02B image marked

 Bài 02 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Giả sử hàm số y = f (x ) xác định liên tục khoảng (a; b ) ( a - ¥ , b + ¥ ) x Ỵ (a; b ) Định lí  Nếu tòn tại só h cho f (x )< f (x ) với mọi x Ỵ (x0 - h; x + h) x ¹ x ta nói hàm số f (x ) đạt cực đại tại điểm x Khi đó: ✓ x gọi điểm cực đại hàm số f (x ) ✓ f (x ) gọi giá trị cực đại hàm số f (x )  Nếu tòn tại só h cho f (x )> f (x ) với mọi x Ỵ (x0 - h; x + h) x ¹ x ta nói hàm só f (x ) đạt cực tiểu tại điểm x Khi đó: ✓ x gọi điểm cực tiểu hàm số f (x ) ✓ f (x ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f (x ) Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập xác định K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) Chú ý Giá trị cực đại (cực tiểu) f (x ) hàm số f nói chung khơng phải giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) hàm số f tập xác định K mà f (x ) giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) hàm số f khoảng (a, b)Ì K (a, b ) chứa x Nếu f ¢(x ) khơng đổi dấu tập xác định K hàm số f hàm số f khơng có cực trị Nếu x điểm cực trị hàm số f người ta nói hàm số f đạt cực trị điểm x điểm có tọa độ (x ; f (x )) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Định lý ìï f ' (x ) = ● ùớ ắắ đ x l im cc i ca f (x ) ïï f '' (x ) < ỵ ìï f ' (x ) = ùớ ắắ đ x l im cc tiểu f (x ) ïï f '' (x )> ỵ Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số bậc ba y = f (x )= ax + bx + cx + d y = mx + n , mx + n dư thức phép chia f (x ) cho f ' (x ) Hoặc sử dụng công thức giải nhanh: y = f (x )- f / (x ) f // (x ) 18a CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Cho hàm số f (x ) xác định, liên tục có đạo hàm khoảng (a; b ) Mệnh đề sau sai? A Nếu f (x ) đồng biến (a; b ) hàm số khơng có cực trị (a; b ) B Nếu f (x ) nghịch biến (a; b ) hàm số khơng có cực trị (a; b ) C Nếu f (x ) đạt cực trị điểm x Î (a; b ) tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M (x ; f (x )) song song trùng với trục hoành D Nếu f (x ) đạt cực đại x Î (a; b ) f (x ) đồng biến (a; x ) nghịch biến (x0 ; b) Lời giải Các Mệnh đề A, B, C thêo định nghĩa SGK Xét mệnh đề D Vì mệnh đề chưa rõ ngồi x Ỵ (a; b ) cực đại f (x ) có cực trị khác hay khơng Nếu có thêm điểm cực đại (hoặc cực tiểu khác) tính đơn điệu hàm bị thay đổi thêo Có thể xét ví dụ khác: Xét hàm f (x ) = x - 2x , hàm số đạt cực đại x0 = Ỵ (- 2; 2) , hàm số không đồng biến (- 2;0) không nghịch biến (0;2) Chọn D Câu Cho khoảng (a; b ) chứa điểm x , hàm số f (x ) có đạo hàm khoảng (a; b ) (có thể trừ điểm x ) Mệnh đề sau đúng? A Nếu f (x ) đạo hàm x f (x ) không đạt cực trị x B Nếu f ' (x0 ) = f (x ) đạt cực trị điểm x C Nếu f ' (x0 ) = f '' (x ) = f (x ) khơng đạt cực trị điểm x D Nếu f ' (x0 ) = f '' (x ) ¹ f (x ) đạt cực trị điểm x Lời giải Chọn D thêo định lí SGK Các mệnh đề sau sai vì: Mệnh đề A sai, ví dụ hàm y = x khơng có đạo hàm x = đạt cực tiểu x = Mệnh đề B thiếu điều kiện f ' (x ) đổi dấu qua x ìï f ' (0) = Mệnh đề C sai, ví dụ hàm y = x có ïí x = điểm cực tiểu hàm số ïï f '' (0) = ỵ Câu Phát biểu sau đúng? A Nếu f ' (x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x f (x ) liên tục x hàm số y = f (x ) đạt cực đại điểm x B Hàm số y = f (x ) đạt cực trị x x nghiệm f ' (x ) = C Nếu f ' (x0 ) = f '' (x ) = x không điểm cực trị hàm số y = f (x ) D Nếu f ' (x0 ) = f '' (x )> hàm số đạt cực đại x Lời giải Chọn A thêo lý thuyết SGK Các mệnh đề sau sai vì: Mệnh đề B thiếu điều kiện f ' (x ) đổi dấu qua x ìï f ' (0) = Mệnh đề C sai, ví dụ hàm y = x có ïí x = điểm cực tiểu hàm số ïï f '' (0) = î Mệnh đề D sai Sửa lại cho '' Nếu f ' (x0 ) = f '' (x )> hàm số đạt cực tiểu x '' Câu Cho hàm số y = f (x ) liên tục khoảng (a; b ) x điểm khoảng Khẳng định sau đúng? A Nếu f ' (x ) x x điểm cực trị hàm số B Nếu dấu f ' (x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x x điểm cực đại đồ thị hàm số C Nếu dấu f ' (x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x x điểm cực tiểu hàm số D Nếu dấu f ' (x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x x điểm cực tiểu đồ thị hàm số Lời giải Mệnh đề A sai (phải thêm điều kiện f ' (x ) đổi dấu qua x ) Mệnh đề B sai Sửa lại cho '' Nếu dấu f ' (x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x x điểm cực đại hàm số '' Mệnh đề C đúng, từ hiểu rõ D sai (Phân biệt điểm cực tiểu hàm số điểm cực tiểu đồ thị hàm số) Chọn C Câu Giả sử hàm số y = f (x ) có đạo hàm cấp hai khoảng (x - h; x + h), với h > Khẳng định sau sai? A Nếu f ' (x0 ) = f '' (x )> x điểm cực tiểu hàm số B Nếu f ' (x0 ) = f '' (x )< x điểm cực đại hàm số C Nếu f ' (x0 ) = f '' (x ) = x khơng điểm cực trị hàm số D Nếu f ' (x0 ) = f '' (x ) = chưa kết luận x có điểm cực trị hàm số Lời giải Chọn C Câu (ĐỀ MINH HỌA 2016 - 2017) Giá trị cực đại yCD hàm số y = x - x + là? A yCD = B yCD = C yCD = D yCD = - éx = - Þ y = Lời giải Ta có y ' = x - = Û ê êx = Þ y = ë Do giá trị cực đại hàm số yCD = Chọn A Câu Tìm điểm cực trị x hàm số y = x - x + x + 10 D x = x = éx = ê Lời giải Ta có y ' = x - 10 x + 3; y ' = Û x - 10 x + = Û ê Chọn D êx = êë 10 C x = x = A x = - x = - B x = x = Câu Tìm điểm cực đại x hàm số y = x - 3x + A x = - B x = C x = D x = éx = - ® y (- 1) = Lời giải Ta có y ' = 3x - = 3(x - 1); y ' = Û êê êëx = ® y (1) = - Vậy hàm số đạt cực đại x = - Chọn A Câu Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y = x - x A (0;0) (1; - 2) B (0;0) (2;4) C (0;0) (2; - 4) D (0;0) (- 2;- 4) éx = ® y = Chọn C Lời giải Ta có y ' = x - x = x (x - ); y ' = Û ê êx = ® y = - ë Câu 10 Biết hàm số y = x + x - 3x + đạt cực tiểu x CT Mệnh đề sau đúng? 1 A x CT = B xCT = - C x CT = - D xCT = 3 éx = - ê Lời giải Ta có y ' = x + x - 3; y ' = Û ê êx = êë Chọn A Câu 11 Gọi yCD , yCT giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số y = x - 3x Mệnh đề sau đúng? A yCT = yCD B yCT = yCD C yCT = yCD D yCT = - yCD éx = ® y (1) = - Lời giải Ta có y ' = 3x - 3; y ' = Û êê Do yCT = - yCD Chọn D êëx = - ® y (- 1) = Câu 12 Gọi y1 , y2 giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số Vẽ bảng biến thiên, ta kết luận x CT = y = x - 3x - x + Tính P = y1 y2 A P = - 302 B P = - 82 C P = - 207 éx = ® y (3) = - 23 Lời giải Ta có y ' = 3x - x - 9; y ' = Û êê êëx = - ® y (- 1) = Suy P = y1 y2 = 9.(- 23)= - 207 Chọn C D P = 25 Câu 13 Tính khoảng cách d hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = (x + 1)(x - 2) A d = B d = C d = D d = éx = ® y = Lời giải Ta có y ' = (x - 2) + (x + 1).2 (x - 2) = x (x - 2) ; y ' = Û ê êx = ® y = ë Khi đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A (0;4) B (2;0) Suy AB = Chọn A Câu 14 Cho hàm số f (x ) = (x - 3) Giá trị cực đại hàm số f ' (x ) bằng: C Lời giải Ta có f (x ) = x - 6x + ắ ắ đ f ' (x )= x - 12x A - B D Tính f '' (x )= 12x - 12; f '' (x )= Û x = ± Vẽ bảng biến thiên, ta thấy f ' (x ) đạt cực đại x = - , giá trị cực đại f ' (- 1) = Chọn C Nhận xét Rất nhiều học sinh đọc đề khơng kỹ tìm giá trị cực đại hàm số f (x ) dẫn tới chọn đáp án D Câu 15 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = - x + 3x + A y = x - B y = x + C y = - x + D y = - x - éx = Þ y = Lời giải Ta có y ¢= - x + x ; y ¢= Û ê êx = Þ y = ë Suy đồ thị hàm số hai điểm cực trị A(0;1) B (1;2) Khi đó, đường thẳng qua hai điểm cực trị đường thẳng AB có phương trình y = x + Chọn B 1ổ ỗỗx - ữ y Â+ x + ữ ữ ỗố 2ứ Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị phần dư phép chia, y = x + Cách Lấy y chia cho y ' , ta Û y = f / (x ) f // (x ) 18a Câu 16 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y = (2m - 1)x + + m vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm Cách Dùng công thức y = f (x )- số y = x - x + éx = ® y (0) = Lời giải Xét hàm y = x - x + , cú y Â= 3x - x ắ ắ ® y ¢= Û êê êëx = ® y (2) = - Suy A(0;1), B (2;- 3) hai điểm cực trị đồ thị hàm số uuur uuur ® VTPT nAB = (2;1) Suy đường thẳng AB có VTCP AB = (2;- ) ¾ ¾ uur Đường thẳng d : y = (2m - 1)x + + m có VTCP nd = (2m - 1; - 1) uuur uur Ycbt Û nAB nd = Û 2.(2m - 1)- = Û m = Chọn D Câu 17 Cho hàm số y = - x + x + Mệnh đề sau đúng? A Đồ thị hàm số có điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu B Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khơng có điểm cực đại C Đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu D Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu điểm cực đại éx = ê Lời giải Ta có y ' = - x + x = - x (x - 1); y ' = Û êx = ê êx = - ë Vẽ phát họa bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu điểm cực đại Chọn D ìï a = - ¾¾ ® ab < ¾ ¾ ® đồ thị hàm số có ba điểm cực trị Cách Ta có ïí ïïỵ b = A m = - B m = C m = D m = Vì a = - < nên đồ thị có dạng chữ M Từ suy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu điểm cực đại Câu 18 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = ax + bx + c với a, b, c số thực Mệnh đề ? A Phương trình y ¢= vơ nghiệm tập số thực B Phương trình y ¢= có nghiệm thực C Phương trình y ¢= có hai nghiệm thực phân biệt D Phương trình y ¢= có ba nghiệm thực phân biệt ® phương trình Lời giải Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có ba điểm cc tr ắ ắ y Â= cú ỳng ba nghiệm thực phân biệt với a, b, c số thực Chọn D Câu 19 Tính diện tích S tam giác có ba đỉnh ba điểm cực trị đồ thị hàm số f (x )= x - 2x + A S = B S = C S = D S = éx = ® f (0) = Lời giải Ta có f ' (x ) = x - x ắ ắ đ f ' (x ) = Û êê êëx = ± ® f (± 1) = Suy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A(0;3), B (1;2), C (- 1;2) ìï H (0;2) Gọi H trung điểm BC ¾ ¾ ® ïí Khi S = BC AH = Chọn B ïï AH ^ BC ỵ Câu 20 Cho hàm số y = f (x ) liên tục ¡ với bảng xét dấu đạo hàm sau: - ¥ x f ' (x ) - - + +¥ + - Hỏi hàm số y = f (x ) có điểm cực trị? A B C D Lời giải Nhận thấy y ' đổi dấu qua x = - x = nên hàm số có điểm cực trị ( x = khơng phải điểm cực trị y ' không đổi dấu qua x = ) Chọn A Câu 21 Cho hàm số y = f (x ) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên sau: x - ¥ - 1 +¥ y' 0 P + + y +¥ +¥ - - - Khẳng định sau đúng? A Hàm số có ba giá trị cực trị B Hàm số có ba điểm cực trị C Hàm số có hai điểm cực trị D Hàm số đạt cực đại điểm x = Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số, ta có nhận xét sau:  Hàm số có ba điểm cực trị, gồm điểm x = - 1, x = 1, x = đạo hàm y ¢ đổi dấu qua điểm  Hàm số đạt cực đại x = , đạt cực tiểu x = ± Chọn B (đáp án A sai hàm số có hai giá trị cực trị yCD = - yCT = - Nói đến đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A(0;- 3), B (- 1;4), C (1;- 4) ) Câu 22 Cho hàm số y = f (x ) liên tục x có bảng biến thiên sau: x y' y - x2 x1 x0 - ¥ + +¥ - +¥ + +¥ Mệnh đề sau đúng? - ¥ - ¥ A Hàm số có hai điểm cực đại, điểm cực tiểu B Hàm số có điểm cực đại, khơng có điểm cực tiểu C Hàm số có điểm cực đại, hai điểm cực tiểu D Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu Lời giải ● Tại x = x hàm số y = f (x ) không xác định nên không đạt cực trị điểm ● Tại x = x1 dễ thấy hàm số đạt cực đại điểm ● Tại x = x , hàm số khơng có đạo hàm x liên tục x hàm số đạt cực trị x thêo bảng biến thiên cực tiểu Vậy hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu Chọn D Câu 23 Cho hàm số y = f (x ) xác định liên tục ¡ \ {x1 }, có bảng biến thiên sau: x y' x2 x1 - ¥ + +¥ + - +¥ y Khẳng định sau đúng? f (x ) - ¥ A Hàm số cho có điểm cực tiểu khơng có điểm2 cực đại B Hàm số cho khơng có cực trị C Hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu D Hàm số cho có điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy  f ¢(x ) đổi dấu từ " + " sang "- " qua điểm x1 x1 hàm số f (x ) không xác định nên x1 điểm cực đại  f ¢(x ) đổi dấu từ "- " sang " + " qua điểm x suy x điểm cực tiểu hàm số Chọn A Câu 24* Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên sau: x - ¥ y' y - + - + +¥ - ¥ điểm cực trị ? Hàm số y = f (x ) có +¥ A B C D Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y = f (x ) cắt trục hoành điểm đồ thị hàm số y = f (x ) có hai điểm cực trị suy đồ thị hàm số y = f (x ) có điểm cực trị Chọn B Câu 25 Cho hàm số y = f (x ) liên tục ¡ có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải Dễ nhận thấy hàm số có điểm cực trị điểm cực tiểu x = ỉ ỉ 1ư ỉ 1ử ữ ỗ ỗ ữ Xột hm s f (x ) trờn khong ỗỗ- ; ữ ữ ữ ữ ữẩ ốỗỗ0; ứ ữ Suy ữ, ta cú f (x )< f (0) vi mi x ẻ ỗỗố- ;0ứ çè 2 ø x = điểm cực đại hàm số Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn D y Câu 26 Hàm số y = f (x ) liên tục ¡ có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C D x O Lời giải Dễ nhận thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng qua Oy Vấn đề nằm chỗ điểm có đồ thị gấp khúc có phải điểm cực trị đồ thị hàm số hay khơng? Câu trả lời có (tương tự lời giải thích câu 25) Vậy hàm số cho có điểm cực trị, gồm điểm cực tiểu điểm cực đại Chọn A Câu 27 Cho hàm số y = f (x ) liên tục ¡ y có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C D -1 Lời giải Chọn D Câu 28 Cho hàm số y = f (x ) liên tục ¡ có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C D O x y -1 O x -1 -2 Lời giải Chọn D Câu 29 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hàm số y = f (x ) xác định, liên tục đoạn [- 2;2] có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm số f (x ) đạt cực đại điểm ? A x = - C x = y -1 O B x = - D x = 2 -2 -4 Lời giải Chọn B Câu 30 Hỏi hàm số y = x có tất điểm cực trị? A Có hai điểm cực trị B Có điểm cực trị C Khơng có điểm cực trị D Có vơ số điểm cực trị Lời giải Hàm số xác định R có đạo hàm y ' = , " x ¹ x éy ' > 0, " x > ắắ đ y ' i du qua x = Ta có ê êy ' < 0, " x < ë x -2 Vậy x = điểm cực tiểu hàm số Chọn B Câu 31 Hỏi hàm số y = x - 3x + có tất điểm cực trị? A Khơng có điểm cực trị B Có điểm cực trị C Có hai điểm cực trị D Có ba điểm cực trị Lời giải TXĐ: D = ¡ ìï x - 3x + 1, x ³ ìï 3x - 3, x > Ta có y = ïí Suy y ' = Û x = ắắ đ y ' = ùớ ùù - x - 3x + 1, x < ïï - 3x - 3, x < ỵ ỵ Lập bảng biến thiên ta thấy y ' đổi dấu qua x = Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn B Câu 32 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x - 3mx + 6mx + m có hai điểm cực trị A m Ỵ (0;2) B m ẻ (- Ơ ;0)ẩ (8; + Ơ ) C m ẻ (- Ơ ;0)ẩ (2; + Ơ ) D m Ỵ (0;8) Lời giải Ta có y ' = x - 6mx + 6m = (x - 2mx + 2m ) Để hàm số có hai điểm cực trị Û x - 2mx + 2m = có hai nghiệm phân biệt ém < Û D ' = m - 2m > Û ê Chọn C êm > ë m x + x + x + 2017 cú cc tr B m ẻ (- Ơ ;0)È (0;1) Câu 33 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = A m ẻ (- Ơ ;1] C m ẻ (- ¥ ;0)È (0;1] D m Ỵ (- ¥ ;1) Lời giải Nếu m = y = x + x + 2017 : Hàm bậc hai ln có cực trị Khi m ¹ , ta có y ' = mx + x + Để hàm số có cực trị phương trình mx + 2x + = có hai nghiệm phân biệt ìï m ¹ Û ùớ m < ùùợ D ' = - m > Hợp hai trường hợp ta m < Chọn D Nhận xét Sai lầm thường gặp không xét trường hợp m = dẫn đến chọn đáp án B 3 Câu 34 Biết hàm số y = (x + a ) + (x + b ) - x có hai điểm cực trị Mệnh đề sau đúng? A ab > B ab < C ab ³ D ab £ Lời giải Ta có y ' = 3(x + a ) + 3(x + b ) - 3x , " x Ỵ ¡ 2 Có y ' = Û (x + a ) + (x + b ) - x = Û x + (a + b )x + a + b = (*) Để hàm số cho đạt cực đại, cực tiểu (*) có hai nghiệm phân biệt Û D ' = (a + b ) - (a + b )> Û ab > Chọn A Câu 35 Tìm giá trị tham số m để hàm số y = (m - 3)x - 2mx + khơng có cực trị A m = B m = , m = C m = D m ¹ Lời giải ● Nếu m = y = - x + Đây Parabol nên ln có cực trị ● Nếu m ¹ , ta có y ' = 3(m - 3)x - 4mx Để hàm số có khơng có cực trị y ' = có nghiệm kép vơ nghiệm Û D ' = 4m2 £ Û m = Chọn C 1 Câu 36 Cho hàm số y = x - (3m + 2)x + (2m2 + 3m + 1)x - Tìm giá trị thực tham số m để hàm số có hai điểm cực trị x = x = A m = B m = C m = D m = Lời giải Ta có y ' = x - (3m + 2) x + (2m + 3m + 1) Yêu cầu toán Û y ' = có hai nghiệm x = x = ìï - (3m + 2)+ (2m + 3m + 1) = ìï 2m - 6m + = ï Û ïí Û ïí Û m = Chọn C ïï 25 - (3m + 2)+ (2m + 3m + 1) = ïï 2m - 12m + 16 = ỵ ïỵ Câu 37 Cho hàm số y = x + bx + cx + Biết M (1;- 6) điểm cực tiểu đồ thị hàm số Tìm tọa độ điểm cực đại N đồ thị hàm số A N (2;21) B N (- 2;21) C N (- 2;11) D N (2;6) Lời giải Đạo hàm y ¢= x + 2bx + c y ¢¢= 12 x + 2b ìï y ¢(1) = ïï Điểm M (1;- 6) điểm cực tiểu Û ïí y (1) = - Û ïï ïï y ¢¢(1)> ỵ Khi y = f (x )= x + 3x - 12 x + ìï 2b + c = - ïï ïí b + c = - Û ïï ïỵï 2b + 12 > ïíìï b = ïỵï c = - 12 ìï f (- 2) = 21 éx = Ta có f ¢(x ) = x + x - 12; f ¢(x ) = ắắ đ ùớ ờx = - ùùợ f ÂÂ(- 2) < Suy N (- 2;21) điểm cực đại đồ thị hàm số Chọn B Câu 38 Cho hàm số y = ax + bx + cx + d Biết M (0;2), N (2;- 2) điểm cực trị đồ thị hàm số Tính giá trị hàm số x = - A y (- 2) = B y (- 2)= 22 C y (- 2) = D y (- 2) = - 18 Lời giải Ta có y ¢= 3ax + 2bx + c Vì M (0;2), N (2;- 2) điểm cực trị đồ thị hàm số nên ìï y ¢(0) = ìï c = ï Û íï ; (1) ùù y Â(2) = ùợù 12a + 4b + c = ỵ ìï y (0) = ìï d = ï Û ïí (2) í ïï y (2) = - ïïỵ 8a + 4b + 2c + d = - ỵ ỡù a = ùù ùb= - ắắ đ y = x - 3x + ¾ ¾ ® y (- 2) = - 18 Chọn D Giải hệ (1) (2) , ta ïí ïï c = ïï ïïỵ d = Câu 39 Biết hàm số y = ax + bx + cx (a ¹ 0) nhận x = - điểm cực trị Mệnh đề sau đúng? A a + c = b B 2a - b = Lời giải Ta có y ' = 3ax + 2bx + c C 3a + c = 2b D 3a + 2b + c = Hàm số nhận x = - điểm cực trị nên suy y ' (- 1)= Û 3a - 2b + c = Û 3a + c = 2b Chọn C x3 - (m + 1)x + (m - 3)x + với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số đạt cực trị x = - A m = B m = - C m = 0, m = - D m = 0, m = Câu 40 Cho hàm số y = Lời giải Ta có y ' = x - 2(m + 1)x + m2 - Yêu cầu tốn Û y ' = có hai nghiệm phân biệt x1 ¹ x = - ìï D ' = (m + 1)2 - (m - 3)> ìï 2m + > ï Û ïí Û ïí Û m = Chọn A ïï y ' (- 1) = m + 2m = ïï m + 2m = ỵ ïỵ Câu 41 Biết hàm số y = 3x - mx + mx - có điểm cực trị x1 = - Tìm điểm cực trị lại x hàm số A x = B x = C x = - D x = - 2m - Do D ' = m2 + 36 > 0, " m Ỵ ¡ nên hàm số ln có hai điểm cực trị x1 , x ìï ïï x1 + x = - m ï Theo Viet, ta có ïí Mà x1 + x = ïï ïï x1 x = ïỵ ìï ïï x1 = - m, x = m ưm 81 ï 18 ỉ ỗỗ- mữ = - m2 = m = ± Chọn A Suy ïí ÷ çè ÷ ïï ø 18 4 ïï x1 x = ïỵ Câu 48 Cho hàm số y = x - 3x - x + m Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số A y = - 8x + m B y = - 8x + m - C y = - x + m + D y = - 8x - m + éx = - Þ y = + m Lời giải Ta có y ' = x - x - 9; y ' = Û ê êx = Þ y = - 27 + m ë Suy tọa độ hai điểm cực trị A(- 1;5 + m) B (3;- 27 + m) Suy đường thẳng qua hai điểm A, B có phương trình y = - 8x + m - Chọn B Cách Áp dụng công thức y = f (x )- f / (x ) f // (x ) 18a x - (m + 2)x + (2m + 3)x + 2017 với m tham số thực Tìm tất giá trị m để x = hoành độ trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số A m = - B m ¹ - C m = - D Không tồn giá trị m éx = Lời giải Đạo hàm y ' = x - (m + 2)x + (2m + 3); y ' = Û ê êx = 2m + ë Để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x 2m + ¹ Û m ¹ - (*) Câu 49 Cho hàm số y = Gọi A(x1 ; y1 ) B (x ; y2 ) hai điểm cực trị đồ thị hàm số Khi thêo định lí Viêt, ta có x1 + x = 2m + 2m + = Û m = - : không thỏa mãn (*) Chọn D Nhận xét Qua khảo sát 99% học sinh chọn đáp án A, lý quên điều kiện để có hai cực trị Tơi cố tình giá trị m giá trị loại Nếu gặp tốn khơng nghiệm đẹp ta giải sau: '' x hoành độ trung Yêu cầu toán Û điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d y ¢= có hai nghiệm phân biệt ( D > ) y ¢¢(x ) = 0'' Câu 50 Tìm tất giá trị thực tham số m để khoảng cách từ điểm M (0;3) đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x + 3mx + A m = 1, m = - B m = - C m = 3, m = - 2 Lời giải Ta có y ' = 3x + 3m; y ' = Û x = - m D Không tồn m Để hàm số có hai điểm cực trị Û y ' = có hai nghiệm phân biệt Û m < (*) Thực phép chia y cho y ' ta phần dư 2mx + , nên đường thẳng D : y = 2mx + đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số 2 = Û m2 = Û m = ± Yêu cầu toán Û d [M , D ]= 4m + Đối chiếu điều kiện (*) , ta chọn m = - Chọn B Câu 51 Cho hàm số y = x + 3(m - 1)x + (m - 2)x - với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm khoảng (- 2;3) A m Ỵ (- 1;3)È (3;4) B m Ỵ (1;3) C m Ỵ (3;4) D m Ỵ (- 1;4) éx = - Lời giải Ta có y ' = x + (m - 1)x + (m - ); y ' = Û ê êx = - m ë Để hàm số có hai cực trị Û y ' = có hai nghiệm phân biệt Û - m ¹ - Û m ¹ ìï m > - Û - 1< m < ● Nếu - < - m Û m < , ycbt Û - < - < - m < Û ïí ïïỵ m < ìï m > Û 3< m< ● Nếu - m < - Û m > , ycbt Û - < - m < - < ùớ ùùợ m < Vy m ẻ (- 1;3)È (3;4) Chọn A Câu 52 Cho hàm số y = x + x + 3(m + 2)x - m - với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x thỏa mãn x1 < - < x A m > B m < C m > - D m < - 2 é ù y ' = x + 12 x + m + = x + x + m + Lời giải Ta có ( ) êë ( )úû Yêu cầu toán Û y ' = có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn x1 < - < x Û y ' (- 1)< Û m < Chọn B Nhận xét Nhắc lại kiến thức lớp '' phương trình ax + bx + c = có hai nghiệm phân biệt x1 , x (x1 < x ) thỏa mãn x1 < x0 < x2 Û af (x0 )< 0'' Câu 53 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [- 2017;2018] để hàm số x - mx + (m + 2)x có hai điểm cực trị nằm khoảng (0;+ ¥ ) A 2015 B 2016 C 2018 D 4035 Lời giải Ta có: y ' = x - 2mx + m + Yêu cầu toán Û y ' = có hai nghiệm dương phân biệt y= ìï D ' = m - m - > ìï (m + 1)(m - 2)> ìï ém > ïï ïï ïï ê Û ïí S = x1 + x > Û ïí 2m > Û ïí êëm < - Û m > ïï ïï ïï ïïỵ P = x1 x > ïï m + > ïïỵ m > ợ mẻ Â & mẻ - 2017;2018] ắ ắ ắ ¾[ ¾ ¾ ¾® m = {3;4;5; 2018}¾ ¾ ® có 2016 giá trị Chọn B Câu 54 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x - 3x + 3mx + có điểm cực trị nhỏ A m ẻ (0; + Ơ ) B m ẻ (- Ơ ;1) C m ẻ (- Ơ ;0)ẩ (1; + Ơ ) D m ẻ (0;1) Lời giải Ta có y ' = 3x - x + 3m Yêu cầu toán Û y ' = có hai nghiệm phân biệt x1 < x < ìï D ' = - 9m > ìï m < ïï ïï Û ïí (x1 - 2)+ (x - 2) < Û íï x1 + x < ïï ïï ïï (x1 - 2)(x - 2)> ïï x1 x - (x1 + x )+ > ỵ ỵ ìï m < ïï ìï m < Û ïí < Û ïí Û < m < Chọn D ïï ïỵ m > ï ïïỵ m - 2.2 + > Câu 55 Cho hàm số y = 2x - 3(2a + 1)x + 6a (a + 1)x + với a tham số thực Gọi x1 , x hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số Tính P = x2 - x1 A P = a + B P = a C P = a - D P = éx = a = x1 Lời giải Ta có y ' = x - (2a + 1)x + 6a (a + 1); y ' = Û ê êx = a + = x ë Vậy P = x - x1 = (a + 1)- a = Chọn D Nhận xét Nếu phương trình y ' = khơng nghiệm đẹp ta dùng cơng thức tổng qt P = x - x1 = D a Câu 56 Cho hàm số y = x + mx - 12 x - 13 với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách trục tung A m = B m = - C m = D m = Lời giải Ta có y ' = x + 2mx - 12 Do D ' = m2 + 72 > 0, " m Ỵ ¡ nên hàm số ln có hai điểm cực trị x1 , x với x1 , x hai nghiệm phương trình y ' = Thêo định lí Viêt, ta có x1 + x = - m Gọi A(x1 ; y1 ) B (x ; y2 ) hai điểm cực trị đồ thị hàm số Yêu cầu toán Û x1 = x2 Û x1 = - x2 (do x1 ¹ x ) m = Û m = Chọn D Câu 57 Cho hàm số y = - x + 3mx - 3m - với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng d : x + y - 74 = A m = B m = - C m = - D m = é x= Lời giải Ta có y ' = - x + 6mx = - x (x - 2m ); y ' = Û ê êx = 2m ë Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị Û m ¹ Û x1 + x = Û - Khi gọi A(0;- 3m - 1) B (2m;4 m - 3m - 1) hai điểm cực trị đồ thị hàm số uuur Suy trung điểm AB điểm I (m;2m - 3m - 1) AB = (2m;4m3 ) = 2m (1;2m2 ) r Đường thẳng d có vêctơ phương u = (8; - 1) ìï m + (2m - 3m - 1)- 74 = ï Û m = Chọn D í ï ïỵï - 2m = Câu 58 Cho hàm số y = x - (m + 1)x + (2m + 1)x với m > tham số thực Tìm giá 3 trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại thuộc trục hồnh A m = B m = C m = D m = é x=1 Lời giải Đạo hàm y ' = x - (m + 1)x + (2m + 1); y ' = Û ê êx = 2m + Do m > ắ ắ đ 2m + ¹ nên đồ thị hàm số ln có hai điểm cực trị Do m > ¾ ¾ ® 2m + > ¾ ¾ ® hoành độ điểm cực đại x = nên yCD = y (1)= m - ìï I Ỵ d Û Ycbt Û ïí uuur r ïï AB.u = ỵ u cầu tốn Û yCD = Û m - = Û m = : thỏa mãn Chọn B Câu 59 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số f (x ) = x - 3x - m có giá trị cực trị trái dấu A m = - , m = B m < , m > - C - < m < D £ m £ éx = ® f (0) = - m Lời giải Ta có f ' (x ) = x - x ; f ' (x ) = Û êê êëx = ® f (1) = - m - Yêu cầu toán Û m (m + 1)< Û - < m < Chọn C Câu 60 Cho hàm số y = x + 3x + mx + m - với m tham số thực, có đồ thị (Cm ) Tìm tất giá trị m để (Cm ) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh A m < B m £ C m < Lời giải Đạo hàm y ' = 3x + x + m Ta có V' y ' = - 3m D m £ Hàm số có cực đại cực tiểu V' y ' > Û m < æ1 Ta cú y = ỗỗ x + ỗố3 ổ2m ổ2m 1ử ữ y '+ ỗỗ - 2ữ x + ỗỗ - 2ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ 3ứ ỡù ổ ùù y1 = ỗỗ 2m ỗố ù Gọi x1 , x hoành độ hai điểm cực trị ïí ïï ỉ2m ïï y2 = ỗỗ ỗố ùợ ỡù x1 + x = - ï Thêo định lí Viêt, ta có ïí ïï x1 x = m ïỵ Hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh y1 y2 < ổ2m ỗỗ - 2÷ ÷ ÷ (x1 + 1)(x + 1) < ỗố ứ ổ2m ổm ç Û çç - 2÷ ÷ ÷ èçç çè ø 1÷ ÷ ÷< Û ø ổ2m 2ữ x1 + ỗỗ - 2ữ ữ ữ ữ ữ ứ ốỗ ứ ửữ ổ2m ửữ ç 2÷ x +ç - 2÷ ø÷ èç ứữ ổ ỗỗ2m - 2ữ ữ ữ (x1 x + x1 + x + 1) < ỗố ứ ỡùù m < m < : thỏa mãn Chọn C í ïïỵ m ¹ Câu 61 Cho hàm số y = x + ax + bx + c giả sử A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số Khi đó, điều kiện sau cho biết đường thẳng AB qua gốc tọa độ O ? A c = B + 2b = 3a C ab = 9c D a = Lời giải Ta có y ' = x + 2ax + b æ1 æ2 ö ö Thực phép chia y cho y ' , ta c y = ỗỗ x + aữ y '+ ỗỗ b - a ÷ x + c - ab ÷ ÷ ữ ữ ỗố3 ỗ ố3 ứ ứ ỉ2 Suy phương trình đường thẳng AB l: y = ỗỗ b - a ữ ữx + c - ab ỗố3 ứ ữ ab = Û ab = 9c Chọn C Câu 62 Cho hàm số y = x - 3x - mx + với m tham số thực Tìm giá trị m để ® cDo AB qua gốc tọa độ O ¾ ¾ đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d : x + y - = góc a = 450 1 B m = 2 Lời giải Ta có y ¢= x - x - m A m = - C m = D m = Để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị Û phương trình y ¢= có hai nghiệm phân biệt Û D ¢= + 3m > Û m > - ỉ1 1ư ổ 2m m Ta cú y = y Â.ỗỗ x - ữ - ỗỗ + 2ữ ữ ữ ữ ữx + - ỗố3 ứ ứ ốỗ ổ2m ắắ đ ng thng i qua hai im cực trị A B D : y = - ỗỗ + ỗố r ng thng d : x + y - = có VTPT nd = (1;4) æ2m Đường thẳng D : y = - ỗỗ + ỗố m 2ữ ÷ ÷x + - ø ỉ2m r m cú mt VTPT l nD = ỗỗ 2÷ x + 2+ 2;1÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ø è ø æ2m 1.çç + çè r r Ycbt ắđ = cos 450 = cos (d , D ) = cos (nd , nD ) = 2÷ + 4.1 ÷ ÷ ứ ổ2m 12 + ỗỗ + ỗố 2÷ + 12 ÷ ÷ ø é êm = ê m> - ¬ ¾® 60m + 264 m + 117 = ắ ắ ắ ắ đ m = - : thỏa mãn Chọn A 39 ê   êm = êë 10 Câu 63 Cho hàm số y = x - mx + (2m - 1)x - với m tham số thực Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm phía trục tung ỉ1 A m ẻ ỗỗ ;1ữ B m ẻ (0;2) ữ ữẩ (1; + Ơ ) ỗố2 ứ ổ C m ẻ (- Ơ ;1)ẩ (1; + Ơ ) D m ẻ ỗỗ- ;1ữ ữ ữ ỗố ứ Li giải Đạo hàm y ' = x - 2mx + 2m - Yêu cầu toán Û phương trình y ' = có hai nghiệm x1 , x phân biệt dấu ìï D ' = m - (2m - 1)> ìïï m ¹ Û ïí Û íï Chọn A ïï P = 2m - > ïï m > ỵ ïỵ Câu 64 Cho hàm số y = 2x - 3(m + 1)x + 6mx + m3 với m tham số thực Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn AB = A m = B m = , m = C m = D m = éx = Lời giải Ta có y ' = x - (m + 1)x + 6m, y ' = Û x - (m + 1)x + m = Û ê êx = m ë Để hàm số có hai điểm cực trị Û m ¹ Tọa độ điểm cực trị A (1; m + 3m - 1) B (m;3m ) 2 Suy AB = (m - 1) + (m3 - 3m + 3m - 1) = (m - 1) + (m - 1) 2 - 1+ Ycbt Û AB = Û (m - 1) + (m - 1) - = Û éê(m - 1) ù ú ë û é(m - 1)2 - 1ù= êë ú û é m = 2 2 Û éê(m - 1) - 1ù é(m - 1) + (m - 1) + 2ù = Û (m - 1) - = Û ê : thỏa Chọn B ú ú êm = ë û êë û ë Câu 65 Cho hàm số y = x - 3mx + 4m - với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho I (1;0) trung điểm đoạn thẳng AB A m = B m = - C m = éx = Lời giải Ta có y ' = x - 6mx = x (x - 2m ); y ' = Û ê êx = 2m ë D m = Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị Û m ¹ Khi tọa độ hai điểm cực trị A (0; m - 2) B (2m; m - m - 2) ìï x + x B = x I Do I (1;0) trung điểm AB nên ïí A ïïỵ y A + yB = yI ìï + 2m = Û ïí Û m = 1: thỏa mãn Chọn C ïï (4m2 - 2)+ (4m2 - 4m3 - 2) = ỵ Câu 66 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x - 3mx + có hai điểm cực trị A , B cho A , B M (1;- 2) thẳng hàng A m = B m = C m = - D m = ± éx = Lời giải Ta có y ' = x - 6mx = x (x - 2m ); y ' = Û ê êx = 2m ë Hàm số có hai điểm cực trị Û y ' = có hai nghiệm phân biệt Û ¹ 2m Û m ¹ Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A (0;2) B (2m;2 - m ) uuur uuur Suy MA = (- 1;4 ), MB = (2m - 1;4 - 4m3 ) Thêo giả thiết A , B M thẳng hàng Û ém = (loaïi ) 2m - - m = Û êê - a maõ n) êëm = ± (thỏ Chọn D Câu 67 Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = - x + 3mx + có hai điểm cực trị A , B cho tam giác OAB vuông O , với O gốc tọa độ A m = - B m = C m = D m = Lời giải Ta có y ' = - x + 3m = - (x - m ) Để hàm số có hai điểm cực trị Û x - m = có hai nghiệm phân biệt Û m > ( Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A - ) m ;1 - 2m m B ( ) m ;1 + 2m m uur uur Yêu cầu toán Û OA.OB = Û 4m3 + m - = Û m = (thỏa mãn) Chọn C Câu 68 Cho hàm số y = ax + bx + c (a ¹ 0) Với điều kiện tham số a, b, c hàm số có ba điểm cực trị? A a, b dấu c C b = a, c B a, b trái dấu c D c = a, b éx = ê Lời giải Ta có y ' = ax + 2bx = x (2ax + b ); y ' = Û ê b êx = êë 2a Để hàm số có ba điểm cực trị Û x = - b có hai nghiệm phân biệt khác 2a b > Û ab < Khi a, b trái dấu c Chọn B 2a Câu 69 Cho hàm số y = ax + bx + (a ¹ 0) Với điều kiện tham số a, b Û - hàm số có điểm cực tiểu hai điểm cực đại? A a < 0, b < B a < 0, b > C a > 0, b < D a > 0, b > éx = ê Lời giải Ta có y ' = ax + 2bx = x (2ax + b ); y ' = Û ê b êx = êë 2a ìï a < ï ïì a < Û ïí Để hàm số có điểm cực tiểu hai điểm cực đại Û ïí Chọn B b ïï > ïïỵ b > ỵï 2a Câu 70 Cho hàm số y = ax + bx + (a ¹ 0) Với điều kiện tham số a, b hàm số có điểm cực trị điểm cực tiểu A a < 0, b £ B a < 0, b > C a > 0, b < D a > 0, b ³ éx = ê Lời giải Ta có y ' = ax + 2bx = x (2ax + b ); y ' = Û ê b êx = (*) êë 2a Để hàm số có điểm cực trị Û (*) vơ nghiệm có nghiệm kép éb = ê (1) êab > ë Khi đó, để điểm cực trị điểm cực tiểu a > Û - b £ 0Û 2a (2) Từ (1) (2) , suy a > 0, b ³ Chọn D Câu 71 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x + 2mx + m + m có ba điểm cực trị A m = B m > C m < D m ¹ é x = Lời giải Ta có y ' = x + 4mx = x (x + m ); y ' = Û ê êx = - m ë Để hàm số có ba điểm cực trị Û y ' = có ba nghiệm phân biệt Û - m > Û m < Chọn C Câu 72 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = mx + (m + 1)x + có điểm cực tiểu A m > B m ³ C - < m < D m > - Lời giải TH1 Với a = « m = , y = x + có đồ thị parabol có bề lõm quay lên nên hàm số có điểm cc tiu ắắ đ m = tha TH2 Với a > « m > , ycbt Û ab ³ Û m(m + 1)³ : ỳng vi m > ắắ đ m > thỏa mãn « m + 1> « m > - < m < ¾¾ ® thỏa mãn Hợp trường hợp ta m > - Chọn D Nhận xét Bài tốn hỏi hàm số có điểm cực tiểu nên hàm số có điểm cực đại khơng có điểm cực đại Khi tốn hỏi hàm số có cực tiểu khơng có cực đại lúc ta chọn đáp án B Câu 73 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = mx + (m - 1)x + 1- 2m có điểm cc tr A m ẻ [1; + Ơ ) C m ẻ [0;1] B m ẻ (- Ơ ;0] D m ẻ (- Ơ 0]ẩ [1; + Ơ ) Lời giải ● Nếu m = y = - x + hàm bậc hai nên có cực trị éx = ê é ù ● Khi m ¹ , ta có y ' = mx + (m - 1)x = x êë2mx + (m - 1)ú û; y ' = Û êêx = - m êë 2m Để hàm số có điểm cực trị 1- m £ 0Û 2m ém ³ ê êm < ë ém £ Kết hợp hai trường hợp ta ê Chọn D êm ³ ë Câu 74 Biết đồ thị hàm số y = x - x + ax + b có điểm cực tiểu A(2;- 2) Tính tổng S = a + b A S = - 14 B S = 14 C S = - 20 Lời giải Ta có y ' = x - x + a y '' = 12 x - D S = 34 ìï y ' (2) = Do A(2;- 2) điểm cực tiu ca th hm s nờn ắ ắ đ ïí ïï y (2) = - ỵ ìïï 32 - 12 + a = ìïï a = - 20 Û í Û í ïïỵ 16 - 12 + 2a + b = - ïïỵ b = 34 ỡù a = - 20 ắắ đ y = x - x - 20 x + 34 Thử lại với ïí ïïỵ b = 34 Tính đạo hàm lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu x = (thỏa) ỡù a = - 20 ắắ đ S = a + b = 14 Chọn B Vậy ïí ïïỵ b = 34 Câu 75 Biết đồ thị hàm số y = ax + bx + c (a ¹ 0) có điểm đại A(0;- 3) có điểm cực tiểu B (- 1;- 5) Mệnh đề sau đúng? ìï a = ïìï a = - ïï ïï A í b = - B ïí b = - ïï ïï ïïỵ c = - ïïỵ c = - Lời giải Ta có y ' = 4ax + 2bx ìï a = - ïï D ïí b = ïï ïïỵ c = - ìï a = ïï C ïí b = ïï ïïỵ c = - ìï y ' (0) = Đồ thị có điểm cực đại A (0;- 3) ắ ắ đ ùớ đ c = - (1) ïï y (0) = - ỵ ìï y ' (- 1) = ìï - 4a - 2b = Đồ thị có điểm cực tiểu B (- 1;- 5) ắ ắ đ ùớ ớù (2) ïï y (- 1) = - ïỵï a + b + c = - ỵ ìï a = ïï Giải hệ gồm (1) (2) , ta ïí b = - ïï ïïỵ c = - ìï a = ïï Thử lại với ùớ b = - ắ ắ đ y = x - x - Tính đạo hàm lập bảng biến thiên ta thấy ïï ïïỵ c = - hàm số đạt cực đại x = , đạt cực tiểu x = - : thỏa mãn Chọn B Câu 76 Cho hàm số y = x - (m - m + 1)x + m - với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại hai điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn 3 A m = - B m = C m = D m = - 2 2 ; Lời giải Ta có y ' = x - (m - m + 1)x = x éêx - (m - m + 1)ù ú ë û éx = y ' = Û êê êëx = ± m - m + ( ) m2 - m + 1; yCT B Suy đồ thị có hai điểm cực tiểu A - ( ) m2 - m + 1; yCT éæ 1ư ù Khi AB = (m2 - m + 1) = ờờỗỗm - ữ + ú ³ Dấu '' = '' xảy Û m = Chọn B ÷ ú ÷ çè 2ø ú êë û Câu 77 Cho hàm số y = x - 2mx + với m tham số thực Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn OA.OB.OC = 12 với O gốc tọa độ? A B C D Lời giải Để hàm số có ba điểm cực trị Û ab < Û 1.(- 2m)< Û m > éx = ê Khi dó y ' = x - mx = x (x - m ); y ' = Û êêx = m ê êëx = - m Suy tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A (0;2), B ( m ;- m2 + , C - ) ( m ;- m2 + ) ộ ự đ m= 2ắắ đ cú mt giỏ trị nguyên Ycbt OA.OB.OC = 12 Û êm + (- m + 2) ú= 12 ¾ ¾ ë û Chọn B Câu 78 Cho hàm số y = - x + 2mx - có đồ thị (Cm ) Tìm tất giá trị thực tham số m để tất điểm cực trị (Cm ) nằm trục tọa độ A m = ± C m > B m = D m = - , m > éx = Lời giải Ta có y ' = - x + mx = - x (x - m ); y ' = Û ê êx = m ë Để hàm số có ba điểm cực trị Û m > Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A (0;- 4)Ỵ Oy , B (- m ; m - C ) m ; m2 - ( ) ém = - (loại ) u cầu tốn Û B,C Ỵ Ox Û m2 - = Û êê Chọn B a mã n) êëm = (thỏ Cách áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab < Û m > ém = - (loaùi ) Ycbt ắ ắ đ b - 4ac = Û 4m2 - 16 = Û êê a maõ n) êëm = (thoû Cho hàm trùng phương y = ax + bx + c Khi đó: y có cực trị Û ab ³ a > : cực tiểu y có cực trị Û ab < a < : cực đại a > : cực đại, cực tiểu ® tọa độ điểm cực trị Xét trường hợp có ba cực trị ¾ ¾ ỉ ỉ b D b Dư ÷ ÷ ÷ ÷ A (0; c ), B ỗỗỗ- ;, C ỗỗỗ ; ữ ữ ữ ữ çè 2a 4a ø èç 2a a ø a < : cực đại, cực tiểu b4 b với D = b2 - 4ac 16a 2a ộ ổ - bữ ỗ ữ ờAB : y = ỗỗ ữ x+ c ỗố 2a ÷ ê ø D ● Phương trình qua điểm cực trị: BC : y = ê ê 4a ổ - b ửữ ỗ ữ ờAC : y = - ỗỗ ữ x+ c ỗố 2a ứữ ê ë b + 8a · = a , ln có cos a = ● Gọi BAC b - 8a ● BC = - b , AB = AC = 2a ● Diện tích tam giác ABC S = - b5 32a ● Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC R = ● Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC r = b - 8a 8ab b2 ổ b3 ữ ỗỗ ữ a ỗ1 + ữ ữ ỗố 8a ứ ữ Dữ kiện 1) B,C Ỵ Ox 2) BC = m0 Công thức thỏa ab < b2 - 4ac = am02 + 2b = 3) AB = AC = n0 16a n02 - b + 8ab = 4) BC = kAB = kAC b k - 8a (k - ) = 5) ABOC ni tip ổ2 D ữ c.ỗỗ ữ ữ= ỗốb 4a ứ 6) ABOC l hỡnh thoi -7) Tam giác ABC vuông cân A 8) Tam giác ABC · = a 9) Tam giác ABC có góc BAC b2 - 2ac = -8a + b3 = 24a + b3 = a 8a + b tan = 10) Tam giác ABC có góc nhọn b (8a + b )> 11) Tam giác ABC có diện tích S 32a (S0 ) + b = 12) Tam giác 14) Tam giác 16) Tam giác 17) Tam giác 18) Tam giác ABC ABC ABC ABC ABC có trọng tâm O có trực tâm O có O tâm đường tròn nội tiếp có O tâm đường tròn ngoại tiếp có điểm cực trị cách trục hồnh b2 - 6ac = b3 + 8a - 4ac = b3 - 8a - 4abc = b3 - 8a - 8abc = b - 8ac = Đồ thị hàm số y = ax + bx + c cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng điều ìï ïï ïï ac > ï kiện í ab < ïï ïï 100 ac ïï b = ïỵ Câu 79 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x - 2mx + có ba điểm cực trị A(0;1), B , C thỏa mãn BC = A m = ± B m = C m = D m = ± é x = Lời giải Ta có y ' = x - 4mx = x (x - m ); y ' = Û ê êx = m ë Để hàm số có ba điểm cực trị Û y ' = có ba nghiệm phân biệt Û m > Suy tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A (0;1), B ( m ;1 - m m ;1 - m C - ) ( ) Ycbt: BC = Û m = Û m = Û m = (thỏa mãn) Chọn C Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab < Û m > Ycbt: BC = m0 ® am02 + 2b = Û 1.42 + 2.(- 2m)= Û m = Câu 80 Cho hàm số y = x - (m + 1)x + m2 với m tham số thực Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông A m = - B m = C m = D m > - é x= Lời giải Ta có y ' = x - (m + 1) x = x (x - m - 1) ; y ' = Û ê êx = m + ë Để hàm số có ba điểm cực trị Û y ' = có ba nghiệm phân biệt Û m + > Û m > - Suy tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A (0; m ), B uuur Khi AB = ( m + 1;- 2m - 1- ( m + 1;- 2m - 1) C (- m + 1;- 2m - 1) uuur m ) AC = (- m + 1; - 2m - - m ) 2 ém = - 1(loaïi ) uuur uuur Ycbt Û AB.AC = Û - (m + 1)+ (m + 1) = Û êê Chọn B a mã n) êëm = (thỏ Cách áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab < Û m > - ® 8a + b = Û 8.1 + éë- (m + 1)ù Ycbt ¾ ¾ û = Û m = Câu 81 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x + 2mx + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m = - B m = - C m = éx = Lời giải Ta có y ' = x + 4mx = Û ê êx = - m ë Để hàm số có ba điểm cực trị Û - m > Û m < Khi đó, toạ độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: D m = A (0;1), B ( - m ;- m + , C - ) ( - m ;- m + ) ém = (loaïi ) uuur uuur Ycbt Û AB.AC = Û m + m = Û êê Chọn B a mã n) êëm = - 1(thỏ Câu 82 Cho hàm số y = 3x + 2(m - 2018)x + 2017 với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 1200 A m = - 2018 B m = - 2017 C m = 2017 D m = 2018 éx = Lời giải Ta có y ¢= 12 x + (m - 2018)x ; y ¢= Û ê ê3x = 2018 - m ë Để hàm số có ba điểm cực trị Û 2018 - m > Û m < 2018 Khi đó, tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: æ 2018 - m (m - 2018)2 ỉ 2018 - m (m - 2018)2 ữ ữ ỗỗ ỗỗ ữ ữ A (0;2017), B ỗ ;+ 2017ữ , C ; + 2017 ữ ç ÷ ÷ ççè ç ÷ èç ÷ 3 3 ø ø Do tam giác ABC cân A nên ycbt Û 3AB = BC é2018 - m (m - 2018)4 ù ú= 2018 - m Û (m - 2018)3 = - Û m = 2017 (thỏ Û êê + a mã n) ú êë ú û Chọn C Cách áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab < Û m < 2018 b + 8a · Áp dụng công thức giải nhanh cos a = (với a = BAC , A điểm cực trị thuộc Oy ), b - 8a b + 8a ta - = ắđ - (b - 8a ) = (b + 8a )ơ ắđ 3b = - 8a b - 8a ắđ ộở2 (m - 2018)ự ỷ = - 8.3 ắđ m = 2017 : thỏa mãn Câu 83 Cho hàm số y = x - (3m + 1)x + (m + 1) với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc tọa độ 2 A m = - B m = C m = - D m = 3 3 éx = ê Lời giải Ta có y ' = x - (3m + 1)x = x éêëx - (3m + 1)ù ú û; y ' = Û êx = (3m + 1) êë Để hàm số có ba điểm cực trị Û (3m + 1)> Û m > - Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: ( A (0;2 (m + 1)) , B - ) (3m + 1);- 9m2 - 4m + C ( ) (3m + 1);- 9m2 - 4m + æ (m + 1)+ (- 9m - 4m + 1)ữ ỗ ữ ữ Suy tọa độ trọng tâm tam giác ABC l G = ỗỗ0; ữ ỗỗ ữ ữ è ø é êm = (thỏ a mã n) ê Chọn D Ycbt: G º O Û (m + 1)+ (- 9m - m + 1) = Û ê ê êm = - (loaïi ) êë Cách áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab < Û m > - é êm = (thỏ a mã n) ê ® b - 6ac = Û (3m + 1) - .2 (m + 1) = Û ê Ycbt: G º O ¾ ¾ ê êm = - (loaïi ) êë x + (m - 3)x + m + 2017 với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác A m = - B m = C m = D m = 2017 é x = Lời giải Ta có y ' = x + (m - 3)x ; y ¢= Û êê êë3x = (3 - m) (*) Để hàm số có ba điểm cực trị Û (3 - m)> Û m < Câu 84 Cho hàm số y = Khi tọa độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: ỉ 3- m ỉ 3- m 2ữ 2ữ ỗ A (0;4m + 2017), B ỗỗỗ2 ;4m + 2017 - (3 - m ) ÷ ;4m + 2017 - (3 - m ) ÷ ữ, C ỗỗ- ữ ữ ữ ốỗ ỗố 3 ø ø Do dam giác ABC cân A nên yêu cầu toán Û AB2 = BC é3 - m = ém = 3(loaïi ) (3 - m) 16 (3 - m) 4 + (3 - m) = Û (3 - m) = - m Û ê Û êê ê3 - m = 3 a maõ n) ë êëm = (thỏ Chọn B Cách áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab < Û m < 3 ® b = - 24 a Û 27 (m - 3) = - 27 Û m = Ycbt ¾ ¾ Câu 85 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x - 2mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ C < m < D < m < é x= Lời giải Ta có y ¢= x - 4mx = x (x - m ); y ¢= Û êê êëx = m (*) Để hàm số có ba điểm cực trị Û m > A m > B m < Khi tọa độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: A (0;0), B ( m ;- m , C - ) ( m ;- m ) 1 d [A, BC ].BC = m 2 m = m m 2 m < Û < m < 1: (thỏ a mã n) Chọn D Tam giác ABC cân A , suy SD ABC = Theo ra, ta có SD ABC < Û m2 Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab < Û m > b5 < Û m5 < ¾ ¾ ® < m < 32a Câu 86 Cho hàm số y = x - mx + m - với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp A m = - B m = C m = D m = éx = Lời giải Ta có y ¢= x - 2mx = x (2 x - m ); y ¢= Û ê ê2 x = m ë Để hàm số có ba điểm cực trị Û m > Khi tọa độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: æ m m2 ỉ m m2 ÷ ÷ A (0; m - 2), B ỗỗỗ ,+ m - 2ữ , C ỗỗỗ;+ m - 2ữ ữ ữ ữ ữ ỗố 4 ứ ốỗ ứ đ Ycbt ¾ ¾ m m4 m + , BC = 16 AB + BC + AC ® r = BC d [A, BC ] Ta có S = pr = BC d [A, BC ]¾ ¾ 2 Suy AB = AC = Û m m4 + + 16 m m2 m = 2 ét = (loaïi ) t + t + t = t Û êê Chọn D ® m= êët = ¾ ¾ Cách áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị ab < Û m > Đặt t = m > ta phương trình Ycbt ắ ắ đ ộm = - (loaùi ) = 1ắ ắ đ ờờ 3ử ổ m = (thoỷ a maừ n) m ữ ỗỗ ữ 4.ỗ1 + + ữ ữ ỗ ữ ứ ốỗ b2 ổ b3 ữ ỗ ữ a ỗỗ1 + ữ 8a ữ ữ ỗố ø = 1Û (- m) x + mx - có cực đại x- Câu 87 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = cực tiểu A m < B m = C m Ỵ ¡ x - 2x - m + Lời giải Tập xác định: D = ¡ \ {1} Đạo hàm y ' = (x - 1) D m > Đặt g (x ) = x - x - m + Để hàm số có cực đại cực tiểu Û g (x ) = có hai nghiệm phân biệt khác ìï V' g (x ) > Û ïí ùù g (1) ùợ ùớỡù m > m > Chn D ùợù m Câu 88 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x = A m = - B m = - Lời giải TXĐ: D = ¡ \ {- m} Đạo hàm y ' = C m = x + 2mx + m - (x + m) x + mx + đạt cực đại x+ m D m = ém = - ® y ' (2) = Û ê Hàm số đạt cực đại x = ¾ ¾ êm = - ë Thử lại với m = - hàm số đạt cực tiểu x = : không thỏa mãn Thử lại với m = - hàm số đạt cực đại x = : thỏa mãn Chọn B Câu 89 Gọi x CD , x CT điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số y = sin x - x đoạn [0;p ] Mệnh đề sau đúng? 5p p 5p p ; x CT = ; x CT = B x CD = 6 6 p p 2p p C x CD = ; x CT = D x CD = ; x CT = 3 Lời giải Ta có y ' = cos x - y '' = - sin x é p êx1 = ê Xét đoạn [0;p ], ta có y ' = Û cos x = Û ê ê 5p êx = êë æ ổp ổ 5p ữ ỗ 3ữ ÷> =- < y '' ççDo y '' çç ÷ ÷ ÷ ÷= - ççç- ÷ çè ÷ çè ø ÷ ø è ø A x CD = p 5p ; x CT = Chọn C 6 Câu 90 Tìm giá trị cực đại yCD hàm số y = x + cos x khoảng (0;p ) Vậy x CD = 5p 5p + B yCD = - C yCD = 6 Lời giải Đạo hàm y ' = 1- sin x y '' = - cos x é êx = ê Xét khoảng (0;p ) , ta có y ' = Û sin x = Û ê ê êx = êë A yCD = p + p 5p D yCD = p ỉ 3ư ổp ổ5p ữ ỗỗỗỗ ữ ữ = < Do ú y '' ỗỗ ữ v y '' = > ữ ữ ỗỗ ữ ữ ỗố ữ ỗố ứ ữ ứ è ø ỉp p Vậy giá trị cực i ca hm s l y ỗỗ ữ ữ ữ= + Chn C ỗố ứ Cõu 91 Biết khoảng (0;2p ) hàm số y = a sin x + b cos x + x đạt cực trị x = p x = p Tính tổng S = a + b + Lời giải Đạo hàm y ' = a cos x - b sin x + A S = B S = C S = D S = + - ìï ổp ùù y ' ỗỗ ữ ữ= p ø Hàm số đạt cực trị x = x = p nờn ùớ ỗố ữ ù ïï y ' (p ) = ïỵ ìï ïï a - b + = ìï a = ớ2 ùớ ắắ đ S = a + b = + Chọn C ïï ïï b = ỵ ïïỵ - a + = Câu 92 Hàm số y = (x - 4) (1- x ) có điểm cực trị? A B C D 2 Lời giải Đạo hàm y ' = 2.2 x (x - )(1- x ) + (x - ) 3.(- 2)(1- x ) 2 = (1- x ) (x - 4) éê4 x (1 - x )- (x - )ù = - (1 - x ) (x - )(7 x - x - 12) ú ë û Phương trình y ¢= có nghiệm đơn nên hàm số có điểm cực trị Chọn B Câu 93 Biết hàm số f (x ) có đạo hàm f ' (x ) = x (x - 1) (x - 2) (x - 3) Hỏi hàm số f (x ) có điểm cực trị ? A B C D éx = 0, x = Lời giải Ta có f ' (x ) = Û ê Tuy nhiên lại xuất nghiệm kép êx = 2, x = ë x = (nghiệm kép y ' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số cho có ba điểm cực trị Chọn B y Câu 94 Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục ¡ f' x hàm số y = f ¢(x ) có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau ? A Hàm số y = f (x ) đạt cực đại điểm x = - B Hàm số y = f (x ) đạt cực tiểu điểm x = x C Hàm số y = f (x ) đạt cực tiểu điểm x = - D Hàm số y = f (x ) đạt cực đại điểm x = - Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢(x ) , ta có nhận xét sau: -2 -1 O -1 -2  f ¢(x ) đổi dấu từ "- " sang " + " qua điểm x = - suy x = - điểm cực trị điểm cực tiểu hàm số y = f (x )  f ¢(x ) khơng đổi dấu qua điểm x = - 1, x = suy x = - 1, x = không điểm cực trị hàm số y = f (x ) Vậy hàm số cho đạt cực tiểu điểm x = - Chọn C Câu 95 Hàm số f (x ) có đạo hàm f ' (x ) khoảng y f' x K Hình vẽ bên đồ thị hàm số f ' (x ) khoảng K Hỏi hàm số f (x ) có điểm cực trị? A B C D x -1 O Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f ' (x ) = có nghiệm đơn (cắt trục hoành điểm) hai nghiệm kép (tiếp xúc với trục hoành hai điểm) nên f ' (x ) đổi dấu qua nghiệm đơn Do suy hàm số f (x ) có cực trị Chọn B Nhận xét Đây dạng toán suy ngược đồ thị