1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x
TỔNG ƠN TỐN 11 VIP CHỦ ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với n∈N với cặp số a, b ta có: n ( a + b) = ∑ Cnk a n−k bk n k =0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a n − k b k ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk = Cnn − k Cnk −1 + Cnk = Cnk+1 n 5) C= C= 1, n n * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn ⇒ Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n (x–1)n = Cn0 x n − Cn1 x n −1 + + (−1) n Cnn ⇒ Cn0 − Cn1 + + (−1) n Cnn =0 Từ khai triển ta có kết sau * Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n * Cn0 − Cn1 + Cn2 − + (−1) n Cnn =0 B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: = ( ax p + bx q ) n p = ) ( bx q ) ∑ Cnk ( ax n n−k k n ∑C a = k 0= k k n n−k b k x np − pk + qk m Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa: np − pk + qk = Từ tìm k = m − np p−q Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cnk a n − k b k với giá trị k tìm Nếu k khơng ngun k > n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton P ( x ) =( a + bx p + cx q ) viết dạng a0 + a1 x + + a2 n x n n Ta làm sau: * Viết P ( x ) =( a + bx p + cx q ) =∑ Cnk a n − k ( bx p + cx q ) ; n n k k =0 * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng ( bx p + cx q ) thành đa thức theo luỹ thừa k x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak −1 ≤ ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển ( 2a − b ) , hệ số số hạng thứ bằng: A −80 C −10 B 80 Câu 2: Trong khai triển nhị thức ( a + ) A 17 n+6 D 10 , ( n ∈ ) Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: B 11 C 10 D 12 Câu 3: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số số hạng là: 10 B −34.C104 A 34.C104 C 35.C105 D −35.C105 Câu 4: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số số hạng chứa x5 y là: A −22400 B −40000 C −8960 D −4000 Câu 5: Trong khai triển x + , hệ số x , ( x > ) là: x A 60 B 80 C 160 D 240 C 35.a b −5 D −35.a b 1 Câu 6: Trong khai triển a + , số hạng thứ là: b B −35.a b −4 A 35.a b −4 Câu 7: Trong khai triển ( 2a − 1) , tổng ba số hạng đầu là: A 2a − 6a + 15a B 2a − 15a + 30a C 64a − 192a + 480a D 64a − 192a + 240a ( Câu 8: Trong khai triển x − y A −16 x y15 + y ) 16 , tổng hai số hạng cuối là: B −16 x y15 + y C 16 xy15 + y D 16 xy15 + y Câu 9: Trong khai triển 8a − b , hệ số số hạng chứa a 9b3 là: A −80a b3 B −64a b3 C −1280a b3 D 60a b Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton Câu 10: Trong khai triển x + , số hạng không chứa x là: x A 4308 B 86016 C 84 D 43008 Câu 11: Trong khai triển ( x − 1) , hệ số số hạng chứa x8 là: 10 A −11520 B 45 C 256 D 11520 Câu 12: Trong khai triển ( a − 2b ) , hệ số số hạng chứa a b là: A 1120 B 560 C 140 D 70 Câu 13: Trong khai triển ( x − y ) , số hạng chứa x y là: A −2835 x y B 2835x y D −945 x y C 945x y Câu 14: Trong khai triển ( 0,2 + 0,8 ) , số hạng thứ tư là: A 0, 0064 B 0, 4096 C 0, 0512 D 0, 2048 Câu 15: Hệ số x3 y khai triển (1 + x ) (1 + y ) là: A 20 C 36 B 800 D 400 Câu 16: Số hạng khai triển ( x + y ) là: B ( x ) ( y ) A C42 x y C 6C42 x y D 36C42 x y Câu 17: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số số hạng chứa x8 y 11 B − C11 A C113 C −C115 D C118 Câu 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x)= (1 − x)10 A −15360 B 15360 C −15363 D 15363 Câu 19: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h(= x) x(2 + x)9 B 489887 A 489889 C −489888 D 489888 Câu 20: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: g ( x) = (1 + x)7 + (1 − x)8 + (2 + x)9 A 29 B 30 C 31 D 32 Câu 21: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x= ) (3 + x)10 A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831 ) x(1 − x) Câu 22: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x= A −4608 B 4608 C −4618 D 4618 Câu 23: Xác định hệ số x khai triển sau: f = ( x) (3 x + 1) A 17010 B 21303 10 C 20123 2 Câu 24: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x= ) − x3 x A 1312317 B 76424 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C 427700 D 21313 D 700000 Tổng ôn Toán 11 12 3 x Câu 25: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x= ) + x 2 A 297 512 B 29 51 C Chủ đề Nhị thức Newton 27 52 D 97 12 Câu 26: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) = (1 + x + x )10 A 37845 B 14131 C 324234 D 131239 Câu 27: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = 8(1 + x) − 9(1 + x)9 + 10(1 + 10 x)10 8 A 8.C80 88 − C91.98 + 10.C108 108 B C80 88 − C91.98 + C108 108 C C80 88 − 9.C91.98 + 10.C108 108 D 8.C80 88 − 9.C91.98 + 10.C108 108 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x) = 8(1 + x)8 + 9(1 + x)9 + 10(1 + x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển ( x3 + xy ) là: 15 A 2080 B 3003 C 2800 D 3200 18 Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển x + là: x A C189 B C10 18 C C188 D C183 C –72 D –792 Câu 31: Khai triển (1 − x ) , hệ số đứng trước x là: 12 A 330 B – 33 ( x − )12 Câu 32: Tìm số hạng không chứa x khai triển sau: f ( x) = x A 59136 B 213012 C 12373 (x ≠ 0) D 139412 17 Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: g ( x) =+ ( x ) x A 24310 B 213012 C 12373 ( x > 0) D 139412 n Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn + x biết x Cnn++41 − Cnn+3 = ( n + 3) A 495 B 313 C 1303 D 13129 n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức − ( x + x ) với n số x nguyên dương thoả mãn Cn3 + 2n = An2+1 ( Cnk , Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử) A −98 C −96 B 98 D 96 40 Câu 36: Trong khai triển f ( x= ) x + , tìm hệ số x31 x A 9880 B 1313 C 14940 D 1147 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton 18 1 Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức x3 + số hạng độc lập x x A 9880 B 1313 C 14940 D 48620 12 x 3 Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển − 3 x A 55 B 13 C 621 113 D 1412 3123 Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển ( x3 + xy ) 15 A 300123 B 121148 C 3003 D 1303 Câu 40: Cho đa thức P ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + + 20 (1 + x ) có dạng khai triển 20 P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 B 130414 Câu 41: Tìm số hạng khai triển A 4536 ( 3+ B 4184 C 511313 ) D 412674 số nguyên C 414 12 D 1313 x) (2 x + ) 20 Câu 42: Xét khai triển f (= x Viết số hạng thứ k + khai triển A Tk +1 = C20k 220− k x 20− k B Tk +1 = C10k 220− k x 20− k C Tk +1 = C20k 220− k x 20− k D Tk +1 = C20k 220− k x 20− k Số hạng khai triển không chứa x A C20 210 10 10 B A20 10 C C20 10 10 D C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x)= (3 x + x + 1)10 A 8089 B 8085 C 1303 D 11312 Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2 − x) n , biết n số nguyên dương thỏa mãn : C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + + C22nn++11 = 1024 A 2099529 B −2099520 C −2099529 D 2099520 Câu 45: Tìm hệ số x khai triển f ( x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + + (1 + x)14 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x (1 − x ) + x (1 + x ) A 3320 B 2130 C 3210 Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 khai triển đa thức f ( x) = 1 + x (1 − x ) A 213 10 B 230 C 238 D 1313 D 214 Câu 48: Đa thức P ( x ) = (1 + x + x ) = a0 + a1 x + + a20 x 20 Tìm a15 10 A a15 = C1010 C105 35 + C109 C96 33 + C108 C87 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton B a15 = C1010 C105 25 + C109 C96 26 + C108 C87 27 C a15 = C1010 C105 35.25 + C109 C96 33.26 + C108 C87 27 D a15 = C1010 C105 35.25 + C109 C96 33.26 + C108 C87 3.27 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x3 − ) n , biết Cnn −1 + Cnn − = 78 với x x>0 A −112640 C −112643 B 112640 D 112643 Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n −3 hệ số x 3n −3 khai triển thành đa thức ( x + 1) n ( x + 2) n Tìm n để a3n −3 = 26n A n=5 B n=4 C n=3 D n=2 n Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức Newton + x , biết x C21n +1 + C22n +1 + + C2nn +1 = 220 − A 210 B 213 C 414 D 213 Câu 52: Cho n ∈ * (1 + x) n = a0 + a1 x + + an x n Biết tồn số nguyên k ( ≤ k ≤ n − ) ak −1 ak ak +1 = = Tính n = ? 24 A 10 B 11 cho C 20 D 22 Câu 53: Trong khai triển ( + x)10 thành đa thức 3 a0 + a1 x + a2 x + + a9 x + a10 x10 , tìm hệ số ak lớn ( ≤ k ≤ 10 ) A a10 = 3003 210 315 B a5 = 3003 210 315 C a4 = 3003 210 315 D a9 = 3003 210 315 729 Tìm n số lớn Câu 54: Giả sử (1 + x) n = a0 + a1 x + a2 x + + an x n , biết a0 + a1 + + an = số a0 , a1 , , an A n=6, max {ak= } a=4 240 B n=6, max {ak= } a=6 240 C n=4, max {ak= } a=4 240 D n=4, max {ak= } a=6 240 Câu 55: Cho khai triển (1 + x) n = a0 + a1 x + + an x n , n ∈ * Tìm số lớn số a a1 + + nn = 4096 2 C 130272 D 130127 a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0 + A 126720 B 213013 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG Chủ đề Nhị thức Newton n ∑a C b k =0 k k n k Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton n Cn0 a n + a n −1bCn1 + a n − 2b 2Cn2 + + b nCnn (a + b)= Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: * Cnk = Cnn − k * Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n n * ∑ (−1) C k k =0 n *= ∑ C22nk k n = n = k 0= k n * ∑C k =0 k n 2n k ∑ C2 n 2k = C22nk −1 ∑= a k= (1 + a ) n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn Câu 1: Tổng T = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn bằng: A T = 2n B T = 2n – C T= 2n + D T = 4n Câu 2: Tính giá trị tổng S = C60 + C61 + + C66 bằng: A 64 B 48 C 72 D 100 Câu 3: Khai triển ( x + y ) thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S = C50 + C51 + + C55 A 32 B 64 C D 12 Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + + 2n Cnn = 243 A B 11 C 12 D Câu 5: Khai triển ( x + y ) thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S = C50 + C51 + + C55 A 32 B 64 C D 12 Câu 6: Khai triển (1 + x + x + x3 ) = a0 + a1 x + a2 x + + a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 A a10 = C50 + C54 + C54C53 B a10 = C50 C55 + C52C54 + C54C53 C a10 = C50 C55 + C52C54 − C54C53 D a10 = C50 C55 − C52C54 + C54C53 b) Tính tổng T = a0 + a1 + + a15 S = a0 − a1 + a2 − − a15 A 131 B 147614 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C D Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton Câu 7: Khai triển (1 + x + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 20 10 a) Hãy tính hệ số a4 A a4 = C100 24 B a4 = 24 C104 C a4 = C100 C104 D a4 = C100 24 C104 C S = 17 20 D S = 710 b) Tính tổng S = a1 + 2a2 + 4a3 + + 220 a20 A S = 1710 B S = 1510 1 1 (−1) n n Cn − Cn + Cn − Cn + + Cn Câu 8: Tính tổng sau: S= 2(n + 1) A 2(n + 1) B C D (n + 1) Câu 9: Tính tổng sau:= S Cn1 3n −1 + 2Cn2 3n − + 3Cn3 3n −3 + + nCnn A n.4n −1 B D 4n −1 C 1 1 Câu 10: Tính tổng sau: S1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn n +1 2n +1 + A n +1 2n +1 − B n +1 2n +1 − +1 C n +1 2n +1 − −1 D n +1 C 2n.2n +1 D n.2n −1 Câu 11: Tính tổng sau: S = Cn1 + 2Cn2 + + nCnn A 2n.2n −1 B n.2n +1 Câu 12: Tính tổng sau:= S3 2.1.Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + + n(n − 1)Cnn A n(n − 1)2n − Câu 13: Tính tổng S = Cn0 + B n(n + 2)2n − A S = 4n +1 + 2n +1 = −1 B S n +1 4n +1 − 2n +1 +1 n +1 Câu 14: Tính tổng S = Cn0 + 3n +1 − 2n +1 n +1 D n(n − 1)2n + 32 − 1 3n +1 − n Cn + + Cn n +1 4n +1 − 2n +1 A S = n +1 = C S C n(n − 1)2n −3 = D S 4n +1 − 2n +1 −1 n +1 22 − 1 2n +1 − n Cn + + Cn n +1 B S = 3n − 2n +1 n +1 C S = 3n +1 − 2n n +1 D S = 3n +1 + 2n +1 n +1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − + (2n + 1)2n C22nn++11 = 2005 A n = 1001 B n = 1002 C n = 1114 D n = 102 Câu 16: Tính tổng 1.30.5n −1 Cnn −1 + 2.31.5n − Cnn − + + n.3n −150 Cn0 A n.8n −1 B (n + 1).8n −1 C (n − 1).8n D n.8n Câu 17: Tính tổng = S 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + + n(n − 1)Cnn A n(n + 1)2n − B n(n − 1)2n − C n(n − 1)2n D (n − 1)2n − Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Câu 18: Tính tổng ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( Cnn ) 2 B C2nn−1 A C2nn Chủ đề Nhị thức Newton C 2C2nn D C2nn−−11 Câu 19: Tính tổng sau: S= 5n Cn0 + 5n −1.3.Cnn −1 + 32.5n − Cnn − + + 3n Cn0 B + 8n A 28n C 8n −1 D 8n 2010 Câu 20: S= C2011 + 22 C2011 + + 22010 C2011 A 32011 + B 3211 − C 32011 + 12 D 32011 − Tài liệu thuộc Series Tổng ơn Tốn 11 DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP VIP KYS Nhận toàn tài liệu tự động qua email Nhận toàn Series giải chi tiết 100% Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K Được nhận tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP Đăng kí VIP bit.ly/vipkys Contact us: Hotline: 099.75.76.756 Admin: fb.com/khactridg Email: tailieukys@gmail.com Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: = ( ax p + bx q ) = ) ( bx ) ∑ C a ∑ C ( ax n k p n−k q k n = k 0= k n n