ẬP HỢPÁNH XẠQUAN HỆ 5 1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 14 2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 CÁC TẬP HỢP SỐ 25 3.1 Số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Số hữu tỉ . . . . . . . . . ẬP HỢPÁNH XẠQUAN HỆ 5 1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 14 2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 CÁC TẬP HỢP SỐ 25 3.1 Số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Số hữu tỉ . . . . . . . . . ẬP HỢPÁNH XẠQUAN HỆ 5 1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 14 2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 CÁC TẬP HỢP SỐ 25 3.1 Số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Số hữu tỉ . . . . . . . . . ẬP HỢPÁNH XẠQUAN HỆ 5 1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 14 2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 CÁC TẬP HỢP SỐ 25 3.1 Số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Số hữu tỉ . . . . . . . . .
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Trần Lưu Cường - Lê Thái Thanh GIÁO TRÌNH TỐN I (Chương Trình Chất Lượng Cao Việt-Pháp) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH - 2012 Mục lục Mục lục TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ 1.1 Mệnh đề 1.2 Tập hợp 1.3 Ánh xạ 1.4 Quan hệ hai 10 Bài tập chương 13 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 14 2.1 Phép tốn hai ngơi 14 2.2 Nhóm 17 2.3 Vành 19 2.4 Thể 21 Bài tập chương 21 CÁC TẬP HỢP SỐ 25 3.1 Số tự nhiên 25 3.2 Số nguyên 26 3.3 Số hữu tỉ 26 3.4 Số thực 26 3.5 Số phức 29 Bài tập chương 32 DÃY SỐ 34 4.1 Các định nghĩa 34 4.2 Dãy 39 4.3 Một số loại dãy thông thường 41 4.3.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp 41 4.3.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 41 MỤC LỤC 4.3.3 Dãy trung bình Césaro 43 Bài tập chương 44 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 46 5.1 Khái niệm hàm số 46 5.2 Giới hạn hàm số 49 5.3 Vô bé vô lớn 52 5.4 Tính liên tục 53 Bài tập chương 57 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 61 6.1 Đạo hàm vi phân 61 6.2 Các định lý hàm khả vi 67 6.3 Công thức Taylor 69 6.4 Sự biến thiên hàm 71 6.5 Khảo sát vẽ đồ thị đường cong 73 6.5.1 Đường cong cho phương trình y ✏ f ♣xq 73 6.5.2 Đường cong cho phương trình tham số 74 6.5.3 Đường cong toạ độ cực 75 Bài tập chương 75 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN 81 7.1 Ma trận 81 7.1.1 Các định nghĩa 81 7.1.2 Các phép toán ma trận 82 7.2 Định thức 84 7.2.1 Định nghĩa tính chất 84 7.2.2 Các ví dụ tính định thức 87 7.3 Ma trận nghịch đảo 88 7.4 Hạng ma trận 90 Bài tập chương 91 KHÔNG GIAN VECTƠ 96 8.1 Khái niệm không gian vectơ 96 8.2 Không gian vectơ 104 8.3 Không gian Euclide thực 106 MỤC LỤC Bài tập chương 110 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 113 9.1 Các khái niệm 113 9.2 Hệ 116 Bài tập chương 118 10 TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN 121 10.1 Bổ sung đại số ma trận 121 10.1.1Ma trận đồng dạng 121 10.1.2Ma trận trực giao 122 10.1.3Ma trận đối xứng 124 10.2 Đa thức đặc trưng ma trận 124 10.2.1Thu gọn đa thức 127 10.2.2Tính ma trận nghịch đảo 127 10.3 Trị riêng vectơ riêng ma trận 128 10.4 Chéo hoá ma trận 130 Bài tập chương 10 134 11 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 136 11.1 Định nghĩa tính chất 136 11.