Chuyên đề nhị thức newton hay

Chuyên đề với những cách làm hấp dẫn và những dạng toán hay về nhị thức Niuton dành cho ôn thi học sinh giỏi và luyện thi trung học phổ thông Quốc Gia. Chuyên đề này được biên soạn với mục đích giúp các bạn học sinh hoàn thiện kiến thức về Nhị thức Niutơn chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc Gia. Với những ví dụ cụ thể, bài tập phong phú, phương pháp đa dạng, lập luận dễ hiểu với 3 dạng chính:Tìm hệ số , số hạng, số hạng lớn nhất trong khai triển nhị thức NiutơnNhị thức Niutơn với các bài toán chứng minh đẳng thức , tính tổngNhị thức Niutơn với các bài toán bất đẳng thức và giải phương trình hy vọng rằng tập chuyên đề sẽ giúp ích cho các bạn học sinh gần xa.

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Phú Thọ Trường THPT Hùng Vương - CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN Thực Hiện: Vũ Hồng (Chun tốn niên khóa 2014-2017) Năm 2015 1 Lời Nói Đầu Chuyên đề biên soạn với mục đích giúp bạn học sinh hoàn thiện kiến thức Nhị thức Niu-tơn chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc Gia Với ví dụ cụ thể, tập phong phú, phương pháp đa dạng, lập luận dễ hiểu với dạng chính: - Tìm hệ số , số hạng, số hạng lớn khai triển nhị thức Niu-tơn - Nhị thức Niu-tơn với toán chứng minh đẳng thức , tính tổng - Nhị thức Niu-tơn với tốn bất đẳng thức giải phương trình hy vọng tập chuyên đề giúp ích cho bạn học sinh gần xa Mặc dù cố gắng xong khơng thể tránh khỏi thiếu xót mong nhận góp ý quý bạn đọc để chyên đề ngày hoàn thiện! Xin chân thành cảm ơn! Các tác giả 2 Phụ Lục: A.Kiến thức cần nhớ………………………………………………………………1 B.Các dạng tập…………………………………………………………….1-16 Dạng 1: Tìm hệ số , số hạng, số hạng lớn khai triển nhị thức Niutơn……………………………………………………………………… .1-7 Dạng 1.a: Tìm hệ số , số hạng………………………………………………….1-5 Dạng 1.b: Tìm hệ số lớn nhất………………………………………………… 5-7 Góc vui: Thơ tình tốn học………………………………………………………7-8 Dạng : Chứng minh đảng thức, tính tổng…………………………………… …8 Dạng 2.a: Chứng minh đẳng thức ……………………………… 8-10 Dạng 2.b: Tính tổng………………………………………………………….10-13 Góc vui: Tìm đường cho toán họ……………………………………….13 Dạng 3: Nhị thức Niu-tơn tốn bất đẳng thức ,giải phương trình………………………………………………………………………… 13-16 Đọc thêm: Niu-tơn-nhà bác học vĩ đại, Tam giác Pascal…………………… 16-19 A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Công thức nhị thức Niu-tơn: n (a + b)n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + + Cnk a n − k b k + + Cnnb n = ∑ Cnk a n − k b k k =0 Nhận xét: Cơng thức nhị thức Niu tơn có: - (n+1) số hạng k n −k k - Số hạng thứ k+1 Tk +1 = Cn a b k n−k - Các hệ số nhị thức có tính đối xứng theo tính chất Cn = Cn 3 - Trong số hạng tổng số mũ a,b n Các công thức liên quan: -Tổ hợp : Cnk = -Chỉnh hợp : n! k !( n − k )! Ank = n! (n − k )! -Hoán vị Pn = n ! k k +1 k +1 - Cn + Cn = Cn+1 công thức chứng minh cách khai triển x =1 (1 + x)n = Cn0 + xCn1 + + x nCnn → Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n x =1 - (1 − x) = Cn − xCn + + (− x) Cn → Cn − Cn + + (−1) Cn = Giờ đến dạng tập! B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm hệ số, số hạng, Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn: Dạng 1.a : Tìm hệ số, số hạng : Đây dạng toán đơn giản yêu cầu người phải nắm vững! Ta cần ý dạng sau: 1)Khai triển : n n n n n n (a + bx