Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chun đề : Quan hệ vng góc Tài liệu giảng (Khóa Tốn 11) GĨC GIỮAHAI MẶT PHẲNG (P2) Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95 VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Phương pháp giải: Để xác định góchai mặt phẳng (P) (Q) ta thực sau: +) Xác định giao tuyến ∆ = ( P ) ∩ (Q ) +) Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥ ∆, (Đây bước quan trọng nhé!) a = ( R) ∩ ( P) ⇒ ( ( P );(Q ) ) = ( a; b ) +) Xác định đoạn giao tuyến thành phần: b = ( R ) ∩ (Q ) Ví dụ [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a; AD = 3ª SA vng góc với đáy (ABCD) góc mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600 Tính góc a) (SAC) (SCD) b) (SAB) (SBC) c) (SBC) (SCD) Lời giải: a) Kẻ DH ⊥ SC ; DE ⊥ AC ⇒ sin EHD b) Kẻ AM ⊥ SB; MN / / BC ⇒ AMN = 900 c) Kẻ DH ⊥ SC ; DE ⊥ AC ; F = DE ∩ BC ⇒ DHF 1 DH : DH = SD + DC Để tính DHF ⇒ DF BC HF : cos C = ⇒ HF = CH + CF − 2CH CF cos C SC Ví dụ [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B với AB = BC = 2a; AD = 3a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABCD điểm H thuộc cạnh AB với AH = HB Biết góc mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600 Tính góc a) SD (ABCD) b) (SAB) (SAC) Ví dụ [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 1200 Gọi H trung điểm OA Biết mặt phẳng (SHC) (SHD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) góc mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600 Tính góc a) (SBC) (ABCD) b) (SAC) (SCD) Ví dụ [ĐVH]: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA = SB = SC Gọi I, J trung điểm AB, BC Tính góc mặt phẳng (SAJ) (SCI) Lời giải: MOON.VN – Học để khẳng định www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : Quan hệ vuông góc Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = AC ⇒ ΔABC tam giác Trong ΔABC, gọi H giao điểm SJ CI, H trọng tâm, đồng thời trực tâm ΔABC Ta có, (SAJ) ∩ (SCI) = SH Để xác định góchai mặt phẳng (SAJ) (SCI) ta tìm mặt phẳng mà vng góc với SH Do ΔABC nên AH ⊥ BC, (1) Lại có, SA, SB, SC đơi vng góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒ SA ⊥ BC, (2) Từ (1) (2) ta BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH, (*) Tương tự, ta có AB ⊥ CH AB ⊥ CH ⇒ ⇒ AB ⊥ ( SCH ) SC ⊥ ( SAB) ⊃ AB AB ⊥ CH Hay AB ⊥ SH, (**) Từ (*) (**) ta SH ⊥ (ABC) Mà ( ABC ) ∩ ( SAJ ) = AJ ⇒ ( ( SAJ ), ( SCI ) ) = ( AJ , CI ) ( ABC ) ∩ ( SCI ) = CI Do ΔABC nên CHJ = 900 − HCJ = 900 − 300 = 600 Vậy ( ( SAJ ), ( SCI ) ) = ( AJ , CI ) = CHJ = 600 Ví dụ [ĐVH]: Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a a) Tính góc cạnh bên mặt đáy b) Tính góc tạo mặt bên mặt đáy Lời giải: Giả sử hình chóp tam giác SABC Do đặc tính hình chóp tam giác tất cạnh bên nhau, tất cạnh đáy Từ SA = SB = SC = 2a ABC tam giác cạnh 3a Gọi H hình chiếu vng góc S xuống (ABC) Theo tính chất đường xiên hình chiếu, SA = SB = SC nên HA = HB = HC ⇒ H trọng tâm ΔABC a) S.ABC chóp tam giác nên cạnh bên nghiêng với đáy, ta cần tính góc SA (ABC) A ∈ (ABC) nên hình chiếu A xuống (ABC) Do SH ⊥ (ABC) nên H hình chiếu S xuống (ABC) Khi đó, HA hình chiếu SA lên (ABC) Suy ra, ( SA, ( ABC ) ) = ( SA, HA ) = SAH = α Gọi I trung điểm BC, AI trung tuyến ΔABC cạnh 3a nên 3a AI = ⇒ AH = AI = a 3 AH