chương 2 biến ngẫu nhiên

Trang 1

Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thừng kở GV: Từn Thất Tỷ

Chương2 BIEN NGằU NHIấN

Bỏi 5ọ: BIEN NGAU NHIEN VA HAM PHAN PHOI 1 Dinh nghia

Ham X xõc định trởn khừng gian cõc biến cừ sơ cấp Ẫ vỏ nhận giõ trị trong R được gọi lỏ biển ngóu nhiởn nởu với mọi xe R tập hợp {ự: X(@)< x} lỏ một biến cụ ngẫu nhiởn

Nụi một cõch trực quan, biến ngóu nhiởn lỏ một đại lượng cụ thề nhận gia tri nỏy hay giõ trị khõc phụ thuộc vỏo kết quả của phờp thử

Vi du 1:

- Gieo ngau nhiởn 3 lần một đồng xu Gọi X lỏ số lần mặt sắp xuất hiện Khi đụ X lỏ một biến ngẫu nhiởn nhận cõc giõ trị 0 1 2 vỏ 3

- Goi Y lỏ số người đến đồ xăng ở cửa hỏng AB trong một ngỏy Khi đụ Y lỏ

biến ngẫu nhiởn nhận cõc giõ trị 0, I, 2

Phón loại:

- Biến ngẫu nhiởn được gọi lỏ rời rạc nếu tập giõ trị của nụ gồm một số hữu

hạn hoặc vừ hạn đếm được cõc gia tri

- Biờn ngẫu nhiởn được gọi lỏ liởn tục nếu tap gia tri cua no lap day mot khoang hoac mot doan trờn truc SỐ

2 Hỏm phón phối

2.1 Dinh nghia

Ham số thực #,(x)= P(X <+x) xeR được gọi lỏ hỏm phón phối của biởn ngẫu nhiởn X

Nhận xờt: Hỏm phón phối #,(x)= P(X <x) chợnh lỏ xõc suất của X nhận giõ trị trong khoảng (—œ,x) Do đụ dựa vỏo tợnh chất của xõc suất ta cụ cõc tợnh chất sau

của hỏm phón phối

2.2 Tợnh chất a) O<SF,(x)S1

Trang 2

search by nhatlangthang Advertisement

Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ

b) Z,(v đơn điệu khừng giảm

c) F,(x) liờn tuc trai voi moi x, ture 1a lim Fy (x) = Fy (0) V% -

XX

Nhận xờt : Nếu đọ biết hỏm phón phối của X thi ta cụ thở tợnh được xõc suất đề X nhận giõ trị rơi vỏo cõc đoạn, khoảng khõc nhau của trục số Cụ thở, với

a,b € Rta co: Ẽ P(X 2a)=1-F(a) Ẽ P(q<X<b)=F(b)—-F(a) Vợ dụ 2: Cho biến ngẫu nhiởn X cụ hỏm phón phối F(x)=a+b.arctan x, xe R a) Họy tớm a vỏ b b) Tớm x sao cho: P(X >1-—x)=1/4 Giai: a) Ta cụ lim Fy (x) =1, lim F, (x) =0, suy ra he phuong trinh X— +00 bx | a+—=1 a=— 2 2 l 27T sơ | a- =() b=— 2 a Vay, Festa arctan x mS

b) Ta cụ P(X >I-x)=1/4 hay P(X <l—-x)=F(I—x)=3/4 Thay F(x) vao ta được: arctan(—x) =4 r= 0

Trang 3

Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ b) Tớm hỏm phón phừi của Y =2X +] GIải: a) Dựa vỏo tợnh liởn tục trõi, ta cụ: lim F(v)=#(0) vỏ lim F(x) = F(2) x 30-0 x32-0 Ta được hệ phương trớnh b= a=1/4 cẪ è4z+b=1 |b=0 b) Hỏm phón phối của Y: l y—l (y-l F,(y)= PỮ < y)= P(2X ti<y=P(x TH: =) 0 JH! ae 2 y—I : y—I iggy 25 2 Fy (y) 2 è.0s 2 < “TH 2 0 y<l (y-D' Fy(y)= 8 l<y<5 | y>5

3 Biởn ngóu nhiởn rời rạc

Trang 4

search by nhatlangthang Advertisement Bỏi giảng: Xõc suắt vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ Nởu cõc sừ x, được sắp xởp theo thứ tự tăng dan (x, < x, < ) thớ hỏm phón phừi sẽ lỏ: 0 xấx Dị W <SxŠ% Fy (4) =4 Py + Pp % <SxS# P+P;ạ+D; #;<#xSồ, Nhõn xờt : Với a.be R a<b ta cụ P(a << X <b)= F,(b)—-F, (a) = > P(X =%,) aSx,<b Vợ dụ 4: Một lừ sản phẩm cụ 12 sản phẩm, trong đụ cụ 8 chợnh phẩm vỏ 4 phế

phóm Lấy ngẫu nhiởn 3 sản phẩm Gọi X lỏ số chợnh phẩm trong 3 san pham lay

ra Tớm phón phối của X xõc định hỏm phón phối vỏ tợnh xõc suất P(I< X <3) Giai: Phón phối của X lỏ: k 3-k P(X =k) = 2S đ=0,1,23 Ci Bang phón phối: x | 0 I 2 3 P | 1/55 12/55 28/55 14/55 Hỏm phón phối: 0 x<0 1/55 O<x<tl F, (x) =413/55 l<x<2 41/55 Dk PSS I x>3 Xõc suất P(< X <3)= P(X =lI)+P(X =2) = F,()— F„() =41/55—1/55 =8/11

Vợ dụ 5: Một xạ thủ cụ 4 viởn đạn, xạ thủ đụ bắn từng phõt cho đến khi cụ phõt trỷng hoặc hết đạn thớ thừi Gọi X lỏ số viởn đạn đọ bắn Lập bảng phón phối xõc

suất của X, biết rằng xõc suất trỷng đợch ở mỗi phõt bắn của xạ thủ đều bằng 0.7

Giải:

Trang 5

Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ Ta cụ X lỏ biến ngẫu nhiởn rời rạc với miền giõ trị {1.2.3.4} Gọi 4, lỏ biến cố phõt thứ â bắn trỷng đợch, â= 1,4 Ta cụ P(X =1)=P(A,) =0,7 P(X =2)= P(A,A,) = P(A,)P(A,)=0,3*0,7=0,21 P(X =3) = P(A,A,A,) = P(A, )PCA,) P(A,) =0,3*0,3*0,7 =0,063 P(X =4) = P(A,A,A,) = 0,3*0,3*0,3 =0,027 Bảng phón phối của X: X | 2 3 4 P | 07 021 0063 0,027 Vợ dụ 6 : Cho 2 hộp chứa bị Hộp l chứa 2T vỏ SÐ Hộp 2 chứa 3T vỏ 6Ð Lóy

ngẫu nhiởn I viởn từ hộp 1 chuyởn sang hộp 2 sau đụ từ hộp 2 lấy ngẫu nhiởn I

Trang 6

search by nhatlangthang

Bỏi giảng: Xõc suắt va Thống kở GV: Từn Thất Tỷ

oA x 2A ^

4 Biởn ngầu nhiởn liởn tục

Cho biởn ngóu nhiởn liởn tục X với hỏm phón phừi # (+) Khi đụ từn tại hỏm

f(x) sao cho ta cụ biểu diễn: F @= | f(t)dt,xe R Ham duoi dau tich phan f(x)

