HỆ THỨC về CẠNH và ĐƯỜNG CAO

HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A./ Kiến thức Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH cho ta có : AH  h, BC  a, AB  c, AC  b, BH  c ' , CH  b ' : 1) b  a.b ' ; c  a.c ' 2) h  b ' c ' 3) b.c  a.h A b 1 4)   h b c 5) a  b  c ( Pitago) c B h c' b' H C a B./ Bài tập áp dụng Bài : Tìm x, y hình vẽ sau a) + ta có : BC  AB  AC ( Pitago) A  BC  42  62  52  7, 21 + Áp dụng định lý : AB  BC BH  42  52.x  x  2, 22 x B AC  BC CH  62  52 y  y  4,99 y C H Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99 - Xét tam giác ABC vuông A áp dụng định lý ta có : b) A AC  BC.CH  122  18 y  y   x  BC  y  18   10 12 x B y C H 18 c) * Cách : AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = Theo Pitago cho tam giác vng AHB; AHC ta có: A y x B x  BH  AH  42  62  52 H C y  CH  AH  62  92  117 * Cách 2: Áp dụng định lý ta có: AB  BC.BH  ( BH  CH ).BH  (4  9).4  52  AB  52  x  52 AC  BC.CH  ( BH  CH ).CH  (4  9).9  117  AC  117  y  117 d) Áp dụng định lý 2, ta có: AH  BH CH  x  3.7  21  x  21 Áp dụng định lý ta có : AC  BC CH  ( BH  CH ).CH A  y  (3  7).7  70  y  70 y x B ( y  x  CH  21  49  70) C H e) Theo Pitago, ta có : BC  AB  AC  y  132  17  458 A Áp dụng định lý 3, ta có : 13 AB AC  BC AH 17 x  13.17  458.x  x  B 221  10,33 458 C H y g) Áp dụng định lý 2, ta có : 52 AH  BH CH   4.x  x   6, 25 A Theo Pitago cho tam giác AHC vng H, ta có : y B y x C H AH  CH  52  6, 252  ( DL1: y  BC x  (4  6, 25).6, 25  y  8) Bài : Cho tam giác ABC vng A, có cạnh góc vuông AB = 15cm, AC = 20cm Từ C kẻ đường vng góc với cạnh huyền, đường cắt đường thẳng AB D Tính AD CD LG   900 , CA  BD Theo định lý 3, ta D BCD, C có : CA2  AB AD  202  15 AD  AD  x Theo Pitago tgiác ACD vuông A, y A 15 B 80 20 80 100 ta có : CD  AD  CA2     202    C Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vng góc với đường chéo AC, đường thẳng cắt AC E AB F Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD LG Xét tam giác ADC vuông D, ta có: AC  AD2  CD2  322  602  68 Theo định lý 1: AD  AC AE  AE  AD 322 256   AC 68 17 F A 60 Theo định lý 1, ta có: B CD  AC.CE  CE  E 32 CD 602 900   AC 68 17 Theo định lý 2, ta có: DE  C D AE.EC   480 17 AD 544   DE 15 256 256 644 Theo Pitago: AF  DF  AD    FB  AB  AF  60   15 15 15 Xét tam giác DAF, theo định lý 1: AD  DF DE  DF  Bài 4: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm nằm A, B Tia DE tia CB cắt F Kẻ đường thẳng qua D vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng BC G Chứng minh rằng: a) Tam giác DEG cân b) Tổng 1 không đổi E chuyển động AB  DE DF LG D  (cùng phụ với D ) a) Ta có: D xét ADE CDG ta có : F A D E   D1  D3  cmt    ADE  CDG  g c.g   A  C  900   DE  DG  DEG cân D 1 b) DE = DG   DE DG 1 1 ta có :    2 DE DF DG DF AD  DC ( gt ) B C xét tam giác DGF vng D, ta có : 1 (định lý 4)   2 CD DG DF Vì khơng đổi E chuyển động AB, CD 1 1 suy tổng không đổi    2 DE DF DG DF G E thay đổi AB 1) Cho hình vẽ sau hình vẽ cho cạnh Hãy