Chuyên đề môn toán lớp 10

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 Chương I: MÊNH ĐỀ - TÂP HƠP A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Mệnh đề Một khẳng định hoặc sai, vừa vừa sai gọi mệnh đề Một mệnh đề phụ thuộc vào giá trị biến số gọi mênh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến x kí hiệu là: P(x) Mệnh đề “ P” mệnh đề phủ định mệnh đề P kí hiệu P Mệnh đề “ Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu là: P  Q Mệnh đề P  Q sai P Q sai Định lí mệnh đề thường có dạng P  Q Mệnh đề Q  P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P  Q Nếu hai mênh đề P  Q Q  P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương Khi ta kí hiệu P  Q đọc : P tương đương Q P điều kiện cần đủ để có Q, P Q Kí hiệu  đọc “ với “, nghĩa tất Kí hiệu  đọc “ có “ ( tồn một) hay “ có “ B BÀI TẬP 1/ Trong câu sau đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến a) 2011 + = 2012 b) x + 10 = c) x + 2y > d) - 10  2/ Nếu mệnh đề phủ định mệnh đề sau xác định xem mệnh đề phủ định hay sai: a) P: “ Phương trình x2 – x + = có nghiệm “ b) Q: “ 17 số nguyên tố “ c) R: “ Số 963 chia hết cho “ d) S: “ 25 biểu diễn thành tổng hai số phương “ 3/ Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm “ Điều kiện cần đủ “ a) Một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp hình vng ngược lại b) Một tam giác có ba đường cao tam giác ngược lại c) Một số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho ngược lại 4/ Dùng kí hiệu ,  để viết mệnh đề sau: a) Có số tự nhiên chia hết cho 11 b) Mọi số nhân với số không âm 5/ Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) P: “ x  R, x  x " b) Q: “ n  N : n   " A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tập hợp Tập hơp khái niệm toán học Để a phần tử tâp hơp A, ta viết a  A( đọc a thuộc A) Để a phần tử tập hợp A, ta viết a  A( đọc a khơng thuộc A) Tập hợp rỗng kí hiệu  tập hợp không chứa phần tử Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Nếu phần tử A phần tử B ta nói A tập hợp B viết A A  B  x ( x  A  x  B)  B( đọc A chứa B) Khi A  B B  A ta nói tâp A tập B viết là: A = B Nhu A = B  x ( x  A  x  B) Tập hợp C gồm phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B gọi giao A B x  A A  B  x / x  A x  B  ; x  A  B   x  B Tâp hợp C gồm phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp A B x  A A  B  {x / x  A hoăo x  B} ; x  A  B   x  B Tập C gồm phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B x  A A \ B  {x / x  A x  B} ; x  A \ B   x  B Các định nghĩa  Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB  Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ  Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, kí hiệu AB  Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu  Hai vectơ đgl phương giá chúng song song trùng  Hai vectơ phương hướng ngược hướng  Hai vectơ đgl chúng hướng có độ dài Chú ý: + Ta sử dụng kí hiệu a, b, để biểu diễn vectơ + Qui ước: Vectơ phương, hướng với vectơ + Điều kiện cần đủ để điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai véctơ AB , AC phương Các phép toán vectơ a) Tổng hai vectơ  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB  BC  AC  Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB  AD  AC ab  ba  Tính chất: a  b  c  a  b  c ; a0 a ; b) Hiệu hai vectơ  Vectơ đối a vectơ b cho a  b  Kí hiệu vectơ đối a a  Vectơ đối Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  a  b  a   b   Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB  OA  AB c) Tích vectơ với số  Cho vectơ a số k  R ka vectơ xác định sau: + ka hướng với a k  0, ka ngược hướng với a k < + ka  k a k  a  b   ka  kb ;  Tính chất: (k  l )a  ka  la ; k  la  (kl )a ka   k = a   Điều kiện để hai vectơ phương: a vàb  a  0 cù ng phương  k  R : b  ka  Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  0: AB  kAC  Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phương: Cho hai vectơ không phương a, b x tuỳ ý Khi ! m, n  R: x  ma  nb Chú ý:  Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M trung điểm đoạn thẳng AB  MA  MB   OA  OB  2OM (O tuỳ ý)  Hệ thức trọng tâm tam giác: G trọng tâm ABC  GA  GB  GC   OA  OB  OC  3OG (O tuỳ ý) Chưong III PHƯƠNG TRINH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phương trình * Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm *Phương trình (2) hệ phương trình (1) tập nghiệm (2) chứa tập nghiệm (1) * Cho phương trình f(x) =  f ( x)  h( x)  h( x) , y = h(x) hàm số *Bình phương hai vế phương trình ta phương trình hệ  g ( x)  * Đối với phương trình chứa ta có: f ( x)  g ( x)    f ( x)  [ g ( x)] 2.Phương trình bậc phương trình bậc hai b * Phương trình ax + b = 0, (a  0) có nghiệm x =  a Nếu a = 0, b = phương trình có vô số nghiệm .Nếu a = 0, b  phương trình vơ nghiệm * Phương trình ax2 + bx + c = có   b  4ac hoăo ('  b' ac) b = 2b’ Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Nếu   phương trình có nghiệm x =  b   b' '   hoăo  x   2a a   Nếu   phương trình vơ nghiệm b   x1  x   a * Nếu x1 x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c =   x x  c  a * Nếu hai số có tổng S tích P chúng nghiệm phương trình : X2 – SX + P = ax  by  c Hệ phương trình bậc hai ẩn  a ' x  b ' y  c ' a b c b a c  ab'a' b , Dx   cb'c' b , D y   ac'a' c Ta có: D  a ' b' c ' b' a ' c' ax  by  c (a  b  0)  a' x  b' y  c' (a ' b'  0) D  : Hệ có nghiệm (x ; y) x = Dx D , y Dy D D = 0: * Dx  hoăo Dy  : Hệ vô nghiệm * Dx  Dy  : Hệ có vơ số nghiệm, tập nghiệm hệ tập nghiệm phương trình ax + by = c VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ Baøi Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D ? Bài Cho ABC có A, B, C trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh: BC  C A  AB b) Tìm vectơ BC ,C A Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP  QN ; MQ  PN Bài Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: a) AC  BA  AD ; AB  AD  AC b) Nếu AB  AD  CB  CD ABCD hình chữ nhật Bài Cho hai véc tơ a, b Trong trường hợp đẳng thức sau đúng: a  b  a  b Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Baøi Cho ABC cạnh a Tính AB  AC ; AB  AC Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB  AC  AD Baøi Cho ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài vectơ HA, HB, HC Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB  AD , AB  AC , AB  AD VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Bài Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: a) AB  DC  AC  DB b) AD  BE  CF  AE  BF  CD Baøi Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: a) Nếu AB  CD AC  BD b) AC  BD  AD  BC  2I J c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA  GB  GC  GD  d) Gọi P, Q trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm Baøi Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh: 2( AB  AI  JA  DA)  3DB Bài Cho ABC Bên ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ  IQ  PS  Bài Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI Bài Cho ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: a) AH  2OM b) HA  HB  HC  2HO c) OA  OB  OC  OH Baøi Cho hai tam giác ABC ABC có trọng tâm G G a) Chứng minh AA  BB  CC  3GG b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Baøi Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: AM  AB  AC 3 Baøi Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn AC cho CN  2NA K trung điểm MN Chứng minh: 1 1 a) AK  AB  AC b) KD  AB  AC Bài 10 Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: 1 a) AM  OB  OA b) BN  OC  OB c) MN   OC  OB 2 Baøi 11 Cho ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: 2 a) AB   CM  BN c) AC   CM  BN c) MN  BN  CM 3 3 3 Bài 12 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G 1 a) Chứng minh: AH  AC  AB CH    AB  AC  3 b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH  AC  AB 6 Bài 13 Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a, AD  b Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ BI , AG theo a, b Baøi 14 Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC vàBD theo vectơ AB vàAF Bài 15 Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM theo vectơ OA,OB,OC Bài 16 Cho ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB  3MC, NA  3CN, PA  PB  a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Baøi 17 Cho ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB a) Chứng minh: AA1  BB1  CC1  b) Đặt BB1  u, CC1  v Tính BC,CA, AB theo u vàv Cho ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo dài cho 5FB = 2FC a) Tính AI , AF theo AB vàAC Bài 18 b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG theo AI vàAF Bài 19 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B a) Chứng minh: HA  5HB  HC  b) Đặt AG  a, AH  b Tính AB, AC theo a vàb VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm hình vẽ Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM  a , O a xác định Ta Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn thường sử dụng tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k – Hình bình hành – Trung điểm đoạn thẳng – Trọng tâm tam giác, … Baøi Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA  MB  MC  Baøi Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I M điểm tuỳ ý không nằm đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy điểm N cho IN = MI a) Chứng minh: BN  BA  MB b) Tìm điểm D, C cho: NA  NI  ND ; NM  BN  NC Bài Cho hình bình hành ABCD a) Chứng minh rằng: AB  AC  AD  2AC