được gọi lỏ hỏm mat do cua X Tinh chat cua ham mat do: dF, (x) a) ƒ/G0= tại cõc điởm liởn tục cua f(x) b) /(x)>0.Vx C) Ỉ/ (x)dx=1 b d) P(a<X<b)= [Z0

Nhận xờt : Đừi với biởn ngẫu nhiởn liởn tục X thớ

Ẽ P(X =a)=U.Vae R P(X <a)=P(X <a)=F,(a)

Trang 7

Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ : | Ae“dt x>0 ey x>0 E.t)= | #›0w%= J L9 Jf )dt =+ ha y Fy@=1 F.f0= _= 0 x<0 Vi du 8: Cho X lỏ biến ngẫu nhiởn với hỏm phón phối F(x)=a+barctan x.ve R Tớm hỏm mật độ ƒ(+) Giai: Theo vợ dụ trước, ta cụ: a= a" hay F(x) =4 4+—aretan x x Đ ẩ |— Hỏm mật độ: f(x) =F (x) = Z(l+ xˆ) VxeR Vợ dụ 9: Cho X lỏ biởn ngóu nhiởn liởn tục cụ hỏm mật độ ax, xeE [0,1] f(x) = 0, x€ [0,1] a) Tớm hệ số ự vỏ hỏm phón phối #, (+) b) Thực hiện 10 phờp thử độc lập Tợnh xõc suất đề trong 10 phờp thử đụ cụ 3 Ầ ‘ ip kK TI

lón xảy ra biởn cừ ;<x <1}

c) Cho y =2X Tim phón phối của Y

Trang 9

Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ mm—] 2 ei, (a) - & 2 A A + z ek x ^ 5 Sự độc lập của cõc biởn ngầu nhiởn € [0,1] Se m=1+'2 ð|=

- Hai biến ngau nhiởn X vỏ Y được gọi lỏ độc lập nếu cõc biến cụ (X <z) vỏ (Y <b) độc lập với mọi cặp gia tri (a,b)

- Nhụm n biến ngẫu nhiởn {X,.X X,„} được gọi lỏ độc lập nếu cõc biến cố

(X, <a,), (X, <a,) độc lập với mọi bộ giõ trị (a,.a, 4, )

Vợ dụ 10: Cụ 2 hộp chứa bi Hộp 1 gồm 6 bi trang va 4 bi đen Hộp 2 gồm 3 bi

trang va 7 bi den Lay ngau nhiởn ở hộp thứ nhất 1 viởn vỏ ở hộp thứ hai 2 viởn

Trang 10

P | 14/75 7H5 23/75 125 ° 1725 H25 1/25

6 Hỏm của biến ngẫu nhiởn

Cho biến ngẫu nhiởn X vỏ một hỏm liởn tục g(x) Khi đụ, người ta chứng minh duoc rang s(X) cũng lỏ biến ngẫu nhiởn Trong mục nỏy, ta sẽ nghiởn cứu phương phõp tớm phón phối của biến ngẫu nhiởn g(X) theo phón phối của X

a Trường họp X lỏ biến ngẫu nhiởn roi rac

Giải sử biến ngẫu nhiởn rời rạc X cụ tập giõ trị Im(X)={x,.x,.x, } VỚI xõc

suất p,=P(X=x) Khi d6, tap gid tri của biến ngẫu nhiởn Y=g(X) lỏ

Im(Y) = g(Im(X )) ={y\ VÒ Vị‹ }- Đặt A.={x:xe Im(X) s(x) = y,}./>l vỏ

Trang 11

b Trường họp khi X lỏ biến ngẫu nhiởn liởn tục

Cho biến ngẫu nhiởn liởn tục X cụ hỏm mật độ /(+) hoặc hỏm phón phối

F,(x) Xờt biến ngẫu nhiởn y =g(X) với ự lỏ một hỏm liởn tục Khi đụ, hỏm phan

phối của Y lỏ : #(v)= PUY <x) =P(g(X) <2)

Trang 12

- Khi x>0 : #,(x)= P(X? <x)=P(Wx < X <vx)= { find = { fad +Nờu Ve [0,1 re [0.1] : 0) = | f@ar= f 2d-ndr=2Vx—-% 0 0 Sx I + Nờu Vx>lex>l : F(x) = [ fdr = [20-nadt =1 0 0 0 x<0 Do đụ Ƒ„(x)=42x—x, xe[0.1] l xi

Vợ dụ 13: Cho biến ngẫu nhiởn rời rạc X cụ P(X =0)= P(X =l)=1/2vỏ biến

Trang 13

Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ CC 0, <0 l 5ồ = O<zsl 2, 8 | F,(z)=4-, I<z<2 2 REED ng 2 l xÍ3 Bỏi 6: CAC SO DAC TRUNG CUA BIEN NGAU NHIEN 1 Ky vong 1.1 Định nghĩa Kỳ vọng toõn của biến ngau nhiởn X kợ hiệu E(X) lỏ một SỐ được xõc định như sau:

- Nếu X cụ phón phối rời rạc với phón phối xõc suất P(X =x,)= p,.k =1.2 thi

E(X)= xp, (với điều kiện chuỗi hội tụ tuyệt đối)

- Nởu X lỏ biởn ngóu nhiởn liởn tục với hỏm mat do f,(x)_ thi

E(X)= | x f, (x)dx (với điều kiện tợch phón hội tụ tuyệt đối) —cc x gau Trong trường hợp ŠI+,Ip, hoặc [IxI/,(x)4v phón kớ thớ ta nụi biến ng â=l _ nhiởn X khừng cụ kỳ vọng 1.2 Tợnh chất

a) EC=C với C lỏ hang so

b) E(cX)= c EX voic la hang so

c) E(X+Y)=EX+EY voi moi biờn ngau nhiởn X, Y

Từng quõi, nởu X,,i=1,n la cac biởn ngau nhiởn vỏ V2,e R.â =l,n Ce R ta Cể:

(Dax, +€] =Š4.E(X,)+C

i=l i=l

Trang 14

đ) E(XY)=EXEY nếu X,Y độc lập Nhón xờt:

â) Kớ vọng của biến ngẫu nhiởn chỉ giõ trị trung bớnh của biến ngẫu nhiởn đụ,

tức lỏ khi thực hiện một số lớn lần cõc phờp thử thớ giõ trị trung bớnh thu được của

cõc kết quả sẽ xấp xỉ với kớ vọng

ii) Trd choi may rủi được gọi lỏ cừng bằng (cụ lợi hay cụ hại) đối với người chơi nếu kỳ vọng số tiền nhận được trong mỗi lần chơi bằng (lớn hơn hay bờ hơn) số tiởn đặt cược trong mỗi võn chơi

iii) Nếu g(x) 1a ham liờn tuc thi đ(X) cũng lỏ biến ngẫu nhiởn vỏ kớ vọng của

nụ được tợnh lỏ:

Ẫ Ee(X)=>_s(x,).p, nởu X lỏ biởn ngầu nhiởn rời rac va

i=l

Ẽ Eg(X)= } 2(x) fy (x)dx nếu X lỏ biến ngầu nhiởn liởn tục

trong đụ từng vỏ tợch phón ở về phải của cõc đăng thức trởn phải hội tụ tuyệt đối

Vợ dụ 1: Một người đi từ nhỏ đến cơ quan phải qua 2 ngọ tư Xõc suất gặp độn

đỏ ở ngọ tư thứ nhất vỏ thứ hai tương ứng lỏ 0.1 vỏ 0.2 Khi gặp độn đỏ người đụ phải chờ đợi trung bớnh mất 2 phỷt Tớm thời gian trung bớnh người đụ phải chờ đợi ở trởn đường khi đi đến cơ quan

Giai:

Gọi X(ph) lỏ thời gian người ấy chờ trởn đường khi đi từ nhỏ đến cơ quan Khi

đụ X lỏ biến ngẫu nhiởn rời rạc nhận cõc giõ trị 0 2, 4

Gọi A lỏ biến cụ "người đụ sặp đền đỏ ở ngọ tư thứ Ò ", â=1,2 Ta cụ:

P(X =0) = P(A, A,) = P(A,) P(A,) =0,9*0,8 =0,72

P(X =2)= P(AA, UA,A,) = P(AA, )+ P(A, A,)

= P(A )P(A, )+ P(A, )P(A,) = 0.9*0, 2+ 0,1* 0,8 = 0,26

P(X =4)= P(A,A,) = P(A,)P(A,) = 0,1*0,2= 0,02

Trang 15

Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ Do đụ X cụ bảng phón phối x|Ị 0 2 4 P| 072 026 0.02 Vậy thời gian chờ trung bớnh của người đụ trởn đoạn đường từ nhỏ đến cơ quan lỏ: EX =0*0.72+2*0.,26+4*0,02=0.,6 (phỷt) Vợ dụ 2: Thời gian xếp hỏng chờ mua hỏng của khõch hỏng lỏ I biến ngẫu nhiởn T (phỷt) cụ hỏm mật độ: f= nue te [0; 3] 0, +rđờ[0; 3] Tớm thời gian xếp hỏng trung bớnh của khõch hỏng Giai: Thời gian xếp hỏng trung bớnh của khõch hỏng: EŒ)= | đ (ar = —eo nh = 2,4(ph) S1?

Vợ dụ 3: Sản lượng X(kg) của một loại san phóm bõn ra ở một cửa hỏng lỏ một biến ngẫu nhiởn cụ phón phối Sản lượng X(kg)[ 10] 15] 20 P aib |03 Tợnh a vỏ b biết sản lượng bõn ra trung bớnh trong mỗi ngỏy lỏ 14 kg Giai:

Tacờ > p,=1, suy ra a+b=0,7

Mặt khõc E(X)=>' p,x, =10a+15b+6=14nờn 10a+15b=8

Tu d6, giai a va b, ta duoc a=0,5; b=0,2

Vợ dụ 4: Một hộp bỷt cụ 10 cóy bỷt, trong d6 cờ 3 cay loai | vỏ 7 cóy loại 2

Giõ bỷt loại 1 va loại 2 lần lượt lỏ 5000 đồng vỏ 2000 đồng Một sinh viởn chọn

ngầu nhiởn 2 cóy bỷt đở mua Tớm sừ tiởn trung bớnh mỏ sinh viởn nỏy phải trả

Trang 16

Gọi X lỏ số bỷt loại I sinh viởn đọ mua

Y (ngỏn đồng) lỏ số tiền sinh viởn nỏy phải trả Ta cụ : Y=5X+2*(2—X)=3X +4 P(X =0)= C =' P(X sage “.! sư =2 S = | Bảng phón phối xõc suất của X : x| oO |1 |5 P 7/151 715 |5 E(X) = >" p,x, =0+7/15+2/15 =0,6 Số tiền trung bớnh phải trả :

E()= E(X +4) =3E(X)+4=5.8 (ngỏn đồng)

Vợ dụ 5: Một người tham gia trú chơi tung 3 hạt bầu cua Người đụ bỏ ra A đồng Nếu cụ â mặt bầu xuất hiện thớ người đụ nhận được (i+/)A đồng, â=1,2,3

Nếu khừng cụ mặt bầu nỏo xuất hiện thớ người đụ mất A đồng đọ đặt ra Hỏi trú chơi nỏy cụ lợi cho người chơi hay khừng ? G]ải: Gọi X lỏ số tiền thu về cho một lần tham gia, X € {0, 2A, 3A, 4A} Ta cụ 3 152 ae == 2 re 6 216 6 216 2zl P(X =34)=<== a P(X 49, 6 216 216 Suy ra: 2 manage age cõm =8 216 216 216 216 216

Điởu nỏy cụ nghĩa khi người nỏy tham gia chơi nhiều lần thớ sừ tiởn trung bớnh nhận được nhỏ hơn A hay nụi cõch khõc trú chơi bắt lợi cho người chơi

Trang 17

Bỏi giõng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ

Vợ dụ 6 : Một luật sư kinh tế nhận cọi một vụ kiện cho một doanh nghiệp được trả thỳ lao theo 2 phương õn

Phương õn I : Nhận 5 triệu đồng bất kề thắng bại

Phương õn 2 : Nhận 20 triệu đồng nếu thắng kiện, ngược lại nhận 500 ngỏn đồng tiền giấy bỷt

Sau khi nghiởn cứu hồ sơ vụ kiện, luật sư chấp nhận theo phương õn 2 Hỏi khi

chấp nhận phương õn 2, luật sư nhận định xõc suất thắng kiện tối thiởu lỏ bao

nhiởu ?