p + cx q ) n =  a + (bx p + cx q )  = ∑ Cnk a n −k (bx p + cx q ) k n k =0 n k k =0 i =0 = ∑ Cnk a n − k ∑ Cki (bx p ) k −i (cx q )i p q n p q n 2)Khai triển ( ax + bx ) ;( a + bx + cx ) kết hợp tính tổng đơn giản n −1 n −1 n −1 Khai triển NewTon : (a + b) = Cn a + Cn a b + + Cn ab + Cn b với : − Số mũ a giảm dần số mũ b tăng dần Nếu biểu thức khơng có số mũ tăng giảm (a b ) − Nếu dấu biểu thức đan khai triển có dạng (a-b)n n − n n n 2k 4k Trong biểu thức có Cn + Cn + Cn … ( tồn chẵn tồn lẻ ) n dấu hiệu nhận dạng khai triển hai biểu thức dạng (a − b) ( a + b) n chọn a,b cộng lại ( toàn chẵn ) trừ (khi toàn lẻ ) theo vế Ví dụ Cn + 2Cn + + Cn = Loại áp dụng cho 9,10 dưới! n n n 3)Tìm số hạng hữu tỉ ( số hạng số nguyên ) khai triển (a+b)n m r Cnk a n− k b k = Cnk a p β q n Xét khai triển (a+b) có số hạng tổng quát: số hữu tỉ Số hạng hữu tỉ cần tìm thỏa mãn hệ : với α β m  p ∈N  ( k ∈ N , ≤ k ≤ n)  r ∈N  q k n −k k => k0 => Cn a b 0 số hạng cần tìm Ví dụ 1: 101 99 200 Tìm hệ số x y khai triển (2 x − y ) Giải 200 k (2 x − y ) 200 = ∑ C200 (2 x) 200−k ( −3) k x 200− k y k k =0 Ta có 101 99 Số hạng chứa x y ứng với giá trị k thỏa mãn 101 99 101 99 Vậy hệ số x y (−3) Ví dụ 2: 11 Tìm số hạng chứa x khai triển (1 + x) Giải 200 − k = 101  k = 99 => k=99 11 (1 + x)11 = ∑ C11k x k k =0 Ta có Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn k=7 7 Vậy số hạng chứa x C11 x Ví dụ 3: ( x + )n x hệ số số hạng thứ lơn số hạng thứ 35 Trong khai triển Tính số hạng khơng chứa x Giải Ta có n n n k n−k k C x ( ) Cnk x n −2 k (x + ) ∑ n ∑ x x = k =0 = k =0 Mà theo đề ta có : Cn − Cn = 35 n − 3n − 70 = n = 10; n = −7 (loại)  n=10 Để số hạng không chứa x => 10-2k=0  k=5 2 Vậy số hạng cần tìm C10 Ví dụ 4: n −1 n 2n Tìm hệ số x khai triển x(1 − x) + x (1 + 3x) biết An − Cn+1 = Giải n −1 Ta có An − Cn +1 =  n − 3n − 10 = n = 5; n = −2 (loại) Với n=5 ta có 10 10 k =0 i =0 k =0 i =0 x(1 − x)5 + x (1 + x)10 = x∑ C5k ( −2 x) k + x ∑ C10i (3 x)i = ∑ C5k ( −2)k ( x) k +1 + ∑ C10i 3i ( x)i + số hạng chứa x k+1=5,i+2=5k=4,i=3 4 3 Vậy hệ số số hạng chứa x C5 (−2) + C10 = 21360 Bài Tập: 13 a)Tìm hệ số x y khai triển ( x + y ) ĐS: C13 11 b)Tìm hệ số x khai triển (2 − x) 10 ĐS: −C19 c) Tìm số hạng chứa x khai triển (x + ) x2 ĐS: 2C6 x Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức 12 1  x+ ÷ a)  x    x + ÷ x  b)  , ∀ x ≠ ĐS: 924 10 12 1   2x − ÷ x   x 3  + ÷ d)  x  c) , ∀ x ≠ ĐS: -8086 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức 1   + x÷ x  , ∀ x > ĐS: 495    2x + ÷ x b)  c) ĐS: 924 18 12 a) ĐS: -10  3  x+4 ÷ x  , ∀ x > ĐS: 35 , x > ĐS: 6528 Để 17  3 3 + x ÷  d)  x , ∀ x ≠ ĐS: 24310 4.(ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x khai triển ĐS: 35 1 + x (1 − x)  (ĐH khối A-2004) Tìm hệ số x khai triển  (3 x + x )7 ĐS: 238 n 1   x − ( x + x )  6.a)Tìm số hạng khơng chứa x khai triển biết n thỏa mãn Cn + 2n = An+1 ĐS: -98 b) Tìm số hạng không chứa x khai triển (3 n x+ ) x Biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = 2Cn + ĐS: 320320 a)Tìm hệ số x khai triển (3 nx + n ) x biết n thỏa mãn 2Cn1 + Cn2 = n2 − 20 ( ĐS: 1792 x2 + b) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức: A3n − 8C n + C 1n B 49 ) n , biết số nguyên dương n thỏa mãn phương trình: ĐS: 280 n+1   + 5    a)Tìm số hạng hữu tỉ khai triển : n n −1 n− 2 n −3 Cn + 2Cn + Cn = Cn + dương thỏa mãn điều kiện : Biết n số nguyên C100 C106 23.52 ; 32 ĐS : 32 n b) Tìm số hạng thỏa mãn số nguyên khai triển nhị thức : ( + 2) , biết n n n n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện : ( Pn ) Cn C2 n C3 n = P27 3 ĐS: C9 C9 + x5 )n x x Tìm hệ số số hạng chứa khai triển biết n −1 n Cn + Cn + + Cn + Cn = 4095 ( 7 ĐS: 7920 10 Tìm hệ số x khai triển (2 − x) biết C n n +1 +C n +1 + + C22nn++11 = 1024 7 ĐS: C10 (−3) Dạng 1.b: tìm hệ số lớn Dạng tốn yêu cầu chút kĩ giải bất phương trình đơn giản! Chú ý: Tìm hệ số lớn khai triển (a + bx) n Xét khai triển nhị thức NewTon (a + bx) có số hạng tổng quát : n Tk +1 = Cnk a n −k b k x k k n−k k Đặt ak = Cn a b , ≤ k ≤ n dãy hệ số { ak } Khi hệ số lớn khai triển thỏa mãn hệ phương trình : ak ≥ ak +1 ⇒ k0 ⇒ ak0 max = Cnk0 a n − k0 b k0  a ≥ a k −1  k Ví dụ 1: 10 Tìm hệ số lớn khai triển: (1 + x) Giải 10 Ta có (1 + x)10 = ∑ C10k 2k x k k =0 Gọi Tk = C Giả sử Tk hệ số lớn khai triển k 10 k  ≥  C10k 2k ≥ C10k +1.2k +1 Tk ≥ Tk +1 19 22 10 − k k +  k k  ≤ k ≤  k −1 k −1 3 C10 ≥ C10 Tk ≥ Tk −1 2 ≥  k 11 − k => Mà k ∈ N => k = Vậy hệ số lớn 15360 Ví dụ 2: Giả sử (1 + 2x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn Biết a0 + a1 + a2 + … + an =729 Tìm n hệ số lớn số a0,a1,a2,…,an Giải Do a0 + a1 + a2 + … + an =729 (1 + 2) n = 729 n = => (1 + x)6 = ∑ C6k (2 x) k k =0 Giả sử ak hệ số lớn hệ số a0,a1,… an Ta có 8 C6k k ≥ C6k +1.2 k +1 ak ≥ ak +1 ⇔   k k k −1 k −1 C6 ≥ C6 ak ≥ ak −1 6! 6!.2   ≥  (6 − k )!.k ! ≥ (5 − k )!( k + 1)!   6 − k k +1 ⇔ ⇔ 6!  6!.2 ≥ 2 ≥   (6 − k )!.k ! (7 − k )!( k − 1)! k − k k + ≥ 12 − 2k 3k ≥ 11 ⇔ ⇔ 14 − 2k ≥ k 3k ≤ 14 11 14 ⇔ ≤k≤ 3 Mà k ∈ N ⇒ k = 4 n Vậy hệ số lớn khai triển (1 + 2) với n=6 : C6 = 240 Ví dụ 3: 2 n Tìm hệ số lớn khai triển ( x + x ) biết Cn + Cn + Cn = 16 Giải Ta có Cn + Cn + Cn = 16  n + n − 30 = =>n=5 Xét khai triển ( x + x )5 = ∑ C5k x5 −k 2k x k k =0 Giả sử ak = C hệ số lớn k k  ≥  a ≥ a  k 5 − k k +1 k +1  => ≤ k ≤   ak ≥ ak −1 2 ≥  k − k => Vậy hệ lớn 80 Bài tập : ( x + )10 x Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức ĐS: 252 Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức (3 + x )7 x2 ĐS:35 Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức (3 x3 − ) x2 ĐS: 1080 9 ( Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức x + x )17 ĐS:24310 ( + x)10 Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức 3 7 C10 10 ĐS: Tìm hệ số lớn khai triển (x − n ) n− n −1 x biết An = Cn + Cn + 4n + ĐS: 59136 A +C = 35 n ( n − 1)( n − 2) 7.Cho tìm hệ số lớn khai triển nhị thức ( x + x ) n n ĐS:155117520 Cho C + C n n n −1 n n−2 n +C ( x + )2 n = 79 x tìm hệ số lớn khai triển ĐS:2704156 Tìm số hạng lớn khai triển (x + n ) x biết Cn0 + 2Cn1 + + 2n −1 Cnn −1 + 2n Cnn = 243 ĐS: 80 ( x3 + )n x biết 10 Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức C2nn++11 + C2nn++21 + + C22nn++11 236 = ĐS:48620 Góc vui: Thơ tình TỐN HỌC "Phương trình" đưa ta chung lối "Định lý" ngăn đôi "Biến số" u nên tình hai nơi Điểm "vơ cực" ta gặp "Đạo hàm" có đâu nghiệm trước Để "lũy thừa" chẳng gom lại tình thơ "Gia tốc" chưa đủ phải chờ 10 10 "Đường giao tiếp" may gặp gỡ Nhưng em ơi! "Góc độ" u q nhỏ ! Nên hồi khơng chứa đủ tình ta Tại "nghịch biến" cho tình chia xa "Giới hạn" chi cho tình u đóng khép "Lục