k n n−k b k x np − pk + qk Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa: np − pk + qk = m Từ tìm k = m − np p−q Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cnk a n − k b k với giá trị k tìm Nếu k khơng ngun k > n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển P ( x ) =( a + bx p + cx q ) viết dạng a0 + a1 x + + a2 n x n n Ta làm sau: * Viết P ( x ) =( a + bx p + cx q ) =∑ Cnk a n − k ( bx p + cx q ) ; n n k k =0 * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng ( bx p + cx q ) thành đa thức theo luỹ thừa k x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak −1 ≤ ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển ( 2a − b ) , hệ số số hạng thứ bằng: A −80 C −10 B 80 D 10 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: ( 2a −= b ) C50 ( 2a ) − C51 ( 2a ) b + C52 ( 2a ) b + 5 Do hệ số số hạng thứ C52 = 80 Câu 2: Trong khai triển nhị thức ( a + ) A 17 B 11 n+6 , ( n ∈ ) Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: C 10 D 12 Hướng dẫn giải: Chọn C Trong khai triển ( a + ) 10 n+6 , ( n ∈ ) có tất n + số hạng Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 18 Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển x + là: x A C189 Chủ đề Nhị thức Newton C C188 B C10 18 D C183 Hướng dẫn giải: Chọn A Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C18k x 54−3k x −3k Yêu cầu toán xảy 54 − 3k − 3k = ⇔ k = Khi số hạng khơng chứa là: C189 Câu 31: Khai triển (1 − x ) , hệ số đứng trước x là: 12 A 330 B – 33 C –72 D –792 Hướng dẫn giải: Chọn D Số hạng tổng quát khai triển T= C12k ( −1) x k k +1 k Yêu cầu toán xảy k = −792 Khi hệ số số hạng chứa x là: −C127 = ( x − )12 Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f ( x) = x A 59136 B 213012 C 12373 (x ≠ 0) D 139412 Hướng dẫn giải: Chọn A 12 Ta có: f ( x) = ( x − 2.x −1 )12 = ∑ C12k x12−k (−2 x −1 )k k =0 12 ∑C k =0 k 12 (−2) k x12− k Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 − 2k = ⇔ k = ⇒ số hạng không chứa x là: C126 26 = 59136 17 Câu 33: Tìm số hạng không chứa x khai triển sau: g ( x) =+ ( x ) x A 24310 B 213012 C 12373 ( x > 0) D 139412 Hướng dẫn giải: Chọn A − Vì = x= ; x3 x nên ta có x 17 − k k 17 − k 17 k 0= k C x x ∑= 17 f ( x) ∑ C17k x 17 k −136 12 Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17 k − 136 = ⇔ k = Vậy hệ số không chứa x là: C178 = 24310 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 17 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton n Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn + x5 biết x Cnn++41 − Cnn+3 = ( n + 3) A 495 B 313 C 1303 D 13129 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: Cnn++41 − Cnn+3 = ( n + 3) ⇔ ( Cnn+3 + Cnn++31 ) − Cnn+3 = ( n + 3) ⇔ Cnn++31 = ( n + 3) ⇔ ( n + )( n + 3) = 2! ⇔ n + = 7.2! = 14 ⇔ n = 12 ( n + 3) 12 − k 60 −11k 12 12 1 −3 k k k + = x C x x C x Khi đó:= ∑ 12 ∑ 12 ( ) x k 0= = k n Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 60 − 11k =8 ⇔ k = x8 là: C124 Do hệ số số hạng chứa = 12! = 495 4!(12 − ) ! n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức − ( x + x ) với n số x nguyên dương thoả mãn Cn3 + 2n = An2+1 ( Cnk , Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử) A −98 B 98 C −96 D 96 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: C + 2n = A n n +1 n ≥ ⇔ n ( n − 1)( n − ) + 2n = ( n + 1) n n ≥ ⇔ ⇔n= n − 9n + = Theo nhị thức Newton ta có: 8 1 1 1 x − ( x + x ) = x − x (1 + x ) = C8 x8 − C8 x (1 + x ) + 1 + x ) − C83 (1 + x ) + C84 (1 + x ) − + C88 x8 (1 + x ) ( x x Số hạng khơng phụ thuộc vào x có hai biểu thức +C82 −C83 + x ) C84 (1+ x ) ( x Trong có hai số hạng khơng phụ thuộc vào x là: −C83 C32 C84 C40 Do số hạng không phụ thuộc vào x là: −C83 C32 + C84 C40 = −98 18 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton 40 Câu 36: Trong khai triển f ( x= ) x + , tìm hệ số x31 x A 9880 B 1313 C 14940 D 1147 Hướng dẫn giải: Chọn A 18 1 Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức x3 + số hạng độc lập x x A 9880 B 1313 C 14940 D 48620 Hướng dẫn giải: Chọn D C189 = 48620 12 x 3 Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển − 3 x 55 Hướng dẫn giải: Chọn A A B 13 C 621 113 D 1412 3123 55 (−3) C124 = Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển ( x + xy ) 15 A 300123 B 121148 C 3003 D 1303 Hướng dẫn giải: Chọn C C1510 = 3003 Câu 40: Cho đa thức P ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + + 20 (1 + x ) có dạng khai triển 20 P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 B 130414 C 511313 D 412674 Hướng dẫn giải: Chọn A = a15 20 = kC ∑ k =15 15 k 400995 Câu 41: Tìm số hạng khai triển A 4536 ( 3+ B 4184 ) số nguyên C 414 12 D 1313 Hướng dẫn giải: Chọn A Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 19 Tổng ơn Tốn 11 Ta có ( 3+ ) ( 3) ( ) = ∑ C9k k k =0 Chủ đề Nhị thức Newton 9− k Số hạng số nguyên ứng với giá trị k thỏa: k = 2m 9 − k = 3n ⇔ k = 0, k = k = 0, ,9 Các số hạng số nguyên: C90 ( 2) = C96 ( 3) ( ) 3 x) (2 x + ) 20 Câu 42: Xét khai triển f (= x Viết số hạng thứ k + khai triển A Tk +1 = C20k 220− k x 20− k B Tk +1 = C10k 220− k x 20− k C Tk +1 = C20k 220− k x 20− k D Tk +1 = C20k 220− k x 20− k Số hạng khai triển không chứa x A C20 210 10 10 B A20 10 C C20 10 10 D C20 Hướng dẫn giải: 20 − k k = C20k 220− k x 20− k Ta có: Tk +1 C= 20 (2 x ) k x Số hạng không chứa x ứng với k: 20 − 2k = ⇔ k = 10 10 10 Số hạng không chứa x: C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x)= (3 x + x + 1)10 A 8089 B 8085 C 1303 D 11312 Hướng dẫn giải: Chọn B f ( x ) =(1 + x + x ) =∑ C10k ( x + x ) 10 10 k k =0 10 k k 10 = k 0=i 10 k k 10 = k 0=i C ∑ C (2 x) (3 x ) ∑ C ∑ C ∑= i k k −i i i k k −i 3i x k +i với ≤ i ≤ k ≤ 10 Do k + i =4 với trường hợp= i 0,= k hoặc= i 1,= k i= k= Vậy hệ số chứa x : 24 C104 C40 + 2231 C103 C31 + 32 C102 C22 = 8085 Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2 − x) n , biết n số nguyên dương thỏa mãn : C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + + C22nn++11 = 1024 A 2099529 B −2099520 C −2099529 D 2099520 Hướng dẫn giải: Chọn B 20 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton n +1 k n +1 ∑ C2 n +1 = n Ta có: kn=0 ⇒ C22ni ++11 = 22 n = 1024 ⇒ n = ∑ n i =0 C 2i +1 = C 2i ∑ ∑ n +1 n +1 = i 0=i 10 ∑C Suy (2 − 3= x) n k =0 k 10 210− k (−3) k x k Hệ số x C 23.(−3)7 = −2099520 7 10 Câu 45: Tìm hệ số x khai triển f ( x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + + (1 + x)14 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 Hướng dẫn giải: Chọn C Hệ số x : C99 + C109 + C119 + C129 + C139 + C149 = 3003 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x (1 − x ) + x (1 + x ) A 3320 B 2130 10 C 3210 D 1313 Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt f ( x) =x (1 − x ) + x (1 + x ) 5 10 10 Ta có : f ( x)= x ∑ C5k ( −2 ) x k + x ∑ C10i ( x ) k i k 0=i = 10 =∑ C5k ( −2 ) x k +1 + ∑ C10i 3i.x i + k = k 0=i Vậy hệ số x khai triển đa thức f ( x) ứng với k = i = là: C54 ( −2 ) + C103 33 = 3320 1 + x (1 − x ) Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 khai triển đa thức f ( x) = A 213 B 230 C 238 D 214 Hướng dẫn giải: Chọn C Cách 1 + x (1 − x ) = C80 + C81 x (1 − x ) + C82 x (1 − x ) + C83 x (1 − x ) +C84 x8 (1 − x ) + C85 x10 (1 − x ) + C88 x16 (1 − x ) Trong khai triển ta thấy bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Do x8 có số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C83 C32 , C84 C40 Vậy hệ số cuả x8 khai triển đa thức 1 + x (1 − x ) là: a8 =C83 C32 + C84 C40 = 238 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 21 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton Cách 2: Ta có: 1 + x (1 −= x ) 8 ∑C n = n n n n 0= k = x n (1= − x) n ∑ C ∑ C ( −1) k n k x 2n+ k với ≤ k ≤ n ≤ Số hạng chứa x8 ứng với 2n + k = ⇒ k = − 2n số chẵn k 2,= n k 0;= n và= Thử trực tiếp ta được= Vậy hệ số x8 C83 C32 + C84 C40 = 238 Câu 48: Đa thức P ( x ) = (1 + x + x ) = a0 + a1 x + + a20 x 20 Tìm a15 10 A a15 = C1010 C105 35 + C109 C96 33 + C108 C87 B a15 = C1010 C105 25 + C109 C96 26 + C108 C87 27 C a15 = C1010 C105 35.25 + C109 C96 33.26 + C108 C87 27 D a15 = C1010 C105 35.25 + C109 C96 33.26 + C108 C87 3.27 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: P ( x ) =(1 + x + x ) =∑ C10k ( x + x ) 10 10 k k =0 10 k C10k ∑ Cki (3 x) k −i (2 x )i ∑= k 0=i = 10 k ∑ C10k ∑ Cki 3k −i.2i x k +i k 0=i = 15 với trường hợp với ≤ i ≤ k ≤ 10 Do k + i = = k 10, = i = k 9,= i = k 8,= i Vậy a15 = C1010 C105 35.25 + C109 C96 33.26 + C108 C87 3.27 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x3 − ) n , biết Cnn −1 + Cnn − = 78 với x x>0 A −112640 B 112640 C −112643 D 112643 Hướng dẫn giải: Chọn A 78 ⇔ Ta có: Cnn −1 + Cnn − = ⇔ n+ n! n! 78 + = (n − 1)!1! (n − 2)!2! n(n − 1) = 78 ⇔ n + n − 156 = ⇔ n = 12 12 12 2 Khi đó: f ( x) = x3 − =∑ C12k (−2) k x 36− k x k =0 Số hạng không chứa x ứng với k : 36 − 4k = ⇒ k = Số hạng không chứa x là: (−2)9 C129 = −112640 Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n −3 hệ số x 3n −3 khai triển thành đa thức ( x + 1) n ( x + 2) n Tìm n để a3n −3 = 26n 22 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 A n=5 B n=4 Chủ đề Nhị thức Newton C n=3 D n=2 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1:Ta có : (x + 1= ) Cn0 x 2n + Cn1 x 2n−2 + Cn2 x 2n−4 + + Cnn n ( x + )= n Cn0 x n + 2Cn1 x n −1 + 22 Cn2 x n − + + 2n Cnn Dễ dàng kiểm tra n = , n = không thoả mãn điều kiện tốn Với n ≥ dựa vào khai triển ta phân tích n n −3 = x x3n −3 x= x n − x n −1 Do hệ số x 3n −3 khai triển thành đa thức (x : a3n −3 23.Cn0 Cn3 + 2.Cn1 Cn1 + 1) ( x + ) là= n n 2n ( 2n − 3n + ) Suy a3n −3= 26n ⇔ = 26n ⇔ n= − n = Vậy n = giá trị cần tìm Cách 2: n n 2 n Ta có: ( x + 1) ( x + ) = x3n 1 + 1 + x x i n k n n n 2 x= C ∑ Cnk x3n ∑ Cni x −2i ∑ Cnk 2k x − k ∑ x k x= =i = i 0=k n 3n i n Trong khai triển trên, luỹ thừa x 3n − −2i − k =−3 ⇔ 2i + k =3 i 0,= k Ta có hai trường hợp thoả mãn điều kiện là= = i 1,= k (vì i, k nguyên) Hệ số x 3n −3 khai triển thành đa thức ( x + 1) ( x + ) n n Là : a3n −3 Cn0 Cn3 23 + Cn1 Cn1 = 2n ( 2n − 3n + ) Do a3n −3= 26n ⇔ = 26n ⇔ n= − n = Vậy n = giá trị cần tìm n Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton + x , biết x 26 C21n +1 + C22n +1 + + C2nn +1 = 220 − A 210 B 213 C 414 D 213 Hướng dẫn giải: Chọn A k Do C = C22nn++11− k= ∀k 0,1, 2, , 2n + n +1 ⇒ C20n +1 + C21n +1 + + C2nn += C2nn++11 + C2nn++21 + + C22nn++11 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 23 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton Mặt khác: C21n +1 + C22n +1 + + C22nn++11 = 22 n +1 ⇒ 2(C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + + C2nn +1 ) = 22 n +1 ⇒ C21n +1 + C22n +1 + + C2nn +1 =22 n − C20n +1 =22 n − ⇒ 22 n − 1= 220 − ⇒ n= 10 10 10 10 10 Khi đó: + x =( x −4 + x ) =∑ C10k ( x −4 )10− k x k = ∑ C10k x11k − 40 x k =0 k =0 Hệ số chứa x 26 ứng với giá trị k : 11k − 40 = 26 ⇒ k = Vậy hệ số chứa x 26 là: C106 = 210 Câu 52: Cho n ∈ * (1 + x) n = a0 + a1 x + + an x n Biết tồn số nguyên k ( ≤ k ≤ n − ) ak −1 ak ak +1 = = Tính n = ? 24 A 10 B 11 cho C 20 D 22 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! 1 (k − 1)!(n − k + 1)! = (n − k )!k ! Ta có: ak = Cnk , suy hệ n! n! 1 = (n − k )!k ! 24 (n − k − 1)!(k + 1)! 9k =2(n − k + 1) 2n − 11k =−2 ⇔ ⇔ ⇔ n= 10, k= 24(k + 1) = 9(n − k ) 9n − 33k = 24 Câu 53: Trong khai triển ( + x)10 thành đa thức 3 a0 + a1 x + a2 x + + a9 x9 + a10 x10 , tìm hệ số ak lớn ( ≤ k ≤ 10 ) 210 315 Hướng dẫn giải: Chọn A A a10 = 3003 15 B a5 = 3003 15 − k 210 315 C a4 = 3003 210 315 D a9 = 3003 210 315 k k 15 15 1 2 k 1 k k Ta có:= x C x C + = ∑ 15 ∑ 15 15 x 3 3 k 0= k = Hệ số x k khai triển ak = 15 C15k 2k Ta có: ak −1 < ak ⇔ C15k −1 2k −1 < C15k 2k ⇔ C15k −1 < 2C15k 32 ⇒ k ≤ 10 Từ đó: a0 < a1 < < a10 Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được: ⇔k< ak −1 < ak ⇔ k > 32 ⇒ a10 > a11 > > a15 = a10 Vậy hệ số lớn phải tìm là: 24 210 10 210 = C 3003 15 315 315 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton 729 Tìm n số lớn Câu 54: Giả sử (1 + x) n = a0 + a1 x + a2 x + + an x n , biết a0 + a1 + + an = số a0 , a1 , , an A n=6, max {ak= } a=4 240 B n=6, max {ak= } a=6 240 C n=4, max {ak= } a=4 240 D n=4, max {ak= } a=6 240 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: a0 + a1 + + an = (1 + 2.1) n = 3n = 729 ⇒ n = ak = C6k 2k suy max {ak= } a=4 240 Câu 55: Cho khai triển (1 + x) n = a0 + a1 x + + an x n , n ∈ * Tìm số lớn số a a1 + + nn = 4096 2 C 130272 D 130127 a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0 + A 126720 B 213013 Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt f ( x) = (1 + x) n = a0 + a1 x + + an x n ⇒ a0 + an a1 1 n n n 12 + + = f = ⇒ 2= 4096 ⇔ = n 2 2 k Với k ∈ {0,1, 2, ,11}= ta có: ak 2= C12k , ak +1 2k +1 C12k +1 ⇔ ak 2k C k 23 k +1 < ⇔ k +1 