “ e´t sin t, z “ e´t với ď t ă `8 Bài tập chương 129 Câu Tính tích phân đường loại hai sau: ż px2 ´ 2xyq dx ` py ´ 2xyq dy với C parabol y “ x2 , (´1 ď x ď 1) (a) I “ C ż px2 ` y q dx ` px2 ´ y q dy với C đường cong y “ ´ |1 ´ x|, (0 ď x ď 2) (b) I “ C ¿ px ` yq dx ` px ´ yq dy (c) I “ với C ellipse x2 y2 ` “ lấy theo hướng ngược chiều kim a2 b2 C đồng hồ ż p2a ´ yq dx ` x dy với C đường cycloide x “ apt ´ sin tq, y “ ap1 ´ cos tq, (0 ď t ď 2π) (d) I “ C ¿ (e) I “ dx ` dy |x| ` |y| với C hình vng |x| ` |y| “ C ¿ (f ) I “ arctan y dy ´ dx x với OmA cung parabol y “ x2 OnA đoạn thẳng OmAnO y “ x (lấy ngược chiều kim đồng hồ) Câu Chứng tỏ biểu thức dấu tích phân vi phân tồn phần tính tích phân sau: ż p2,3q ż p1,2q x dy ` y dx paq peq p´1,2q p2,1q ż p3,´4q ż p3,0q x dx ` y dy pbq px4 ` 4xy q dx ` p6x2 y ´ 5y q dy pf q p´2,´1q p0,1q ż p1,0q ż p2,3q px ` yq dx ` px ´ yq dy pcq y dx ´ x dy x2 pgq p0,´1q p0,1q ż p1,1q ż pa,bq px ´ yq pdx ´ dyq pdq phq p1,´1q x dy ´ y dx px ´ yq2 ex pcos y dx ´ sin y dyq p0,0q Câu Tìm hàm z “ zpx, yq nếu: (a) dz “ px2 ` 2xy ´ y q dx ` px2 ´ 2xy ´ y q dy (b) dz “ y dx ´ x dy 3x2 ´ 2xy ` 3y (c) dz “ px2 ` 2xy ` 5y q dx ` px2 ´ 2xy ` y q dy px ` yq3 (d) dz “ ex rey px ´ y ` 2q ` ys dx ` ex rey px ´ yq ` 1s dx Câu Chứng minh rằng, tích phân đường loại hai, ta có bất đẳng thức ˇż ˇ ˇ ˇ ˇ P dx ` Q dy ˇ ď LM ˇ ˇ C với L độ dài đường cong C M “ max a P ` Q2 C Bài tập chương 130 Câu Chứng minh ¿ lim RÑ0 y dx ´ x dy “0 px2 ` xy ` y q2 x2 `y “R2 Câu 10 Tính tích phân đường loại hai dọc theo đường cong không gian ż py ´ z q dx ` 2yz dy ´ x2 dz với C đường cong x “ t, y “ t2 , z “ t3 , p0 ď t ď 1q (a) I “ C theo chiều tăng tham số ż y dx ` z dy ` x dz với C đường cong x “ a cos t, y “ a sin t, z “ bt, p0 ď t ď 2πq theo (b) I “ C chiều tăng tham số ż py ´ zq dx ` pz ´ xq dy ` px ´ yq dz với C đường tròn x2 ` y ` z “ a2 , y “ x tan α, (c) I “ C p0 ă α ă πq theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương trục Ox ż y dx ` z dy ` x2 dz với C đường cong Viviani x2 ` y ` z “ a2 , x2 ` y “ ax, (d) I “ C pz ě 0, a ą 0q theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương (x ą a) trục Ox Câu 11 Tìm hàm u “ upx, y, zq, nếu: (a) du “ px2 ´ 2yzq dx ` py ´ 2xzq dy ` pz ´ 2xyq dz ˆ ˙ ˆ ˙ y x x xy (b) du “ ´ ` dx ` ` dy ´ dz y z z y z px ` y ´ zq dx ` px ` y ´ zq dy ` px ` y ` zq dz x2 ` y ` z ` 2xy (c) du “ Câu 12 Sử dụng công thức Green, tính tích phân đường loại hai sau: ¿ a a x2 ` y dx`yrxy`lnpx` x2 ` y qs dy với C chu vi tam giác Op0, 0q, Ap1, 0q, Bp1, 1q (a) I “ C lấy theo hướng ngược chiều kim đồng hồ ¿ px`yq2 dx´px2 `y q dy với C chu vi tam giác Ap1, 1q, Bp3, 2q, Cp2, 5q lấy theo hướng (b) I “ C ngược chiều kim đồng hồ ¿ xy dy ´ yx2 dx với C đường tròn x2 ` y “ a2 lấy theo hướng ngược chiều kim đồng (c) I “ C hồ Bài tập chương 131 ¿ px ` yq dx ´ px ´ yq dy (d) I “ với C ellipse x2 y2 ` “ lấy theo hướng ngược chiều kim a2 b2 C đồng hồ ¿ ex rp1 ´ cos yq dx ´ py ´ sin yq dys (e) I “ với C biên miền ă x ă π, ă y ă sin x lấy C theo hướng ngược chiều kim đồng hồ ż Câu 13 Tính tích phân đường loại hai pex sin y ´myq dx`pex cos y ´mq dy, với AmO nửa AmO đường tròn x2 ` y “ ax, từ điểm Apa, 0q đến điểm Op0, 0q Câu 14 Sử dụng tích phân đường, tích diện tích hình phẳng bị chặn đường cong sau: (a) Đường astroide x “ a cos3 t, y “ b sin3 t, p0 ď t ď 2πq (b) Parabol px ` yq2 “ ax pa ą 0q trục Ox (c) Hình Descartes x3 ` y “ 3axy pa ą 0q (d) Đường lemniscate px2 ` y q2 “ a2 px2 ´ y q ´ x ¯n ´ y ¯n ` “ pa ą 0, b ą 0, n ą 0q trục toạ độ (e) a b Câu 15 Hàm u “ upx, yq gọi hàm điều hoà ∆u “ ¿ upx, yq hàm điều hoà, B2u B2u ` “ Chứng minh rẳng Bx By Bu Bu ds “ 0, với C đường cong kín đạo Bn Bn C Ý hàm theo hướng pháp vectơ ngồi Đ n đường cong C Câu 16 Chứng minh rẳng ij „ˆ ˙ ˆ ˙ ij ¿ Bu Bu Bu ` dxdy “ ´ u∆u dxdy ` u ds, Bx By Bn S S C Ý với C đường cong kín bao quanh miền phẳng S Ñ n pháp vectơ ngồi C Câu 17 Tính tích phân mặt loại sau: ij z dS với S phần mặt x2 ` z “ 2az pa ą 0q bị cẳt mặt z “ (a) I “ S ij px ` y ` zq dS với S nửa mặt cầu x2 ` y ` z “ a2 , z ě (b) I “ S ij px2 `y q dS với S biên vật thể (c) I “ S a x2 ` y ď z ď a x2 ` y Bài tập chương ij 132 dS với S biên vật thể x ` y ` z ď 1, x ě 0, y ě 0, z ě p1 ` x ` yq2 (d) I “ S ij |xyz| dS (e) I “ với S phần mặt z “ x2 ` y bị cẳt mặt phẳng z “ S ij (f ) I “ z dS với S phần mặt x “ u cos v, y “ u sin v, z “ v (0 ă u ă a, ă v ă 2π) S ij z dS với S phần mặt x “ r cos ϕ sin α, y “ r sin ϕ sin α, z “ r cos α (0 ă r ă a, (g) I “ S ă ϕ ă 2π) α số (0 ă α ă π ) ij (h) I “ pxy`yz `xzq dS với S phần mặt z “ a x2 ` y bị cẳt mặt trụ x2 ` y “ 2ax S x2 ` y , ď z ď biết hàm mật độ ρ “ z a Câu 19 Tìm toạ độ trọng tâm phần mặt nón đồng chất z “ x2 ` y bị cẳt mặt trụ Câu 18 Tính khối lượng phần mặt z “ x2 ` y “ ax Câu 20 Tính tích phân mặt loại hai sau: ij px dydz`y dxdz`z dxdyq với S phía ngồi mặt cầu x2 ` y ` z “ a2 (a) I “ S ij py´zq dydz`pz´xq dxdz`px´yq dxdy với S phía ngồi mặt nón x2 ` y “ z (b) I “ S p0 ď z ď hq ij ˆ (c) I “ dydz dxdz dxdy ` ` x y z ˙ với S phía ngồi mặt ellipsoide x2 y z ` ` “ a2 b c S ij px2 dydz`y dxdz`z dxdyq với S phía ngồi mặt cầu px´aq2 `py´bq2 `pz´cq2 “ R2 (d) I “ S Câu 21 Sử dụng cơng thức Stock tính tích phân sau: ¿ y dx ` z dy ` x dz với C đường tròn x2 ` y ` z “ a2 , x ` y ` z “ theo ngược chiều (a) I “ C kim đồng hồ nhìn từ hướng dương trục Ox ż (b) I “ px2 ´yzq dx`py ´xzq dy`pz ´xyq dz dọc theo đường cong x “ a cos ϕ, y “ a sin ϕ, AmB h ϕ từ điểm Apa, 0, 0q đến điểm Bpa, 0, hq z“ 2π Bài tập chương 133 ż (c) I “ py ` zq dx ` px ` zq dy ` px ` yq dz với C ellipse x “ a sin2 ϕ, y “ 2a sin ϕ cos ϕ, C z “ a cos2 ϕ (0 ď ϕ ď π) theo chiều tăng tham số ϕ ż (d) I “ py ´ z q dx ` pz ´ x2 q dy ` px2 ´ y q dz với C giao mặt hình lập phương C ď x ď a, ď y ď a, ď z ď a với mặt phẳng x ` y ` z “ a theo ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương trục Ox Câu 22 Tại điểm khơng gian Oxyz vectơ gradient trường vơ hướng u “ x3 ` y ` z ´ 3xyz: a) song song với trục Oz; b) vuông góc với trục Oz; c) khơng? Câu 23 Tìm góc vectơ gradient trường vơ hướng u “ x2 x điểm Ap1, 2, 2q ` y2 ` z2 Bp´3, 1, 0q Câu 24 Chứng minh công thức sau: pbq gradpuvq “ v grad u ` u grad v Ý Ý Ý peq divpuÑ a q u div ẹ a `ẹ a ă grad u Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý pf q rotp a ` b q “ rot a ` rot b pcq ∆puvq “ u∆v ` v∆u ` grad u ă grad v ẹ í ẹ í Ý Ý pdq divpÑ a ` b q “ div Ñ a ` div b Ý Ý Ý pgq rotpuÑ a q “ u rot Ñ a ` grad u ˆ Ñ a Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ý Ý Ý phq divpÑ a ˆ b q “ b rot Ñ a ´Ñ a rot b paq gradpu ` vq “ grad u ` grad v a Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý Ý Ý Ý Câu 25 Biết Ñ r “ x i ` y j ` z k , r “ x2 ` y ` z , u “ upx, y, zq, Ñ a “Ñ a px, y, zq, f prq Ýc vectơ Tính biểu thức sau: hàm khả vi, Ñ Ñ Ý Ý r peq div Ñ r paq grad r piq rot Ñ Ý r r Ý pbq grad pf q div pjq rotrf prqÑ rs r r í íc ă ẹ í pkq rotpgrad uq pcq gradpÑ rq pgq divrf prqÑ rs Ý Ý plq divprot Ñ aq pdq div grad u phq rot Ñ r ij Câu 26 Tính tích phân Gauss: I “ Ý Ý cospÑ r ,Ñ nq dS với S mặt cong kín bao quanh miền V r S khơng ngang qua gốc toạ độ Câu 27 Chứng minh S mặt cong trơn bao quanh miền V , thi ta có: ¡ ij Bu dS “ paq ∆u dxdydz Bn V S ¡ ¡ «ˆ ˙2 ˆ ˙2 ˆ ˙2 ff ij Bu Bu Bu Bu pbq dS “ u∆u dxdydz ` ` ` dxdydz u Bn Bx By Bz S V V với u “ upx, y, zq hàm liên tục với đạo hàm riêng cấp hai miền V ` S Bu Bn đạo hàm theo hướng pháp vectơ ngồi mặt cong S Đ Ý r Đ Ý Câu 28 Tìm thơng lượng trường vectơ F “ m (m số) qua mặt cong kín S bao quanh r gốc toạ độ Tài liệu tham khảo [1] Jean-Marie Monier, Giáo trình Tốn - Tập 1: Giải Tích 1, NXB Giáo Dục, Hà Nội - 1999 [2] Jean-Marie Monier, Giáo trình Tốn - Tập 2: Giải Tích 2, NXB Giáo Dục, Hà Nội - 1999 [3] Jean-Marie Monier, Exercices corrigés de mathématiques - Analyse, Dunod, Paris - 1996 [4] G M Fihtengol c, Kurs Differencial nogo i Integral nogo Isqisleni , Tom 1,2,3 Moskva - 1969 [5] B P Demidoviq, Sbornik Zadaq i Upra nenii po Matematiqeskomu Analizu, Iz- datel stvo «Nauka», Moskba - 1969 TÀI LIỆU THAM KHẢO 135 ... thuộc bốn loại sau đây: pIq A Mx ` N Mx ` N A , pIIq , pIIIq , pIV q x´a x ` px ` q px ´ aqk px ` px ` qqk A, M, N, a, p, q số thực; phân thức dạng (III) (IV) giả thiết tam thức x2 ` px ` q khơng... Phương trình tuyến tính 53 4.1.4 Phương trình Bernoulli 54 4.1.5 Phương trình vi phân toàn phần 54 Phương trình. .. 49 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1 51 Phương trình vi phân cấp 51 4.1.1 Phương trình tách biến 52 4.1.2 Phương trình đẳng cấp 52