TỔ HỢP – CHỈNH HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

LÝ THUYẾT: 1. Hoán vị: P n n(n 1)(n 2)...2.1 n     là số các hoán vị của n phần tử. Quy ước: 0 1.  2. Chỉnh hợp: A n(n 1)...(n k 1) (1 k n) k n n (n k)         là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. 3. Tổ hợp: k k n n n A C = (0 k n) (n k).k k     là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Tính chất 1: k n k C C (0 k n). n n     Tính chất 2: k 1 k k C C C (1 k n). n 1 n 1 n        4. Nhị thức newton: Công thức nhị thức newton:   n n 0 n 1 n 1 k n k k

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy CHUYÊN ĐỀ I: TỔ HỢP – CHỈNH HỢP – NHỊ THỨC NEWTON A LÝ THUYẾT: Hoán vị: Pn  n!  n(n  1)(n  2) 2.1 số hoán vị n phần tử -Quy ước: 0!  Chỉnh hợp: A kn  n!  n(n  1) (n  k  1) (1  k  n) số chỉnh hợp chập k (n  k)! n phần tử k A n! = n (0  k  n) số tổ hợp chập k n phần tử Tổ hợp: C  (n  k)!.k! k! k n -Tính chất 1: C kn  C nn  k (0  k  n) -Tính chất 2: C kn 11  C kn   C kn (1  k  n) Nhị thức newton: -Công thức nhị thức newton: n  a  b   C0na n  C1na n 1 b   Ckna n  k bk   Cnn 1abn 1  Cnn bn  n C a k0 k n nk bk -Hệ quả: Với a  b  1, ta có n  C0n  C1n   C nn Với a  1; b  1, ta có  C  C   ( 1) C   ( 1) C  n n k k n n n n n  (1) k0 k C kn -Khai triển n- thức newton: Xét khai triển  a  a1   a m   n n! km a0k0 a1k1 a m k0  k1   k m  n k !k1! k m !  r 1 r Áp dụng: Cho khai triển  a  a1x  a x   a r 1x  a r x  , hệ số xm n khai triển xác định xm   Với k0 ; k1 ; ; k r 1 ; k r  n! a 0k0 a1k1 a rkr 11 a rkr k0  k1   kr   kr  n k !k1 ! k r 1 !k r !   k0  k1   kr 1  kr  n 0k0  1k1   (r  1)kr 1  rkr  m thỏa mãn hệ điều kiện  -Các dạng khai triển thường gặp: Dạng 1: Khai triển nhị thức  ax  bx p  q n  n! k k a p b q xpk1  qk2 kp  kq  n k p !k q !  Khi hệ số xm khai triển x   m r! k k a p b q kp !kq ! Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Với k p ,kq    kp  kq  n   pk p  qk q  m thỏa mãn  Dạng 2: Khai triển tam thức  ax  bx  cxt   p n q Khi hệ số xm khai triển xm   Với k p ,kq ,k t  n! k k pk  qk  tk a p b q c kt x p q t kp  kq  kt  n k p !k q !k t !  n! k k a p b q c kt kp  kq  kt  n k p !k q !k t !    kp  kq  kt  n   pk p  qk q  tk t  m thỏa mãn  B BÀI TẬP MINH HỌA: Câu 1: Có số tự nhiên n thỏa mãn A 3n  5A n2  2n(n  1) A B C D Giải: Cách 1: Tự luận: n   ĐKXĐ  n   n  ; n  n   Ta có: A 3n  5A 2n  2n(n  1)  n! n!   2n(n  1)  n(n  1)(n  2)  5n(n  1)  2n(n  1) (n  3)! (n  2)!  n  (Loai)  n(n  1)  n        n  (Loai)  n    n  (Nhan) Cách 2: Casio – Sử dụng chức TABLE (w7) máy tính w7 nhập hình: F(x)  XP3   XP2  2X(X  1) ; START: 3, END: 30; STEP: Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị x = 9, sau tăng liên tục Chọn đáp án B  42  Tính tổng phần Câu 2: Gọi S tập hợp số tự nhiên n thỏa mãn 3A 2n  A 2n tử S A 13 B 18 C D Giải: Cách 1: Tự luận: Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy n   ĐKXĐ  2n   n  ; n  n   Ta có 3A 2n  A 2n  42   n! (2n)!   42   3n(n  1)  2n(2n  1)  42  (n  2)! (2n  2)!  n  (Nhan)   n  n  42     n   n  7 (Loai) Cách 2: Casio – Sử dụng chức TABLE (w7) máy tính w7 nhập hình: F(x)   XP2  2XP2  42; START: 2, END: 30; STEP: Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị x = 6, sau giảm liên tục Chọn đáp án C Câu 3: Gọi S tổng tất số tự nhiên n thuộc đoạn [0; 2018] thỏa mãn bất phương trình C nn  12  C nn 11   Tính S A S  B S  C S  D S  14 Giải: Cách 1: Tự luận n   n   n    ĐKXĐ  n   n     n   n  ; n  n  n    (n  1)! (n  1)! Ta có C nn  12  C nn 11     20 (n  1)  (n  2)!.(n  2)! (n  1)  (n  1)!.(n  1)!  (n  1)! (n  1)! (n  1).n.(n  1) (n  1).n  20  20 3!.(n  2)! 2!.