Giải :

Gọi p lỏ xõc suất mỏ luật sư nhận định sẽ thăng kiện vỏ X (triệu đồng) lỏ số

tiền thỳ lao nhận được theo phương õn 2

Ta cụ phón phừi của X : x|2010.5 Pip |I-p Số tiền thỳ lao trung bớnh nhận được theo phương õn 2 : E(X)= X.- =20p+0,5q—p) =19,5p+0,5 Vớ luật sư chọn phương õn 2 nởn ê(X)>5 4.5 3 SUV ra: p>——=— yit+ PS T95 13 2 Phuong sai 2.1 Dinh nghia

Giả sử biến ngẫu nhiởn X cụ kỳ vọng EX Nờu ton tai ky vong E(X — EX)? thi ta gọi giõ trị nỏy lỏ phương sai của X, kợ hiệu lỏ DX (hay Var(X)) tức lỏ:

DX = E(X —EXy

Giõ tri o(X)=VDx duoc gol la độ lệch chuẩn

Dễ thấy răng độ lệch chuẩn cụ cỳng thứ nguyởn với X

2.2 Tợnh chất

Trang 18

search by nhatlangthang Advertisement Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ Trong điều kiện từn tại phương sai ta cụ: a) DX =EX”-(EX} b) ìe=0 với c lỏ hằng số €) D(eX)=c°DX với c lỏ hằng số

d) D(X+Y)=DX+DY nờu X,Y dờc lap

Tổng quõi, nếu X,,i=1,n 1a cdc biờn ngdu nhiờn doc lap, c6 phuong sai hiru han thớ v4 R./=I.n,CeR ta cụ: of Sax, +c}= LHD) Trong thực hỏnh, ta hay sử dụng cừng thức sau: - Nếu X rời rạc thớ D(X)=3 (x—EXỶ'p,= 3 xip,—(EXỶ - Nếu X liởn tục thớ D(X)= | (x- EX)? f(x)dx = | x? f (x)dx—-(EX J

Ý nghĩa: Phương sai cũng như độ lệch chuẩn lỏ đại lượng đặc trưng cho mức độ tập trung của cõc giõ trị của biến ngẫu nhiởn X quanh kỳ vọng EX

Trang 19

DX =EX?~(EX)?= bˆ+ab+a" (=) (b—a)ˆ 3 2)” PB Vợ dụ 8: Cho biến ngẫu nhiởn X cụ phón phối X | 0 I 2 P | 04 02 04 Tim phuong sai E(X ), E(2.X —3), D(X), D(2X -3) D(X”) lal: E(X)=0*0,44+1*0,2+2*0,4=1 E(2X -3)=2E(X)—3 =-—I E(X”)=0”*0,4+1”*0,2+2”*0,4=I1,8 D(X)= E(X”)—(EX)” =0,8 D(2X -—3) =4D(X) =3,2 E(X*)=0'*0,4+1'*0,2+2'*0,4 =6,6 D(X*) = E(X*)-(E(X*)y =6,6-1,8° =3, 36 Vợ dụ 9: Cho X, Y lỏ hai biến ngẫu nhiởn độc lập với E(X)=D(X)=3, E(Y)=D(Y)=2 a) Tợnh E(Z), D(Z) với Z =(3X-2Y)/5 b) Tợnh ê(2X”/+Y”+3XY) Giải: a) E(Z)=(3E(X)-2E(Y))/5=l pans D(Z) = Ễ DBX —2Y) = = 2y) _ CEH AD - | b) E(2X”+Y”+3XY)=2E(X ”)+E(Œ”)+3E(XY) 2| D(X)+(#X)? |+| Dỵ)+(@Y)? |+3E(X).EŒ) = 2*12+6+18 =48

hõn xờt: Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho sai số của cõc thiết bị hoặc

của cõc phờp đo Trong quản lý vỏ kinh doanh, nụ đặc trưng cho mức độ rủi ro của cõc quyết định

Trang 20

Vợ dụ 10: Một nhỏ đầu tư đang cón nhắc giữa việc đóu tư vỏo 2 dự õn A vỏ B trong hai lĩnh vực độc lập Khả năng thu hừi vừn sau 2 năm (tợnh băng %) của 2 dự õn lỏ cõc biởn ngóu nhiởn X,.X„ cụ bảng phón phừi xõc suót như sau: Dự õn A: X,(%)| 65 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 F 0,04 | 0,12 | 0,16 | 0,28 | 0,24 | 0,08 | 0,08 Dự õn B: X,(%) | 66 | 68 | 69 | 70 | 71 P | 0,12 | 0,28 | 0,32 | 0,20 | 0,08 Dờ thay: E(X ,)=69,16%; D(X ,) = 3.0944 E(X ,) =68,72%; D(X ,) =1,8016

Như vậy nếu cần chọn phương õn đầu tư sao cho tỷ lệ thu hồi vốn trung bớnh

cao hơn thớ nởn chọn dự õn A (vớ Eê(X,)> E(X,)) tuy nhiởn nếu cần chọn phương

õn đầu tư sao cho độ rủi ro của tỷ lệ thu hồi vốn thấp hơn (ồn định hơn) thớ nởn chọn dự õn B 3 Median Trung vị (hay Median) của biởn ngẫu nhiởn X, được kợ hiệu medX xõc định theo hệ thức: ] ` P(X < medX )S> va P(X >medX)< bt | —

Nhdn xờt: Theo dinh nghia trờn thớ X cụ thể cụ nhiều trung vị vỏ trong trường

Trang 21

- hỏm mật độ đạt cực đại nếu X lỏ biến ngau nhiởn liởn tục, - _ cụ xõc suất lớn nhất nởu X lỏ biến ngẫu nhiởn rời rạc Vợ dụ 11: Cho biến ngóu nhiởn X, Y cụ phón phối X|DÐ|LI|Ị 2|3 ơ| Oi) |] 2 | os P| 0,3 | 0,5 | 0,1 | 0,2) | P | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 Tim mod(X ),mod(Y), med(X ), med(Y) Gial: mod(X)=1 vi P(X =1)=0,5 Iờn nhat med(X )=1 vi P(X <1) va P(X >1) dờu khong vượt quõ 0.5 Tuong tu: mod(Y) = 2

med(Y) lỏ giõ trị tỳy ý thuộc doan [1,2]

Vợ dụ 12: Cho biến ngẫu nhiởn cụ hỏm mật độ:

f(x)= ‘ x, xe [0,1]

0 xe{|0.1|

Tim mod(X) vỏ med(X) Giai:

Ham f(x) dat cực dai tai x=1 nờn mod(X) =1

Trang 22

Cho biến ngẫu nhiởn X Giả sử tồn tại kỳ vọng của biến ngẫu nhiởn X',keN thớ giõ trị E(X“) được gọi lỏ moment bậc k của X, kợ hiệu m,(X) tức lỏ:

ũL\XIEEH(NV”):

Dễ thầy rằng m(X)= E(X)

b Moment trung tram bac k

Cho biến ngẫu nhiởn X Khi đụ, nếu tồn tại kỳ vọng của biến ngẫu nhiởn

(X—-EX}'ˆ.keN thớ giõ trị E(X -EX}' được gọi lỏ moment trung tóm bậc k của X, kợ hiệu ự,(X) tức lỏ: a, (X)=E(X — EX) Dờ thay @(X)=0 va a,(X)=D(X) c Hệ số bắt đối xứng Hệ số bất đối xứng của X được tợnh bởi cừng thức: „_ E(X -EX} _ œ(X) [D(x yp [œ.(X |” 4

Ý nghĩa: Nếu $=0 thớ phón phối lỏ cón xứng Nếu s >0 thớ phón phối lệch qua bởn phải ngược lại nếu s <0 thớ phón phối lệch qua bởn trõi

d Hệ số nhọn

Hệ số nhọn của X được tợnh bởi cừng thức:

c-E(X-EX)_y đ(X) [D(x)Ƒ [œ.(X)]