lăng" cạnh nhiều đẹp Tại tình "tâm điểm" chứa bên Nên "đường quanh" chạy lòng vòng Điểm " hội tụ" hồi khơng với tới Em biết "tung, hồnh" chia hai lối Để tình đường thẳng "song song" Điểm gặp "vơ cực" hồi cơng Đường "nghịch số" đành chia hai ngả (nguồn : sưu tầm) Dạng 2: Chứng minh đẳng thức , Tính tổng Dạng 2.a: Chứng minh đẳng thức Chú ý: Chứng minh tính tổng ( Sử dụng nhận xét tính k k chất , cơng thức An , Cn , Pn ) • Trong khai triển (a-b)n dấu đan , nghĩa + , - , + ,… • Số mũ a giảm dần , số mũ b tăng dần tổng số mũ a b n • Vận dụng linh hoạt tính chất : k +1 n C +C k n k +1 k +1 =C n−k n ,C = C k n 1 Cnk = Cnk++11 k + n + Khi gặp tổng tích cơng thức tổ hợp ( + Cn Cn + ) , lúc thường so sánh hệ số biến bậc với , chẳng hạn so sánh hai hệ số số mũ n bậc hai khai triển (1 − x ) với (1-x)n(x+1)n…… Đây dạng tốn thú vị với nhiều tập khó đòi hỏi tinh vi kĩ biến đổi cao Giờ xét qua số ví dụ đặc trưng nó! Lưu ý: tốn xét TXĐ nên tơi khơng viết ĐK i 11 11 j * Ví dụ 1: (n ∈ N ) n n −1 n n Chứng minh : Cn − Cn + + ( −1)Cn = Cn + Cn + + Cn Giải n n n −1 n n Ta có: (a + b) = Cn a + Cn a b + + Cn b (*) n n −1 n n n -Với a=3, b=-1 thay vào (*) ta có Cn − Cn + + (−1)Cn = (3 − 1) = n n n -Với a=1,b=1 thay vào (*) ta có Cn + Cn + + Cn = (1 + 1) = Từ ta có điều phải chứng minh * Ví dụ : (n, k ∈ N ; n ≥ k ) k k −1 k −m m k Chứng minh: Cn Cm + Cn Cm + + Cn Cm = Cn + m Giải Để ý thấy có tích tổ hợp nên có lẽ dùng nhiều khai triển (1 + x) m = Cm0 + Cm1 x + + Cmm x m  n n n (1 + x) = Cn + Cn x + + Cn x  (1 + x) m + n = Cm0 + n + Cm1 + n x + + Cmm++nn x m + n  Ta có k k −1 k −m m m n k =>Hệ số x khai triển (1 + x) (1 + x) Cn Cm + Cn Cm + + Cn Cm k m+ n k Hệ số x khai triển (1 + x) Cn+ m  đpcm * Ví dụ (n ∈ N ) n n −1 Chứng minh: Cn + 2Cn + + (n + 1)Cn = (n + 2)2 Giải Đây câu hay, có lẽ có nhiều bạn đọc biết dùng đạo hàm để giải câu Thế tơi muốn giải tốn theo cách làm đại số không quan điểm giải tích Nào tơi tìm bí ẩn đằng sau toán: Ta xét số hạng (k + 1)Cnk = kCnk + Cnk = k n ! (n − 1)! + Cnk = n + Cnk = nCnk−−11 + Cnk k !(n − k )! (k − 1)![ (n − 1) − (k − 1) ] ! (k>0) Thành có thử áp dụng cơng thức cho số hạng vế trái (trừ số hạng đầu giữ nguyên k>0) xem sao: n −1 n n −1 n n−1 VT  n(Cn −1 + Cn −1 + + Cn −1 ) + (Cn + Cn + + Cn ) = n.2 + = ( n + 2) = VP  đpcm k k −1  Nhận xét ta có cơng thức hay: kCn = nCn−1 Ta áp dụng cơng thức cho ví dụ sau: 12 12 * Ví dụ 4: (n ∈ N ) n −1 n− n n −1 Chứng minh : Cn + 2.Cn + + n.Cn = n.4 Giải n−k k −1 n−k Xét k Cn = nCn −1 Áp dụng cơng thức cho vế trái ta có; k VT = n(Cn0−1.3n −1 + Cn1−1.3n −2 + + Cnn−−11 ) = n.(1 + 3) n −1 = n.4 n −1 = VP => đpcm Bài tập: * 1.Chứng minh: (n ∈ N ) Cn0 − 3Cn1 + + (−3) n Cnn = (−2)n * 2.Chứng minh: (n ∈ N ) C20n + C22n 32 + + C22nn 32 n = 22 n −1 (22 n + 1) * Chứng minh: (n ∈ N ) C21n + C23n + + C22nn −1 = C20n + C22n + + C22nn * Chứng minh: (n, k ∈ N ; n ≥ k ) Cn0Cnk − Cn1 Cnk−−11 + + (−1) k Cnk Cn0− k = * Chứng minh: ( n, k ∈ N ; n ≥ k + 2015) 2015 k + 2015 2015 C2015 Cnk + C2015 Cnk +1 + + C2015 Cn = Cnk++2015 * 6.Chứng minh: (n ∈ N ) Cn1 − 2.Cn2 + + (−1) n −1.n.Cnn = * Chứng minh: (n ∈ N ) 2n −1 Cn1 + 2n −1.Cn2 + 3.2n −3.Cn3 + + nCnn = n.3n −1 * Chứng minh: (n ∈ N ) (Cn0 ) − (Cn1 ) + + (C22nn ) = (−1) n C2nn * Chứng minh: (n, k ∈ N ; n ≥ k ) a) Cn1 + Cn2 Cnn + + n = Cn2+1 n −1 Cn Cn k k −1 k k k b) Cn Cn + Cn Cn −1 + + Cn Cn −k = Cn * 10 Chứng minh: (n ∈ N ) n.Cn0 − (n − 1)Cn1 + + 2.