d Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất.. a Chứng minh rằng bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn.. Xác đ
Trang 1CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO LUYỆN THI VÀO LỚP 10
A ĐẠI SỐ:
Bài 1: Thực hiện các phép tính:
a) 3 2 2+ + 3 2 2− b) (4+ 15)( 10− 6) 4− 15
1 2 − 2 3 + 3 4 − − 48 49
4 8 6 3 2
+ +
+ + + +
Bài 2: Cho biết (x+ x2 +3)(y+ y2 +3)=3 (1) Hãy tính : E = x+ y
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A, B với A(2m – 1 ; m2 + 1) và B(m + 2 ; 1) Xác định giá trị của m để độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất
Bài 4: Giải các hệ phương trình:
4 6 1 0
9 4 1 0
a
y x
1 2
1 12
− =
b
x y
Bài 5: Cho hệ phương trình: (2mx y m+ =−1)x y3− =2
Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm nguyên
Bài 6: Tìm m để hệ phương trình + =3x my x−2y m=3 (2)(1) có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
luôn có nghiệm
Bài 8: Cho các hệ số a, b, c thỏa mãn các điều kiện a > 0; b > a + c Chứng minh rằng phương trình:
ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 9: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3)
Bài 10: Xét các phương trình bậc hai (ẩn x):
ax2 + bx + c = 0 (1) và ax2 + bx – c = 0 (2)
a) Tìm điều kiện để cả hai cùng vô nghiệm
b) Chứng tỏ có ít nhất một phương trình có nghiệm
Bài 11: Cho a, b, c là ba số thỏa mãn a > b > c > 0 và a + b + c = 12.
Chứng minh rằng trong ba phương trình sau:
x2 + ax + b = 0 (1)
x2 + bx + c = 0 (2)
x2 + cx + a = 0 (3)
có một phương trình có nghiệm, có một phương trình vô nghiệm
Bài 12: Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn 3ab + 4bc + 5ca = - 1.
Chứng tỏ rằng phương trình (ax2 + bx + c)(bx2 + cx + a)( cx2 + ax + b) = 0 có nghiệm
Bài 13: Cho hai phương trình (ẩn x): x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0
Tìm a để hai phương trình cùng vô nghiệm
Bài 14: Với giá trị nào của a thì hai phương trình (ẩn x): x2 – ax + 1 = 0 (1) và x2 – x + a = 0 (2)
có một nghiệm bằng nhau
Trang 2Bài 15: Giải các phương trình:
a) x− x− − =1 3 0 b) 2x+ +5 x− =1 8
c) x2−3x+ x2 −3x+ =5 7 d) 4 2 0
2
x
+ e) 9 36
9
x
( )
2 3
3 2 1 8 17
2 1
x
x
−
−
Bài 16: Giải các phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
1 1
+ +
x x
Bài 17: Giải các phương trình:
Bài 18: Các số a b c, , ∈ −[ 1; 4] thoả mãn điều kiện a+2b+3c≤4
Chứng minh bất đẳng thức: a2 +2b2 +3c2 ≤36 Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 19: Với mỗi số k nguyên dương, đặt Sk = ( 2 + 1) k + ( 2 - 1)k
Chứng minh rằng: Sm+n + Sm- n = Sm Sn với mọi m, n là số nguyên dương và m > n
Bài 20:
a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh: 22 2 0 2
( 1) 1
b) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã: (2 x + 1) x2 − + > x 1 (2 x − 1) x2+ + x 1
Bài 21: Giải phương trình:
x 2x 3 4x 3 5x 6
Bài 22: Cho số thực m, n, p thỏa mãn : 2 2 3 2
1 2
m
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p
Bài 23: Cho hai sè a,b kh¸c 0 tho¶ m·n 2a2 +
2
2
1
4 +
b
a = 4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = ab + 2009.
Bài 24: Cho x, y tháa m·n: x 2+ −y3 = y 2+ −x3
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: B x= 2 +2xy 2y− 2 +2y 10+
Bài 25: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = 6 4x2
− +
Bài 26: Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức: 1 1 1
2
b c+ = .Chứng minh rằng ít nhất 1 trong hai phương trình sau phải cĩ nghiệm: x2 + bx + c = 0 (1) ; x2 + cx + b = 0 (2)
Trang 3Baứi 27: Cho các số dơng x, y, z thỏa mãn xyz - 16 0
+ + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x + y)(x + z)
Baứi 28: Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x2+ xy + y2 - x2y2 = 0
Baứi 29: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trỡnh: 1 2 x2 +2(m 1)x 2m+ + 2 +9m 7 0+ = (m là tham số)
Chứng minh rằng : 1 2
1 2
2
Baứi 30:
a) Cho 3 số a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 3 31 3 31 3 13 1
b) Tỡm x, y nguyờn sao cho x + y + xy + 2 = x2 + y2
c) Cho x, y > 0 và x y 1+ ≤ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2
A
+
B HèNH HOẽC:
Baứi 1: Cho ủửụứng troứn (O) ủửụứng kớnh AB = 2R, C laứ trung ủieồm cuỷa OA vaứ daõy MN vuoõng goực vụựi OA taùi
C Goùi K laứ ủieồm tuứy yự treõn cung nhoỷ BM, H laứ giao ủieồm cuỷa AK vaứ MN
a) Chửựng minh raống tửự giaực BCHK laứ tửự giaực noọi tieỏp b) Tớnh tớch AH AK theo R
c) Xaực ủũnh vũ trớ cuỷa ủieồm K ủeồ toồng (KM + KN + KB) ủaùt giaự trũ lụựn nhaỏt vaứ tớnh giaự trũ lụựn nhaỏt ủoự
Baứi 2: Cho ủửụứng troứn (O) noọi tieỏp tam giaực caõn ABC (AC = AB) tieỏp xuực vụựi caực caùnh AB, BC, AC laàn
lửụùt taùi D, E, F
a) Chửựng minh raống tửự giaực OECF noọi tieỏp
b) Chửựng minh raống DF // BC
c) BF caột ủửụứng troứn (O) taùi P Goùi I laứ giao ủieồm cuỷa DP vụựi BC Chửựng minh raống ∆IEP ∆IDE;
∆IBP ∆IDB
d) Chửựng minh raống dieọn tớch tam giaực DBI baống dieọn tớch tam giaực DIE
Baứi 3: Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A (AB < AC) coự ủửụứng cao AH vaứ trung tuyeỏn AM Veừ ủửụứng troứn taõm
H baựn kớnh AH, caột AB ụỷ ủieồm D, caột AC ụỷ ủieồm E (D vaứ E khaực ủieồm A) Chửựng minh raống:
a) D, H, E thaỳng haứng b) ãMAE ADE vaứ MA DE= ã ⊥
c) Boỏn ủieồm B, C, D, E cuứng thuoọc moọt ủửụứng troứn d) DE ≤ BC
e) Cho goực ãACB=300 vaứ AH = a Tớnh dieọn tớch tam giaực HEC theo a.
Baứi 4: Cho tam giaực ABC noọi tieỏp trong ủửụứng troứn (O) coự ãACB=450 ẹửụứng troứn taõm I, ủửụứng kớnh AB caột caùnh AC vaứ BC taùi M vaứ N
a) Chửựng minh MN ⊥ OC
b) Chửựng minh MN AB= : 2
c) Cho A, B coỏ ủũnh, ãACB=450 khoõng ủoồi vaứ C di ủoọng treõn cung lụựn AB Tỡm quyừ tớch trung ủieồm P cuỷa IC
Baứi 5: Cho tam giaực ABC coự ba goực nhoùn vaứ ủửụứng cao AH Goùi M vaứ N laàn lửụùt laứ ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa H
qua AB vaứ AC
a) Chửựng minh raống tửự giaực AMBH noọi tieỏp
b) Chửựng minh raống AM = AH = AN
c) Giaỷ sửỷ MN caột AB vaứ AC laàn lửụùt ụỷ F vaứ E Chửựng minh E thuoọc ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tửự giaực AMBH d) Chửựng minh raống AH, BE, CF ủoàng quy
Baứi 6: Cho ủửụứng troứn (O), ủửụứng kớnh AB coỏ ủũnh, moọt ủieồm I naốm giửừa A vaứ O sao cho AI =23AO. Keỷ daõy MN vuoõng goực vụựi AB taùi I Goùi C laứ ủieồm tuứy yự thuoọc cung lụựn MN sao cho C khoõng truứng vụựi M, N vaứ
Trang 4B Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh rằng tứ giác IECB nội tiếp
b) Chứng minh rằng ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC
c) Chứng minh rằng AE.AC – AI.IB = AI2
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A và B Từ một
điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn) kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K
a) Chứng minh rằng bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh rằng KN.KC = KH.KO
c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I Chứng minh I cách đều CM, CN, MN
d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất
Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC, hai đường cao BD, CE cắt nhau ở H I là trung điểm BC Hai
đường tròn ngoại tiếp BEI và CDI cắt nhau ở K (khác I)
a) Chứng minh rằng ·BDK CEK=·
b) DE cắt BC tại M Chứng minh rằng M, H, K thẳng hàng
c) Chứng minh rằng tứ giác BKDM nội tiếp
Bài 9: Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d cắt (O) tại A và B Từ điểm M trên d và ở ngoài đường tròn
vẽ hai tiếp tuyến MN, MP (N và P là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh ·NMO NPO=·
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M di động trên d
c) Xác định vị trí của M trên d sao cho MNOP là hình vuông
Bài 10: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB C là một điểm trên đoạn thẳng AB Nối C với một điểm M
bất kì trên nửa đường tròn Đường thẳng vuông góc tại M với CM cắt các tiếp tuyến tại A và B ở E và F a) Chứng minh ACME và BCMF là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh ·ECF =900
c) Tìm quỹ tích trung điểm N của EF khi M chạy trên nửa đường tròn đường kính AB với C cố định
Bài 11: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó Vẽ đường tròn (O) đi qua B và C Từ
A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và MN
a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB.AC
b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I Chứng minh IN // AB
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi
Bài 12: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ BC Trên
cạnh AB lấy điểm M trên tia AC lấy điểm N sao cho: CN = BM (C nằm giữa A, N) Chứng minh:
a) IM = IN b) Tứ giác AMIN nội tiếp
c) Gọi K là giao điểm của MN với BC Chứng minh: KM = KN
d) Cho P là điểm di động trên cung ACI H là hình chiếu của P xuống AI; E là hình chiếu của H xuống AP;
F là hình chiếu của H xuống IP Xác định vị trí của P để tứ giác PEHF có diện tích lớn nhất
Bài 13: Cho (O; R) và đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A Điểm B lấy bất kì trên (O), kẻ BH vuông góc
xy tại H
a) Chứng minh: BA là phân giác của góc OBH
b) Chứng minh: Phân giác ngoài của góc OBH luôn đi qua 1 điểm cố định khi B di động trên (O)
c) GoÏi M là giao điểm của BH với phân giác của góc AOB Tìm quĩ tích của M khi B di động trên (O)
Trang 5Bài 14: Cho ∆ABC đều nội tiếp (O) Trên cung nhỏ AB lấy M, trên dây MC lấy N sao cho MB = CN a) Chứng minh : ∆AMN đều
b) Kẻ đường kính BD của (O) Chứng minh: MD là đường trung trực của AN
c) Tiếp tuyến kẻ từ D của (O) cắt tia BA và MC lần lượt tại T, K Tính số đo bằng độ của góc tổng
NAT+NKT
d) Khi M di động trên cung nhỏ AB, hãy xác định vị trí của M để tổng MA + MB lớn nhất ?
Bài 15: Trên đường tròn tâm O lấy một dây cung cố định AB khác đường kính và hai điểm C, D di động
trên cung lớn AB sao cho AD // BC
a) Chứng minh: Hai cung AB, CD bằng nhau
b) Khi AC và BD cắt nhau tại M; C và D di động theo điều kiện trên thì điểm M chạy trên đường nào ? Hãy xác định đường đó ?
c) Một đường thẳng d đi qua M song song với AD CMR: d chứa đường phân giác của góc AMB và d luôn
đi qua một điểm cố định mà ta đặt là điểm I
d) Chứng minh: IA, IB là 2 tiếp tuyến của (O) kẻ từ điểm I