Ý nghĩa: Nếu ê= 0thớ phón phối xõc suất được tập trung ở mức bớnh thường

Trang 23

Bỏi7: _ MỘT Sể PHằN PHểI QUAN TRỌNG

1 Phón phối rời rạc

1.1 Phón phối 0-1

Biến ngẫu nhiởn X được gọi lỏ cụ phón phối 0-1 với tham số p,0< p<l kợ

hiệu X ~ A(p) nởu X cụ bảng phón phừi xõc suót: X| 0 | 1 P| 1-p|p - Ki vong E(X)=p - Phuong sai D(X) = p(l-p)

Nhón xờt: Trong thực tế, phón phối 0-1 thường sử dụng đề thề hiện phón phối

của cõc dấu hiệu nghiởn cứu định tợnh cụ hai phạm trỳ (vợ dụ: nam hay nữ, thỏnh cừng hay thất bai, )

1.2 Phón phối nhị thức

Trang 24

search by nhatlangthang Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ (â) Nếu X vỏ Y độc lập X ~ 8(r:p) vỏ Y ~ B(m p) thớ X +Y ~ B(n+m:p) Nhận xờt:

() Phón phối ự p) chợnh lỏ phón phối A(p)

(ii) Xờt đọy n phờp thử Bernoulli với xõc suất thỏnh cừng lỏ p Lỷc đụ, nếu gọi X lỏ biến ngẫu nhiởn chỉ số lần thỏnh cừng trong dọy n phờp thử nỏy thớ X cụ phón

phối nhị thức B(n,p)

Về mặt toõn học nếu X,.â=I.ự lỏ n biến ngẫu nhiởn độc lập vỏ cụ cỳng phón phối A(p) thớ X = X,+X,+ +X„ cụ phón phối nhị thức B(n, p)

(iii) Mod(X) chợnh lỏ số lần cụ khả năng lớn nhất trong mừ hớnh dọy phờp thử

Bernoulli vỏ lỏ số nguyởn thoả điều kiện: np—g< Mod(X)<np—q+l Với q=1-p (iv) Trong nhiều bỏi toõn, người ta quan tóm đến phón phối của tỷ lệ xuất hiện

f của biến cụ A trong dọy n phờp thử Bernoulli với p= P(A) Khi đụ đặt ƒ = X /n

với X ~ B(n:p) Ta cụ bảng phón phối của f : F| 0 WR BER cas | F PO ph BO pei Lỷc đụ: E(f)= p; D(f)= p- p)/n

Vợ dụ 1: Một thỏnh phố A cụ 70% gia đớnh cụ tivi Chọn ngẫu nhiởn 20 gia

đớnh vỏ gọi X lỏ số gia đớnh cụ tivi

a) Tợnh xõc suất cụ đỷng 10 gia đớnh cụ tivi b) Tợnh xõc suất đề cụ ợt nhất 2 gia đớnh cụ tivi

Giai:

Theo gia thiờt X c6 phan phời nhi thire x ~ B(n=20; p=0,7)

a) P(X =5)=C;,(0,7)" 0,3)" =0,0308

b) P(X >2)=1-P(X =0)- P(X =1) =1-C),(0,3)° —C,,(0,7)'(0,3)"" =0,9999

Vợ dụ 2: Một sinh viởn thi vấn đõp trả lời 5 cóu hỏi một cõch độc lập Khả

năng trả lời đỷng mỗi cóu hỏi đều bằng 60% Nếu trả lời đỷng thớ sinh viởn được 4

điểm, ngược lại bị trừ 2 điởm

Trang 25

a) Tớm xõc suất đề sinh viởn đụ trả lời đỷng 3 cóu

b) Tớm số cóu mỏ sinh viởn nỏy trả lời đỷng với khả năng lớn nhất

c) Tim sờ điểm trung bớnh mỏ sinh viởn đụ đạt được

đ)_ Một sinh viởn khõc vỏo thi với khả năng trả lời đỷng mỗi cóu đều như nhau vỏ cho răng số điềm trung bớnh đạt được khừng ợt hơn 14 Hỏi sinh viởn nỏy phõn đoõn khả năng trả lời đỷng mỗi cóu tối thiởu lỏ bao nhiởu ? Giai: Gọi X lỏ số cóu trả lời đỷng của sinh viởn đụ trong 5 cóu hỏi Lỷc đụ X cụ phón phối nhị thức 8(+=5: p=0.6) a) P(X =3) = C?0,6°0,4° =0,3456 b) Ta cụ g=l1-p=0.4 vỏ

np—q S Mod(X )<np-—q+1 Ẫ 5*0.6—0.4 < Mod( X) <5*0,6 —0,44+1 <= 2.6 < Mod(X) <3.6

Suy ra Mod(X)=3 Vay s6 cau trả lời đỷng với khả năng lớn nhất lỏ 3 cóu e) Gọi Y lỏ số điểm sinh viởn đụ đạt được Ta cụ: Y =4X~2.(5~ X)=6X 10 Vậy số điềm trung bớnh sinh viởn đụ đạt được:

EY = E(6X —10)=6EX —10=6np—10=6*5*0,6—10=8

đ) Gọi p lỏ xõc suất sinh viởn nỏy trả lời đỷng mỗi cóu vỏ Z„ T lần lượt lỏ số

cóu trả lời đỷng vỏ số điểm đạt được Khi đụ, ta cụ 7 =6Z—10, Z ~ B(n=5, p) Theo giả thiết: ê(7)=6E(Z)—10=6*5*p—10= 30p—10> 14

Từ đụ ta được p>0.8

1.3 Phón phối Poisson

Biến ngẫu nhiởn X được gọi lỏ cụ phón phối Poisson voi tham số ằ>0 kợ

Trang 26

search by nhatlangthang ; Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thót Tỷ AT Ae? DX = EX’ -(EXY’ =k -3 =4 kệ : mang =4 +0.“ k=0 6 =l k=0 =A(A+1)-2 =A moh Tom lai EX = DX =A Tinh chat:

(i) Cho xX ~ P(A) Khi đụ: EX = Dx =2

(ii) Cho X,.X, lỏ hai biến ngẫu nhiởn độc lập cụ phón phối Poisson với tham số lần lượt lỏ 4.4, Lỷc đụ biến ngẫu nhiởn X = X,+ X, cũng cụ phón phối Poisson với tham số 4= 4, +ằ,

Nhận xời:

(â) Trong thực tế phón phối Poisson phản õnh phón phối số lượng cõc biến cố xuất hiện trong một khoảng thời gian (số cuộc điện thoại gọi đến tổng đỏi số khõch

hỏng đến rỷt tiền từ một ngón hỏng ) vỏ cụ tham sụ tỉ lệ với độ dỏi khoảng thời

gian đụ, tức lỏ trong khoảng thời gian cụ độ dỏi T, đại lượng nghiởn cứu cụ phón phối poisson với tham số 4 thớ trong khoảng thời gian cụ độ dỏi kT đại lượng nghiởn cứu sẽ cụ phón phối poisson với tham số x4