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 137 Bài tập chương 11 137 12 CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG 139 12.1 Một số định nghĩa 139 12.2 Dạng tắc dạng tồn phương 139 12.3 Các dạng toàn phương tương đương 139 12.4 Dạng toàn phương xác định dương 139 12.5 Nhận dạng đường cong bậc hai mặt bậc hai 139 Bài tập chương 12 139 Tài liệu tham khảo 140 CHƯƠNG MỘT TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ Mục lục 1.1 1.2 1.3 1.4 Bài Mệnh đề Tập hợp Ánh xạ Quan hệ hai tập chương §1.1 MỆNH 10 13 ĐỀ Mệnh đề hay mệnh đề tốn học khẳng định có giá trị xác định (đúng sai vừa vừa sai) Các giá trị sai gọi chân trị mệnh đề Ví dụ 1.1 ✿ ✿ ✿ "1 ✏ 2" mệnh đề có giá trị chân trị "4 số nguyên tố" mệnh đề có giá trị chân trị sai Khẳng định "n số nguyên tố" mệnh đề toán học Tuy nhiên, thay n số tự nhiên trở thành mệnh đề tùy theo n, giá trị chân trị mệnh đề sai Ta thường ký hiệu mệnh đề chữ in hoa: P, Q, R, ; chân trị (hoặc T ), chân trị sai (hoặc F ) Để kiểm tra mệnh đề hay sai ta thường lập bảng chân trị cho mệnh đề Cho P Q hai mệnh đề Xét phép toán: phép phủ định (✥P ), phép tuyển (P theo (P ❫ Q), phép hợp (P ❴ Q), phép kéo ñ Q), phép tương đương (P Q) Giá trị phép tốn cho bảng chân trị sau: P 1 0 Q 1 ✥P 0 1 P ❫Q 0 P ❴Q 1 P ñQ 1 P ơQ 0 đ Q đọc theo nhiều cách sau: P điều kiện đủ Q Q điều kiện cần P Còn mệnh đề P Q đọc sau: P Chú ý: Mệnh đề P điều kiện cần đủ để có Q P Q P Q 1.2 Tập hợp Các tính chất sau phép tốn mệnh đề dễ dàng chứng minh lập bảng chân trị xem tập ✥♣✥P q ô P ♣P đ Qq ♣✥P ❴ Qq ✥♣P đ Qq ♣P ❫ ♣✥Qqq ♣P ❫ ♣P ñ Qqq ñ Q ♣P ñ Qq ô ♣✥Q ñ ✥P q ♣♣P ñ Qq ❫ ♣Q ñ Rqq ñ ♣P ñ Rq Vị từ khẳng định P ♣x, y, q có chứa số biến x, y, lấy giá trị tập hợp cho trước X, Y, cho thân P ♣x, y, q mệnh đề thay x, y, phần tử cố định x ✏ a X, y ✏ b Y, ta môt mệnh đề P ♣a, b, q ✿ P ♣nq = "n số nguyên tố" vị từ theo biến n N ✿ Q♣x, yq = "y 2, x ✁ y, x 2y số chẵn" vị từ với hai biến tự x, y Z Chẳng hạn, Q♣4, 2q mệnh đề Trong Q♣5, 2q, Q♣4, 7q mệnh đề sai Ví dụ 1.2 Cho hai vị từ P ♣xq, Q♣xq theo biến x X Khi đó: ✿ Phủ định P ♣xq, ký hiệu ✥P ♣xq, vị từ mà thay x phần tử a cố định X ta mệnh đề ✥P ♣aq ✿ Các phép tốn (❫, ❴, đ, ơ) vị từ P ♣xq, Q♣xq vị từ theo biến x mà thay x phần tử cố định a X ta mệnh đề tương ứng Giả sử P ♣xq vị từ theo biến x X Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Khi thay x phần tử tùy ý a X, ta mệnh đề P ♣aq Như mệnh đề "với x ký hiệu "❅x X, P ♣xq" X, P ♣xq" mệnh đề ln ln X P ♣aq mệnh đề đúng, với số giá trị b X P ♣bq mệnh đề sai Như vậy, mệnh đề "tồn x X, P ♣xq" mệnh đề ký hiệu "❉x X, P ♣xq" Trường hợp 2: Với số giá trị a ❅ ❉ gọi lượng từ với lượng từ tồn Ngồi ta dùng ký hiệu ❉! với ý nghĩa tồn Chú ý ký tự tác động Các ký hiệu lượng từ câm (nghĩa thay ký tự khác) Ví dụ: ♣❅x X, p♣xqq ô ♣❅y X, p♣yqq ♣❉x X, p♣xqq ô ♣❉y X, p♣yqq Ta dùng phép tốn phủ định câu lượng hóa ✥♣❅x X, p♣xqq ♣❉x X, ✥p♣xqq ✥♣❉x X, p♣xqq ô ♣❅x X, ✥p♣xqq Chú ý nói chung ta khơng thể thay đổi thứ tự lượng từ câu lượng hóa Ví dụ, ❅x mệnh đề sai N, ❉y N, x ↕ y mệnh đề đúng, ❉y N, ❅x N, x ↕ y 1.2 Tập hợp §1.2 TẬP HỢP Tập hợp hiểu tụ tập đối tượng tính chất chung hợp thành Ta ký hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C, X, Y, Nếu x thành phần tạo nên tập hợp X ta nói x phần tử X viết x Nếu y khơng phải phần tử X ta viết y ❘ X X Ta nói tập hợp A tập tập hợp B, ký hiệu A ⑨ B, ❅x A ñ x B Phủ định A ⑨ B viết A ❶ B Hai tập hợp A B gọi nhau, A ✏ B, A ⑨ B B ⑨ A Nghĩa phần tử A phần tử B ngược lại Để xác định tập hợp, ta liệt kê phần tử tập hợp X ✏ tx, y, z, ✉ tính chất mà phần tử có X ✏ tx ⑤ p♣xq✉ Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng ký hiệu ❍ Ta có với tập X: ❍ ⑨ X Một tập hợp có hữu hạn phần tử gọi tập hợp hữu hạn Ngược lại gọi tập hợp vô hạn Số lượng phần tử tập hợp A ký hiệu Card♣Aq hay #A Tập tất tập tập X cho trước ký hiệu B♣X q Nếu X tập hữu hạn có n phần tử tập B♣X q có 2n phần tử Giả sử X tập hợp, A, B B♣X q Ta định nghĩa phép toán tập hợp X sau: Phần bù tập A X: CX ♣Aq ✏ tx X ⑤ x ❘ A✉ Hợp hai tập hợp A B: A ❨ B ✏ tx X ⑤ x A ❴ x B ✉ Giao hai tập hợp A B: A ❳ B ✏ tx X ⑤ x A ❫ x B ✉ Hiệu hai tập hợp A B: A③B ✏ A ✁ B ✏ tx X ⑤ x A ❫ x ❘ B ✉ Hai tập hợp A B gọi rời A ❳ B ✏ ❍ Đối với phép tốn phần bù, khơng có nhầm lẫn ta ký hiệu CX ♣Aq ✏ C ♣Aq ✏ A Các phép tốn tập hợp có tính chất sau (xem tập, sinh viên tự chứng minh) CX ♣❍q ✏ X, CX ♣X q ✏ ❍, CX ♣CX ♣Aqq ✏ A A ❨ B ✏ B ❨ A, ♣A ❨ B q ❨ C ✏ A ❨ ♣B ❨ C q, A ❨ B ✏ B ô A ⑨ B A ❳ B ✏ B ❳ A, ♣A ❳ B q ❳ C ✏ A ❳ ♣B ❳ C q, A ❳ B ✏ B ô B ⑨ A CX ♣A ❨ B q ✏ CX ♣Aq ❳ CX ♣B q, CX ♣A ❳ B q ✏ CX ♣Aq ❨ CX ♣B q 1.3 Ánh xạ A ❨ ♣B ❳ C q ✏ ♣A ❨ B q ❳ ♣A ❨ C q, A ❳ ♣B ❨ C q ✏ ♣A ❳ B q ❨ ♣A ❳ C q A③B ✏ A ❳ CX ♣B q ✏ A③♣A ❳ B q, A③B ✏ ❍ ô A ⑨ B Giả sử x, y hai phần tử tương ứng hai tập hợp X, Y Ta thành lập phần tử ♣x, y q gọi cặp ♣x, y q Hai cặp ♣x, y q ♣u, v q gọi x ✏ u y ✏ v Nói chung ♣x, y q ⑧✏ ♣y, xq Do thứ tự phần tử cặp quan trọng Bây cho hai tập X Y Tập tất cặp ♣x, y q với x X y Y gọi ✂ Y Ta mở rộng khái niêm tích Decartes cho nhiều tập hợp Nếu X ✏ Y tích Decartes X ✂ Y ✏ X ✂ X tích Decartes X Y ký hiệu X ký hiệu X Cho X tập hợp, P tập B♣X q ta nói P phân hoạch X khi: ❅A P, A ⑧✏ ❍ ❅A, B P, A ⑧✏ B ñ A ❳ B ✏ ❍ ❅x X, ❉A P, x A Ví dụ 1.3 ✿ Với tập khác rỗng X , tX ✉ ttx✉, x X ✉ phân hoạch X ✿ Đối với tập X tập A X khác ❍ khác X , P ✏ tA, C ♣Aq✉ phân hoạch X §1.3 ÁNH XẠ Cho X Y hai tập hợp Một ánh xạ f từ X đến Y qui tắc cho tương ứng với phần tử x X phần tử xác định nhất, ký hiệu y Y Ta viết f: X x ÝĐ ÞÝĐ ✏ f ♣xq Y y ✏ f ♣ xq Tập hợp X gọi tập nguồn hay miền xác định tập hợp Y gọi tập đích hay miền giá trị ánh xạ f Phần tử y ✏ f ♣xq gọi ảnh x qua ánh xạ f , x gọi tạo ảnh y Tập hợp tất ánh xạ từ X đến Y ký hiệu Y X Ví dụ 1.4 Xét ánh xạ f : X ÝĐ X cho x ÞÝĐ f ♣xq ✏ x ánh xạ đồng X ký hiệu IdX ÝÑ Y g : X ÝÑ Y gọi với x X ta ln có f ♣xq ✏ g ♣xq Xét ánh xạ f : X ÝÑ Y Một tập Γ tích Descartes X ✂ Y gồm cặp ♣x, f ♣xqq với x X gọi đồ thị ánh xạ f Cho f : X ÝÑ Y, x X, A ⑨ X, B ⑨ Y Ta có: Hai ánh xạ f : X 1.3 Ánh xạ ✿ f ♣Aq ✏ ty Y ⑤ ❉x A : f ♣xq ✏ y✉ ảnh A f ✿ f ✁1 ♣B q ✏ tx X ⑤ f ♣xq B ✉ gọi tạo ảnh toàn phần B f ✿ f đơn ánh ❅x, x✶ ✿ f toàn ánh f ♣X q ✏ Y , nghĩa ❅y ✿ f song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh X, f ♣xq ✏ f ♣x✶q ñ x ✏ x✶ Y, ❉x X : f ♣xq ✏ y Định lý sau cho ta tính chất quan trọng ảnh tạo ảnh tập hợp Việc chứng minh xem tập ÝÑ Y , A ⑨ X, B ⑨ X, C ⑨ Y, D ⑨ Y Khi đó: A ⑨ B đ f ♣Aq ⑨ f ♣B q f ✁1 ♣C ❨ Dq ✏ f ✁1 ♣C q ❨ f ✁1 ♣Dq f ♣A ❨ B q ✏ f ♣Aq ❨ f ♣B q f ✁1 ♣C ❳ Dq ✏ f ✁1 ♣C q ❳ f ✁1 ♣Dq f ♣A ❳ B q ⑨ f ♣Aq ❳ f ♣B q A ⑨ f ✁1 ♣f ♣Aqq f ♣f ✁1 ♣C qq ⑨ C C ⑨ D ñ f ✁1 ♣C q ⑨ f ✁1 ♣Dq Định lí 1.1 Cho ánh xạ f : X ÝÑ Y g : Y ÝÑ Z Một ánh xạ h : X ÝÑ Z xác định cho ❅x X, h♣xq ✏ g ♣f ♣xqq gọi tích hai ánh xạ f g ký hiệu g ✆ f Nói chung tích ánh xạ khơng có tính giao hốn Ta có định lý sau Cho hai ánh xạ f : X Định lí 1.2 Tích hai ánh xạ có tính kết hợp ÝÑ Y , g : Y ÝÑ Z h : Z ÝĐ T Ta có ❅x X, ♣h ✆ ♣g ✆ f qq♣xq ✏ h♣♣g ✆ f q♣xqq ✏ h♣g ♣f ♣xqqq ✏ ♣h ✆ g q♣f ♣xqq ✏ ♣♣h ✆ g q ✆ f q♣xq Chứng minh Giả sử f : X Định lí 1.3 Tích hai đơn ánh (tồn ánh, song ánh) đơn ánh (tồn ánh, song ánh) ÝĐ Y g : Y ÝÑ Z hai ánh xạ Nếu f g đơn ánh ❅x, x✶ X ta có: ♣g ✆ f q♣xq ✏ ♣g ✆ f q♣x✶ q ô g ♣f ♣xqq ✏ g ♣f ♣x✶ qq ñ f ♣xq ✏ f ♣x✶ q đ x ✏ x✶ Do g ✆ f đơn ánh Giả sử f g tồn ánh Lấy z Z Vì g tồn ánh nên có y Y : g ♣y q ✏ z Tương f tồn ánh nên có x X : f ♣xq ✏ y Vậy có ❅z Z, ❉x X : z ✏ g ♣y q ✏ g ♣f ♣xqq ✏ ♣g ✆ f q♣xq Vậy g ✆ f tồn ánh Còn f g song ánh từ hai kết ta g ✆ f song Chứng minh Cho f : X ánh Định lí 1.4 Cho f : X ÝÑ Y g : Y ÝÑ Z hai ánh xạ Nếu g ✆ f đơn ánh f đơn ánh, g ✆ f tồn ánh g tồn ánh Chứng minh Giả sử g ✆ f đơn ánh Khi ❅x, x✶ X ta có f ♣xq ✏ f ♣x✶ q ñ g ♣f ♣xqq ✏ g ♣f ♣x✶ qq ô ♣g ✆ f q♣xq ✏ ♣g ✆ f q♣x✶q ñ x ✏ x✶ Do f đơn ánh Cho g ✆ f toàn ánh Lấy z Z , có x X : ♣g ✆ f q♣xq ✏ g ♣f ♣xqq ✏ z Nghĩa có phần tử y ✏ f ♣ xq Y : f ♣y q ✏ z Vậy g toàn ánh 1.4 Quan hệ hai ngơi 10 Cho f : X ÝĐ Y Ta nói ánh xạ g : Y f ✆ g ✏ IdY ÝÑ X ánh xạ ngược f g ✆ f ✏ IdX Định lí 1.5 Ánh xạ ngược có Chứng minh Giả sử có hai ánh xạ ngược f g h Khi g ✆ f g ✏ g ✆ IdY ✏ g ✆ ♣f ✆ hq ✏ ♣g ✆ f q ✆ h ✏ IdX ✆ h ✏ h ✏ IdX f ✆ h ✏ IdY Từ đó: Ta ký hiệu ánh xạ ngược f f ✁1 Ta có mệnh đề quan trọng sau Định lí 1.6 Ánh xạ f : X ÝĐ Y có ánh xạ ngược f song ánh Chứng minh Giả sử f có ánh xạ ngược f ✁1 Khi f ✁1 ✆ f ✏ IdX f ✆ f ✁1 ✏ IdY Lấy x x✶ tùy ý thuộc X giả sử f ♣xq ✏ f ♣x✶ q Ta có x ✏ f ✁1 ♣f ♣xqq ✏ f ✁1 ♣f ♣x✶ qq ✏ x✶ Vậy f đơn ánh Bây xét y phần tử tùy ý Y Ta có f ♣f ✁1 ♣y qq ✏ y Do có phần tử x ✏ f ✁1 ♣y q X f ♣xq ✏ y , nên f toàn ánh Vậy f song ánh Đảo lại, f song ánh qui tắc cho ứng với phần tử y Y phần tử x ✏ f ✁1 ♣y q X ánh xạ g : Y ÝÑ X Dễ thấy g ✆ f ✏ IdX f ✆ g ✏ IdY , g ánh xạ ngược f Định lí 1.7 Giả sử f : X f ✁1 ✆ g ✁1 ÝÑ Y g : Y ÝĐ Z song ánh Khi ♣g ✆ f q✁1 ✏ ✏ g ✆ IdY ✏ g ✆ ♣f ✆ f ✁1q ✏ ♣g ✆ f q ✆ f ✁1 Do IdZ ✏ g ✆ g✁1 ✏ ♣♣g ✆ f q ✆ f ✁1q ✆ g✁1 ✏ ♣g ✆ f q ✆ ♣f ✁1 ✆ g✁1 Điều chứng tỏ ♣g ✆ f q✁1 ✏ f ✁1 ✆ g✁1 Cho I ✏ tα, β, γ, ✉ tập khác rỗng X tập tùy ý Xét ánh xạ f : I ÝÑ X Với phần tử α I ta ký hiệu f ♣αq ✏ xα X Khi ta nói tập hợp X đánh số tập hợp I tập I gọi tập số Ta viết X ✏ ♣xα qαI Chứng minh Ta có g Nếu phần tử X tập hợp ta nói X họ tập hợp Khi ta định nghĩa phép tốn hợp giao họ tập hợp sau: ✿ Phép hợp: ✿ Phép giao: ➈ Xα ✏ tx ⑤ ❉α I, x Xα✉ Xα ✏ tx ⑤ ❅α I, x Xα✉ α I ➇ α I §1.4 QUAN HỆ HAI NGƠI Cho X Y hai tập hợp Ta gọi quan hệ R X Y ba ✏ ♣X, Γ, Y q với Γ tập tích Descartes X ✂ Y Hai phần tử x X y Y có quan hệ với theo quan hệ R ♣x, y q Γ ta viết xRy Trường hợp X ✏ Y ta gọi R quan hệ hai ngơi X Trong giáo trình chúng R ta xét quan hệ hai tập hợp X Quan hệ hai R tập hợp X có tính chất sau: 10.3 Trị riêng vectơ riêng ma trận 127 Hệ 10.2 Nếu λ1 , , λn trị đặc trưng ma trận A (cấp n) ⑤A⑤ ✏ λ1 λn Hệ 10.3 Ma trận A suy biến λ ✏ trị đặc trưng A Định lí 10.9 (Cayley-Hamilton) Mỗi ma trận nghiệm đa thức đặc trưng Định lý Cayley-Hamilton đóng vai trò quan trọng nhiều vấn đề lý thuyết tính tốn Ta nêu số ứng dụng định lý 10.2.1 Cho A THU GỌN ĐA THỨC Mn♣Kq f đa thức ma trận A, thu gọn đa thức đa thức có bậc không n ✁ Thật vậy, giả sử ϕ♣λq đa thức đặc trưng ma trận A, tồn đa thức p♣λq r♣λq cho f ♣λq ✏ p♣λqϕ♣λq r♣λq với deg r♣λq ↕ n ✁ Do f ♣Aq ✏ p♣Aqϕ♣Aq r♣Aq ✏ r♣Aq ✔ ✜ 1 ✕ Ví dụ 10.5 Cho f ♣xq ✏ 2x ✁ 3x x x ✁ A ✏ 1 ✢ Tính f ♣Aq 0 Đa thức đặc trưng ma trận A ϕ♣λq ✏ ♣λ ✁ 1q Chia f ♣λq cho ϕ♣λq ta số dư r♣λq ✏ 33λ2 ✁ 59λ 24 Do ✔ f ♣Aq ✏ r♣Aq ✏ 33A2 ✁ 59A 24I 10.2.2 ✏✕ ✜ ✁1 ✁1 0 41 ✢ ✁1 TÍNH MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Dùng định lý Cayley-Hamilton tìm ma trận nghịch đảo ma trận Nếu ϕ♣λq ✏ λn a1 λn✁1 ☎ ☎ ☎ an✁1 λ an ϕ♣Aq ✏ An a1 An✁1 ☎ ☎ ☎ an✁1 A an I ✏O Nếu an ✏ A suy biến an ✏ ♣✁1qn ⑤A⑤ Nếu an ⑧✏ A khả nghịch Nhân hai vế đẳng thức với A✁1 ta có cơng thức tính ma trận nghịch đảo A✁1 ✏ ✁ a1 ♣An✁1 a1An✁2 ☎ ☎ ☎ an✁1I q n ✔ ✜ Ví dụ 10.6 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A ✏ ✕ ✢ 2 Ta có S1 ✏ tr A ✏ 2, S2 ✏ tr A ✏ 26, S3 ✏ tr A ✏ 98, a1 ✁ 12 ♣a1S1 S2q ✏ ✁11, a3 ✏ ✁ 13 ♣a2S1 a1S2 S3q ✏ ✁8 Vậy ✔ A✁1 ✏ ✁ ✁18 ♣A2 ✁ 2A ✁ 11I q ✏ 81 ✕ ✁4 ✁5 2 ✏ ✁S1 ✏ ✁2, ✜ ✢ ✁2 a2 ✏ 10.3 Trị riêng vectơ riêng ma trận §10.3 TRỊ 128 RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa 10.4 Cho ma trận A Mn ♣Kq Nếu tồn vectơ X AX Kn, X ⑧✏ cho ✏ λX ♣λ Kq (10.12) λ gọi trị riêng ma trận A X gọi vectơ riêng ma trận A ứng với trị riêng λ Một số ý: ✿ Vectơ riêng phải vectơ khác không vectơ không thoả mãn (10.12) với λ ✿ Nếu X vectơ riêng cho trước ma trận A, số λ cho AX ✏ λX xác định cách nhất, có AX ✏ λ✶ X ♣λ ✁ λ✶ qX ✏ suy λ ✏ λ✶ Ngược lại, ứng với trị riêng λ có vơ số vectơ riêng Chúng với vectơ không tạo thành không gian Kn , gọi không gian riêng ma trận A ứng với trị riêng λ Thật vậy, α, β