Chuong 3 bien ngau nhien

CHƯƠNG 3: Biến Ngẫu Nhiên Chương phát triển phương pháp dùng để tính xác suất biến cố kèm theo đặc trưng số kết cục thí nghiệm ngẫu nhiên Hàm phân phối giới thiệu Xác suất biến cố khoảng đường thẳng thực hợp khoảng biểu diễn qua hàm phân phối Hàm mật độ xác suất giới thiệu Xác suất biến cố biểu diễn hàm tích phân hàm mật độ xác suất Khái niệm giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên phù hợp với khái niệm trung bình trực quan Các khái niệm cung cấp cho công cụ để tính xác suất trung bình hệ thống có tính ngẫu nhiên 3.1 KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN Kết cục thí nghiệm khơng thiết số Tuy thế, thường quan tâm đến kết cục tự đo đặc trưng số kết cục Ví dụ, tung n lần đồng xu, quan tâm đến tổng số lần xuất mặt sấp không quan tâm đến thứ tự xuất mặt sấp mặt ngửa Chọn cách ngẫu nhiên cơng việc tính tốn, quan tâm đến thời gian thực công việc Khi chọn tên sinh viên từ hộp quan tâm cân nặng sinh viên Trong ví dụ này, phép đo gán giá trị số cho kết cục thí nghiệm ngẫu nhiên Do kết cục ngẫu nhiên nên kết phép đo ngẫu nhiên Kể từ nói xác suất giá trị số nhận Ý tưởng biến ngẫu nhiên tạo khái niệm 81 HÌNH 3.1 Biến ngẫu nhiên gán số X(ζ ) cho kết cục ζ không gian mẫu S thí nghiệm ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên X hàm mà gán số thực, X(ζ ) Cho kết cục ζ không gian mẫu thí nghiệm ngẫu nhiên Nhớ lại rằng, hàm quy tắc đơn giản để gán giá trị số cho phần tử tập hợp, cách hình ảnh Hình 3.1 Sự định rõ phép đo kết cục thí nghiệm ngẫu nhiên xác định hàm khơng gian mẫu, biến ngẫu nhiên không gian mẫu S miền xác định biến ngẫu nhiên, tập hợp SX tất giá trị X, miền giá trị biến ngẫu nhiên Như SX tập tập tất số thực R VÍ DỤ 3.1 Giả sử đồng xu tung lần dãy mặt sấp mặt ngửa ghi lại Khơng gian mẫu thí nghiệm S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT} Bây giả sử X số lần xuất mặt sấp lần tung X gán kết cục ζ S số từ tập hợp SX = {0, 1, 2, 3} Bảng liệt kê kết cục S giá trị tương ứng X ζ: X(ζ ): HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 2 1 Khi X biến ngẫu nhiên giá trị tập SX = {0, 1, 2, 3} VÍ DỤ 3.2 Nếu kết cục ζ thí nghiệm giá trị số, lặp lại giải thích kết cục biến ngẫu nhiên xác định hàm đồng nhất, X(ζ ) = ζ Như vậy, nhiều kết cục xét chương trước coi biến ngẫu nhiên 82 Hàm quy tắc gán giá trị cho kết cục cố định xác định, ví dụ như, quy tắc “Đếm số lần xuất mặt sấp ba lần tung đồng xu” Tính ngẫu nhiên giá trị quan sát tính ngẫu nhiên biến số sở hàm X, gọi kết cục thí nghiệm ζ Nói cách khác, tính ngẫu nhiên giá trị quan sát X tạo thí nghiệm ngẫu nhiên sở, tính hàm xác suất giá trị quan sát dựa xác suất kết cục VÍ DỤ 3.3 Biến cố {X = k} = {k lần xuất mặt sấp lần tung} xảy kết cục thí nghiệm tung đồng xu chứa lần xuất mặt sấp Xác suất biến cố {X = k} cho tổng xác suất kết cục tương ứng biến cố Trong Ví dụ 2.34, tìm xác suất biến cố sở thí nghiệm tung đồng xu Như có: p0 = P[X = 0] = P[{TTT}] = (1 – p)3, p1 = P[X = 1] = P[{HTT}] + P[{THT}] + P[{TTH}] = 3(1 – p)2p, p2 = P[X = 2] = P[{HHT}] + P[{HTH}] +P[{THH}] = 3(1 – p)2p, p3 = P[X = 3] = P[{HHH}] = p3 Xác suất pk dùng để nhận xác suất tất kết cục thuộc vào X Miễn tập chung với giá trị X, bỏ qua thí nghiệm sở với khơng gian mẫu S tiếp tục thể thí nghiệm có khơng gian mẫu SX với xác suất pk Ví dụ 3.3 minh họa kỹ thuật chung sau để tìm xác suất biến cố liên quan đến biến ngẫu nhiên X Giả sử SX tập tất giá trị X, giả sử B tập SX SX coi khơng gian mẫu mới, B biến cố không gian mẫu Giả sử A tập kết cục ζ S cho giá trị X(ζ ) thuộc vào B, Hình 3.2, nghĩa là: A = {ζ : X(ζ) ∈ B}, đó, biến cố B SX xảy biến cố A S xảy Như xác suất biến cố B cho P[B] = P[A] = P[{ζ : X(ζ) ∈ B}] Chúng ta coi biến cố A B biến cố tương đương Tất biến cố quan tâm thực tế liên quan đến biến cố có dạng {X = x}, x số {X thuộc I}, I khoảng hợp khoảng Trong phần sau xác suất tất biến cố biểu diễn qua xác suất P[{X ≤ x}], x số thực Do 83 tính xác suất biến cố SX biết xác suất biến cố sở {ζ : X(ζ) ≤ x} HÌNH 3.2 P[X B] = P[ζ A] X B ζ A, A = {ζ : X(ζ ) B} 3.2 HÀM PHÂN PHỐI _ Hàm phân phối [cumulative distribution function (cdf)] biến ngẫu nhiên X định nghĩa xác suất biến cố {X ≤ x}: FX(x) = P[X ≤ x] với –∞ < x < +∞, (3.1) nghĩa là, xác suất để biến ngẫu nhiên X lấy giá trị tập (–∞, x] Theo thuật ngữ không gian sở, hàm phân phối xác suất biến cố {ζ : X(ζ ) ≤ x} Biến cố {X ≤ x} xác suất thay đổi theo x, nói cách khác, FX(x) hàm biến x Hàm phân phối cách đơn giản để mô tả xác suất tất khoảng nửa vô hạn đường thẳng thực dạng (–∞, x] Các biến cố mà ta quan tâm cách khoảng đường thẳng thực phần bù, hợp giao chúng Dưới chứng tỏ xác suất tất biến cố biểu diễn qua hàm phân phối Hàm phân phối có giải thích sau theo thuật ngữ tần số tương đối Giả sử thí nghiệm mà xảy kết cục ζ , X(ζ ), thực số lớn lần FX(b), đó, tỷ số giới hạn số lần xảy X(ζ) ≤ b Các tiên đề xác suất hệ suy hàm phân phối có tính chất sau: 84 i ii iii ≤ FX(x) ≤ lim F X ( x) = x→∞ lim FX ( x) = x → −∞ iv FX(x) hàm không giảm x, nghĩa là, a < b, v FX(a) ≤ FX(b) FX(x) hàm liên tục bên phải, nghĩa là, với h > 0, FX(b) = lim FX (b + h) = FX (b + ) h →0 Tính chất thứ suy từ định nghĩa hàm phân phối, xác suất phải thỏa mãn Tiên đề Hệ Tính chất thứ hai suy từ thực tế biến cố {X < ∞} bao gồm tất số thực tồn khơng gian mẫu Tính chất thức suy từ việc tất số thực lớn –∞, biến cố {X < –∞}, biến cố rỗng (Hệ 3) Để nhận tính