Bài tập hình học nâng cao môn toán lớp 10

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Cho hai tam giác ABC ABC có trọng tâm G G a) Chứng minh AA  BB  CC  3GG b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: AM  AB  AC 3 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho CN  2NA K trung điểm MN Chứng minh: 1 1 a) AK  AB  AC b) KD  AB  AC 4 Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: 1 a) AM  OB  OA b) BN  OC  OB c) MN   OC  OB 2 Cho ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: 4 a) AB   CM  BN c) AC   CM  BN c) MN  BN  CM 3 3 3 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G 1 a) Chứng minh: AH  AC  AB CH    AB  AC  3 b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH  AC  AB 6 Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a, AD  b Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ BI , AG theo a, b Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC vàBD theo vectơ AB vàAF Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM theo vectơ OA,OB,OC Cho ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB  3MC, NA  3CN, PA  PB  10 a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng 11 Cho ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB a) Chứng minh: AA1  BB1  CC1  b) Đặt BB1  u, CC1  v Tính BC,CA, AB theo u vàv 12 Cho ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo dài cho 5FB = 2FC a) Tính AI , AF theo AB vaøAC 11 Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IA  3IB  3BC b) JA  JB  2JC  Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn c) KA  KB  KC  BC d) LA  2LC  AB  2AC 12 Cho ABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: a) IA  IB  IC  BC b) FA  FB  FC  AB  AC c) 3KA  KB  KC  d) 3LA  2LB  LC  13 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định điểm I, F, K thoả đẳng thức sau: a) IA  IB  IC  4ID b) 2FA  2FB  3FC  FD c) 4KA  3KB  2KC  KD  14 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD  MC  AB , ME  MA  BC , MF  MB  CA Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh véc tơ MA  MB  MC vaøMD  ME  MF 15 Cho tứ giác ABCD a) Hãy xác định vị trí điểm G cho: GA  GB  GC  GD  (G đgl trọng tâm tứ giác ABCD) b) Chứng minh với điểm O tuỳ ý, ta có: OG   OA  OB  OC  OD  16 Cho G trọng tâm tứ giác ABCD A, B, C, D trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh: a) G điểm chung đoạn thẳng AA, BB, CC, DD b) G trọng tâm của tứ giác ABCD 17 Cho tứ giác ABCD Trong trường hợp sau xác định điểm I số k cho vectơ v k.MI với điểm M: a) v  MA  MB  2MC b) v  MA  MB  2MC c) v  MA  MB  MC  MD d) v  2MA  2MB  MC  3MD 18 Tính giá trị biểu thức sau: a) asin00  b cos00  c sin900 b) a cos900  bsin900  c sin1800 c) a2 sin900  b2 cos900  c2 cos1800 d)  sin2 900  2cos2 600  3tan2 450 e) 4a2 sin2 450  3(a tan450 )2  (2a cos450 )2 19 Tính giá trị biểu thức sau: a) sin x  cos x x 00; 450; 600 b) 2sin x  cos2x x 450; 300 20 Cho biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị lượng giác lại: 1 a) sin   ,  nhọn b) cos   c) tan x  2 21 6 Tinh cos150 , tan150 , cot150 22 Cho hai điểm M, N nắm đường tròn đường kính AB = 2R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM BN a) Chứng minh: AM AI  AB.AI , BN.BI  BA.BI Biết sin150  Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b) Tính AM AI  BN.BI theo R 23 Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = a) Tính AB.AC , suy giá trị góc A b) Tính CACB c) Gọi D điểm CA cho CD = Tính CD.CB 24 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính giá trị biểu thức sau: a) AB.AC b) ( AB  AD )( BD  BC) c) ( AC  AB)(2 AD  AB) d) AB.BD e) ( AB  AC  AD )( DA  DB  DC) HD: a) a2 b) a2 c) 2a2 d) a2 25 Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = e) a) Tính AB.AC , suy cosA b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG.BC  GB.GC  GC.GA c) Tính giá trị biểu thức S = GAGB d) Gọi AD phân giác góc BAC (D  BC) Tính AD theo AB, AC , suy AD 29 HD: a) AB.AC   , cos A   b) AG.BC  c) S   54 AB DC  AD  AB  AC , AD  5 AC 26 Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600 M trung điểm BC a) Tính BC, AM d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB  b) Tính IJ, I, J xác định bởi: 2IA  IB  0, JB  2JC HD: a) BC = 19 , AM = b) IJ = 133 27 Cho tứ giác ABCD a) Chứng minh AB2  BC2  CD2  DA2  2AC.DB b) Suy điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vng góc là: AB2  CD2  BC2  DA2 28 Cho tam giác ABC có trực tâm H, M trung điểm BC Chứng minh: MH MA  BC 29 Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm Chứng minh: a) MA2  MC2  MB2  MD2 b) MA.MC  MB.MD c) MA  MB.MD  2MA.MO (O tâm hình chữ nhật) 30 Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0) a) Tính chu vi nhận dạng tam giác ABC b) Tìm toạ độ điểm M biết CM  2AB  3AC c) Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 31 Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8) a) Tính AB.AC Chứng minh tam giác ABC vng A b) Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tìm toạ độ trực tâm H trọng tâm G tam giác ABC d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC e) Tìm toạ độ điểm M Oy để B, M, A thẳng hàng f) Tìm toạ độ điểm N Ox để tam giác ANC cân N g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC hình chữ nhật h) Tìm toạ độ điểm K Ox để AOKB hình thang đáy AO i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA  2TB  3TC  k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác đỉnh C ABC 32 Cho tam giác ABC tìm tập hợp điểm M cho: a) MA2  2MA.MB b) ( MA  MB)(2MB  MC)  c) ( MA  MB)( MB  MC)  d) 2MA2  MA.MB  MA.MC 33 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA.MC  MB.MD  a2 b) MA.MB  MC.MD  5a2 c) MA2  MB2  MC2  3MD2 d) ( MA  MB  MC)( MC  MB)  3a2 34 Cho tứ giác ABCD, I, J trung điểm AB CD Tìm tập hợp điểm M cho: MA.MB  MC.MD  IJ 35 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 a) Nếu b + c = 2a b) Nếu bc = a2 sin B sin C  sin2 A, hbhc  ha2   hb hc c) A vuông  mb2  mc2  5ma2 36 Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  góc hợp hai đường chép AC BD a) Chứng minh diện tích S tứ giác cho cơng thức: S  AC.BD.sin b) Nêu kết trường hợp tứ giác có hai đường chéo vng góc 37 Cho ABC vng A, BC = a, đường cao AH a) Chứng minh AH  a.sin B.cosB, BH  a.cos2 B, CH  a.sin2 B b) Từ suy AB2  BC.BH , AH  BH HC 38 Cho AOB cân đỉnh O, OH OK đường cao Đặt OA = a, AOH   a) Tính cạnh OAK theo a  b) Tính cạnh tam giác OHA AKB theo a  c) Từ tính sin2 , cos2 , tan2 theo sin , cos , tan 39 Giải tam giác ABC, biết: a) c  14; A  600; B  400 b) b  4,5; A  300; C  750 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn c) c  35; A  400; C  1200 40 Giải tam giác ABC, biết: d) a  137,5; B  830; C  570 a) a  6,3; b  6,3; C  540 b) b  32; c  45; A  870 c) a  7; b  23; C  1300 41 Giải tam giác ABC, biết: a) a  14; b  18; c  20 d) b  14; c  10; A  1450 b) a  6; b  7,3; c  4,8 c) a  4; b  5; c  d) a  3; b  2; c   42 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M có VTCP u : a) M(–2; 3) , u  (5; 1) b) M(–1; 2), u  (2;3) c) M(3; –1), u  (2; 5) d) M(1; 2), u  (5; 0) e) M(7; –3), u  (0;3) f) M  O(0; 0), u  (2;5) Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M có VTPT n : a) M(–2; 3) , n  (5; 1) b) M(–1; 2), n  (2;3) c) M(3; –1), n  (2; 5) d) M(1; 2), n  (5; 0) e) M(7; –3), n  (0;3) f) M  O(0; 0), n  (2;5) 44 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M có hệ số góc k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = c) M(5; 2), k = d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = f) M  O(0; 0), k = 45 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2) g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6) 46 Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M song song với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4x  10y   b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy 43 x 1 y   x   2t  d) M(2; –3), d:  e) M(0; 3), d: 2  y   4t 47 Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M vuông góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4x  10y   b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy  x   2t d) M(2; –3), d:   y   4t e) M(0; 3), d: x 1 y   2 ... Cho tam giác ABC tìm tập hợp điểm M cho: a) MA2  2MA.MB b) ( MA  MB)(2MB  MC)  c) ( MA  MB)( MB  MC)  d) 2MA2  MA.MB  MA.MC 33 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tìm tập hợp điểm M cho:... Tìm toạ độ điểm N Ox để tam giác ANC cân N g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC hình chữ nhật h) Tìm toạ độ điểm K Ox để AOKB hình thang đáy AO i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA  2TB  3TC  k) Tìm toạ độ... trung điểm BC Chứng minh: MH MA  BC 29 Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm Chứng minh: a) MA2  MC2  MB2  MD2 b) MA.MC  MB.MD c) MA  MB.MD  2MA.MO (O tâm hình chữ nhật) 30 Cho tam giác ABC có A(1;