(−1) n −2 Cnn −2 + (−1)n −1 Cnn −1 = Dạng 2.b: Tính tổng: Dạng tốn thực khơng khác dạng chứng minh đẳng thức Ví dụ 1: 13 13 2n Tính C2 n + C2 n + + C2n Giải n 2n 2n 2n 2n Ta có (1 + x) = C + xC + + x C2 n , (1 − x) = C2 n − xC2 n + + (− x) C2 n 2n Chọn x=1 => 2n 2n 2n 2n C2 n + C2 n + + C2 n =  2n C2 n − C2 n + + C2 n = 0 2n n−1 Cộng phương trình lại ta có C2 n + C2 n + + C2 n = Ví dụ 2 2015 Tính tổng: S = 1.2.C2016 + 2.3.C2016 + + 2015.2016.C2016 Giải Với kiểu ta xét số hạng tổng quát Các bạn nhớ công thức phần chứ? Giờ ta áp dụng nó: k k −1 k −2 Ta có : (k − 1)kCn = ( k − 1).n.Cn −1 = n.(n − 1).Cn−2 => S = 2015.2016.(C2014 + C2014 + + C2014 ) = 2015.2016.2 Ví dụ 2014 2014 2 2 2015 Tính tổng: S = C2015 + C2015 + + 2015 C2015 Giải Câu khoai nhỉ? Nhưng không cần biết Tổ quốc nơi đâu đâm đầu vào số hạng tổng quát đã: k k k k k −2 k −1 Ta có k Cn = k (k − + 1)Cn = k (k − 1)Cn + kCn = n(n − 1)Cn −2 + nCn −1 Vậy vấn đề xong! Giờ ta áp dụng công thức cho S: 2013 2014 S = 2014.2015.(C2013 + C2013 + + C2013 ) + 2015.(C2014 + C2014 + + C2014 ) = 2014.2015.22013 + 2015.22014 Ví dụ Tính tổng: S= S= C2015 C1 C 2015 + 2015 + + 2015 2016 Giải Lại toán thú vị! Theo cách cổ điển, xét số hạng tổng quát Cnk C k +1 n! ( n + 1)! = = = n+1 k + (k + 1)k !(n − k )! (n + 1)(k + 1)!((n + 1) − (k + 1))! k + Áp dụng công thức cho S ta có: S= 1 2016 (C2016 + C2016 + + C2016 )= (22016 − 1) 2016 2016 P/s: có cách giải khác sử dụng tích phân tơi nói chun đề biên soạn chủ yếu theo quan điểm đại số giải tích nên tơi khơng đưa vào 14 14 Bài Tập 1.Tính tổng: n n a Cn + 4Cn + + Cn n n b Cn − 5Cn + + (−5) Cn a )5n ĐS: b)(−4) Tính tổng: n a C100 + C100 + + C100 99 2 2000 2000 b C2015 + C2015 + + C2015 a)299 2014 ĐS: b)4 Tính tổng: 2015 a )C2015 + 2C2015 + + 2016C2015 b) 1.2C2016 − 2.3.C2016 + + 2015.2016.C2016 2016 a )2017.2 2014 ĐS: b)0 Hướng dẫn b) k k −1 Áp dụng công thức kCn = nCn −1 lần Tính tổng: 2015 a )(C2015 ) + (C2015 ) + + (C2015 ) 1000 999 1000 b)C1000 C2000 + C1000 C2000 + + C1000 C2000 2015 a)C4030 2000 ĐS: b)C6000 5.Tính tổng: a.C20n − 11C21n + + C22nn 112 n 199 b.C200 + 3.C200 + + 199.C200 a )100n 198 ĐS: b)200.2 Tính tổng: a )1.2.3.C2015 + 2.3.4.C2015 + + 2013.2014.2015.Cnn 1 1 2015 b) C2015 − C2015 + − C2015 2016 ĐS: 15 15 a )2013.2014.2015.2 2012 b) 2016 k k −1 Hướng dẫn a) Áp dụng công thức kCn = nCn −1 lần 7.Tính tổng: 1 1 2015 C2015 + C2015 + + C2015 1.2 2.3 2016.2017 1 1 2015 b.) C2015 + C2015 + + C2015 1.2.3 2.3.4 2016.2017.2018 a) (2 2017 − 2012) 2016.2017 ĐS: a) 22019 − 20152 − 7.2015 − 14 22016.2017.2018 b) Hướng dẫn: Dùng công thức : 1 Cnk = Cnk++22 (k + 1)( k + 2) ( n + 1)(n + 2) 1 Cnk = Cnk++33 ( K + 1)(k + 2)(k + 3) ( n + 1)(n + 2)(n + 3) Tính tổng: 12 12 C12 C2014 C2015 C1212 + 13 + + + 11.12 12.13 2013.2014 2014.2015 11 C2014 ĐS: 132 Hướng dẫn: Cn12 = Cn10−2 (n − 1)n 11.12 Tính tổng: 22013 − ĐS: 2014! 1 1 + + + + 2!.2012! 4!.2010! 2012!.2! 