(n  1)! n3  n n2  n  n  2      n  3n  4n  12   2  n  Kết hợp điều kiện ta có n  {2; 3}  S    Cách 2: Casio – Sử dụng chức TABLE (w7) máy tính w7 nhập hình: F(x)  (X  1)C(X  2)  (X  1)C(X  1)  2; START: 1, END: 30; STEP: Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị x = 2; x = 3, sau tăng liên tục Chọn đáp án C Câu 4: Gọi S tổng tất số tự nhiên n thuộc đoạn [0; 2018] thỏa mãn bất phương trình A 4n  143   Tính S Pn  4Pn 1 A S  365 B S  665 C S  1330 D S  735 Giải: Cách 1: Tự luận n    ĐkXĐ  n    n  ; n  n   A 4n  143 (n  2)! 143 143  0  0  0 Ta có Pn  4Pn 1 (n  2)!.(n  2)! 4.(n  1)! (n  2)! 4.(n  1)!  143  143 147        4(n  1)  143   n  (n  2)!  4(n  1)  4(n  1)  n  2; 3; 4; ; 36  S  665 Cách 2: Casio – Sử dụng chức TABLE (w7) máy tính w7 nhập hình: F(x)  (X  2)P4 143  ; (X  2)!  (X  1)! Lần 1: START: 1, END: 30; STEP: Quan sát thấy giá trị F(x) xác định âm đoạn [2; 30] Lần 2: START: 31, END: 60; STEP: Quan sát thấy F(x) xác định âm đoạn [31; 36]  n  [2; 36] Chọn đáp án B 2018  2C2018  3C2018   2019C2018  a.2b , a, b  Câu 5: Biết S  C2018 cho Tính giá trị biểu thức P  a  b A P  2524 B P  3028 C P  2018 a , b không chia hết D P  2024 Giải: Cách 1: Tự luận Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Ta có S  C02018  2C12018  3C22018   2019C2018  2018 Xét khai triển S(x)    x  2018  2018 C k0 Ta lại có S'(x)  2018(1  x)2017   2018 C k0  k 2018 2018  kC k0 k 2018  k 2018 2018  (k  1)C k0 k 2018 2018 k x   C2018  2018 X 1 k k0 2018 2018 k0 k0 X 1 k k.x k 1   C2018  kCk2018  2018.22017  1009.22018 2018  (k  1)C k0 k 2018  2018  1009.2 2018  1010.2 2018  505.2 2019  P  a  b  505  2019  2524 Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y  (X  1)  YCX Nhập hình X0 18  18 24  24 -r X bất kỳ, Y = 24 kết 218103808, bấm qx kết 13.224  28  28 -r X bất kỳ, Y = 28 kết 4026531840, bấm qx kết 3.5.228  -r X bất kỳ, Y = 18 kết 2621440, bấm qx kết 5.219  10.218  Y Tổng quát:  (X  1)  YCX  X0 Y2 Y 2 Y  2018  S  1010.2 2018  505.2 2019 Chọn đáp án A b  C2019  C2019   C1009 Câu 6: Giả sử tổng S  C2019 có dạng S  a.2 với a,b  2019 khơng chia hết cho Tính giá trị P  a  b  2ab A P  3655 B P  4037 C P  6055 a D P  6054 Giải: Cách 1: Tự luận  Ta có S  C02019  C12019  C22019   C1009 2019 Xét S(x)  (1  x)2019  2019 C k0 1009 C k0 k 2019 2019 k 2019 X 1 x k   Ck2019  22019 k0 Mặt khác ta có: C k 2019 C S2 2019  k 2019 2018  2019 C k0 k 2019  1009 C k0 k 2019  2019  k  1010 C k 2019  1009 C k0 k 2019  2009 C k0 2019  k 2019 1009   Ck2019  2S  2019 k0  P  a  b  2ab   2018  2.2018  6055 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y 1  YCX Nhập hình X0 18 19  -r X bất kỳ, Y = 19 kết 262144, bấm qx kết  22 23  -r X bất kỳ, Y = 23 kết 4194304, bấm qx kết  24 25  -r X bất kỳ, Y = 25 kết 167772216, bấm qx kết  Y 1 -Tổng quát:  YCX  Y  2019  S  2018 Y 1 X0 Chọn đáp án C b 100 Câu 7: Giả sử tổng S  4C100 có dạng S  a với a,b số  8C100  12C100   200C100 nguyên tố Tính giá trị P  a  b A P  102 B P  106 C P  210 D P  224 Giải: Cách 1: Tự luận 100  8C100  12C100   200C100 Ta có S  4C100 Xét khai triển S(x)  (1  x) 100  100 C k0  S'1 (x)  100(1  x)99  x   100.299  100  kC  (1) k0  kC k0 100 k0 x  1   100 k 1 k 100 k 100 k 100 x k x k 1 99  0C100  1C1100  2C100  3C100   99C100  100C100 100 (1) k 99 kC100  0C100  1C1100  2C100  3C100   99C 100  100C100 100 (2) Trừ vế với vế (1) (2) ta có: 98 100 98 100  0C100  2C100  4C100   98C100  100C100  8C100   196C100  200C100 S   4C100  S  100.299  25.2101  52.2101  P  a  b   101  106 Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y Nhập hình  4X   YC X  X 1 19 15 -r X bất kỳ, Y = 16 kết 524.288 bấm qx kết  16.2 18 17 -r X bất kỳ, Y = 18 kết 2.359.296 bấm qx kết  18.2 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 26 23 -r X bất kỳ, Y = 24 kết 201.326.592 bấm qx kết 3.2  24.2 Y Tổng quát:  4X   YC X   Y.2 Y 1 Y  100   S  100.299  52.2101 X 1 Chọn đáp án B Câu 8: Cho tổng S  C12018  2C22018  3C32018  4C42018   2018C2018 Tính giá trị biểu thức 2018 P  S! CS2018  2018 A P  2018 B P  2019 C P  D P  Giải: Cách 1: Tự luận Ta có S  C 2018  2C 2018  3C 2018 Xét khai triển S(x)  (1  x)2018   4C 2018   2018C 2018 2018  2018  (1) k 1 2018 Với x  1    (1) k 1 k0 kCk2018  Ck2018 xk  S'(x)  2018.