12k +1 < ⇔ ⇔ k > ⇒ a8 > a9 > > a12 ak +1 8 a8 2= Số lớn số a0 , a1 , , a12 = C12 126720 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 25 Tổng ơn Tốn 11 DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG Chủ đề Nhị thức Newton n ∑a C b k =0 k k n k Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton n Cn0 a n + a n −1bCn1 + a n − 2b 2Cn2 + + b nCnn (a + b)= Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: * Cnk = Cnn − k * Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n n * ∑ (−1) C k k =0 n *= ∑ C22nk k n = n = k 0= k n * ∑C k =0 k n 2n k ∑ C2 n 2k = C22nk −1 ∑= a k= (1 + a ) n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn Câu 1: Tổng T = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn bằng: A T = 2n B T = 2n – C T= 2n + D T = 4n Hướng dẫn giải: Chọn A Tính chất khai triển nhị thức Niu – Tơn Câu 2: Tính giá trị tổng S = C60 + C61 + + C66 bằng: A 64 B 48 C 72 D 100 Hướng dẫn giải: Chọn A 6 S = C06 +C16 + +C= 2= 64 Câu 3: Khai triển ( x + y ) thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S = C50 + C51 + + C55 A 32 B 64 C D 12 Hướng dẫn giải: Chọn A x 1,= y ta có S= C50 +C15 + +C55 =(1 + 1)5 =32 Với= Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + + 2n Cnn = 243 A B 11 C 12 D Hướng dẫn giải: Chọn D 26 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton Xét khai triển: (1 + x) n = Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + + x nCnn Cho x = ta có: Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + + 2n Cnn = 3n Do ta suy 3n = 243 = 35 ⇒ n = Câu 5: Khai triển ( x + y ) thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S = C50 + C51 + + C55 A 32 B 64 C D 12 Hướng dẫn giải: Chọn A x 1,= y ta có S= C50 +C15 + +C55 =(1 + 1)5 =32 Với= Câu 6: Khai triển (1 + x + x + x3 ) = a0 + a1 x + a2 x + + a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 A a10 = C50 + C54 + C54C53 B a10 = C50 C55 + C52C54 + C54C53 C a10 = C50 C55 + C52C54 − C54C53 D a10 = C50 C55 − C52C54 + C54C53 b) Tính tổng T = a0 + a1 + + a15 S = a0 − a1 + a2 − − a15 A 131 B 147614 C D Hướng dẫn giải: Đặt f ( x) = (1 + x + x + x3 )5 = (1 + x)5 (1 + x )5 a) Do hệ số x10 bằng: a10 = C50 C55 + C52C54 + C54C53 T f= (1) 45 ; S = f (−1) = b)= Câu 7: Khai triển (1 + x + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 20 10 a) Hãy tính hệ số a4 B a4 = 24 C104 A a4 = C100 24 C a4 = C100 C104 D a4 = C100 24 C104 C S = 17 20 D S = 710 b) Tính tổng S = a1 + 2a2 + 4a3 + + 220 a20 A S = 1710 B S = 1510 Hướng dẫn giải: 10 Đặt f ( x) =(1 + x + x )10 =∑ C10k 3k x k (1 + x)10− k k =0 10 10 − k = ∑ C10k 3k x k ∑ C10i − k 210− k −i x10− k −i = k 0=i 10 10 − k = ∑ ∑ C10k C10i − k 3k 210− k −i x10+ k −i = k 0=i a) Ta có: a4 C100 24 C104 + = = S f= (2) 1710 b) Ta có Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 27 Tổng ơn Tốn 11 Câu 8: Tính tổng sau: S= 2(n + 1) A 1 1 (−1) n n Cn − Cn + Cn − Cn + + Cn 2(n + 1) B C Chủ đề Nhị thức Newton D (n + 1) Hướng dẫn giải: Chọn A S Ta có:= Vì 1 1 (−1) n n C C C Cn − + − + n n n n +1 2 n (−1) k k (−1) k k +1 Cn = C= nên: S (−1) k Cnk++11 ∑ n +1 k +1 n +1 2(n + 1) k =0 −1 n +1 Cn0+1 (−1) k Cnk+1 − = ∑ 2(n + 1) k =0 2(n + 1) = Câu 9: Tính tổng sau:= S Cn1 3n −1 + 2Cn2 3n − + 3Cn3 3n −3 + + nCnn A n.4n −1 B C D 4n −1 Hướng dẫn giải: Chọn A n 1 Ta có: S = 3n ∑ kCnk 3 k =1 k k k 1 1 Vì kCnk = n Cnk−−11 ∀k ≥ nên 3 3 k k n −1 1 1 3= n∑ Cnk−−11 3n −1.n∑ Cnk−1 = 3n −1.n(1 + ) n −1 = n.4n −1 3 k 1= k 03 n n S 1 Cnn Câu 10: Tính tổng sau: S1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + n +1 2n +1 + n +1 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: A B 2n +1 − n +1 C 2n +1 − +1 n +1 D 2n +1 − −1 n +1 1 n! (n + 1)! = Cnk = k +1 k + k !(n − k )! n + (k + 1)![(n + 1) − (k + 1))! = Cnk++11 (*) n +1 n k +1 n +1 k 2n +1 − = = − C C C ∑ n+1 n + ∑ n +1 n +1 n + k 0= n +1 = k = ⇒ S1 Câu 11: Tính tổng sau: S = Cn1 + 2Cn2 + + nCnn A 2n.2n −1 B n.2n +1 C 2n.2n +1 D n.2n −1 Hướng dẫn giải: 28 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton Chọn D n! n! = Ta có: kCnk k= k !(n − k )! (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! (n − 1)! n= nCnk−−11 , ∀k ≥ (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! ⇒= S2 n −1 n k −1 k = n∑ C n.2n −1 ∑ nC= n −1 n −1 = k 1= k Câu 12: Tính tổng sau:= S3 2.1.Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + + n(n − 1)Cnn B n(n + 2)2n − A n(n − 1)2n − C n(n − 1)2n −3 D n(n − 1)2n + Hướng dẫn giải: Chọn A n! Ta có k (k − 1)Cnk = =n(n − 1)Cnk−−22 (k − 2)!(n − k )! n ⇒ S3 = n(n − 1)∑ Cnk−−22 = n(n − 1)2n − k =2 Câu 13: Tính tổng S = Cn0 + A S = 32 − 1 3n +1 − n Cn + + Cn n +1 4n +1 − 2n +1 n +1 4n +1 − 2n +1 +1 n +1 Hướng dẫn giải: Chọn D = C S = B S 4n +1 + 2n +1 −1 n +1 = D S 4n +1 − 2n +1 −1 n +1 Ta có S= S1 − S , S1 = Cn0 + S= 32 33 3n +1 n Cn + Cn + + Cn n +1 1 Cn + Cn + + Cnn n +1 Ta = có S 2n +1 − −1 n +1 Tính S1 = ? Ta có: = ⇒ S1 = Vậy S 3k +1 k +1 3k +1 k n! 3k +1 (n + 1)! = Cn +1 Cn = 3k +1 = k +1 (k + 1)!(n − k )! n + (k + 1)![(n + 1) − (k + 1)]! n + 4n +1 − 1 n +1 k k n k +1 k +1 0 0 = −2 C C C = − − C − C ∑ n+2 n n + ∑ n +1 n n n +1 n + k =0 k =0 4n +1 − 2n +1 −1 n +1 22 − 1 2n +1 − n Cn + + Cn Câu 14: Tính tổng S = C + n +1 n Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 29 Tổng ơn Tốn 11 3n +1 − 2n +1 n +1 Hướng dẫn giải: Chọn A A S = B S = 3n − 2n +1 n +1 C S = 3n +1 − 2n n +1 Chủ đề Nhị thức Newton D S = 3n +1 + 2n +1 n +1 Ta có: S= S1 − S n = k Mà n Cnk 2k +1 2n +1 − ; S ∑= = −1 k +1 n +1 0= k k +1 ∑ Cnk Trong = S1 3n +1 − 2k +1 k 2k +1 k +1 S1 −1 Cn = Cn +1 ⇒= k +1 n +1 n +1 3n +1 − 2n +1 Suy ra: S = n +1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − + (2n + 1)2n C22nn++11 = 2005 A n = 1001 B n = 1002 C n = 1114 D n = 102 Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt= S n +1 ∑ (−1) k −1 k =1 k 2k −1 C2kn +1 Ta có: (−1) k −1.k 2k −1 C2kn +1 = = (−1) k −1.(2n + 1).2k −1 C2kn−1 Nên S = (2n + 1)(C20n − 2C21n + 22 C22n − + 22 n C22nn ) = 2n + 1 2005 ⇔= n 1002 Vậy 2n += Câu 16: Tính tổng 1.30.5n −1 Cnn −1 + 2.31.5n − Cnn − + + n.3n −150 Cn0 A n.8n −1 B (n + 1).8n −1 C (n − 1).8n D n.8n Hướng dẫn giải: Chọn A n Ta có: VT = ∑ k 3k −1.5n − k Cnn − k k =1 Mà k 3k −1.5n − k Cnn − k = n.3k −1.5n − k Cnk−−11 Suy ra: VT n(30.5n −1 Cn0−1 + 31.5n − Cn1−1 + + 3n −150 Cnn−−11 ) = =n(5 + 3) n −1 =n.8n −1 Câu 17: Tính tổng = S 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + + n(n − 1)Cnn A n(n + 1)2n − B n(n − 1)2n − C n(n − 1)2n D (n − 1)2n − Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: = S n ∑ k (k − 1)C k =2 k n Mà k (k − 1)Cnk =n(n − 1)Cnk−−22 Suy S =n(n − 1)(Cn0− + Cn1− + Cn2− + + Cnn−−22 ) =n(n − 1)2n − 30 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Câu 18: Tính tổng ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( Cnn ) 2 Chủ đề Nhị thức Newton B C2nn−1 A C2nn D C2nn−−11 C 2C2nn Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: ( x + 1) (1 + x ) =( x + 1) n 2n n Vế trái hệ thức là: (C n x n + Cn1 x n −1 + + Cnn )( Cn0 + Cn1 x + + Cnn x n ) Và ta thấy hệ số x n vế trái (C ) + (C ) + (C ) n Còn hệ số x n vế phải ( x + 1) 2n n 2 n + + ( Cnn ) C2nn Do ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( Cnn ) = C2nn 2 2 Câu 19: Tính tổng sau: S= 5n Cn0 + 5n −1.3.Cnn −1 + 32.5n − Cnn − + + 3n Cn0 B + 8n A 28n C 8n −1 D 8n 32011 + 12 C 32011 − D Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: S1 =(5 + 3) n =8n 2010 Câu 20: S= C2011 + 22 C2011 + + 22010 C2011 3211 − B 32011 + A Hướng dẫn giải: Chọn D Xét khai triển: 2010 2011 (1 + x) 2011= C2011 + xC2011 + x 2C2011 + + x 2010C2011 + x 2011C2011 Cho x = ta có được: 2010 2011 (1) 32011= C2011 + 2.C2011 + 22 C2011 + + 22010 C2011 + 22011 C2011 Cho x = −2 ta có được: 2010 2011 (2) −= C2011 − 2.C2011 + 22 C2011 − + 22010 C2011 − 22011 C2011 Lấy (1) + (2) ta có: 2010 ( C2011 + 22 C2011 + + 22010 C2011 )= 32011 − 2010 C2011 + 22 C2011 + + 22010 C2011 = Suy ra: S= Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 32011 − 31 ... KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: = ( ax p + bx q ) = ) ( bx )... tự học 25 Tổng ơn Tốn 11 DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG Chủ đề Nhị thức Newton n ∑a C b k =0 k k n k Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton n Cn0 a n + a n −1bCn1 + a n − 2b 2Cn2 + + b nCnn... 1147 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề Nhị thức Newton 18 1 Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức x3 + số hạng độc lập x x A 9880 B 1313 C 14940 D 48620