2014! Hướng dẫn: Nhân vế với 2014! * 10 Tính tổng: (n ∈ N ) −Cn1 2Cn2 3Cn3 ( −1) n nCnn + − + + 2.3 3.4 4.5 ( n + 1)( n + 2) −n ĐS: (n + 1)(n + 2) Hướng dẫn : 1 Cnk = Cnk++11 n +1 Áp dụng công thức k + Góc vui: 16 16 Tìm đường Tốn học (TrầnQuốcTồn-Admin:dienantoanhoc.net) Một nhà Vật lý qua hành lang thấy nhà tốn học lúi húi bò bò lại sàn Nhà vật lý tò mò lên tiếng hỏi: - Ơng làm đấy? - À, tơi tìm kim, vừa đánh rơi Nhà vật lý hỏi tiếp: - Thế ông đánh rơi chỗ - Ở phòng tơi thơi Nhà vật lý ngạc nhiên q hỏi: - Đánh rơi phòng ơng lại tìm Nhà tốn học đáp: - Ừ, phòng tối q, tơi ngồi tìm cho sáng! Nguồn: VMF P/s: Tốn học nhiều Khi gặp vấn đề hóc búa ta hay nghĩ đến đường đến lời giải, đề định nghĩa Số ảo i, hay hàm Dirac-delta hai số vơ vàn ví dụ Dạng Nhị thức Niu-tơn toán bất đẳng thức, giải phương trình Bất đẳng thức vấn đề rộng khó, để làm toán bất đẳng thức cần nhạy bén cao kĩ tốt Ở tơi nêu số tốn bất đẳng thức liên quan đến nhị thức Newton Cũng phải ý bất đẳng thức mà hay gọi Cơ-si thực có tên chuẩn AM-GM, bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên thật B.C.S Và chuyên đề bất đẳng thức gọi theo tên chuẩn Ví dụ 1: Chứng minh : x n C20n + x n −1.C21n + + C22nn ≥ (4 x) n Giải Tacó : (1 + x) 2n = x C + x 2n 2n n −1 C21n + + C22nn ≥ (4 x) n ( BDT : AM − GM )  đpcm Dấu = xảy x=1 Ví dụ 2: Chứng minh: 1 (1 + ) n < + + + ( n > 1, n ∈ N ) n 1! n! Giải n 1 (1 + ) n = ∑ Cnk k n n k =0 Xét 17 17 Cnk 1 n! n! = ( )< + = 2.VT 42 n + 22 n = 2.215 (216 + 1) (216 ) + 216 = (2 n ) + 2 n => => = n= Vậy n=8 Giờ làm tập! Bài tập Giải phương trình: 16 2n (chuyển vế) n n 100 a) Cn + 5Cn + + Cn = 0 n n n 50 b) C2 n − 5C2 n + + (−1) Cn = (−4) c) Cn + 2Cn + + Cn = 243 ĐS a) n=100 b)n=25 c)n=5 Giải phương trình : n n Cn1 + 2.Cn2 + + nCnn = 4n Đs: n=3 Giải phương trình: 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + + n(n − 1)Cnn = 8n − 8n Đs: n=5 Chứng minh: Cn1 Cn2 Cnn −1 ≤ ( 2n − n ) (n ∈ N * , n ≥ 2) n 5.Chứng minh: C2nn + k C2nn− k ≤ (C2nn ) ( n, k ∈ N , k ≤ n) 18 18 Gợi ý: Dùng phương pháp quy nạp 6.Chứng minh: Cn2 + 2.Cn3 + + (n − 1)Cnn > (n − 2).2n −1 (n ∈ N , n ≥ 2) k k −1 Gợi ý :xét hiệu khai triển dùng công thức kCn = nCn−1 Giải phương trình: 2.Cn0 + 5.Cn1 + + (3n + 2)Cnn = 1600 Đs: n=7 k −1 n −1 Gợi ý dùng công thức kC = nC Giải sử n số nguyên dương và: k n (1 + x) n = a0 + a1 x + + an x n Biết tồn số nguyên k thỏa mãn (1 ≤ k ≤ n − 1) cho: ak −1 ak ak +1 = = 24 Tìm n ĐS: n=10 9.Giải phương trình: 1 89 + + + = C3 C4 Cn 30 ĐS n=10 Hướng dẫn : = (k ≥ 3) Ck k ( k − 1)( k − 2) k∈N 10 Giải phương trình 1 ( n + 1)(Cn0 + Cn1 + + Cnn ) = 1023 n +1 ĐS n=9 Hướng dẫn áp dụng công thức 1 Cnk = Cnk++11 k +1 n +1 Đọc thêm Newton- Nhà bác học vĩ đại Isaac Newton (1642 - 1727) - nhà vật lý, toán học nước Anh, người giới tôn "người sáng lập vật lý học cổ điển" Niutơn xuất thân gia đình q tộc nơng thơn Cha Niutơn trước ông đời Lúc sinh Niutơn ốm yếu, quặt quẹo Bà mẹ quan tâm chăm sóc sức khỏe cho Niutơn nhiều đường học vấn Năm 12 tuổi, bà cho trai học Vì sức yếu, cậu thường bị bạn bắt nạt Cậu nghỉ cách trả thù thú vị, tâm học thật giỏi để đứng đầu lớp Năm 17 tuổi, Niutơn vào học trường Đại học 19 19 tổng hợp Kembritgiơ Thời gian sinh viên, Niutơn tìm nhị thức tốn học giải tích, gọi "nhị thức Niutơn" Năm 19 tuổi bắt đầu vào Đại học Cambirdge, bắt đầu nghiên cứu rộng rãi khoa học tự nhiên Năm 27 tuổi, ông cử làm giáo sư tốn trường Đại học nơi ơng học; năm 30 tuổi, ông bầu làm hội viên Hội khoa học hoàng gia Anh (Viện hàn lâm) 23 năm cuối đời, ông làm chủ tịch Hội khoa học hồng gia Anh Ơng hội viên danh dự nhiều Hội khoa học viện sĩ nhiều