tính cạnh lại x 12 h y a (hình 1) c b h a (hình 2) c b x a (hình 3) c h x 15 y x b c y x a (hình 5) 17 (hình 4) b y 10 (hình 6) TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A Kiến thức Định nghĩa : Cho ABC   (00    900 ) ta định nghĩa tỉ số cạnh AB, BC, CA tam giác ABC vuông A sau : AC ; BC AC tg  ; AB sin   AB BC AB cot g  AC C cos    Huyền Đối  A B Kề * Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy : dương + tỉ số lượng giác góc nhọn ln + < sin, cos < + cot g  ; tg cot g  tg Tỉ số lượng giác góc phụ - Định lý : góc phụ sin góc cosin góc kia, tg góc cotg sin   cos  ; tg  cot g  ; cos   sin  góc Tức :     900 ta có :  Bảng tỉ số lượng giác góc đặc biệt 300  Tỉ số lượng giác Sin Cos tg Cotg 3 cot g  tg  450 600 2 2 2 1 * Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13 a) CMR tam giác ABC vuông b) Tìm tỉ số lượng giác góc A góc C LG 2 2 a) Ta có: AB  BC  12   169  13  AC  AB  BC  AC theo định lý Pytago đảo, suy tam giác ABC vng B b) - A  C  900  A; C góc phụ - đó: 12 ; 13 12 tgA  cot gC  ; A 13 cot gA  tgC  12 sin A  cos C  13 cos A  sin C  C B 12 HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A Kiến thức Các hệ thức * Định lý: Trong tam giác vng, cạnh góc C vng bằng: - Cạnh huyền nhân Sin góc đối Cosin góc kề a b - Cạnh góc vng nhân Tang góc đối Cotg góc kề (trong tam giác ABC vng A, BC = a; AB = c; B AC = b, ta có: A c 1 b  a.sin B  a.cos C  c  a.sin C  a.cos B  2 b  c.tgB  c.cot gC  c  b.tgC  b.cot gB Áp dụng giải tam giác vng * Giải tam giác vng: tìm tất yếu tố tam giác vuông (các cạnh, góc) biết trước yếu tố có yếu tố cạnh khơng kể góc vng * Một số trường hợp giải tam giác vng thường gặp a) Biết cạnh góc vng - Tính cạnh huyền (theo Pi-ta-go) - Tính góc nhọn (tg cotg) - Tính góc nhọn lại (2 góc phụ nhau) b) Biết cạnh huyền góc nhọn - Tính góc nhọn lại (2 góc phụ nhau) - Tính cạnh góc vng (hệ thức cạnh góc – hệ thức (1)) c) Biết cạnh góc vng góc nhọn kề - Tính góc nhọn lại - Tính cạnh góc vng lại cạnh huyền (hệ thức cạnh góc – hệ thức (1); (2)) B Bài tập áp dụng Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, biết tgB  4 BC = 10 Tính AB; AC - tgB   B  530 07 ' B 10 - theo hệ thức cạnh góc tam giác vng AB  BC cos B  10.cos 53007 '  A C AC  BC.sin B  10.sin 53007 '  Bài 2: Cho tam giác ABC cân A; AB = AC = 17; BC = 16 Tính đường cao AH góc A, góc B tam giác ABC A1  A2 + tam giác ABC cân, có AH  BC   BC  BH  CH   + xét tam giác AHC, vuông H - ta có: AH  AC  CH  172  82  15 A - mặt khác: sin A2  12 17 CH   A2  A1  280 04'  A  2A2  560 08' AC 17 + xét tam giác AHB vuông H, ta có: 17 B  900  A1  90  280 04 '  61056 ' B C 16 Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 11, ABC  380 ; ACB  300 Gọi N chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Tính AN; AC - xét tam giác ANB vuông N, theo hệ thức A cạnh góc tam giác vng ta có: AN  AB.sin B  11.sin 380  6, 77 11 300 C 380 N - xét tam giác ANC vuông N, theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: B AN  AC sin C  AC  AN 6, 77   13,54 sin C sin 300 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = 9; HC = 16 Tính góc B, góc C? A - xét tam giác ABC vuông A, theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông , ta có: AH  BH CH  9.16  144  AH  12 - xét tam giác AHB, vuông H, ta có: AH 12   B  530 ' BH - mà B  C  900  C  36053' tgB  B H 16 C Bài 5: Cho tam giác ABC có B  600 , hình chiếu vng góc AB AC lên BC theo thứ tự 12 18 Tính góc đường cao tam giác ABC A - xét tam giác AHB vuông H B  600  A  300  BH   AB  BH  2.12  24 AB  AH  AB  BH  242  122  20,8 - xét tam giác AHC, theo hệ thức lượng… 600 B 12 H 18 C AH 20,8   C  490 06' HC 18  A  180   B  C   70054' tgC  - theo hệ thức cạnh góc, ta có: HC  AC cos C  AC  HC 18   27,5 cos C cos 490 06 ' Bài 6: Cho hình thang ABCD, có A  D  900 , đáy nhỏ AB = 4, đáy lớn CD = 8, AD = Tính BC, B, C ? A - kẻ BH vng góc với CD, suy AD = BH = 3; AB = DH = 4, đó: CH = – = - xét tam giác BHC vng H, ta có: B BC  BH  CH  32  42  H D C sin C  BH   C  370 BC - ABCD hình thang nên: B  C  180  B  180  C  180  37  1430 Bài 7: Giải tam giác vuông sau, tam giác ABC vuông A biết: a) a = 18; b = B b) b = 20; C  38 c) tgB  ; c  a c C b A a) a = 18; b= AC   B  230 23'  C  900  230 23'  63037' BC 18 AB  BC.sin C  18.sin 63037'  16,1 b) b = 20; C  380 sin B  C  380  B  520 ; AB  AC tgC  20.tg 380  15, 6; BC  AC 20   25, sin B sin 520 c) tgB  ; c  AC  ABtgB   3; BC  AB  AC  32   c sin C    0,8  C  530 08'  B  36052' a 4) Cho tam giác ABC vuông A Giải tam giác vuông trường hợp sau: a) B = 400 AB = cm b) C = 300 BC = 16 cm c) AB = 18 cm AC = 21 cm d) AC = 12 cm BC = 13 cm 5) Sắp xếp tỉ số sau theo thứ từ tăng dần: a) sin300 , cos420 , cos670 , sin380 , sin750 cotg50 b) tg270 , cotg490 , tg800 , tg250 , 6) Cho tam giác ABC, có góc B = 400, góc C = 300 đường cao AH = 6cm Tính AB, AC BC 7) a) Cho hình.a góc A = 300, AC = 8cm, b) Cho hình.b góc D = 600, B= 400, BC = 7cm PCB = 500 Tính x , y Tính x y C C 30 A 500 x y P x B 600 A y D 400 B 8) Cho tam giác ABC vuông A Biết AB = 7cm AC = 21cm Tính tỉ số lượng giác góc B C 9) Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm a) Chứng minh tam giác ABC vng A b) Tính góc B, C đường cao AH tam giác c) Tính diện tích tam giác ABC ********************************************************* Ngày dạy: …………………………… ƠN TẬP HÌNH HỌC – CHƯƠNG I A Kiến thức Các hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH cho ta có : AH  h, BC  a, AB  c, AC  b, BH  c ' , CH  b ' : 1) b  a.b' ; c  a.c ' A 2) h  b' c ' 3) b.c  a.h b c 1  2 2 h b c 5) a  b  c ( Pitago) h 4) c' B b' C H a Định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn Cho ABC   (00    900 ) ta định nghĩa tỉ số cạnh AB, BC, CA tam giác ABC vuông A sau : C AC sin   ; BC AC tg  ; AB AB cos   BC AB cot g  AC  Huyền Đối  A Kề Một số tính chất tỉ số lượng giác sin   cos  ; tg  cot g  ; - Nếu     900 ta có :  - Cho    90 Khi + < sin, cos < + sin  cos  + tg  cos   sin  cot g  tg  sin  