riêng A ứng với trị riêng λ A♣αX chứng tỏ αX βY K X, Y vectơ βY q ✏ αAX βAY ✏ λ♣αX βY q vectơ riêng X ứng với trị riêng λ Định lí 10.10 Trị riêng ma trận A nghiệm đa thức đặc trưng ma trận A Ngược lại, nghiệm đa thức đặc trưng ma trận A, thuộc trường K, trị riêng A Việc chứng minh dễ dàng dành cho bạn sinh viên tập Tóm lại, muốn tìm trị riêng vectơ riêng ma trận A, trước tiên ta tìm nghiệm thuộc K phương trình đặc trưng ⑤λI ✁ A⑤ ✏ Sau tìm đươc trị riêng λ0 , muốn tìm vectơ riêng tương ứng ta giải hệ phưowng trình ♣λ0I ✁ AqX ✏ Ví dụ 10.7 Trong khơng gian R3 tìm trị riêng vectơ riêng ma trận ✔ ✕ A✏ ✁3 Đa thức đặc trưng ma trận A ✞ ✞ λ 3 ✞ ✞ λ A ✞ ✞ ✁ ✏ ✁ ✁ ✁ ✁1 ✜ ✁2 ✢ ✞ ✁2 ✞✞ ✞✞ ✏ ♣λ ✁ 4q♣λ2 4q λ ✞ 10.3 Trị riêng vectơ riêng ma trận 129 ✏ trị riêng A Để tìm vectơ Nghiệm đa thức đặc trưng thuộc R λ1 riêng tương ứng với trị riêng này, ta giải hệ phương trình ✩ 3x2 ✫ x1 ✁ ♣4I ✁ AqX ✏ ô ✪ ✁x1 ✔ 3x1 ✔ ✜ α ✕ ñ X ✏ α ✢ ✏ α✕ ✁α 3x2 x2 ✜ ✁ ✏ ✏ ✏ 2x3 2x3 4x3 0 1 ✢ , ♣α R; α ⑧✏ 0q ✁1 Định lí 10.11 Giả sử λ trị riêng bội k ma trận A l số vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với trị riêng λ Thế l ↕ k Chú ý có trường hợp l ✏ k có trường hợp l ➔ k ✔ ✕ Ví dụ 10.8 Trong R tìm trị riêng vectơ riêng A ✏ 10 12 Đa thức đặc trưng ma trận A ✞ ✞ λ 12 ✞ ✞ 10 λ 19 10 ✞ ✞ 12 24 λ 13 ✁ ⑤λI ✁ A⑤ ✏ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ✁12 ✁19 ✁24 ✜ 10 ✢ 13 ✏ ♣λ ✁ 1q2♣λ 1q ✏ trị riêng bội hai λ ✏ ✁1 trị riêng đơn Ứng với trị riêng kép λ ✏ hệ phương trình ♣I ✁ AqX ✏ có hệ nghiệm ✔ ✜ ✔ ✜ ✁1 X1 ✏ ✕ ✢ , X ✏ ✕ ✢ Vậy λ Còn ứng với trị riêng λ ✏ ✁1 ta có vectơ riêng ✔ ✜ ✕ X3 ✏ ✢ ✏ bội hai, có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính Ví dụ cho thấy ứng với trị riêng λ (l ✏ k) Ví dụ 10.9 Trong R tìm trị riêng vectơ riêng A ✏ Đa thức đặc trưng ma trận A ⑤λI ✁ A⑤ ✏ ✞ ✞ λ ✞ ✞ λ ✁ ✁ ✁ ✞ ✞ ✞ ✞ ✒ ✚ ✏ ♣λ ✁ 3q2 ✏ trị riêng bội hai A Hệ phương trình xác định vectơ riêng ♣I ✁ AqX ✏ tương đương với x2 ✏ vectơ riêng ứng với trị riêng λ ✏ λ X ✏ ✒ α ✚ ✏α Ví dụ cho thấy ứng với trị riêng λ tính (l ➔ k) ✒ ✚ , ♣α R, α ⑧✏ 0q ✏ bội hai, ta có vectơ riêng độc lập tuyến 10.4 Chéo hố ma trận 130 Các vectơ riêng trị riêng phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính Đối với trị riêng khác điều khơng xảy ra, cụ thể ta có Định lí 10.12 Các vectơ riêng ma trận ứng với trị riêng khác độc lập tuyến tính Chứng minh.Giả sử X1 , X2 vectơ riêng ma trận A tương ứng với trị riêng λ1 λ2 (λ1 ⑧✏ λ2) Nghĩa ✏ λ2 X2 Nếu X1 , X2 phụ thuộc tuyến tính, có số α ⑧✏ X2 ✏ αX1 AX1 AX2 Suy X1 ✏ λ1X1 AX2 ✏ λ2X2 ✏ αλ2X1 ✏ A♣αX1q ✏ αAX1 ✏ αλ1X1 ñ ♣λ2 ✁ λ1qαX1 ✏ ✏ mâu thuẫn với việc X1 vectơ riêng A §10.4 CHÉO HOÁ MA TRẬN Cho ma trận A Mn ♣Kq xét tập ma trận đồng dạng với A tS ✁1AS : S vấn đề tìm ma trận S cho C Mn♣Kq, ⑤S ⑧✏ 0⑤✉ ✏ S ✁1AS có dạng đơn giản nhất, chẳng hạn C ma trận chéo, ma trận tam giác, v.v , mà ta gọi dạng tắc ma trận A Từ C ✏ S ✁1AS ta có A ✏ SCS ✁1, việc biểu diễn A dạng cho phép ta có nhiều thuận lợi tính tốn liên quan đến ma trận A Trong phần ta quan tâm đến trường hợp ma trận C có dạng chéo Định nghĩa 10.5 Cho A Mn ♣Kq (i) Nếu tồn ma trận không suy biến S Mn♣Kq cho S ✁1AS ✏ D với D ma trận chéo, A gọi đưa dạng chéo D nhờ ma trận S, D gọi dạng chéo A (ii) Nếu tồn ma trận trực giao S Mn♣Kq cho S ✁1AS ✏ D ma trận chéo, A gọi đồng dạng trực giao với ma trận chéo D Lúc ta nói: A đưa dạng chéo D nhờ ma trận trực giao S Bây ta nêu số điều kiện để chéo hoá ma trận cho trước ✏ diag♣α1, α2, , αnq D2 ✏ diag♣β1, β2, , βnq đồng dạng với số ♣β1 , β2 , , βn q cách xếp số ♣α1, α2, , αnq Định lí 10.13 Các ma trận chéo D1 10.4 Chéo hoá ma trận 131 Việc chứng minh đơn giản chúng có đa thức đặc trưng Định lí 10.14 Nếu X1 , X2 , , Xn vectơ riêng độc lập tuyến tính ma trận A S ma trận có cột X1 , X2 , , Xn S ✁1 AS ma trận chéo Chứng minh.Gọi λj trị riêng A ứng với vectơ riêng Xj , tức AXj ✏ λj Xj , j ✏ 1, 2, , n Vì S có cột độc lập tuyến tính nên khơng suy biến Ta có: ♣S ✁1AS q ✏ ij ✏ n ➳ ✏ k n ➳ ✏ ♣S ✁1qik ♣AS qkj ✏ ✏ ♣S ✁1qik AXj k n ➳ ♣S ✁1qik λj Xj ✏ λj k nghĩa S ✁1 AS n ➳ ✏ ♣S ✁1qik Skj ✏ λj ♣S ✁1S qij ✏ λj δij k ✏ diag♣λ1, λ2, , λnq Định lý cho ta phương pháp xây dựng ma trận chéo đồng dạng với ma trận cho trước (trong trường hợp chéo hố được) Còn định lý sau trả lời câu hỏi: Khi ma trận vuông đồng dạng với ma trận chéo? Định lí 10.15 Ma trận vng cấp n đồng dạng với ma trận chéo có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Chứng minh.Cho A Mn♣Kq Theo định lý (10.14), A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính , A đồng dạng với ma trận chéo Ngược lại, giả thiết A đồng dạng với ma trận chéo, tức S ✁1 AS ✏ D ✏ diag♣λ1, , λnq ñ AS ✏ SD Gọi Xj cột thứ j ma trận S , ta có AXj chứng tỏ ✏ ♣AS qj ✏ ♣SDqj ✏ λj ♣S qj ✏ λj Xj Xj vectơ riêng A ứng với trị riêng λj S không suy biến, nên vectơ riêng độc lập tuyến tính Hệ 10.4 Ma trận A Mn ♣Kq có n trị riêng phân biệt đưa dạng chéo Định lí 10.16 Một ma trận đồng dạng với ma trận chéo số vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với trị riêng số bội trị riêng Việc chứng minh đơn giản cách áp dụng định lý (10.11) (10.14) Ví dụ 10.10 (1) Ma trận A ✏ ✏ ✒ 3 ✚ (xem ví dụ (10.9)) khơng đưa dạng chéo, ứng với tị riêng λ ✔ (bội hai) ta ✜ có vectơ riêng độc lập tuyến tính (2) Ma trận A riêng λ ✏ ✕ 10 12 ✁12 ✁19 ✁24 10 ✢ (xem ví dụ (10.8)) đưa dạng chéo, ứng với trị 13 ✏ (bội hai) ta có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính ✔ ✜ ✔ ✜ ✁1 X1 ✏ ✕ ✢ , X ✏ ✕ ✢ 10.4 Chéo hoá ma trận ứng với trị riêng λ 132 ✏ ✁1 (nghiệm đơn) ta có vectơ riêng ✔ ✜ ✕ X3 ✏ ✢ ✔ ✕ Gọi S ✏ ✜ ✁1 ✢ S ✁1 S ✁1 AS ✔ ✕ ✏ ✁1 ✁9 ✁12 ✜ ✢ theo định lý (10.14) ✁1 hay A ✏ S diag♣1, 1, ✁1qS ✁1 ✏ diag♣1, 1, ✁1q Sau ta xét trường hợp đặc biệt ma trận A đối xứng thực Định lí 10.17 Cho ma trận đối xứng A Mn♣Rq Nếu λ trị đặc trưng A λ thực Chứng minh.Giả sử λ C trị đặc trưng A: ⑤λI ✁ A⑤ ✏ Do tồn vectơ X ⑧✏ 0, X Cn cho: AX Nhân bên trái (10.13) cho X T ✏ λX (10.13) ✏ λX T X (10.14) ta có T X AX Từ (10.13) lấy liên hợp hai vế lấy chuyển vị, ta AX T Do A thực đối xứng: A T ✏ λX T ñ X T AT ✏ λ ☎ X T ✏ A nên X T A ✏ λ ☎ X T Giờ nhân bên phải với X ta có T X AX So sánh (10.14) (10.15) ta rút ✏ λ ☎ XT X (10.15) ♣λ ✁ λqX T X ✏ Do X T X → 0, nên λ ✏ λ, nghĩa λ số thực Định lí 10.18 Hai vectơ riêng ứng với hai trị riêng phân biệt ma trận thực, đối xứng trực giao Chứng minh.Giả sử λ µ hai trị riêng phân biệt ma trận thực, đối xứng A X , Y hai vectơ riêng tương ứng, nghĩa AX λX T ☎ Y nghĩa ✏ λX, AY ✏ µY Ta có ✏ ♣λX qT ☎ Y ✏ ♣AX qT ☎ Y ✏ X T ☎ AT ☎ Y ✏ X T ☎ ♣AY q ✏ X T ☎ µY ✏ µX T ☎ Y ♣λ ✁ µq♣X T ☎ Y q ✏ Do λ ⑧✏ µ nên X T ☎ Y ✏ chứng tỏ X trực giao với Y Từ kết ta đến kết luận quan trọng sau 10.4 Chéo hố ma trận 133 Định lí 10.19 Mọi ma trận đối xứng A Mn ♣Rq đồng dạng trực giao với ma trận chéo Bây ta phương pháp tìm ma trận trực giao S cho S ✁1 AS ma trận chéo Giả sử λ1 , , λk trị riêng phân biệt ma trận thực, đối xứng A Mn ♣Rq với số bội tương ứng m1 , , mk , m1 ☎ ☎ ☎ mk ✏ n Vì A đồng dạng với ma trận chéo nên theo định lý (10.16), số vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với trị riêng λi mi , hay nói cách khác, không gian riêng ứng với trị riêng λi có số chiều mi Gọi Bi ✏ tXi1, , Xim ✉ sở trực chuẩn khơng gian Khi tập i tX11, , X1m , X21, , X2m , Xk1, , Xkm ✉ k sở trực chuẩn Rn ma trận S có cột X11 , , X1m1 , X21 , , X2m2 , Xk1 , , Xkmk ma trận trực giao, theo định lý (10.14), S ✁1 AS ma trận chéo ✔ ✕ Ví dụ 10.11 Đưa ma trận đối xứng A ✏ ✁4 ✁4 ✜ ✢ ma trận chéo phép biến đổi trực giao Đa thức đặc trưng ma trận A ✞ ✞ λ ✞ ✞ λ λI A ✞ ✞ ⑤ ✁ ⑤✏ trị riêng A 3, ✁ ✁ ✁4 ✁4 λ ✁ ✁3, Lần lượt thay λ ✏ ♣λI ✁ AqX ✏ ta tìm ✔ ✜ 2④3 X1 ✏ ✕ 2④3 ✢ , X2 ✁1④3 ✔ ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ✏ ♣λ ✁ 3q♣λ 3q♣λ ✁ 9q 3, λ ✜ ✏ ✁3, λ ✏ 2④3 ✏ ✕ ✁1④3 ✢ , X3 2④3 ✔ ✜ 1④3 ✏ ✕ ✁2④3 ✢ ✁2④3 ✁3, Do ✜ 2④3 2④3 1④3 S ✏ ✕ 2④3 ✁1④3 ✁2④3 ✢ ✁1④3 2④3 ✁2④3 vectơ riêng đơn vị A ứng với trị riêng 3, ✔ ma trận trực giao chuyển A dạng chéo, nghĩa S ✁1 AS vào hệ phương trình ✏ S T AS ✏ diag♣3, ✁3, 9q Bài tập chương 10 134 BÀI TẬP Câu Tìm đa thức đặc trưng trị đặc trưng ma trận sau: ✔ ✜ ✔ (a) A ✏ ✕ ✁2 ✢ (b) A ✏ ✕ ✁1 ✜ ✔ ✔ 1 ✁3 ✢ (e) A ✏ ✕ (d) A ✏ ✕ ✁3 ✁2 ✁2 ✜ ✔ 2 ✢ ✜ 11 ✁4 ✁3 ✢ (c) A ✏ ✕ ✁2 ✜ ✢ ✁1 Câu Tìm đa thức đặc trưng ma trận sau Trong trường hợp ma trận đồng dạng với ma trận chéo, tìm ma trận đưa ma trận dạng chéo ✔ ✜ ✁2 ✕ A ✏ ✁6 ✁9 ✔ ✁1 ✁2 ✢ (a) ✁2✜ ✕ (d) A ✏ ✁2 ✢ ✔ (b) A ✏ ✕ ✁1 ✁1 ✔ ✕ (e) A ✏ ✁2 Câu Cho ma trận ✔ C ✏ ✖ ✖ ✖ ✖ ✕ 0 ✜ ✔ ✜ 0 ✁4 ✢ ✕ ✁2 ✁4 ✢ (c) A ✏ ✁3 ✜ ✁1 ✁1 ✜ ✔ 10 2 ✁4 ✁4 ✢ (f) A ✏ ✕ ✢ 2 0 c1 c2 c3 cn ✜ ✣ ✣ ✣ ✣ ✢ Chứng tỏ đa thức đặc trưng C ϕ♣λq ✏ λn ✁ cn λn✁1 ✁ ☎ ☎ ☎ ✁ c1 ✔ ✕ Câu Tính A ✁ 25A 112A biết A ✏ ✁1 ✜ ✢ ✁1 ✁1 Câu Biểu ✒ diễn ♣2A ✚ ✁ 12A 19A ✁ 29A 37I q thành đa thức bậc ✁1 A biết A ✏ Câu Các trị đặc trưng ma trận A M3 ♣Rq 1, ✁1, Biểu diễn A6 thành đa thức bậc hai A ✔ ✜ 0 ✕ Câu Cho A ✏ 1 ✢ Chứng tỏ với số nguyên n ➙ ta có: An ✏ An✁2 A2 ✁ I Từ tính A100 Câu Các ma trận sau đây, ma trận đồng dạng với ma trận chéo, sao? Bài tập chương 10 ✔ (a) A ✏ ✕ ✔ ✖ (d) A ✏ ✖ ✕ 0 0 0 135 ✜ 0 ✢ ✜ 0 ✁4 ✣ ✣ ✢ 1 ✔ 0 ✕ (b) A ✏ 0 Câu Đưa dạng chéo ma trận: ✔ ✕ (a) A ✏ ✁1 ✜ ✔ ✢ (b) A ✏ ✕ ✁1 ✜ ✔ ✁1 ✁3 ✢ ✁3 2 ❄2 ❄ ✁ 2 0 ✕ (c) A ✏ 0 ❄ ✜ ✁❄2 ✢ 2 ✔ Câu 10 Trong C4 tìm vectơ riêng ma trận A ✏ ✖ ✖ ✕ 0 0 ✜ ✁1 ✕ (c) A ✏ ✁1 ✔ ✜ ✁9 ✢ ✁1 ✢ ✜ ✁1 0 ✣ ✣ Đưa A 0 ✢ dạng chéo Mn♣Kq f ♣xq đa thức khác số Chứng minh A đưa dạng chéo phương trình f ♣X q ✏ A có nghiệm Mn ♣Kq Áp Câu 11 Cho A dụng giải phương trình ✔ X2 ✏ ✕ ✁6 ✁7 ✜ ✢ ✁6 Câu 12 Cho đa thức f có n nghiệm phân biệt Trình bày cách tìm ma trận X cấp n cho f ♣X q ✏ Áp dụng giải phương trình sau: (a) X ✏X (b) X 4X 3I ✏ Câu 13 Hãy giải thích ma trận sau có đồng dạng với hay không? ✔ ✕ (a) A ✏ ✔ 6 (b) A ✏ ✕ ✔ ✕ (c) A ✏ ✜ ✔ ✜ ✁5 20 ✁34 ✢ ✕ ✁10 B ✏ 32 ✁51 ✢ ✁3 20 ✁32 ✜ ✔ ✜ ✁15 37 ✁20 ✁4 ✁5 ✢ B ✏ ✕ 34 ✁17 ✁4 ✢ ✁2 119 ✁70 ✁11 ✜ ✔ ✜ ✔ ✁15 ✁3 ✁13 ✁70 ✢ ✕ ✢ ✕ ✁5 , B ✏ ✁2 ✁6 13 C ✏ ✁4 ✁19 ✁4 ✁1 ✁4 ✁4 ✁20 ✜ 119 34 ✢ 35 CHƯƠNG MƯỜI MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Mục lục 11.1Định nghĩa tính chất 136 11.2Ma trận ánh xạ tuyến tính 137 Bài tập chương 11 137 §11.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Định nghĩa 11.1 Cho U V hai không gian vectơ trường K Ánh xạ A : U ÑV gọi ánh xạ tuyến tính nếu: (i) A♣x y q ✏ Ax Ay, ❅x, y U (ii) A♣αxq ✏ αAx, ❅α K, ❅x U Ở ta ký hiệu Ax ảnh vectơ x qua ánh xạ A Dễ thấy hai điều kiện ♣iq ♣iiq tương đương với điều kiện: A♣αx βy q ✏ αAx βAy, ❅α, β K, ❅x, y U Nếu V trùng với U , A gọi ánh xạ tuyến tính biến U vào nó, A phép biến đổi tuyến tính khơng gian vectơ U , A tự đồng cấu U Ví dụ 11.1 Ánh xạ O : U ÑV biến vectơ U thành vectơ không V ánh xạ tuyến tính gọi ánh xạ khơng Ánh xạ I : U Ñ U xác định x ÞĐ x (biến vectơ thành nó) ánh xạ tuyến tính gọi ánh xạ đồng U Trong không gian Pn đa thức có bậc ↕ n, ánh xạ D : Pn Ñ Pn xác định Dp♣tq ✏ p✶ ♣tq với p✶ ♣tq đạo hàm p♣tq, ánh xạ tuyến tính Định lí 11.1 Qua ánh xạ tuyến tính A : U ĐV thì: (i) Vectơ U biến thành V , nghĩa A0 ✏ 11.