(1  x)2018  k0 2018 k 1 2018  kC k0 k 2018 x k 1 kCk2018  0.C02018  1C12018  2C22018  3C32018   2018C2018  S 2018  S   P  S! 2018CS2018  2018   2018  2018  Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y Nhập hình  X(1) X 1  YCX X0 -r X bất kỳ, Y = 18 kết -r X bất kỳ, Y = 24 kết Vậy S   P  S! 2018CS2018  2018  Chọn đáp án C 2a  b 1 1 2018 C Câu 9: Giả sử tổng S  C2018  C2018  C2018   có dạng S  với a,b,c c 2019 2018 b số nguyên dương khơng chia hết cho 2; phân số tối giản Tính giá trị biểu c thức P  a  b  c A P  4034 B P  4037 C P  4038 D P  4039 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Giải: Ta có  (1  x) 2018 (1  x)2019 2019  dx   2019 2019 Xét tích phân  0 2 2018 2018 2 2018 2019    C2018  C2018 x  C2018 x   C2018x  dx   C2018x  C 2018x  C 2018x   2019 C 2018x  1 1   1 2018 C2018  C2018   C2018 S 2019 22019  S  P  a  b  c  2019  2019   4039 2019  C02018  Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y Nhập hình YCX X  X0 255 28   8 2047 211   -r X bất kỳ, Y = 10 kết 11 11 65535 216   -r X bất kỳ, Y = 15 kết 16 16 -r X bất kỳ, Y = kết YCX Y1    Y1 X0 X  Y Tổng quát: S 22019  2019 Chọn đáp án D Câu 10: a b Giả sử tổng S  30 C02018  32 C22018  34 C42018   32018 C2018 có dạng S   2018 với a,b (a  b) số nguyên dương không chia hết cho Tính giá trị biểu thức P  2018a  2017b? A P  4034431 B P  4074341 C P  4038073 D P  4039134 Giải: Cách 1: Tự luận Xét khai triển: (1  x)2n 2n  2n x    C k2n 3k  30 C02n  31 C12n   32n C 2n  2n 2n  k0 k k   C 2n x   2n k0  x  3  ( 2)2n  ( 1)k C k2n 3k  30 C02n  31 C12n   ( 1) 2n 2n C 2n  2n  k0 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy  2n  2n   30 C02n  32 C22n   32n C2n  30 C02n  32 C 22n   32n C 2n  2n  2n 2n  2n 2018  2018  P  2018a  2017b  2018.4035  2017.2017  4074341 2018 Với 2n  2018, ta có S  30 C02018  32 C2018  34 C2018   32018 C2018   S  4035  2017 Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp: Y Nhập hình 3 2X  YC2X X0 -r X bất kỳ, Y = kết 2080, bấm qx kết 5.13.2  (2  1) -r X bất kỳ, Y = 10 kết 524800, bấm qx kết 41.52.2  (210  1) -r X bất kỳ, Y = 16 kết 2147516416, bấm qx kết 215.65537  215 (216  1) Y Tổng quát: 3 2X  YC2X  Y 1 (2 Y  1) (Y  n)  S  2017 (2 2018  1)  4035  2017 X0 Chọn đáp án B  2018  C2018 Giả sử tổng S   C12018    C2018 có dạng    2017  C2017 2018  2018  Câu 11: 2 a.(4b)! , với a,b số nguyên tố Tính giá trị biểu thức P  a  b? (2 b)! A P  2019 B P  4036 C P  2018 D P  4038 Giải: 2 2 2017 2018   S   C2018   1 C2018    C2018    2017  C 2018   2018  C 2018  Ta có  2 2017 2018   S  2018  C2018   2017  C2018   2016  C 2018     C 2018    C 2018  2 2 2   2S  2018  C02018    C12018    C22018    C32018     C 2017   C 2018   2018 2018   n n Ta chứng minh với n số nguyên dương  Cn    Cn    Cn     Cn   C2n 2 2 sau: Ta có:   x  2n  1  x  1  x  Mặt khác   x  n 2n  n (1) 2n C k0 k 2n x k (2) Ta lại có (1  x)n (1  x)n   C0n  C1n x   Cnn 1xn 1  Cnn xn   C0n  C1n x   Cnn 1xn 1  Cnn xn    C0n  C1n x   Cnn 1xn 1  Cnn xn   C0n xn  C1n xn 1   Cnn 1x  Cnn  (3) Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Ta thấy hệ số xn khai triển (2) C n2n , hệ số xn khai triển (3)  C0n    C1n    Cn2     Cnn  2 n Vậy ta có điều phải chứng minh:  C0n    C1n    Cn2     Cnn   C2n  S  2018C 2018  4036 2 1009.(4.1009)!  