chất thứ 4, ý biến cố {X ≤ a} tập biến cố {X ≤ b}, phải có xác suất nhỏ (Hệ 7) Chúng ta nhận thấy tính chất thứ xảy Ví dụ 3.4(1) Xác suất biến cố tương ứng với khoảng có dạng {a < X ≤ b} biểu diễn qua hàm phân phối: vi P[a < X ≤ b] = FX(b) – FX(a) (3.2) (1) Sự chứng minh tính liên tục bên phải hàm phân phối vượt mức định Chứng minh tìm Davenport (1970, 116–121) Để chứng minh Hệ thức (3.2) rằng: {X ≤ a} ∪ {a < X ≤ b] = {X ≤ b}, hai biến cố vế trái xung khắc, nhận kết sau từ Tiên đề III Hệ thức (3.1) FX(a) + P[a ≤ b] = FX(b) Như Hệ thức (3.2) chứng minh Hệ thức (3.2) cho phép tính xác suất biến cố {x = b} Đặt a = b – ε Hệ thức (3.2), ε > 0, P[b – ε < X ≤ b] = FX(b – ε) Khi ε → 0, vế trái hệ thức tiến đến P[X = b], vậy: vii P[X ≤ b] = FX(b) – FX(b–) (3.3) 85 Như xác suất để biến ngẫu nhiên X tùy ý lấy giá trị điểm, gọi b, cho độ lớn bước nhảy hàm phân phối điểm b Điều suy rằng, hàm phân phối liên tục điểm b, biến cố {X = b} có xác suất Hệ thức (3.3) kết hợp với Hệ thức (3.2) để tính xác suất khoảng dạng khác Ví dụ, từ: {a ≤ X ≤ b} = {X = a} ∪ {a < X ≤ b}, P[a ≤ X ≤ b] = P[X = a] + P[a < X ≤ b] = FX ( a) − FX ( a − ) + FX (b) − FX (a ) = FX (b) − FX (a − ) (3.4) Chú ý hàm phân phối liên tục điểm mút khoảng, điểm mút có xác suất Do chúng nằm ngồi khoảng mà khơng ảnh hưởng đến xác suất Nói cách khác, hàm phân phối liên tục điểm x = a x = b, xác suất sau nhau: P[a < X < b], P[a ≤ X < b], P[a < X ≤ b], P[a ≤ X ≤ b] HÌNH 3.3 Một ví dụ biến ngẫu nhiên rời rạc–Biến ngẫu nhiên nhị thức, n = 3, p = 1/2 Phần (a) hàm phân phối, phần (b) hàm mật độ xác suất (a) 86 (b) Xác suất biến cố {X > x} nhận từ Hệ 1: viii VÍ DỤ 3.4 P[X > x] = – FX(x) Hình 3.3(a) hàm phân phối biến ngẫu nhiên X, mà xác định số lần xuất mặt sấp lần tung đồng xu cân đối Từ Ví dụ 3.1 biết X lấy giá trị 0, 1, với xác suất 1/8, 3/8, 3/8, 1/8 cách tương ứng, FX(x) cách đơn giản tổng xác suất kết cục từ {0, 1, 2, 3} mà nhỏ x Hàm phân phối nhận hàm gián đọan điểm 0, 1, 2, Chúng ta thực nhìn cận cảnh điểm gián đoạn Xét hàm phân phối lân cận điểm x = Cho δ số dương nhỏ, có: FX(1 – δ) = P[X ≤ – δ] = P[0 lần xuất mặt sấp] = , vậy, giới hạn hàm phân phối x tiến tới từ bên phải 1/8 Hơn nữa, 87 FX(1) = P[X ≤ 1] = P[0 lần xuất mặt sấp] = = + = , 8 FX(1 + δ) = P[X ≤ + δ ] = P[ lần sấp] = Như vậy, hàm phân phối liên tục bên phải 1/2 điểm x = Thực vậy, lưu ý độ lớn bước nhảy điểm x = P[X = 1] = 1/2 – 1/8 = 3/8 Từ trở sử dụng dấu chấm nhỏ đồ thị để giá trị hàm phân phối điểm gián đoạn Hàm phân phối hồn tồn biểu diễn theo hàm bậc thang đơn vị: 0 u ( x) =  1 x P[X > x] = e – λx Hãy tìm hàm mật độ X Tìm P[T < X ≤ 2T], T = 1/λ Hàm phân phối X FX(x) = P[X ≤ x] = 1– P[X > x] : 0 FX ( x ) =  −λx 1 − e x