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 137 (ii) Một tập phụ thuộc tuyến tính U biến thành tập phụ thuộc tuyến tính V (iii) Nếu W khơng gian U AW khơng gian V tập sinh W biến thành tập sinh AW Từ định lý ta thấy AU không gian V , gọi ảnh A dim AU gọi hạng ánh xạ A, ký hiệu R♣Aq Ta chứng minh đươc tập vectơ x U biến thành vectơ V không gian U , gọi nhân A số chiều gọi số khuyết A, ký hiệu d♣Aq Chú ý tập độc lập tuyến tính U biến thành tập khơng độc lập tuyến tính V Định lý sau cho ta biết tập độc lập tuyến tính U biến thành tập độc lập tuyến tính V Định lí 11.2 Cho ánh xạ tuyến tính A : U Ñ V Các mệnh đề sau tương đương: (a) A đơn ánh (b) Nhân A t0✉ (hay d♣Aq ✏ 0) (c) Ảnh tập độc lập tuyến tính U tập độc lập tuyến tính V (d) Hạng hệ vectơ bất biến A (e) Với khơng gian W U dim AW ✏ dim W (f ) R♣Aq ✏ dim U §11.2 MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH BÀI TẬP Câu Trong ánh xạ sau đây, ánh xạ tuyến tính R3 : ✔ (a) A ✕ ✔ (c) A ✕ ✔ (e) A ✕ Câu x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ✜ ✔ ✢ ✏✕ ✜ ✔ ✢ ✏✕ ✜ ✔ ✢ ✏✕ ✜ x1 x2 ✢ ✜ x1 ✁x2 ✢ x3 ✜ x1 x2 ✢ 0 ✔ (b) A ✕ ✔ (d) A ✕ ✔ (f ) A ✕ x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ✜ ✔ ✢ ✏✕ ✜ ✔ ✢ ✏✕ ✜ ✔ ✢ ✏✕ ✜ x2 x1 ✢ x3 ✜ x1 ✁ x2 ✢ x2 ✜x3 ax1 bx2 ✢ cx3 (a) Xem C không gian vectơ R Ánh xạ T : C T ♣z q ✏ z có phải tuyến tính khơng? Đ C xác định Bài tập chương 11 138 (b) Xem C không gian vectơ C Ánh xạ T : C phải tuyến tính khơng? Đ C xác định T ♣zq ✏ z có ✔ ✜ ✒ ✚ x1 x1 ✕ ✢ Câu Cho T : R Ñ R ánh xạ tuyến tính xác định bởi: A x2 ✏ x2 x3 x3 (a) Giả thiết te1 , e2 , e3 ✉ tf1 , f2 ✉ cở tắc tương ứng R3 R2 Tìm ma trận T sở (b) ✧ Tìm f1 ✏ ma ✚ trận ✒của✚✯ T ✒ , f2 Câu Cho A : R2 ✏ 1 sở tắc R3 sở Đ R2 ánh xạ tuyến tính có tính chất: A (a) Tính A R2 ✒ ✒ 1 ✚ ✏ ✒ ✚ ✒ , A ✚ ✏ ✒ ✚ ✚ (b) Tìm ma trận A cở sở tắc R2 Câu Phép✜ biến đổi tuyến tính A sở te1 , e2 , e3 ✉ có ma trận A ✔ 15 ✁11 ✕ 20 ✁15 ✢ Tìm ma trận A sở tf1 ✏ 2e1 3e2 e3 , f2 ✏ 3e1 4e2 e3 , f3 ✁7 e1 2e2 2e3 ✉ ✏ Câu Phép biến đổi tuyến ✔ tính A cơ✜sở te1 ✏ ♣8, ✁6, 7qT , e2 ✏ ♣✁16, 7, ✁13qT , e3 ✁18 15 T ✕ ♣9, ✁3, 7q ✉ có ma trận A ✏ ✁1 ✁22 20 ✢ Tìm ma trận A sở tf1 ✁25 22 T T ♣1, ✁2, 1q , f2 ✏ ♣3, ✁1, 2q , f3 ✏ ♣2, 1, 2qT ✉ ✏ ✏ ✏ CHƯƠNG MƯỜI HAI CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG Mục lục 12.1Một số định nghĩa 12.2Dạng tắc dạng toàn phương 12.3Các dạng toàn phương tương đương 12.4Dạng toàn phương xác định dương 12.5Nhận dạng đường cong bậc hai mặt bậc hai Bài tập chương 12 Tài liệu tham khảo §12.1 MỘT §12.2 DẠNG 139 139 139 139 139 139 140 SỐ ĐỊNH NGHĨA DẠNG TỒN PHƯƠNG TƯƠNG ĐƯƠNG §12.4 DẠNG TỒN PHƯƠNG XÁC ĐỊNH DƯƠNG DẠNG ĐƯỜNG CONG BẬC HAI VÀ MẶT BẬC HAI BÀI Câu CHÍNH TẮC CỦA MỘT DẠNG TỒN PHƯƠNG §12.3 CÁC §12.5 NHẬN TẬP Tài liệu tham khảo [1] Jean-Marie Monier, Giáo trình Tốn - Tập 1: Giải Tích 1, NXB Giáo Dục, Hà Nội - 1999 [2] Jean-Marie Monier, Giáo trình Tốn - Tập 2: Giải Tích 2, NXB Giáo Dục, Hà Nội - 1999 [3] Jean-Marie Monier, Giáo trình Tốn - Tập 5: Đại số 1, NXB Giáo Dục, Hà Nội 1999 [4] Jean-Marie Monier, Exercices corrigés de mathématiques - Algèbre & Géométrie, Dunod, Paris - 1996 [5] Jean-Marie Monier, Exercices corrigés de mathématiques - Analyse, Dunod, Paris - 1996 [6] Trần Văn Hãn, Đại số Tuyến tính Kỹ thuật NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội - 1989 [7] G M Fihtengol c, Kurs Differencial nogo i Integral nogo Isqisleni , Tom 1,2,3 Moskva - 1969 [8] B P Demidoviq, Sbornik Zadaq i Upra nenii po Matematiqeskomu Analizu, Izdatel stvo «Nauka», Moskba - 1969 TÀI LIỆU THAM KHẢO 141 ... kiểm tra i2 ✏ ✁1 số i g i đơn vị ảo Ta có ❅z ✏ ♣x, yq C, z ✏ ♣x, 0q ♣y, 0q♣0, 1q ✏ x yi Dạng viết z ✏ x yi g i dạng Ký hiệu i đ i số số phức z Khi x g i phần thực z ký hiệu Re z, y g i. .. ánh xạ f : I ÝÑ X V i phần tử α I ta ký hiệu f ♣αq ✏ xα X Khi ta n i tập hợp X đánh số tập hợp I tập I g i tập số Ta viết X ✏ ♣xα qα I Chứng minh Ta có g Nếu phần tử X tập hợp ta n i X họ tập... Euler ❅ϕ R, eiϕ ✏ cos ϕ i sin ϕ Công thức Moivre ❅n Z, ❅ϕ R, ♣cos ϕ i sin ϕqn ✏ cos nϕ i sin nϕ ✏ r♣cos ϕ i sin ϕq ⑧✏ n N✝ Ta tìm số phức w cho ❄ w ✏ z ✏ ρ♣cos θ i sin θq Ta được: