Chuyên đề môn toán lớp 11

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn CHUYÊN ĐỀ LỚP 11 CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới vơ cực, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim  un   hay u n  n  +  n b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn a hay (un) dần tới a n dần tới vô cực ( n   ), lim  un  a   Kí hiệu: lim  un   a hay u n  a n  + n n  Chú ý: lim  un   lim  un  n Một vài giới hạn đặc biệt 1  , lim k  , n  n n b) lim qn  với q  a) lim *    c) Lim(un)=c (c số) => Lim(un)=limc=c Một số định lý giới hạn dãy số a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) (wn) có :  un  wn n  * lim    lim  wn   a  lim  un   a b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim  un    lim  un   lim    a  b lim  un   lim un.lim  a.b lim un lim  un  a   , v n  n  lim   b  * ;b   lim un  lim  un   a , un  ,a  0 Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q ,với q  lim Sn  lim u1 1 q Dãy số dần tới vơ cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực  un    n dần tới vơ cực  n    un lớn số dương bất kỳ, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim(un)=  hay un   n   b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn  n   lim  un    Ký hiệu: lim(un)=  hay un   n   c) Định lý: Writtenby Lê văn chương Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  o Nếu : lim  un   un  ,n  *  lim u1   n o Nếu : lim  un    lim 0 un B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Giới hạn dãy số (un) với un  P  n với P,Q đa thức: Q  n o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao P a0, hệ số cao Q b0 chia tử số mẫu số cho nk để đến kết : lim  un   a0 b0 o Nếu bậc P nhỏ bậc Q = k, chia tử mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=0 o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=  Giới hạn dãy số dạng: un  f  n , f g biển thức chứa g  n o Chia tử mẫu cho nk với k chọn thích hợp o Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp C CÁC VÍ DỤ 3n2  2n  5 3  2 3n  2n  n n n 3 lim  lim lim 2 7n  n  7n  n    n n2 n2 n2   4n 1  n   4n 1 n n  lim  lim   lim 3n  2 3n  3 3 n n lim   n  2n   n  lim n2  2n   n  n2  2n   n n2  2n   n   lim n  2n   n 2 n2  2n   n 2n  2n  n  lim  lim  lim  1 1   3 n2  2n   n 1   n    1 n n n n   2 n2  2n   n biểu thức liên hợp n2  2n   n Writtenby Lê văn chương Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  1  1  1                  8  2  n1    Tổng cấp số nhân lùi vô  1 1     2 số hạng đầu u1=1 n3  2n  1  3 n  2n  n n   lim  lim n  lim 1 2n  n  2n  n    n n2 n3 n3 n   n   n  2  n  n  n2    lim n   n  lim hạn có cơng bội q        lim 3  n  2   n n   n  2   n  2  n  n  n2  n  n  n  n  n  n2 3  lim 3 n 2 n  lim  n  2  n  n  n2 0 D BÀI TẬP Tìm giới hạn: 7n2  n 5n2  2n  lim n 3n2  lim n 4 6n3  3n  lim 7n3  2n n2  2n  lim 7n  2n  n2  a) lim f) lim b) 8n3  g) lim 2n  c) d) e) h) lim      n n2  3n2   n2  n n2  2n   n   b) lim 5sin n  7cos n 2n  b) lim  Tìm giới hạn sau: a) lim  i) lim Tìm giới hạn sau: a) lim 4n2  n1 n  n3  2n2  n  Writtenby Lê văn chương Trang Gia sư Tài Năng Việt c) lim  n2   n2  https://giasudaykem.com.vn  n2   n6 h) lim  a  a2  a3  a4   an d) lim  b  b2  b3  b4   bn 2n3 e) lim n  3n2  n n   1 f) lim  n1 2n2   1  a  1, b  i) lim n4   n2 2n n  n     1  1        22      n   k) lim    n 1 c) lim  n 2n3  11n  n2     Tìm tổng cấp số nhân lùi vô hạn sau: b) lim  n  1 n  2 j) lim   g) lim  n2  n4  3n  a) lim     n2      n2  n   n3  n2  n   n2   n2  GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định khoảng K.Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a với dãy số (xn), xn  K xn  a , n  * mà lim(xn)=a có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim  f  x    L x a Một số định lý giới hạn hàm số: a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn L giới hạn b) Định lý 2:Nếu giới hạn: lim  f  x    L , lim  g x   M thì: x a xa lim  f  x   g x   lim  f  x   lim  g x   L  M xa xa xa lim  f  x  g x   lim  f  x  lim  g x   L.M x a lim x a x a xa  f  x   L f  x  lim  x a  ,M 0 g x  lim  g x   M x a lim f  x   lim  f  x    L ; f  x   0, L  x a x a Writtenby Lê văn chương Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn c) Cho ba hàm số f(x), h(x) g(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)  f(x)  h(x) x  K , x  a lim  g x   lim  h x   L  lim  f  x   L x a x a xa Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , với dãy số (xn), lim(xn) = a , có lim[f(xn)]=  ta nói f(x) dần tới vơ cực x dần tới a, kí hiệu: lim  f  x     x a b) Nếu với dãy số (xn) , lim(xn) =  có lim[f(xn)] = L , ta nói f(x) có giới hạn L x dần tới vơ cực, kí hiệu: lim  f  x    L x c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số đòi hỏi với dãy số (xn), mà xn > a n  * , ta nói f(x) có giới hạn bên phải a, kí hiệu : lim  f  x  Nếu đòi hỏi với dãy số xa ta nói hàm số có giới hạn bên trái a , kí hiệu: lim  f  x  xa B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp dạng sau: (xn), xn < a n  * f  x     g x    Giới hạn hàm số dạng: lim x a o Nếu f(x) , g(x) hàm đa thức chia tử số , mẫu số cho (x-a) (x-a)2 o Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp f  x      x g  x   Giới hạn hàm số dạng: lim o Chia tử mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý x   coi x>0, x   coi x1   x x 1 tìm giới hạn Giải Ta có : lim  f  x   lim x  x   x1 x1   xa  a1 x1 x1 x Vậy lim  f  x     a    a  lim  f  x    lim x1 Writtenby Lê văn chương Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn    x  2 x  x  x3   0  lim  lim x2  x   12 Dạng   11 lim x 2 x  x 2 x 2 x2  0 x3  2x  1   3 x  2x  x x x  Dạng    12 lim  lim  lim  x x x 2x3  2x3     3 x x     3x  x   x  x   lim  lim  3 3 x x x x x  x x      13 lim   1  2    x x   lim   6 x 1 1 x3 14 lim x   x  x   x   lim x x3  lim x  x3 x x    D BÀI TẬP Tìm giới hạn sau: a) lim x3  4x2  10  lim  5x x b) x3  7x  x2  c) lim x1 x  x2  2x  15 d) lim x3 x3 2x  3x  e) lim x1 x2    lim x x2  x   x    3x2  x  x2 x x3  x2 x2  x   x x2  x   x   lim x  x   x x x2  x   x x3 1 x x  lim  Dạng x2  x   x x    x x2 x x3  x2  x  f) lim x1 x 1 x  a4 g) lim x a x  a x2  3x  h) lim x7 x2 Writtenby Lê văn chương Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Tìm giới hạn : a) b) c) d) e) 2x2  3x  f) lim x1 x  x2  x  x2  x  g) lim x3 x3 4x6  5x5  x h) lim x1 1  x  x   x2  x  lim x x x x2 lim x2 4x   1 x  lim x 3x x 1 lim x1 x2   x2  3x  lim x2  x  2 i) lim x2 Tìm giới hạn sau: 3x2  5x  a) lim x x2  2 x  1  7x  2  b) lim x  2x  1 d) lim x  8x  11  x  x2  3x  x2  x  x  sin  2x   2cos x  x x2  x  e) lim  2x  1  5x  3 lim  2x  1  x  1 c) x Tìm giới hạn bên phải, bên trái hàm số f(x) x=x0 xét xem lim  f  x   có tồn x x0 không trường hợp sau:  2x   a) f  x    x 5x    x2  x   b) f  x    x   x2  x     x2  c) f  x    x  1  2x   x>1  x  1 x0 =  x>1  x  1  x