(i1) Mod(X) lỏ số nguyởn thoả điều kiện ó—1< Mod(X)<ằ

Vợ dụ 3: Một gara cho thuở ừtừ thấy rằng số người đến thuở ừtừ vỏo ngỏy thứ 7 lỏ một biến ngẫu nhiởn cụ phón phối Poisson với tham số 4=2 Giả sử gara cụ 4 chiếc ừtừ Họy tớm xõc suất đề:

a) Khừng phải tất cả 4 chiếc ừtừ đều được thuở

b) Tất cả 4 ừtừ đều được thuở

Trang 27

PT =2)=rf@ =2)=0,771: P(Y =3)= P(X =3)=0,18 P(Y =4)= P(X 2 4)=0,143

Tu do ta tinh duoe EY =1,925

Vợ dụ 4: Một cửa hỏng bõn đồ điện tử gom 2 mat hang: tivi va radio Số tivi vỏ radio bõn trong một ngỏy đều cụ phón phối Poisson vỏ chỷng độc lập nhau Trung

bớnh mỗi ngỏy cửa hỏng bõn được | tivi vỏ 2 radio

b) Tớm xõc suất đề I ngỏy cửa hỏng bõn được ợt nhất 4 san pham

c) Tinh xõc suất trong 2 ngỏy bõn được 10 sản phẩm

Giai:

a) Gọi X,Y,Z lỏ số tivi, radio va san pham tương ứng cửa hỏng bõn được trong

một ngỏy Ta cụ X,Ÿ cụ phón phối Poisson với tham số tương ứng lỏ I vỏ 2 Vớ X,Y

độc lập nởn Z=X+Y cũng cụ phón phối Poisson với tham số 4=1+2=3 Do đụ xõc suất cần tớm lỏ

e3 c3 c 3 c3

P(Z >3) =l- P(⁄ <3) =l— = = =(),353

0! I! 2! 3!

b) Gọi W lỏ sừ sản phóm bõn ra trong 2 ngỏy, ta cụ W cũng cụ phón phừi

Poisson với tham sừ 4, =2ằ =6 Xõc suót cón tớm: 10 P(W =10)= 10 -0 Ce !

1.4 Phan phoi hinh hoc

Trang 28

search by nhatlangthang a

Nhõn xờt : Xờt phờp thử vỏ A lỏ một biởn cừ ở trong phờp thử đụ với xõc suót

xảy ra p= P(A) Thực hiện độc lập vỏ liởn tiếp cõc phờp thử cho đến khi biến cụ A xuất hiện thớ dừng Gọi X lỏ số phờp thử đọ thực hiện Khi đụ, X cụ phón phối hớnh

học với tham số p

1.5 Phón phối siởu bội

Biến ngẫu nhiởn X được gọi lỏ cụ phón phối siởu bội với tham số (N.M.n) với

n<M<N,kợ hiệu X ~ (N.M.n) nếu tập giõ trị của X lỏ {0.1.2 m} vỏ k n—k Coe M ™~N—M Ti Ế h2: ST f “N P(X=k)= ‘ M - Ky vong: 8 a are - Phuong sai: D(X )=n—} |-— wae M na M \N-n Nhõn xờt:

(â) Cho một tập cụ N phần tử trong đụ cụ M phần tử cụ tinh chat A, M<N Chọn ngẫu nhiởn n lần từng phần tử một khừng hoỏn lại trong tập hợp nỏy vỏ gọi X lỏ số phần tử được chọn cụ tợnh chất A Khi đụ X ~ H(N.M.n)

(ii) Khi giõ trị N lớn vỏ số lần lấy n nhỏ thớ phương phõp lấy khừng hoỏn lại

vỏ lóy cụ hoỏn lại gần như khừng khõc nhau Đặc biệt trong trường hợp lấy cụ hoỏn

lai thi X ~ Bứ:p) với p=M/N Vớ vậy trong trường hop N lớn vỏ số lần lấy n nhỏ thi ta c6 thờ xem phón phối #(W.M.n) xấp xi phón phối B(r:p) với p=M/N

2 Phón phối liởn tục

2.1 Phón phối đều

Trang 62

Biởn ngóu nhiởn X được gọi lỏ cụ phón phổi đều trởn đoạn [a,b], kợ hiệu X ~U(a.b) nởu hỏm mật độ của nụ cụ dạng:

f(x) dhe xờ [a,b]

Trang 29

phỏng giõ trị của biền ngóu nhiởn cụ phón phừi đều trởn đoạn [0 l | F(œw)= a xela.b| b-a 0 x<a ‘ +1 - Ky vong: EX = oe - Phuong sai: DX -o 2 Nhan xờt:

(1) Hỏm random ở cõc phón mởm lập trớnh hay ở mõy tợnh bỏ tỷi lỏ hỏm mừ (11) Phón phừi đều được sử dụng nhiởu trong thừng kở, đặc biệt trong bỏi toõn ước lượng Khi ta khừng biết thừng tin gi về giõ trị của tham sừ cón ước lượng thớ mỗi giõ trị của nụ trong tập giõ trị cụ thở của tham sừ nỏy được xem lỏ đừng khả năng Điởu nỏy dón đền việc quan niệm tham sừ cón ước lượng như một biởn ngóu

nhiởn tuón theo luật phón phối dờu

Vợ dụ 5: Khi thóm nhập vỏo một thị trường mới, doanh nghiệp khừng thở khăng định được một cõch chăc chăn doanh sừ bõn được hăng thõng lỏ bao nhiởu

mỏ chỉ dự kiến doanh số tối thiởu lỏ 20 triệu đồng vỏ tối đa lỏ 40 triệu đồng/thõng

Tớm xõc suất đề doanh nghiệp đạt được doanh số tối thiểu lỏ 35 triệu đồng/thõng

Giai:

Trang 30

search by nhatlangthang X ~ Eu(2) nởu hỏm mật độ của nụ cụ dạng: he* x>0 (x _| roy jo xo - Ham phan phdi: F(x) = ( a ee 0 x<0 Tợnh chất: Cho X ~ Exp(A) Khi d6: ê(X)=1/ằ: D(X)=1/4? Nhận xờt:

(â) Trong thực tế, phón phối mũ thường thể hiện phón phối khoảng thời gian

chờ giữa cõc lần xảy ra biến cụ hay thời gian sừng của cõc đối tượng

(1) Cho X ~ Exp(2) Khi đụ P(X >s+rl X >s)= P(X >r):Vi,s>0

Điều nỏy được giải thợch lỏ: xõc suất hoạt động liởn tục của thiết bị trong khoảng thời gian t khừng phụ thuộc vỏo quọng thời gian hoạt động trước đụ mỏ chỉ phụ thuộc vỏo độ dỏi quọng thời gian t mỏ thừi

Vợ dụ 6: Giả sử tuừi thọ (tợnh bằng năm) của một mạch điện tử trong mõy tợnh lỏ một biến ngẫu nhiởn cụ phan phối mũ với tuừi thọ trung bớnh lỏ 6,25 năm Thời gian bảo hỏnh của mạch điện tử nỏy lỏ | nam

a) Hỏi cụ bao nhiởu phần trăm mạch điện tử bõn ra phải thay thế trong thời gian bao hanh ?