P  a  b  1009  1009  2018 (2.1009)! Chọn đáp án C 2 2017 2017 2018 2018 2 C12018   C2018       C2018    C2018  2018 2017 a a có dạng S  Ca2a (a, b  ; tối giản) Khẳng định sau đúng? b b A a  b   0; 2018  B a  b   2018; 4036 C a  b   4036;6054  D a  b  Giả sử tổng S  Câu 12: Giải: Ta có S  C02018 C12018 C2016 C2017 2 2017 2018 2018 2018 C  C   C  C        2018 2018 2018 2018  C12018 C22018 C2017 C2018 2018 2018 2016 2017 2017 2018  S  C02018 C12018  C12018 C2018   C2018 C2018  C2018 C2018 n1 Ta chứng minh công thức: C0n C1n  C1n C n2   C nn  C nn   C nn  C nn  C 2n sau: Ta có   x  2n    x    x  (1) n Xét khai triển   x  2n   n 2n  C k0 x có hệ số xn  C n2 n (2), ta có: k k 2n    x    x    C0n  C1n x  Cn2 x2   Cnnxn  Cnn  Cnn 1x  Cnn  2x2   C1nxn 1  C0nxn  n n Hệ số xn  khai triển C0n C1n  C1n C n2  C n3   C nn  C nn (3) n1 Từ (1), (2), (3) ta có C0n C1n  C1n C n2   C nn  C nn   C nn  C nn  C 2n (Điều phải chứng minh) 2016 2017 2017 2018 2019  S  C02018 C12018  C12018 C2018   C2018 C2018  C2018 C2018  C4036  S 4036! 2018 2018!.2018! 2019 2018 2018 C  a  b  2018  2017  4037 2019 4036 Chọn đáp án C   Câu 13: Tìm hệ số a số hạng chứa x khai triển nhị thức  x   x   A a  60 B a  12 C a  240 D a  120 Giải: Cách 1: Tự luận Số hạng tổng quát khai triển C6k xk x 2(6 k) 26 k với k ;0 k Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 10 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 1  Câu 16: Hệ số x khai triển nhị thức  x   x   602 1204 1004 A C2009 B C2009 C C2009 2009 1008 là: D C1008 2009 Giải: Cách 1: Tự luận Số hạng tổng quát khai triển là: Ck2009 x2(2009 k) x3k  2(2009  k)  3k  1008  k  602 Hệ số x1008 khai triển  a1008   Ck2009  C602 2009 Cách 2: Sử dụng khai triển n- thức newton Ta có a2 Gọi k2 ,k ứng với x x k0 ,k1 ,k2 thỏa mãn hệ Hệ số [x1008 ] là: k1008 k2 3 k 2k 1,a 2009 3k k 1008 2009! (1)2 (1) k !k ! k2 1407 602 2009! 602!.1407! C602 2009 C1407 2009 Chọn đáp án A Với n số nguyên dương thỏa mãn Cn1  Cn2  55, số hạng không chứa x Câu 17: n   khai triển biểu thức  x   x   A 322560 B 3360 C 80640 D 13440 Giải: Cách 1: Tự luận: Ta có Cn  Cn  55  n! n! n(n  1)   55  n   55 (n  1)! ( n  2)!.2! n      n  10; n  11 (Loại)   x     x   x  x    k 10 k Số hạng tổng quát khai triển C x 30  k 10 x x  10 C k0 30  k k 10 k x 3(10  k ) x 2 k  10 C k0 k 10 k.x30  k  30  5k   k  6 26  13440  Hệ số số hạng không x khai triển C10 Tìm n casio: qr Hoặc w7: Cách 2: Dùng khai triển n- thức newton: Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 14 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Ta có a3  1; a2  Gọi k3 ; k2 ứng với x x 2 k3 , k2 thỏa mãn hệ 10!  k3  k2  10 k    a(0)   13440  4!.6!  k2   3k3  k2  Cách 3: Sử dụng số hạng tổng quát kết hợp chức w7 máy tính: Chọn đơn vị x  10  x  10   Ta tìm hệ số từ số hạng tổng quát 0 k 10 k Số hạng tổng quát khai triển C x 30  k m 30  X   x  F( X )  10  X   a( m )  G( x)  (10CX ) w7 Nhập hình (START 0, END = n = 10, STEP 1) Tại vị trí X = ta F(X)  x m   x G( x)  am  13440 Chọn đáp án D Hệ số số hạng chứa x16 khai triển thành đa thức 1  x   x   là: A 257586 B 364420 C 80640 D 258570 16 Câu 18: Giải: Cách 1: Tự luận: Ta có 1  x2   x2   16 Ta lại có  x4  x2   k 16  1  (x4  x2 )  k  (1) C x i i0 16  1  x2 (1  x2 )  i k 4(k  i) x2i  16 C x k0 k 16 k  x2   (1) C x i i0 i k k 4k  2i k  k  C ( 1)i Cik x 4k  2i   x16  x 4k  2i  4k  2i  16  2k  i   16    i0  k0 16  2k  i   (k;i)  (4;0);(5; 2);(6;);(7;6);(8;8) 0  i  k  16 Ta có hệ  Vậy hệ số x16 khai triển là: a16  C16 ( 1)0 C04   C16 ( 1)2 C52   C16 ( 1)4 C64   C16 ( 1)6 C76   C16 ( 1)8 C88   258570 Cách 2: Dùng khai triển n- thức newton kết hợp vòng lặp casio: 16 2 Ta có 1  x (1  x )    x4  x2  16 Ta có a  1,a  1,a  1 Đặt k ,k ,k ứng với x0 ,x ,x Ta có hệ số x16 khai triển Trong k0 ,k ,k  16! ( 1)k2 , k0  k  k  16 k !k !k !  