a 3 Từ ta cosα = = = ⇒ α = 300 SA 2a Vậy ( SA, ( ABC ) ) = 300 MOON.VN – Học để khẳng định www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TỐN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : Quan hệ vng góc b) Tương tự, mặt bên nghiêng với đáy nên ta tìm góc (SBC) (ABCD) Ta có (SBC) ∩ (ABCD) = BC BC ⊥ SH Mà ⇒ BC ⊥ ( SAH ) BC ⊥ AH ( SAH ) ∩ ( ABC ) = AI Lại có ⇒ ( ( SBC ), ( ABC ) ) = ( SI , AI ) = β ( SAH ) ∩ ( SBC ) = SI 2 SH = SA − AH = 4a − a = a Theo câu a, HI = AI = a 2 3 SH a Khi đó, tan β = = = ⇒ β = arctan IH a 3 2 3 Vậy góc mặt bên đáy hình chóp β = arctan ( ) Ví dụ [ĐVH]: Cho hình vng ABCD cạnh a, dựng SA = a vng góc với (ABCD) Tính góc mặt phẳng sau: a) (SAB) (ABC) b) (SBD) (ABD) c) (SAB) (SCD) Lời giải: a) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD hình vng ABCD ta có AO = Khi đó, (SAB) ∩ (ABC) = AB AB ⊥ SA Ta có ⇒ AB ⊥ ( SAD) Mặt khác, AB ⊥ AD ( SAD) ∩ ( SAB) = SA ⇒ ( ( SAB), ( ABC ) ) = ( SA, AD ) = SAD = 900 ( SAD ) ∩ ( ABC ) = AD b) (SBD) ∩ (ABD) = BD AB ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) Mặt khác, Ta có AB ⊥ SA MOON.VN – Học để khẳng định a AC = 2 www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : Quan hệ vng góc ( SAC ) ∩ ( SBD) = SO ⇒ ( ( SBD), ( ABD) ) = ( SO, AO ) = SOA ( SAC ) ∩ ( ABD) = AO SA a Xét tam giác vng SOA ta có: tan SOA = = = ⇒ ( ( SBD), ( ABD) ) = arctan AO a 2 c) (SAB) ∩ (SCD) = Sx // AB // CD Mà AB ⊥ (SAD) ⇒ Sx ⊥ (SAD) ( SAD) ∩ ( SAB) = SA ⇒ ( ( SAB), ( SCD) ) = ( SA, SD ) = ASD Do ( SAD) ∩ ( SCD) = SD AD a = = ⇒ ASD = 300 ⇒ ( ( SAB), ( SCD) ) = 300 Xét tam giác vuông SAD: tan ASD = SA a 3 Ví dụ [ĐVH]: Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O SA vng góc với (ABCD) Tính SA theo a để góc (SBC) (SCD) 600 Lời giải: S A D M O B C Gọi M hình chiếu vng góc D lên SC Ta dễ dàng chứng minh DMB = 120o ∆DMB cân M Lại có: cos DMB = DM − BD 2 DM ∆SCD ⊥ ( D ) , DM ⊥ SC ⇒ DM 2a 2 = − ⇒ DM = = SD + DC ⇒ SD = a ∆ASD ⊥ ( A) ⇒ SA = a Ví dụ [ĐVH]: Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O OB = SO = a , dựng SO ⊥ (ABCD) a Chứng minh rằng: a) ASC = 900 b) (SAB) ⊥ (SAD) Lời giải: MOON.VN – Học để khẳng định www.facebook.com/Lyhung95 Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : Quan hệ vng góc S I A D O B a) Ta có: OA = AB − OB = ⇒ SA2 + SC = C a 2a 2a ⇒ OC = ; SA = SC = SO + OA2 = 3 8a = OC ⇒ ∆ASC ⊥ ( S ) ⇒ ASC = 90o b) SD = SO + OD = a ⇒ ∆SAD cân D Tương tự ta có tam giác SAB cân B Lấy I ∈ SA | IA = IS ⇒ DI ⊥ SA; BI ⊥ SA ⇒ BID = ( ( SAB ) ; ( SAD ) ) Theo cơng thức đường trung tuyến ∆BID ta có DI = BI = 2 ( ) SD + DA2 − SA2 6a = Theo định lí cosin ∆BID ta có cos BID = DI + BI − BD = ⇒ BID = 90o ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SAD ) 2.DI BI Chương trình lớp 11 Moon.vn : http://www.moon.vn/KhoaHoc/Lop11 MOON.VN – Học để khẳng định www.facebook.com/Lyhung95 ... giao điểm SJ CI, H trọng tâm, đồng thời trực tâm ΔABC Ta có, (SAJ) ∩ (SCI) = SH Để xác định góc hai mặt phẳng (SAJ) (SCI) ta tìm mặt phẳng mà vng góc với SH Do ΔABC nên AH ⊥ BC, (1) Lại có, SA,... Tính góc mặt phẳng sau: a) (SAB) (ABC) b) (SBD) (ABD) c) (SAB) (SCD) Lời giải: a) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD hình vng ABCD ta có AO = Khi đó, (SAB) ∩ (ABC) = AB AB ⊥ SA Ta có ⇒ AB