b) Một cừng ty mua 40 mạch điện tử loại nỏy Tớm số mạch trung bớnh cừng ty phải bảo hỏnh Gial: Trang 64 Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ

a) Gọi X lỏ tuổi thọ của mạch điền tử

s3 gg ok Bie i Bi acids okie i l

Theo gia thiệt X cụ phón phừi mũ với tham sừ 2 =—— = =

,

Tỉ lệ mạch điện tử bõn ra phải thay thờ trong thời gian bảo hỏnh lỏ:

4

P(X <5)=1-e 5 ~0,1478

b) Ta cờ m6 hinh day phờp thu Bernoulli voi n= 40; p =0,1478

Goi Y 14 s6 mach can bao hanh, ltic d6: Y ~ B(n = 40; p =0,1478)

Trang 31

ad) Định nghĩa:

Biến ngẫu nhiởn X được gọi lỏ cụ phón phối chuẩn với tham số „ vỏ ự° kợ

Trang 32

search by nhatlangthang I Xx I Tz Je *dr 1a ham Laplace LT 4 (ii) (x) =5 +(x), trong đụ B(x) = Ham Laplace cụ tợnh chat : @P(—x) =—P(x), Vx Vidu7: (0) =0; B(1/ 2) =0,191; (1) =0,341; &(2) = 0,477 d) Cae định lý :

* Định lý I: Nếu X cụ phón phối chuẩn N(w.o7)thi Y=mX +n, voi

mụn R.m #0 cụ phón phối chuẩn Nữn//+n.n°ì))

Ứng dung : Nếu X ~ N(â.ự`) thớ Y _ ~ N(0; 1) Luc do: a-fl sty at sa(E)-a(2) oO ì * Định lý 2: Nếu X, P(a< X <Bb)= P(aSX <B)= P(ux X <b)=P@=X <b) - [+8

eo X„ lỏ cõc biởn ngầu nhiởn độc lập cụ phón phừi chuón

Trang 33

- Tir tinh chat Ẽ,(—x) =1-Ẽ,(x), Vre R suy ra u,_, =—u,-

Mot so phan vi chuan thudng gap :

Ugg =1,282 = Uggs = 1,645 Uyo7s =1,96 = Ugg = 2,326 = Up gps, = 2,976 2 Nhận xờt: Từ mối quan hệ giữa Ẽ(+x) vỏ Ẽ,(+x) ta cụ ngay U, =Ẽ'ẻự=3 ]è Vợ dụ ư: Cho X ~ N(15, 4), Y ~ N(10, I), X vỏ Y độc lập a) Tinh P(2X >3Y) b) Tớm a vỏ b biết 7 = X +aY +b Vỏ a>0, E()=30 Dữ) =5 ở) Tợnh E@X”Ý—XY”) Giai: a) Đặt Z=2x-3Y Ta cụ Z cụ phón phối chuẩn vỏ êZ=2*15-3*10=0, DZ =4*4+9*I=25 Lỷc đụ: 0=0 P@X >3Y)=PữZ >0)=I~f/ <0)=1/2~@| TẾ è=I/2~#@)= N25 bú |— b) E(T) = E(X + aY +b) = E(X)+aE(Y) +b =15+10a+b=30 >10a+b=15 Trang 67 Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ D(T) = D(X +aY +b) = D(X)+a°D(Y) =44+a =5>a=1 Vè a30 Từ đụ, ta được a=l:b=5

c) E(2X?-XY?)=2E(X?)~ E(XY?)=2| D(X)+(EX |—E(X).EW°)

Trang 34

search by nhatlangthang 2 \o?) Lo) Giai hờ phuong trinh:

u+ơ=4 la =10/3

>>

a-ơ!2=3_ \|ơ=2!3

E(2X”+X)=2E(X”)+E(X)=2{E(X”)—(EX)”]+2(EX)” + E(X)

= 2D(X)+2(EX) + E(X) =20° +2? + u=238/9

Vợ dụ 10: Lọi suất (%) đầu tư vỏo một dự dn trong nam 2010 được coi như lỏ

một biến ngẫu nhiởn cụ phón phối chuẩn Theo đõnh giõ của ủy ban đầu tư thớ với

xõc suất 0.1587 cho lọi suất cao hơn 20% vỏ với xõc suất 0.0228 cho lọi suất lớn

hơn 25% Vậy khả năng đầu tư mỏ khừng bị lễ lỏ bao nhiởu ?

Gial:

Goi X 14 lai suat (%) dau tu vao mờt du dn trong nim 2010

Tac6 X ~ N(u,0°) Theo giả thiết = 311 P(X > 20) =1—P(X <20) =1/2-0[ 24) -o.1587 5, OTH og os yeep ì ì 25-1 255-u P(X >25)=1-P(X <25)=1/2-œẼ =0,0228 => =2ạ€ẰUu+2ơ=25 oO Oo Trang 68 Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ [a+ơ=20 Cải hệ lu +20 =25 ta được w=15,0=5 Xõc suất đầu tư khừng bị lỗ lỏ l5 P(X >0)=l—P(X <0)=1/2-0( 28) -0,3)=0,9987 Vi du 11: Chiờu cao cua thanh niờn 6 mot ving c6 phan phoi chuan N(w.07) VOl “=165cem, 0 =5cm

a) Tớm tỉ lệ thanh niởn cụ chiều cao từ 160 em đến 170 cm

b) Chọn ngau nhiởn 10 thanh niởn, tợnh xõc suất cụ 3 thanh niởn được chọn cụ chiều cao lớn hơn 170 cm

Giải:

Trang 35

b) Ta cụ mừ hớnh dọy phờp thử Becnull với n=10; p = P(X >170)

eae) =0,5-00) =0,159 p = P(X >170) =1—P(X <170) =—-Ẽ :

Xdc suat can tim: —p,,(3) =C3,0,159°.0,841"

Vợ du 12: Một nha sản xuất cần mua một loại ựloồng cao su cụ độ dỏy từ

0.118em đến 0.122cm Cụ 2 cửa hỏng cỳng bõn loại gioăng nỏy với độ dỏy lỏ biến

ngóu nhiởn cụ phón phừi chuón với cõc đặc trưng được cho ở bảng sau:

Tởn cửa hỏng | Độ dỏy trung bớnh | Độ lệch chuẩn Gia ban

Cua hang A 0,12 0,001 3USD/h6p/1000 cai

Cua hang A 0:12 0.0015 2,6USD/hộp/1000 cõi

Hỏi nhỏ sản xuất nởn mua gioăng ở cửa hỏng nỏo ? Giai:

Goi X,.X, lan lượt lỏ độ dỏy của gioăng bõn bởi cửa hỏng A vỏ B tương ứng

Trang 69

Tỉ lệ gioăng dỳng được của 2 cửa hỏng tương ứng lỏ:

32-0 19 ~0.12

P(0.118<X,<0.122)=Ậqœ eas —œ ae = 20(2) = 0,9544

0,001 0,001

J9 i 2 — 2

POLIS < X 4 < 0,122) =| 212270"? | _ gf OATS OT? |~2@(,33) =0,8164 0,0015 0.0015

Trang 36

search by nhatlangthang „ 2.4 Phón phừi +

Biởn ngẫu nhiởn X được gọi lỏ cụ phón phối z` với bậc tự do n, kợ hiệu X ~ # (n) nởu như hỏm mật độ của nụ cụ dạng:

trong đụ hỏm gama: I(a)= [x teva a >0

0

Phón vị mức #z của phón phối Ò? với n bậc tự do, kợ hiệu Zz(n), được tra ở

bảng phón vị của phón phối 7°

Tinh chat: E(X)=n, D(X)=2n

Dinh ly:

(i) Cho X,.X, X, lỏ cõc biến ngẫu nhiởn độc lập va cụ cỳng phón phối N(0.1) Khi đụ biến ngẫu nhiởn X = X}+ X?+ + X? cụ phón phối 77(n) Trang 70 Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ () Nếu X Y độc lập, X ~ # (n) Y ~ #ˆ(m) thớ X +Y ~ #”(m+n)

(iii) Nếu x ~z?œ) thớ khi n khõ lớn Y=2X -2n—I cụ phón phối xấp xi

Trang 37

2.5 Phón phối Student

(1,645+V199) ~ 124,06

w

Biờn ngau nhiờn X duge goi 1a c6 phan phoi Student voi bac tự do n, kợ hiệu X ~7T, nờu nhu ham mat do cua n6 co dang: (2) 5 — a =) V nat) Phón vị mức z của phón phừi student với n bac tu do, ki hiờu 1,(n), duoc tra ƒœ)= ở bảng phón vi cua nụ i Tinh chat: E(X)=0, D(X)= n>2: 1z Trang 71 Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thừng kở GV: Từn Thất Tỷ Định lý: Cho x ~ N(0,1), Y~ 77(n) va X.Y độc lập Khi đụ biến ngẫu nhiởn sẽ cụ phón phừi 7,

Vợ dụ 14: ẻạos (24) =I1,711; âr 0.975 (15) =1, 733 yes

Nhận vờt: Khi n>30 thi tac6 1,(n)=u, Chăng han 1,,(0,95) ~ up; = 1,645, 15 ị ⁄ ⁄ | ` Lif 7 \ 04 1 if \ ig & 02 if á | — : f ẹ an 815 ị / \ nals 10 4 4 7 x ` ans j ‡ + Ry ee te Ls = † † † † - -4 3 = 0 1 2 4

2.6 Phón phối Fisher

Trang 38

search by nhatlangthang hieu X ~ F nởu như hỏm mật độ của nụ cụ dạng: r| m+n ny 2 m2 2 x* F(x) = et ae hnar: —= x>0 x)= m n —— : 1 2 l8 2 (mx+n) : 2 0 x<0 Z F n i 2nˆ(m+n—2 Tợnh chót: E(X)= ,n>2 va DI Lk, n—2 m(n—2)"(n—4) Trang Z2 Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ 02 È | \, O65 } + \ 1 04- \ | ` 4 \ 02+ + xỉ | - È k S| | 0 t 1 t——— ——— l 2 3 4 4 6 x [ m=n=2 m=5 = m=5,0=20 |

Định lý: Cho X, Y độc lập vỏ X ~ z°0n).Y ~ z (nồ) Khi đụ, biến ngau nhiởn

2 Y/n my en phón phối 7,

Bai8: XAP Xi XAC SUAT CUA PHAN PHOI NHI THUC

Giả sử X lỏ biến ngẫu nhiởn cụ phón phối nhị thức vời tham s6 n va p, tite 1a:

Trang 39

đề giải quyết những vấn đề nỏy

1 Xấp xỉ bởi phón phối Poisson (luật biến cố hiếm) Khi p khõ nhỏ vỏ ự khõ lớn, ta cụ Ae P(X =k)= kt? trong d6 A=np Điều nỏy cụ nghĩa lỏ X cụ phón phối xấp xi phón phối Poisson với tham số A=np

Vợ dụ l: Trong một đợt người ta san xuất 70.000 cuốn sõch Xõc suất đề mỗi

cuốn sõch bị lỗi do in ấn lỏ 0,002 Tớm xõc suất cụ đỷng 75 cuốn sõch cụ lỗi

Giai:

Trang 73

Gọi X lỏ số cuốn sõch bị lỗi Ta cụ X cụ phan phối nhị thức 8(ựÍ = 10.000, p = 0,002) Vớ p nhỏ vỏ n lớn nởn ta cụ thờ xem X cụ phón phối Poisson với tham số ằ=np=20 Do đụ xõc suất cần tớm sẽ lỏ: 2nl5 „-20 POX <ilÐs — =0.0514

Vợ dụ 2: Một mõy dệt cụ 5000 ống sợi Xõc suất đề trong 1 phỷt một ống sợi

bị đứt lỏ 0.0002 Tớm xõc suất đề trong 1 phỷt cụ khừng quõ 2 ống sợi bị đứt

Giải:

Gọi X lỏ SỐ ống sợi bị đứt trong | phỷt, ta cụ X ~ 8(wÈ=5000: p =0.,0002)

Trang 40

search by nhatlangthang È

a) Dinh ly gidi han dia phuong Moivre-Laplace

Khi n lớn vỏ p khừng quõ gón 0 vỏ 1, ta c6 cờng thức xóp xỉ: Vnpq \Vnp(l-p) a > l s as sae ae ee fie Ho ok trong đụ g(x) = i ham mat do phan phoi chuan tac N(0,1) 2Z

Vợdu 3: Giả sử biến cụ A cụ xõc suất P(A)=p=0,25 khừng đừi Tợnh xõc suất

để khi thực hiện 200 phờp thử cụ đỷng 60 lần biến cụ A xuất hiện

Gọi X lỏ số lần biến cố A xuất hiện trong 200 phờp thử Ta cụ X cụ phón phối nhị thức B(n=200,p=0,25) Vớ n lớn nởn xõc suót cón tớm cụ thở tợnh theo cừng thức xóp xi: Trang 74 Bỏi giảng: Xõc suất vỏ Thống kở GV: Từn Thất Tỷ —2 + 2 P(X =60) = J 200 *0,25*0,75 | | 200*0,25*0,75 } 6.124 |) eee l=— pla) = 80171: b) Định lý giới hạn tợch phan Moivre-Laplace Khi n khõ lớn ta cụ cừng thức xấp xỉ: k, —np k, —np j Mọ = P(k,< X <k,)={œ -Ẽ|——-|=— e *dx - \'npq | | J npq ar J, Vad Hay nụi cõch khõc, X cụ phón phối xấp xỉ phón phối chuón N(w.0°) voi a=E(X) =np Vỏ ựˆ = D(X) =np(l- p)

Định dạng
Số trang	76
Dung lượng	12,1 MB