thỏa mãn Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 15 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy A  k4  A   k0  k  k  16    B  k   2k   2A   0k  4k  2k  16  C  k  16   k  k   16   A  B   Nhập hình: A  A  : B   2A : C  16  (A  B) : D  D 16! ( 1) B A! B! C! r A  1 để A bắt đầu chạy từ 0,r D  để tổng hệ số bắt đầu tính từ 0; Sau bấm = liên tục đến máy báo Math ERROR dừng lại Bấm C sau bấm Qj= ta kết D  258570 hệ số x16 khai triển Chọn đáp án D Hệ số số hạng chứa x8 khai triển thành đa thức  2x4  2x3  x  1 Câu 19: A 50640 B 24615 10 là: D 6660 C 13185 Giải: Cách 1: Tự luận Ta có 2x4  2x3  x   x(2x3  1)  (2x3  1)   2x3  1 (x  1)   2x  2x  x  1 10   2x  1 (x  1)  10 10 C k0 m 0 x 40  3k  m 10 k 10 10  10  (1) k k 10 C k0 10  k x 30  3k 10 m 10  m  ( 1) m C10 x m 0 m C10 ( 1)k  m 210  k x 40  3k  m  x  40  3k  m   m  40  3k    (k; m)  (8;8);(9; 5);(10; 2) Ta có hệ   k; m  10  k,m   Vậy hệ số x8 khai triển 8 a8  C10 C10 ( 1)8 210  C10 C10 ( 1)9 210  C10 C2 ( 1)10 21010  13185 10 10 Cách 2: Dùng khai triển n- thức newton: Ta có a  2,a  2,a1  1,a  Đặt k ,k ,k1 ,k ứng với x ,x ,x,x0 hệ số x8 khai triển  a   10! 2k4 ( 2)k3 ( 1)k1 k4  k3  k1  k0  10 k !k !k1 !k !  Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 16 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy  k  k  k1  k0  10  4k  3k  1k1  0k0  k ,k ,k1 ,k0  Câu 20: thỏa mãn  k4 k3 k1 k0 0  a i Tìm hệ số a số hạng chứa x khai triển thành đa thức biểu thức P  (1  x)  (1  x)2  (1  x)   (1  x) 2017  (1  x) 2018 A a1  2018! B a1  2019 C a1  2037171 D a1  4074342 Giải: Xét khai triển   x   n C x k0 k n k  Hệ số xk khai triển C kn Vậy hệ số x C1n  n Áp dụng vào biểu thức P ta có hệ số số hạng chứa x khai triển biểu thức P là: a1  2018  x  2037171 x 1 Chọn đáp án C Câu 21: Tìm hệ số a10 số hạng chứa x10 khai triển thành đa thức P   x2  2x   (x  1)10 A a10  12 B a10  69 C a10  256 D a10  201 Giải: Ở câu ta tìm hệ số xk khai triển  x  1 C kn n Ta có P   x2  2x   (x  1)10  x2  x  1 10  2x  x  1   x  1 10 10 2 1  2.C10  4.C10  69 Vậy ta có hệ số của số hạng chứa x10 a10  C10 10 10 10 Chọn đáp án B Câu 22: 18 Cho khai triển   x  x   x  19  a  a1x  a x2   a 342 x 342 , với  a19  C119a18  C19 a17   C19 a Tính tổng S  C19 19 A S  18 B S  19 C S  342 D S  324 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 17 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Giải: Ta có đẳng thức xn    x  1  xn 1  xn    x 1 với n số tự nhiên lớn Chứng minh CSN, theo công thức tổng n phần tử cấp số nhân ta có:  x  x   x   x19  1 n 1  xn    x  1   x  x   x n    x n  1 x   x  x2   x18  19 19   x19  1   x  1  a  a1x  a x   a 342 x 342  19 19 19 19 19   x19  1  a  x  1  a1x  x  1   a19 x19  x  1   a 342 x 342  x  1 Ta có  x 19   x  1 19  1 19  19 C k0 19 19 k 19 ( 1)19  k x19k  hệ số x19  x19  1 C119  1 19 19 1  19 ( 1)0  a1 C19 ( 1)1   a19 C19 ( 1)19  S Hệ số x19 bên vế phải a0 C19 19 Cho hệ số x19 hai vế ta có: S  19  S  19 Chọn đáp án B Cho khai triển P(x)  (1  x)(1  x) (1  2018x)  a  a1x   a 2018 x 2018 Câu 23:  22   20182   2 2 2017.2018  2018.2019   2017.2018   2018.2019    A   B   C   D   2 2 2       Tính a1 A a1  2018! B a1  2019 C a1  2037171 D a1  4074342 Tính T  a  Giải: Xét P'(x) (1 x)(1 2x)(1 3x)(1 3x) 24x 50x 35x 10x a' 35 1  4.5   2018.2019  Khi T'  35   12  2  32    50    T   2  2  Chọn đáp án B Xét P1 (x) (1 x)(1 2x)(1 3x)(1 x) 24x 50x 35x 10x a1 10 k k Xét P2 (x) (1 x)(1 a1 15 k 2x)(1 3x)(1 x)(1 k Quy nạp ta có: a1  5x) 120x 274x 225x 85x2 15x 2018  k  2037171 k 1 Chọn đáp án C Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 18 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 4) thỏa mãn A n Cho số tự nhiên n (n Câu 24: A 2n 15(n n), tìm hệ số a số hạng n chứa x khai triển x x 43758 B a 43758 A a C a 4 31824 D a 31824 Giải: Cách 1: Tự luận Ta có Cn A2n n(n 1)(n n! (n 3)! n! 15(n n) (n 2)! n 0 n n 18 n 18 15) k 18 k Số hạng tổng quát khai triển C18 x 18 2k k C187 a4 xk C18k x18 n(n 1)(n x x 2) n x x n(n 1) 15n(n 1) 18 2k 31824 Cách 2: Sử dụng khai triển n- thức newton Trước tiên qr để tìm n Ta có a (1) k1 k k1 k 1, a ( , gọi k1 , k 1) 18 k1 11 k a4 1 k1 , k thỏa mãn hệ sau x n! 18! (a (1) ) k (a ( 1) ) k 31824 k1 !.k ! 