Bài tập nâng cao môn toán lớp 10

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn BÀI TẬP TOÁN 10 NÂNG CAO Bài 1: Phát biểu mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ” a Nếu tam giác chúng có diện tích b Số nguyên dương chia hết cho chia hết cho c Mộthình thang có đường chéo hình thang cân Bài 2: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh: a) Với n số nguyên dương, n2 chia hết cho n chia hết cho b) Chứng minh số vô tỷ c) Với n số nguyên dương , n2 số lẻ n số lẻ Bài 3: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ” a)Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với b)Nếu tam giác chúng có diện tích c)Nếu số nguyên dương a tận chia hết cho d)Nếu tứ giác hình thoi đường chéo vng góc với Bài 4: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm “Điều kiện cần ” a) Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với b) Nếu tam giác chúng có góc tương ứng c) số nguyên dương a chia hết cho 24 chia hết cho d) Nếu tứ giác ABCD hình vng cạnh Bài 5: Chứng minh phương pháp phản chứng a) Nếu abc a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca b) Nếu a.b chia hết cho a b chia hết cho c) Nếu x2 + y2 = x = y = Bài :Cho đinh lý sau, định lý có định lý đảo, phát biểu: a) “Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho 12” b) “Một tam giác vng có trung tuyến tương ứng nửa cạnh huyền” c) “Hai tam giác đồng dạng có cạnh hai tam giác nhau” d) “Nếu số tự nhiên n không chia hết cho n2 chia dư 1” §3 Tập hợp Bài 1: Cho tập hợp A = {x N / x2 – 10 x +21 = hay x3 – x = 0} Hãy liệt kê tất tập A chứa phần tử Bài 2: Cho A = {x R/ x2 +x – 12 = 2x2 – 7x + = 0} B = {x R/ 3x2 -13x +12 =0 hay x2 – 3x = 0} Xác định tập hợp sau: A  B ; A \ B; B \ A; AB Bài 3: Cho A = {xN / x < 7} B = {1 ; ;3 ; 6; 7; 8} a) Xác định AUB; AB; A\B; B\ A b) CMR : (AUB)\(AB) = (A\B)U(B\ A) Bài 4: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x} C = {x; y; 5} Tìm giá trị cặp số (x;y) để tập hợp A = B = C Bài 5: Xác định tập hợp sau bẳng cách nêu tính chất đặc trưng A = {0 ; 1; 2; 3; 4} B = {0 ; 4; 8; 12;16} Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn C = {-3 ; 9; -27; 81} D = {9 ; 36; 81; 144} E = Đường trung trực đoạn thẳng AB F = Đường tròn tâm I cố định có bán kính = cm Bài 6: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A; B; C biểu đồ Ven A = {0 ; 1; 2; 3} B = {0 ; 2; 4; 6} C = {0 ; 3; 4; 5} Bài 7: Hãy liệt kê tập A, B: A= {(x;x2) / x  {-1 ; ; 1}} B= {(x ; y) / x2 + y2  x ,y Z} Bài 8: Cho A = {x R/x 4}; B = {x R/ -5 2} C = {xR / -4 < x +  5} Bài 15: Cho Tv = tập hợp tất tam giác vuông, T = tập hợp tất tam giác, Tc = tập hợp tất tam giác cân, Tđ = tập hợp tất tam giác đều, Tvc= tập hợp tất tam giác vuông cân Xác định tất quan hệ bao hàm tập hợp Cho tam giác ABC với trực tâm H, B điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ vectơ AH vaøBC; AB vaøHC 16 Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD a) Chứng minh: AC  BD  AD  BC  2IJ b) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA  GB  GC  GD  c) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng AC BD; M, N trung điểm đoạn Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm 17 Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD  MC  AB , ME  MA  BC , MF  MB  CA Chứng minh điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh hai tổng vectơ: MA  MB  MC MD  ME  MF 18 Cho ABC với trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI 19 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ABC Chứng minh: a) 2AI  2AO  AB b) 3DG  DA  DB  DC 20 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD a) Chứng minh: AI   AD  AB b) Chứng minh: OA  OI  OJ  c) Tìm điểm M thoả mãn: MA  MB  MC  19 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện: a) MA  MB b) MA  MB  MC  c) MA  MB  MA  MB d) MA  MB  MA  MB e) MA  MB  MA  MC 20 Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2) a) Tìm tọa độ trọng tâm G ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành 21 Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành 22 Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1) Tìm toạ độ điểm M, N, P cho: a) Tam giác ABC nhận điểm M, N, P làm trung điểm cạnh b) Tam giác MNP nhận điểm A, B, C làm trung điểm cạnh 1 Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: 23 Biết sin180  24 a) A = cos4 x  cos2 x  sin2 x b) B = sin4 x  sin2 x  cos2 x 25 Cho vectơ a, b a) Tính góc  a, b  , biết a, b  hai vectơ u  a  2b, v  5a  4b vng góc b) Tính a  b , biết a  11, b  23, a  b  30 c) Tính góc  a, b  , biết (a  3b)  (7a  5b), (a  4b)  (7a  2b) d) Tính a  b , 2a  3b , biết a  3, b  2, (a, b)  1200 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn e) Tính a , b , biết a  b  2, a  b  4, (2a  b)  (a  3b) 26 Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = a) Tính AB.AC cosA b) M, N hai điểm xác định AM  AB, AN  AC Tính MN 27 Cho hình bình hành ABCD có AB = a) Tính AB.AD, BA.BC 28 29 30 31 32 , AD = 1, BAD  600 b) Tính độ dài hai đường chéo AC BD Tính cos AC, BD  Cho tam giác ABC có góc A nhọn Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI  DE Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Gọi H, K trực tâm tam giác ABO CDO Gọi I, J trung điểm AD BC Chứng minh HK  IJ Cho hình vng ABCD có cạnh 1, M trung điểm cạnh AB Trên đường chéo AC lấy điểm N cho AN  AC a) Chứng minh DN vuông góc với MN b) Tính tổng DN.NC  MN.CB Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) AB.AM  AC.AM  b) AB.AM  AC.AM  c) ( MA  MB)( MA  MC)  d) ( MA  MB  2MC)( MA  2MB  MC)  Chứng minh tam giác ABC ta có: a) b2  c2  a(b.cosC  c.cosB) b) (b2  c2 ) cos A  a(c.cosC  b.cosB) b) sin A  sin B.cosC  sin C.cosB  sin( B  C) 33 Cho ABC Chứng minh rằng: a) Nếu (a  b  c)(b  c  a)  3bc A  600 b) Nếu b3  c3  a3  a2 A  600 b c a c) Nếu cos( A  C)  3cosB  B  600 d) Nếu b(b2  a2 )  c(a2  c2 ) A  600 34 Cho ABC Chứng minh rằng: b2  a2  b cos A  a cos B ABC cân đỉnh C 2c sin B  2cos A ABC cân đỉnh B b) Nếu sin C c) Nếu a  2b.cosC ABC cân đỉnh A b c a   d) Nếu ABC vng A cos B cosC sin B.sin C a) Nếu Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn e) Nếu S  2R2 sin B.sinC ABC vng A 35 Cho ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để hai trung tuyến BM CN vng góc với là: b2  c2  5a2 36 Cho ABC a) Có a = 5, b = 6, c = Trên đoạn AB, BC lấy điểm M, K cho BM = 2, BK = Tính MK 16 b) Có cos A  , điểm D thuộc cạnh BC cho ABC  DAC , DA = 6, BD  Tính chu vi tam giác ABC HD: 37 a) MK = 30 15 b) AC = 5, BC = 25 , AB = 10 Cho tam giác có độ dài cạnh là: x2  x  1; 2x  1; x2  a) Tìm x để tồn tam giác b) Khi chứng minh tam giác có góc 1200 38 Cho ABC có B  900 , AQ CP đường cao, S ABC  9SBPQ a) Tính cosB b) Cho PQ = 2 Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC HD: a) cosB  b) R  39 Cho ABC a) Có B  600 , R = 2, I tâm đường tròn nội tiếp Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ACI b) Có A  900 , AB = 3, AC = 4, M trung điểm AC Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M trung điểm AB Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM 13 23 c) R  30 Cho hai đường tròn (O1, R) (O2, r) cắt hai điểm A B Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn C D Gọi N giao điểm AB CD (B nằm A HD: 40 a) R = b) R  N) Đặt AO1C   , AO2D   a) Tính AC theo R ; AD theo r  b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ACD   HD: a) AC = 2Rsin , AD = 2r sin b) Rr 2 41 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC, BD = a, CAB   , CAD   a) Tính AC b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, ,  Gia sư Tài Năng Việt HD: a) AC = a sin(   ) https://giasudaykem.com.vn b) S  a2 cos(    ) 2sin(   ) Cho ABC cân đỉnh A, A   , AB = m, D điểm cạnh BC cho BC = 3BD a) Tính BC, AD b) Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD Tính cos để bán kính chúng bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC m  11  4cos HD: a) BC = 2msin , AD = b) cos   16 43 Cho ba điểm A(2; 1), B(–2; 2), M(x; y) a) Tìm hệ thức x y cho tam giác AMB vuông M b) Tìm phương trình tham số phương trình tổng quát đường trung trực đoạn AB 42 c) Tìm phương trình đường thẳng d qua A tạo với AB góc 600 HD: a) x2  y2  3y   b) 8x  2y   c)  1 x    4 y    44 Cho ba đường thẳng d1 : 3x  4y  12  , d2 : 3x  4y   , d3 : x  2y   a) Chứng tỏ d1 d2 song song Tính khoảng cách d1 d2 b) Tìm phương trình đường thẳng d song song cách d1 d2 c) Tìm điểm M d3 cách d1 đoạn HD: a) b) 3x  4y   c) M(3; 2) M(1; 1)  x  5  4t  x   2m Cho điểm A(2; –3) hai đường thẳng d :  , d :   y  7  3t  y  3  m a) Viết phương trình tham số đường thẳng  qua A cắt d, d B, B cho AB = AB b) Gọi M giao điểm d d Tính diện tích tam giác MBB  x   6t HD: a)  :  b) S =  y  3  2t 46 Cho đường thẳng dm: (m  2) x  (m  1)y  2m   a) Chứng minh dm qua điểm cố định A b) Tìm m để dm cắt đoạn BC với B(2; 3), C(4; 0) 45 c) Tìm phương trình đường thẳng qua A tạo với BC góc 450 d) Tìm m để đường thẳng dm tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = HD: a) A(1; –3) b)  m  c) x  5y  14  0, 5x  y   d) m  3, m  47 Cho hai đường thẳng: d : x cost  y sin t  3cost  2sin t  d : x sin t  y cost  4cost  sin t  a) Chứng minh d d qua điểm cố định A, A d  d Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b) Tìm phương trình tập hợp giao điểm M d d Viết phương trình tiếp tuyến tập hợp vẽ từ điểm B(5; 0) HD: a) A(3; 2), A(–1; 4) b) (C): ( x  1)2  ( y  3)2  ; 2x  11y  10  0; 2x  y  10  48 Cho ba điểm M(6; 1), N(7; 3), P(3; 5) trung điểm ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC a) Tìm toạ độ đỉnh A, B, C b) Tìm phương trình trung tuyến AM, BN, CP c) Tính diện tích tam giác ABC HD: a) A(4; 7), B(2; 3), C(10; –1) b) 3x  y  19  0, y  3, 6x  7y  53  c) S = 20 49 Cho tam giác ABC có A(8; 0), B(0; 6), C(9; 3) Gọi H chân đường cao vẽ từ C xuống cạnh AB a) Tìm phương trình cạnh AB đường cao CH b) Gọi I, K hình chiếu C Ox Oy Chứng minh I, H, K thẳng hàng 50 Cho ba điểm A(0; –1), B(4; 1), C(4; 2) Viết phương trình đường thẳng d