b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3AM  AB  AC  AD Baøi Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC a) Chứng minh: MN  ( AB  DC) b) Xác định điểm O cho: OA  OB  OC  OD  Baøi Cho điểm A, B, C, D Gọi M N trung điểm AB, CD, O trung điểm MN Chứng minh với điểm S bất kì, ta có: SA  SB  SC  SD  4SO Baøi Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IB  3IC  b) 2JA  JC  JB  CA c) KA  KB  KC  2BC d) 3LA  LB  2LC  Baøi Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IA  3IB  3BC b) JA  JB  2JC  c) KA  KB  KC  BC d) LA  2LC  AB  2AC Baøi Cho ABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: a) IA  IB  IC  BC b) FA  FB  FC  AB  AC c) 3KA  KB  KC  d) 3LA  2LB  LC  Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định điểm I, F, K thoả đẳng thức sau: a) IA  IB  IC  4ID b) 2FA  2FB  3FC  FD c) 4KA  3KB  2KC  KD  Baøi 10 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD  MC  AB , ME  MA  BC , MF  MB  CA Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh véc tơ MA  MB  MC vaøMD  ME  MF Baøi 11 Cho tứ giác ABCD a) Hãy xác định vị trí điểm G cho: GA  GB  GC  GD  (G đgl trọng tâm tứ Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn giác ABCD) 1 OA  OB  OC  OD  Baøi 12 Cho G trọng tâm tứ giác ABCD A, B, C, D trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh: a) G điểm chung đoạn thẳng AA, BB, CC, DD b) G trọng tâm của tứ giác ABCD Baøi 13 Cho tứ giác ABCD Trong trường hợp sau xác định điểm I số k b) Chứng minh với điểm O tuỳ ý, ta có: OG  cho vectơ v k.MI với điểm M: a) v  MA  MB  2MC b) v  MA  MB  2MC c) v  MA  MB  MC  MD d) v  2MA  2MB  MC  3MD VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng  Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn đẳng thức AB  kAC , với k   Để chứng minh hai điểm M, N trùng ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức OM  ON , với O điểm MN  Bài Cho bốn điểm O, A, B, C cho : OA  2OB  3OC  Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, BD lấy điểm K cho: 1 BH  BC , BK  BD Chứng minh: A, K, H thẳng hàng HD: BH  AH  AB; BK  AK  AB Baøi Cho ABC với I, J, K xác định bởi: IB  2IC , JC   JA , KA   KB AC ) b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J trọng tâm AIB) Baøi Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB  3MC , NA  3CN , PA  PB  a) Tính IJ , IK theo AB vàAC (HD: IJ  AB  a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho AD = 1 AF, AB = AE Chứng minh: 2 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC hình bình hành Bài Cho ABC Hai điểm I, J xác định bởi: IA  3IC  , JA  2JB  3JC  Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng Baøi Cho ABC Hai điểm M, N xác định bởi: 3MA  4MB  , NB  3NC  Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, với G trọng tâm ABC Baøi Cho ABC Lấy điểm M N, P: MB  2MC  NA  2NC  PA  PB  a) Tính PM , PN theo AB vàAC b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Baøi Cho ABC Về phía ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh tam giác RIP JQS có trọng tâm Bài 10 Cho tam giác ABC, A điểm đối xứng A qua B, B điểm đối xứng B qua C, C điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC ABC có chung trọng tâm Baøi 11 Cho ABC Gọi A, B, C điểm định bởi: 2AB  3AC  , 2BC  3BA  , 2CA  3CB  Chứng minh tam giác ABC ABC có trọng tâm Bài 12 Trên cạnh AB, BC, CA ABC lấy điểm A, B, C cho: AA BB CC   AB BC AC Chứng minh tam giác ABC ABC có chung trọng tâm Bài 13 Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý Gọi A, B, C điểm đối xứng M qua trung điểm K, I, J cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh ba đường thẳng AA, BB, CC đồng qui điểm N b) Chứng minh M di động, đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC Baøi 14 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3MA  4MB  , CN  BC Chứng minh đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC Baøi 15 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD  DE  EC a) Chứng minh AB  AC  AD  AE b) Tính AS  AB  AD  AC  AE theo AI Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng Cho tam giác ABC Các điểm M, N xác định hệ thức BM  BC  2AB , CN  xAC  BC a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng IM b) Xác định x để đường thẳng MN trung điểm I BC Tính IN Baøi 17 Cho ba điểm cố định A, B, C ba số thực a, b, c cho a  b  c  a) Chứng minh có điểm G thoả mãn aGA  bGB  cGC  b) Gọi M, P hai điểm di động cho MP  aMA  bMB  cMC Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng Baøi 16 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN  2MA  3MB  MC a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA  3IB  IC  b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Baøi 19 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN  2MA  MB  MC a) Tìm điểm I cho 2IA  IB  IC  b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định c) Gọi P trung điểm BN Chứng minh đường thẳng MP ln qua điểm cố định Bài 18 VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn: – Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng – Tập hợp điểm cách điểm cố định khoảng không đổi đường tròn có tâm điểm cố định bán kính khoảng khơng đổi – Bài Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA  MB  MA  MB b) 2MA  MB  MA  2MB HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực AB Bài Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA  MB  MC  MB  MC b) MA  BC  MA  MB c) 2MA  MB  4MB  MC d) 4MA  MB  MC  2MA  MB  MC HD: a) Trung trực IG (I trung điểm BC, G trọng tâm ABC) b) Dựng hình bình hành ABCD Tập hợp đường tròn tâm D, bán kính BA Bài Cho ABC a) Xác định điểm I cho: 3IA  2IB  IC  b) Chứng minh đường thẳng nối điểm M, N xác định hệ thức: MN  2MA  2MB  MC qua điểm cố định c) Tìm tập hợp điểm H cho: 3HA  2HB  HC  HA  HB d) Tìm tập hợp điểm K cho: KA  KB  KC  KB  KC Baøi Cho ABC Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn a) Xác định điểm I cho: IA  3IB  2IC  b) Xác định điểm D cho: 3DB  2DC  c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng d) Tìm tập hợp điểm M cho: MA  3MB  2MC  2MA  MB  MC II TOẠ ĐỘ Trục toạ độ  Trục toạ độ (trục) đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ đơn vị e Kí hiệu  O; e  Toạ độ vectơ trục: u  (a)  u  a.e  Toạ độ điểm trục: M (k)  OM  k.e  Độ dài đại số vectơ trục: AB  a  AB  a.e ng hướ ng vớ i e AB  AB Chú ý: + Nếu AB cù ng vớ i e AB   AB Nếu AB ngược hướ + Nếu A(a), B(b) AB  b  a + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trục, ta có: AB  BC  AC Hệ trục toạ độ  Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với Vectơ đơn vị Ox, Oy Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn i , j O gốc toạ độ, Ox trục hoành, Oy trục tung  Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ: u  ( x; y)  u  x.i  y j  Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: M ( x; y)  OM  x.i  y j  Tính chất: Cho a  ( x; y), b  ( x; y ), k  R , A( xA; yA ), B( xB; yB ), C( xC ; yC ) :  x  x ab  y  y a  b  ( x  x; y  y ) + + + ka  (kx; ky)  k  R: x  kx vaøy  ky + b phương với a   x y (nếu x  0, y  0)  x y + AB  ( xB  xA; yB  yA ) + Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: xI  + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xG  xA  xB xA  xB  xC + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1: xM  ; yI  ; yG  xA  kxB yA  yB yA  yB  yC yA  kyB ; yM  1 k 1 k ( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA  kMB ) VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trục Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 2 a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB c) Tìm tọa độ điểm M cho 2MA  5MB  d) Tìm tọa độ điểm N cho 2NA  3NB  1 Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 3 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn a) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA  2MB  b) Tìm tọa độ điểm N cho NA  3NB  AB Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A(2), B(4), C(1), D(6) 1   a) Chứng minh rằng: AC AD AB b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh: IC ID  IA c) Gọi J trung điểm CD Chứng minh: AC AD  AB AJ Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB b) Tìm tọa độ điểm M cho MA  MB  MC  c) Tìm tọa độ điểm N cho 2NA  3NB  NC Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C, D tuỳ ý a) Chứng minh: AB.CD  AC.DB  DA.BC  b) Gọi I, J, K, L trung điểm đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh đoạn IJ KL có chung trung điểm VẤN ĐỀ 2: Toạ độ hệ trục Baøi Viết tọa độ vectơ sau: a) a  2i  j ; b  i  j ; c  3i ; d  2 j 3 b) a  i  j ; b  i  j ; c  i  j ; d  4 j ; e  3i 2 Baøi Viết dạng u  xi  yj biết toạ độ vectơ u là: a) u  (2; 3); u  (1;4); u  (2;0); u  (0; 1) b) u  (1;3); u  (4; 1); u  (1;0); u  (0;0) Baøi Cho a  (1; 2), b  (0;3) Tìm toạ độ vectơ sau: a) x  a  b; y  a  b; z  2a  3b b) u  3a  2b; v   b; w  4a  b  1  2 a) Tìm toạ độ vectơ d  2a  3b  5c Baøi Cho a  (2; 0), b   1;  , c  (4; 6) ... vectơ + Điều kiện cần đủ để điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai véctơ AB , AC phương Các phép toán vectơ a) Tổng hai vectơ  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB  BC  AC ... nghiệm * Dx  Dy  : Hệ có vơ số nghiệm, tập nghiệm hệ tập nghiệm phương trình ax + by = c VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ Baøi Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối... HB, HC Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB  AD , AB  AC , AB  AD VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