11!.7! ứng với x, 1 Cách 3: Sử dụng chức TABLE (w7) với số hạng tổng quát khai triển C18k x18 2k k x 18Cx để tìm hệ số x m sử dụng hàm G(x) k 18 k Số hạng tổng quát khai triển C18 x Sử dụng hàm F(x) k x ) để xác định vị trí x m Tại vị trí G(x) 10000 104 1018 2x (thay x 10 10m w7 nhập hình: x ta có F(x) ak 31824 a4 Chọn đáp án C Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 19 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 1  Sau khai triển thành đa thức rút gọn  x   x   Câu 25: nhiêu số hạng? A 29 B 30 C 31 20 1    x3   x  10 có tất bao D 32 Giải: Chọn đáp án A  Gọi a 2018 hệ số số hạng chứa x 2018 khai triển nhị thức Niuton x  Câu 26: với x x  n 0; n số nguyên dương thỏa mãn 2!2017! 4!.2015! A 2017 6!.2013! B C32018 2016!.3! 2018! 22018 Tìm a 2018 ? Pn D C22019 C 2019 Giải: Cách 1: Tự luận 22018  2016 2018 Từ giả thiết ta có  C  C2019  C2019   C2019  C2019   n! (*) 2019! 2019 2019 C02019 C12019 C 22019 C 2018 C 2019 2019 2019 Ta lại có 2019 2C02019 2C 22019 2C 2018 2019 2018 2019 C 2019 C 2019 C 2019 C 2019 C 2019 2019 C C C 2018 2018 2018 1 1  (*)    n  2019  x  2019! n! 2019 2019 2018 2019  Số hạng tổng quát khai triển ( 1)k C k2019 x 2019 k x x 2018 x 2019 k x k ( 1)2 C22019 Vậy a 2018 2019 2018 2019 k 2y k k x   n  x x  2019  2019   Ck2019x2019  k  x k0  k k 2 C22019 Cách 2: Casio y Tổng quát: x Chọn y Vậy n 2x)! (2x)!(y n! n! (2 y y 1) : x 2x)! (2x)!(y 19 thay cho 2019: y 2019 k Khi Số hạng tổng quát khai triển ( 1)k C k2019 x 2019 k x Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 20 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy k1 k1 2019 k1 k 21 2018 k1 2017 k1 a1 1;a 1 a 2018 2019! 2017 ( 1)2 2!.2017! C2019 Chọn đáp án D PHẦN II: DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN A LÝ THUYẾT B BÀI TẬP MINH HỌA  u1  Biết ln(u2017  u1 )  a ln  bln  c ln7  ln 2017,  un1  un  n với a,b,c  Tính giá trị biểu thức S  a  b  c? Câu 1: Cho dãy số  u n  với  A P  Giải: Cach 1: B P  C P  10 D P  12  u1  u  u  1  u  u2  Ta có    u n 1  u n   (n  2)   u n  u n 1  (n  1) Cộng vế với vế ta có un       (n  2)  (n  1)    u2017   n(n  1) 2017.2016   2033136  ln  u2017  u1   ln 2033136  ln  4.32.7.2017   P  a  b  c     Cách 2: Áp dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp 1: Phương trình sai phân tuyến tính un 1  un      u n  c. n  c   u n  u n  u *n  c  n(an  b) *   u n  n(a n  b) Ta có un  un  u*n với  Thay vào ta có (n  1)a(n  1)  b  n(an  b)  n Với n    2a  b   a  b   3a  b  (1) Với n    3a  b    2a  b    5a  b  (2) (1),(2)  a   b  1 u1   un  c  n  n  1   c   u n   n  n  1 2 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 21 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy  u2017   2017.2016 Chọn đáp án B  u0  18 n  Gọi  un 1  2un  3n  4n   u0  u1  u2  u3   u2018 Giá trị S 2018 là: Câu 2: Cho dãy số  u n  xác định  S 2018 A S 2018  6121621 B S 2018  6121621 C S 2018  6122621 D S 2018  6122621 Giải: Phương trình sai phân tuyến tính un 1  2un     Ta có un  un  u*n với un  q n  q.2n u *n  An  Bn  C thay vào ta có u*n 1  2u*n  3n2  4n   A  n  1  B  n  1  C   An  Bn  C   3n  4n   A  2A   A  3   u1 18   2A  B  2B    B  10  u n  q.2 n  3n  10n  18   q   A  B  C  2C  C  18    u n  3n  10n  18  S 2018  2018  (1)  3n n n0  10n  18   6121621 Chọn đáp án B  u1  3  n  u  u  n  3n   n 1 n Câu 3: Cho dãy số  un  :  dãy? A 99 B 98 *  Hỏi 295071 số hạng thứ C 100 D 101 Giải: Phương trình sai phân tuyến tính bản: un 1  un      u n  q n  q Ta có un  un  u với  *  u n  n  An  Bn  c  * n Thay vào ta có (n  1) A(n  1)2  B(n  1)  C  n  An  Bn  C   n  3n   A  n  1  B  n  1  C  n  1  An  Bn  Cn  n  3n   A  A A   3A  B  B  17    1    B  2  u *n  n  n  2n    3  3A  2B  C  C   17  A  B  C  C   Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 22 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 17  u1 3 1  un  q  n  n  2n   q   un     3 3 un  295071  n  98 17  1 n  n  2n   3 3 Chọn đáp án B Câu 4: Cho dãy số (u n ) xác định đúng? A u11 355370 B u11 u1 un 354270 3u n C u11 4n ; n 364270 * Mệnh đề D u11 365370 Giải: Cách 1: Sử dụng vòng lặp casio Nhập hình A A 1: B 3B 4A Sau r A để A bắt đầu chạy từ 1, B = để B u , sau bấm = liên tiếp lặp đến A = 10 kết B u11 354270 Bản chất vòng lặp: A   A  A A11 A  A  1 Begin :    B  u  3B  4A      B  u  3B  4A  B   B  u2 Tuy nhiên áp dụng với hỏi số hạng đầu dãy, hỏi u 2018 cách khơng thể  Cách 2: Sử dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp 1: Phương trình sai phân tuyến tính un 1  3un     n n   u n  q  q.3 Ta có un  un  u với  *   u n  An  B * n  A  3A   A  B  2  A  B  3B  Thay vào ta có A(n  1)  B   An  B   4n    u 2  un  q.3n  2n    q   un  2.3n  2n  Số hạng tổng quát dãy u n 2.3n 2n u11 354270 Lưu ý: Có thể sử dụng cách r 1000 để lập hệ phương trình ẩn A, B thay đồng hệ số cho n 2, n ,… nhiên r 1000 nhanh lâu người Chọn đáp án B Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 23 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy  u1  Câu 5: Cho dãy số  u n  xác định   u n   un  n  * Giá trị lớn n để  u  là: arccos  n     2018 A 10 B 11 D 12 D Giải: Ta chứng minh số hạng tổng quát dãy  u n  u n  cos -Với n   u1  2cos   21 Ta có u k    uk1  uk    cos 2 (n  *) (đúng theo giả thiết) -Giả sử với n  k u k  cos -Ta chứng minh: u k   cos  n 1  k1 ,k   k 2 cos   cos k1     cos x   4cos2 x (Điều phải chứng minh) k  1.2 2k  Vậy ta có u n  2cos n  (n  *)    u   arccos  n    n   2n   2018  n  9,9787  n  2018   2018 Chọn đáp án D  u1  (n  n  un 1  2un  Câu 6: Cho dãy số  u n  xác định  u n  999 A 629 B 630 *) Giá trị nhỏ n để C 631 D 632 Giải: Phương trình sai phân tuyến tính là: un 1  2un     n n   u n  q  q.2 Ta có un  un  u với  * n   u n  p.3 * n u 8 n1  2.p.3n  3n  3p  2p   p   u n  q.2 n  3n  q  Thay vào ta có p.3  un  5 n  3n  un  2999  n  631 Chọn đáp án C Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 24 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy u1  n  n un1  4un  Câu 7: Cho dãy số (un ) thỏa mãn  un  8333 bao nhiêu? A 499 B 500 * Giá trị nhỏ n để C 501 D 502 Giải: Phương trình sai phân tuyến tính là: un1  4un      un  c.4n Và       un*  d.2n Thay vào ta có 2n1 d  4.2n.d  2n1  2d  4d   d   un*  2n u 6  un  un  un*  c.4n  2n   c   un  4n  2n  8333  n  500  nmin  500 Chọn đáp án B  u0  Giá trị nhỏ n  un   5un  4n   2.3 , n  Câu 8: Cho dãy số  u n  xác định  n để u n  99 là: A 40 B 41 C 42 D 43 Giải: Phương trình sai phân tuyến tính nhất: un   5un      un  q.5n  An  B , thay vào ta có A  n  1  B   An  B  4n  Ta có u *1 n  A  5A    A   B  1  u*1   n  n  A  B  5B   C.3n , thay vào ta có Ta có u 2* n C.3n   5.C.3n  2.3n  3C  5C   C  1  u *2  3 n n u 3  u n  q.5n  n   3n   q   u n  3.5 n  n  n   u n  99  n  42 Chọn đáp án C  u0  n  Giá trị nhỏ n n  un 1  2un  3.2  5.7 Câu 9: Cho dãy số  u n  xác định  n để u n  99 A 34 B 35 C 36 D 37 Giải: Phương trình sai phân tuyến tính un 1  2un      un  q.2 n  p.n.2 n thay vào ta có Ta có      u *1 n p(n  1).2n 1  2p.n.2n  3.2n  2p.2n  n   n   3.2 n  p  3  u*1  n.2 n n 2 Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 25 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Ta có       u 2*  t.7 n thay vào ta có n t.7 n   2.t.7 n  5.7 n  7t  2t   t   u 2*  n n  un  un  u1*n  un2*  q.2n  3 u0  n.2n  n   q   u n  n  n.2 n  n 2  u n  99  n  36 Chọn đáp án C  u1   n  1 Tính giá trị  u n  u n   n  3n  1 Cho dãy số  u n  xác định  Câu 10: P a b c biết tổng S n u1 u2 un n(n a 1)(n 2)(bn c) với a,b,c A B 16 C 21 D Giải: Phương trình sai phân tuyến tính un  un 1      u n  q. n  q Ta có