Viện hàn lâm Thành tựu khoa học ông nhiều lĩnh vực, tích vi phân ơng sáng lập cột mốc lịch sử toán học; giải thích loại màu sắc vật thể mở đường sáng lập khoa học quang phổ Cống hiến lớn khiến tên tuổi ông trở thành Ba định luật chuyển động đặt sở lý luận cho lực học kinh điển, quan trọng "Nguyên lý vạn vật hấp dẫn" Đây nguyên lý sở cho phát minh vật lý học, học, thiên văn học nhiều kỷ Một lần, Newton trông thấy táo rụng từ xuống, ông liền nghĩ đến nguyên nhân rơi vật tìm sức hút đất Những phát kiến thiên văn học Niutơn dựa vào định luật vạn vật hấp dẫn giáng đòn chí mạng vào uy tín giáo hội Bọn bảo vệ tôn giáo phản ứng lại cách liệt đầy căm phẫn trước phát minh thiên văn học Niutơn Do ảnh hưởng giáo hội, nhiều trường đại học châu Âu đến tận kỷ XIX cấm dạy môn học, vấn đề có liên quan đến định luật vạn vật hấp dẫn Newton Niutơn sống đời độc thân đãng trí Tính đãng trí ơng trở thành giai đoạn chuyện mời cơm khách, chuyện luộc đồng hồ, chuyện đục hai lỗ cho chó mèo Newton năm 84 tuổi Ơng mai táng Đài kỷ niệm quốc gia Anh tu viện Oetminxtơ - nơi an nghỉ vua chúa bậc vĩ nhân nước Anh Lúc nhỏ Newton đứa trẻ nói ơng thích thủ cơng nghệ, thường xun tự thiết kế làm đồ chơi tinh xảo Mọi người thích chúng, đặc biệt diều ơng làm, vừa đẹp vừa bao nhanh bay cao Vào chiều ông buộc đèn lồng xinh xẻo vào chiếu diều thả lên trời, trông giống trời Mọi người thôn chạy xem cho xuất chổi Khi biết diều Newton thả người tắc khen Những thứ Newton làm lạ đẹp Ông tự tay làm chong chóng đặt đầu nhà, ơng xem chong chóng lắp thôn bên, nhà ông mô làm Để cho quay khơng có gió, ơng đặt lồng cánh quạt chuột, chuột động đậy chong chóng quay liên tục 20 20 Học xong tiểu học, Newton làm "đồng hồ nước" Ơng dùng thùng đựng nước nhỏ, đáy có lỗ nhỏ có nút, tháo nút nước nhỏ giọt xuống Mặt nước thùng hạ thấp, phao thùng hạ thấp theo Chiếc phao đồng thời kéo theo kim di động tý mặt mâm có khắc vạch, vạch khắc đơn vị thời gian phòng Newton lắp đồng hồ nước, ông lắp cho hàng xóm Thú vị Newton lắp cho bà thơn "đồng hồ mặt trời" Lúc mười tuổi Newton quan sát thấy buổi sáng học bóng bên trái, chiều tan học bóng lại nằm sang phía bên Mấy ngày liền vậy, ông cảm thấy mặt trời chuyển động có quy luật Như lợi dụng quy luật làm "Đồng hồ mặt trời" xác Thế ơng bắt đầu làm thí nghiệm, hàng ngày ông "đuổi theo" bóng nắng khắp nơi, ghi lại thay đổi vị trí nửa giờ, Cuối ơng làm xong đồng hồ bóng nắng tròn Nó dụng cụ đo thời gian dựa vào bóng nắng mặt trời Xung quanh mâm tròn đồng hộ mặt trời ông khắp vạch dấu đặn, lợi dụng xê dịch bóng nắng mặt rời biết xác thời gian Sau làm đồng họ mặt trời Newton đặt làng để báo cho người Mọi người thơn gọi "Đồng hồ Newton", sử dụng lâu sau ông Mỗi lần nhìn thấy "Đồng hồ Newton" người lại nhớ đến cậu bé khéo tay thông minh ngày Newton khoa học chuyên cần sinh hoạt lại người vô tâm, hay quên, ông thường làm việc quên ăn Có lần Newton mời bạn đến nhà ăn cơm Bạn đến cơm canh bày ra, Newton miệt mài phòng thí nghiệm, bạn ơng khơng quấy rầy ơng, đợi lâu mà chưa thấy ông ra, liền tự động ăn gà quay trước, bỏ xương mâm ngồi vào ghế thiu thiu ngủ Mãi sau Newton bước ra, mồ hôi nhễ nhại, gọi bạn dậy xin bạn lượng thứ; tới bà ăn chuẩn bị ăn Khi nhìn thấy xương để mâm bát dùng, ơng vò đầu cười nói: - "Ơi ăn rồi, tơi tưởng chưa ăn!" Đứng bên cạnh, thấy bạn ông cười vang Có lần Newton xuống bếp tự làm bữa sáng, ông đun nồi nước chuẩn bị luộc trứng Nước chưa sôi, xem Newton có phần sốt ruột, bắt đầu nghĩ đến vấn đề khoa học, q trình tập trung ơng qn chuyện đun nước Lúc nước sôi sùng sục, nước bốc mù mịt, thuận tay ông thả vật để bên cạnh vào nồi Nửa tiếng sau ông bừng tỉnh, nhớ việc làm bếp: "Trứng gà chín rồi" Ơng mở vung nồi thấy nồi khơng phải trứng mà đồng hộ đeo tay ông Một buổi chiều đẹp trời, Newton định cưỡi ngựa vào rừng có việc, ông lấy yên ngựa dắt ngựa Vừa dắt ngựa nghĩ đến vấn đề khoa học Dây ngựa tay, ông buông lúc không hay, vác yên ngựa vừa vừa nghĩ Lúc cúi đầu im lặng, lúc giơ tay vẽ vẽ vào không 21 21 trung, người lẩn thẩn Khi ông đến đỉnh núi cảm thấy mệt muốn cưỡi ngựa, lúc ngựa chạy chốn Một ngày mùa nọ, Newton ngồi gần lò sưởi suy nghĩ vấn đề Vì q tập trung, nóng q khơng biết nữa, tay áo bên phải ơng có mùi khét, bốc khói đen, mùi nồng nặc mà ông không phát có chuyện xảy Người nhà chạy vào sợ q hét tống lên, lúc Newton biết tay áo bị cháy Tại Newton lại đãng trí thế? Vì ơng q say sưa với khoa học, tất dành cho công việc, quên hết việc quanh Khơng có tinh thần nghiên cứu khoa học say sưa trở thành nhà khoa học lớn được? Chuyện táo chín Đây câu chuyện thú vị đầy ý nghĩa nhà khoa học vĩ đại Newton Vào ngày mùa thu, Newton ngồi ghế vườn hoa đọc sách, nhiên táo từ rơi xuống "bịch" tiếng trúng đầu Newton Ông xoa đầu, nhìn táo chín lăn xuống vũng bùn Quả táo cho ông gợi ý làm ông nghĩ miên man Quả táo chín rồi, lại rơi xuống đất? Tài gió thổi chăng? Khơng phải, khoảng khơng rộng mênh mông, lại phải rơi xuống mà khơng bay lên trời? Như trái đất có hút sao? Mọi vật trái đất có sức nặng, ném rốt lại rơi xuống đất, trọng lượng vật có phải kết lực hút trái đất không? Sau Newton nêu ra: Mọi vật trái đất chịu sức hút trái đất, mặt trăng chịu sức hút trái đất, đồng thời trái đất chịu sức hút mặt trăng; Trái đất chịu sức hút mặt trời, mặt trời đồng thời chịu sức hút trái đất Nói cách khác vạn vật vũ trụ có lực hấp dẫn lẫn nhau, có loại lực hấp dẫn mà mặt trăng quay quanh trái đất, trái đất quay quanh mặt trời Chuyện táo rơi xuống đất chứng tỏ trái đất có lực hút táo, đương nhiên táo có lực hút đất, lực hút trái đất táo lớn nên táo rơi xuống đất Nếu ta coi mặt trăng táo khổng lồ, trái đất có lực hút nó, khơng rơi xuống mặt đất? Vì mặt trăng táo lớn, sức hút trái đất khơng đủ để làm rơi xuống đất, làm quay quanh trái đất mà thơi Đối với mặt trời trái đất táo khổng lồ, quay quanh mặt trời Vào buổi tối nhìn lên bầu trời thấy vơ vàn nhấp nháy, chúng có lực hút lẫn Đây định luật "Vạn vật hấp dẫn" tiếng Newton (Nguồn: sưu tầm) 22 22 ... hạng lớn khai triển nhị thức Niu-tơn - Nhị thức Niu-tơn với toán chứng minh đẳng thức , tính tổng - Nhị thức Niu-tơn với toán bất đẳng thức giải phương trình hy vọng tập chuyên đề giúp ích cho bạn... vấn đề hóc búa ta hay nghĩ đến đường đến lời giải, đề định nghĩa Số ảo i, hay hàm Dirac-delta hai số vơ vàn ví dụ Dạng Nhị thức Niu-tơn tốn bất đẳng thức, giải phương trình Bất đẳng thức vấn đề. .. số lớn khai triển nhị thức ĐS: 252 Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức (3 + x )7 x2 ĐS:35 Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức (3 x3 − ) x2 ĐS: 1080 9 ( Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức x + x )17 ĐS:24310