cos  ;cot g  ;cot g  ; tg cot g  cos  sin  tg Các hệ thức cạnh góc tam giác vng B - Cho tam giác ABC vuông A, BC = a; AB = c; AC = b, ta có: C 1 a b A b  a.sin B  a.cos C  c  a.sin C  a.cos B  2 b  c.tgB  c.cot gC  c  b.tgC  b.cot gB B c B Bài tập áp dụng Bài : Chứng minh : với  góc nhọn tương ứng tam giác ABC, A  90 thì: a) cos   sin   cos   b) sin   sin  cos   sin  c) tg 2  sin  tg 2  sin  d ) cos   tg 2 cos        sin  sin  LG   a ) VT  cos   sin  cos   sin   cos   sin   cos    cos   cos    VP 2  b) VT  sin   cos 2 2   sin   VP sin  cos   sin   VP cos   sin   cos   sin  2 2 d ) VT  cos   tg   cos  1    VP   cos  cos   cos   c) VT  tg 2 (1  sin  )  tg 2 cos     Bài : Cho tam giác ABC, biết AB = 21 ; AC = 28 ; BC = 35 a) Chứng minh tam giác ABC vng b) Tính sinB, sinC, góc B, góc C đường cao AH vủa tam giác ABC LG a) ta có: theo định lý đảo định lý Pi-ta-go tam giác ABC vuông A b) B H 28 AC 28   0,8  B  530 BC 35 AB 21 sin C    0,  C  37 BC 35 sin B  35 21 A AB  AC  212  282  1225 2   BC  AB  AC 2 BC  35  1225  C Xét tam giác AHB vuông H, áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: (hoặc AH.BC = AB.AC) AH  AB.sin B  21.sin 530 21.0,8  16,8 Bài 3: Giải tam giác vuông A, biết a) a = 12; B  420 b) b = 13; c = 20 LG - ta có: C C  900  B  900  420  480 AB  BC cos B  12.cos 420  12 AC  BC cos C  12.cos 480  420 B A - ta có: C BC  AB  AC  202  132  23,85 13 AC 13   0, 65  B  330 AB 20 C  900  B  57 tgB  A B 20 Bài 4: Cho tam giác ABC có B  600 hình chiếu vng góc AB, AC lên BC theo thứ tự 12; 18 Tính cạnh, góc đường cao tam giác ABC LG + ta có: BC = BH + CH = 12 + 18 = 30 + xét tam giác AHB vng H A - ta có : AH  BH tgB  12.tg 600  12 - mặt khác : BH 12   24 cos B cos 600 A1  900  B  900  600  300 BH  AB.cos B  AB  + xét tam giác AHC vuông H, ta có : 600 B 12 H 18 C AC  AH  CH   756  27,5 AH 12   C  490 HC 18 + xét  ABC, tcó: A  1800   B  C   710 tgC  II BI TP P DNG Tính x, y, h hình sau: Bài 1: x Giải: Theo định lý Pitago ta cã: x+y =  82  100  10 ¸p dơng hƯ thøc (1) ta cã: = (x+y)x  x  T­¬ng tù ta cã: y  Bµi 2: 62  3, ; 10 82 64   6, ( Hc y = 10 - 3,6 = 6,4 ) 10 10 y Gi¶i: + Áp dơng hƯ thøc (1) ta cã: x  AB   BH  HC  HB  1     x  + T­¬ng tù ta cã: y  BC.HC  5.4  20  y  20 x y 20  2 a C¸ch 2: ¸p dơng hƯ thøc (5) ta cã: 1 1 1  2        h2   h  2 2 20 20 h y x 20 + Áp dơng hƯ thøc (4) ta cã: h      Bài 3: x Giải: + p dụng định lý Pitago ta cã: y  BC  AC  AB  52  72  74 + Áp dông hÖ thøc (4) ta cã: x.y = 5.7 => x = 35 74 III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bµi 1: Cho tam giác vng với cạnh góc vng có độ dài Kẻ đường cao tương ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao tương ứng với cạnh huyền độ dài đoạn thẳng mà định cạnh huyền Bài 2: Cho hình bên Tính độ dài đoạn AH, BH, HC Bài 3: Tính x, y hình bên TIẾT 8: TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Sin = Cos = tg = cạnh đối cạnh huyền cạnh kề cạnh huyền cạnh đối Cạnh kề Cạnh đối cạnh kề cạnh kề cotg = cạnh đối - Cỏc t s lng giỏc ca góc nhọn ln dương C¹nh hun - Sin  < ; Cos  < Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau: Khi     900   II BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài1: Cho tam giác ABC vng cân A Tính giá trị lượng giác góc nhọn B Gi¶i: A Ta cã: AC a a sin Bˆ =   a BC a 2 AB a cos Bˆ =   BC a 2 AC a tg Bˆ =  1 AB a AB a cotg Bˆ =  1 AC a Bài 2: B 45 C a Cho hình bên Tính tỉ số lượng giác góc B Gi¶i: Ta cã: C AC a 3 Sin 600 = sin Bˆ =   BC 2a AB a Cos 600 = cos Bˆ =   BC 2a AC a tg 600 = tg Bˆ =   AB a AB a Cotg 600 = Cotg Bˆ =   AC a 3 2a B 60 a a A Bài 3: Hãy viết tỷ số lượng giác góc 300 thành tỉ số lượng giác góc lớn 300 Ta có: góc 300 góc 600 hai góc phụ nên ta có: cos 300  sin 600  sin 300  cos 60  ; 2 tg 300  cot g 600  ; cot g 30  tg 60  III BÀI TẬP NGH Bài 1: Cho tam giác ABC vuông C, AC = 0,9m, BC= 1,2m Tính tỉ số lượng giác góc B, từ suy tỷ số lượng giác góc A Bài 2: Hãy viết tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác góc nhọn nhỏ 450: sin 600, cos620, tg560, cotg780, sin800, tg640, cotg700 TIẾT 9: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN C¸c hƯ thøc: *HÖ thøc: b  a.sin B  a.cos C c  a.cos B  a.sin C b  c.tgB  c.cot gC c  b.tgC  b.cot gB p dụng giải tam giác vuông * Bài toán giải tam giác vuông: Trong tam giác vuông, biết trước hai cạnh cạnh góc nhọn ta tìm cạnh lại góc lại II BI TP P DNG Bài 1: Cho tam giác vuông ABC với cạnh góc vuông AB = 5cm, AC = 8cm Hãy giải tam giác vuông ABC Giải: + Tính cạnh BC: Theo định lý Pitago ta cã: BC  AB  AC  52  82  89  9, 434 (cm) + TÝnh gãc C, B: AB   320 Ta cã: tgC    0, 625  C AC   900  320  580 Do B Bài 2: Cho tam giác OPQ vuông t¹i O cã Pˆ  360 , PQ = cm Hãy giải tam giác vuông OPQ Giải: P + TÝnh gãc Q: Ta cã Qˆ  900  Pˆ  90  36  54 36 + Tính cạnh OP, OQ: theo hệ thức cạnh góc tam giác vuông ta có: OP  PQ.cos P  7.cos 360  5, 663 (cm) OQ  PQ.cos Q  7.cos 540  4,114 (cm) Q O Bài 3: Giải tam giác ABC vuông t¹i A , biÕt r»ng b = AC = 10cm, C 300 Giải: + Tính góc B: Vì ABC vuông A nên C 900 B   900  C   900  300  600 B + TÝnh c¹nh AB, BC:  5, 77  cm  AB  c  b.tgC 10.tg 300 10 Theo định lý Pitago ta cã BC = 10  (5, 77)  11, 5(cm ) C 30 10 A B III BI TP NGH Giải tam giác ABC vuông A, cạnh đối diện với đỉnh A, B, C a, b ,c biết r»ng 1) b = 8cm, a = 10 cm 2) b = 5cm, Cˆ  300 3) c = 10cm, Bˆ  350 ... sin C  C B 12 HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG A Kiến thức Các hệ thức * Định lý: Trong tam giác vng, cạnh góc C vng bằng: - Cạnh huyền nhân Sin góc đối Cosin góc kề a b - Cạnh góc vng... Biết cạnh huyền góc nhọn - Tính góc nhọn lại (2 góc phụ nhau) - Tính cạnh góc vng (hệ thức cạnh góc – hệ thức (1)) c) Biết cạnh góc vng góc nhọn kề - Tính góc nhọn lại - Tính cạnh góc vng lại cạnh. .. lại cạnh huyền (hệ thức cạnh góc – hệ thức (1); (2)) B Bài tập áp dụng Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, biết tgB  4 BC = 10 Tính AB; AC - tgB   B  530 07 ' B 10 - theo hệ thức cạnh góc tam