un  un  u với  * , thay vào ta có  u n  n  An  Bn  C  * n  n  1  A  n  1  B  n  1  C   n  An  Bn  C    n  1   n  1  1  A  n  1  B  n  1  C  n  1  An  Bn  Cn   n  1   n  1 A  A  3A  B  B     3A  2B  C  C     A  B  C   A    B   un  n  n  n   n  n  C  u 2  u n  q  n  n   q   un  n3  n2  S n  u1  u   u n   12   n  n n  n  1 2n  1  2 2  S1      n  Ta có  2  S  13   33   n  n  n  1  n  n  1 2n  1 n  n  1  2n  n  n  1  S   n  n  1    4  1  n  n  1  3n  7n    n  n  1 x   3x  1 12 12  P  a  b  c  12    16 Chọn đáp án B Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 26 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Cho số thực dương a, b log(a b7 ), log(a b12 ), log(a b15 ) theo thứ tự lập thành cấp số cộng Công sai cấp số cộng n log b Giá trị n Câu 11: là? A n B n C n D n Giải: Theo tính chất cấp số cộng ta có log  a b 12   log  a b 10 24 log  a b7   log  a b15   2log  a b12   log  a11b 22   log  a b22   a10 b24  a11 b22  a  b2  11 Công sai cấp số cộng là: d  log  a b12   log  a b7   logb22  logb13  9log b  nlog b  n  Chọn đáp án D Gọi S tập hợp tất giá trị thực x để ba số 12x2  20x  1, x  5, 2x  lập thành cấp số cộng Tính tổng tất phần tử S A B C 1 D 12 Câu 12: Giải: Theo tính chất cấp số cộng ta có 12x  20x   2x  x 5  x   6x  11x   x  1; x  2; x  3 Chọn đáp án A Cho số thực x,y lớn cho số 4x; 3x  2y; 8y theo Câu 13: thứ tự lập thành cấp số cộng số x  4y  1; x  2y  3; 4y  2x  theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính tổng S  x  y A S  C S  B S  D S  Giải: Các số 4x; 3x  2y; 8y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ta có: 3x  2y  4x  8y  3x  2y  2x  4y  x  2y Các số x  4y  1; x  2y  3; 4y  2x  theo thứ tự lập thành cấp số nhân, ta có: x  2y    x2  4y  1 4y2  2x  1  2x    x  1  x   y   2x    x2  2x  1 x2  2x  1 x   S  x  y  Chọn đáp án A Câu 14: Người ta thả rơi tự bóng cao su độ cao h  81m Biết lần bóng chạm đất lại nảy lên độ cao phần ba lần độ cao lần rơi trước Tổng quãng đường rơi nảy (tính từ lúc bắt đầu thả) bóng Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 27 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy đến dừng lại là: A 181 B 162 C 201 D 243 Giải: Các quãng đường rơi nảy lập thành cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1  h  81, công bội q  n   1  81      243     3  3n     Tổng quãng đường rơi S1  1     81   n  243   n    81    81   Tổng quãng đường nảy S  1 1  Tổng quãng đường rơi nảy S  S1  S  243   n   81   1    Ta có lim  243   n   81  162 n      Chọn đáp án B Câu 15: Cho họ đường tròn đồng tâm  O;r1  ,  O;rn  , ,  O;rn  , (n  *) dãy  rn  cấp số cộng có số hạng đầu r1  4, công sai q  Gọi u1 diện tích hình tròn  O;r1  , với n  gọi u n diện tích hình vành khăn tạo đường tròn  O;rn 1  đường tròn  O;r  (tham khảo hình vẽ bên) Giá trị nhỏ n để un  2018 là: A 63 B 64 C 65 D 66 Giải: Bán kính rn đường tròn  O; rn  rn  r1   n  1 q    n  1  4n Diện tích Sn hình tròn  O; rn  là: S n  rn2  16 n Diện tích hình vành khăn u n  S n  S n   16 n  16   n  1  16   2n  1 Vậy số hạng tổng quát dãy  u n  un  16  2n  1 un  2018  16  2n  1  2018  n  63,5625 Chọn đáp án B PHẦN III: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 28 ... Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy 1  Câu 16: Hệ số x khai triển nhị thức  x   x   602 1204 1004 A C2009 B C2009 C C2009 2009 1008 là: D C1008 2009 Giải: Cách 1: Tự luận Số hạng tổng quát... 3k3  k2  Cách 3: Sử dụng số hạng tổng quát kết hợp chức w7 máy tính: Chọn đơn vị x  10  x  10   Ta tìm hệ số từ số hạng tổng quát 0 k 10 k Số hạng tổng quát khai triển C x 30  k m 30... | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018 10 Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy Khi ta có x3 xk x 2(6 k) k 2(6 k) Cách 2: Sử dụng n- thức newton Ta có a1 Gọi k1 ,k 1k1 k1 [x3 ] C65 26 12 2 ứng