biết: a) d qua A khoảng cách từ B đến d hai lần khoảng cách từ C đến d b) d qua C cắt trục Ox, Oy E F cho: OE  OF  3 c) d qua B, cắt trục Ox, Oy M, N với xM  0, yN  cho: i) OM + ON nhỏ  nhỏ ON HD: a) x  y   0, 2x  3y   b) 2x  y   0, x  4y   c) i) x  2y   ii) 4x  y  17  51 Viết phương trình cạnh tam giác ABC, biết: a) Đỉnh B(2; 6), phương trình đường cao phân giác vẽ từ đỉnh là: x  7y  15  0, 7x  y   b) Đỉnh A(3; –1), phương trình phân giác trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác là: x  4y  10  0, 6x  10y  59  HD: a) 4x  3y  10  0, 7x  y  20  0, 3x  4y   b) 2x  9y  65  0, 6x  7y  25  0, 18x  13y  41  52 Cho hai điểm A(3; 4), B(–1; –4) đường thẳng d : 3x  2y   a) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B có tâm I  d 1  b) Viết phương tiếp tuyến (C) kẻ từ điểm E  ;  Tính độ dài tiếp tuyến tìm 2  toạ độ tiếp điểm c) Trên (C), lấy điểm F có xF  Viết phương trình đường tròn (C) đối xứng với (C) qua đường thẳng AF ii) OM HD: a) x2  y2  6x  2y  15  b) y   0, 4x  3y  10  , d = 5/ , tiếp điểm (3; 4), (–1; 2) c) (C): x2  y2  16x  8y  55  Gia sư Tài Năng Việt 53 https://giasudaykem.com.vn Cho đường cong (Cm): x2  y2  mx  4y  m   a) Chứng minh với m, (Cm) ln đường tròn (Cm) qua điểm cố định A, B b) Tìm m để (Cm) qua gốc toạ độ O Gọi (C) đường tròn ứng với giá trị m vừa tìm Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d : 4x  3y   chắn (C) dây cung có độ dài c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có vectơ phương a  (2;1) d) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục tung Viết phương trình đường tròn ứng với m HD: a) A(1; 1), B(1; 3) b) m = 2, (C): x2  y2  2x  4y  , 1 : 4x  3y   0, 2 : 4x  3y   c) x  2y   0, x  2y   54 d) m = –2, x2  y2  2x  4y   Cho đường cong (Ct): x2  y2  2x cost  2y sin t  cos2t  (0 < t < ) a) Chứng tỏ (Ct) đường tròn với t b) Tìm tập hợp tâm I (Ct) t thay đổi c) Gọi (C) đường tròn họ (Ct) có bán kính lớn Viết phương trình (C) d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tạo với trục Ox góc 450  HD: b) x2  y2  c) t  , (C) : x2  y2  2y   d) x  y   0, x  y   0, x  y   0, x  y   55 Cho hai đường thẳng d1 : x  3y   0, d2 : 3x  y   a) Viết phương trình hai đường tròn (C1), (C2) qua gốc toạ độ O tiếp xúc với d1, d2 Xác định tâm bán kính đường tròn Gọi (C1) đường tròn có bán kính lớn b) Gọi A B tiếp điểm (C1) với d1 d2 Tính toạ độ A B Tính góc AOB c) Viết phương trình đường thẳng  cắt (C1) tạo dây cung nhận điểm E(4; –2) làm trung điểm d) Trên đường thẳng d3 : 3x  y  18  , tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến (C1) vng góc với HD: a) (C1) : x2  y2  6x  2y  0, (C2 ) : 5x2  5y2  2x  6y  b) A(2; 2), B(0; –2), AOB  1350 c) : x  y   d) (5; 3), (7; –3) ... 2} C = {xR / -4 < x +  5} Bài 15: Cho Tv = tập hợp tất tam giác vuông, T = tập hợp tất tam giác, Tc = tập hợp tất tam giác cân, Tđ = tập hợp tất tam giác đều, Tvc= tập hợp tất tam giác vuông... nửa khoảng A  B ; AB; BA; R( AB) Bài 10: Gọi N(A) số phần tử tập A Cho N(A)=25; N(B)=29, N(AUB)= 41 Tính N(AB) ; N(AB); N(BA) Bài 11: a) Xác định tập hợp X cho {a ; b} X  {a; b ; c;d... tròn tâm I cố định có bán kính = cm Bài 6: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A; B; C biểu đồ Ven A = {0 ; 1; 2; 3} B = {0 ; 2; 4; 6} C = {0 ; 3; 4; 5} Bài 7: Hãy liệt kê tập A, B: A= {(x;x2) / x  {-1 ;