Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIAN vv

Trang 1

Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian 11 www.dayhoctoan.vn

www.dayhoctoan.vn

BÀI TẬP VECTƠ

TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1 Cho tứ diện ABCD Chứng minh

rằng:

a)  ACBD ADBC;

b)  ABBD ACCD

Bài 2 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và

G là trọng tâm của tam giác BCD Chứng

minh rằng:

a)  ABDC2MN;

b)   ABACAD3AG

Bài 3 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

Chứng minh: AC'  ABADAA ';

Bài 4 Cho tứ diện ABCD có AB = c; CD =

c’; AC = b; BD = b’; BC = a; AD = a’ Tính

cosin của góc giữa các vectơ

BC DA

 

Bài 5 Trên đoạn thẳng AB ta lấy một điểm

C sao cho CA m

CB  n Chứng minh rằng:

  

Bài 6 Cho hình hộp ABCD.EFGH (AE //

BF // CG // DH) Chứng minh rằng:

a)    ABFG CH GB0;

b)  ABAHEF EH;

Bài 7 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

Chứng minh rằng:

a) AA ' AC' AB'AD';

b) AB   BC C D ' 'D A' '0;

c) AB  ADAA' A C' 'A A' ;

Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD

a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình

bình hành thì SB SD  SA SC  ;

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD

Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình

SA   SB SC SD4SO;

Bài 9 Cho tứ diện SABC; M là trung điểm

của SA; G là trọng tâm tam giác ABC Hãy

phân tích SM SG MG, ,

  

theo

aSA b SB c SC

Bài 10 Cho tứ diện SABC I là trung điểm của AB; E là trung điểm của SI; G là trọng tâm của tam giác ABC; K trung điểm của

CG Hãy phân tích EK

theo các vectơ

aSA b SB c SC

Bài 11 Cho tứ diện S.ABC; M là trung điểm của AB; điểm K thỏa mãn KC 2KB và

N là trung điểm của SK Hãy phân tích MN theo aSA b ; SB c ; SC

Bài 12 Cho tứ diện ABCD; I và J lần lượt

là trung điểm của AB và CD Các điểm M,

N lần lượt thuộc BC và AD sao cho BM = 2MC; AN = 2ND Chứng minh rằng bốn điểm I, J, M, N cùng nằm trong một phẳng Bài 13 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và hai điểm M, N thỏa mãn MB' 3 MC'0;

3NA' 2 NB'0. Gọi K là trung điểm của CC’ Chứng minh bốn điểm A, M, N, K đồng phẳng

Bài 14 Trong không gian cho hai bình hành ABCD và A’B’C’D’ chỉ có chung nhau đỉnh

A chứng minh rằng ba vectơ BB CC  '; ';DD' đồng phẳng

Bài 15 Cho tứ diện ABCD Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM BN k k 0 

AC  BD   Chứng minh rằng ba vectơ PQ PM PN  ; ; đồng phẳng

Bài 16 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Đặt AA'a AB ; b AC ; c a) Hãy biểu thị mỗi vectơ B C BC ' , ' qua các vectơ ; ; a b c  

b) Gọi G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’ Hãy biểu thị vectơ AG'

qua các vectơ ; ; a b c

  

Bài 17 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD trong không gian a) Chứng minh 2IJ ACBD;

Trang 2

b) Tính IJ

theo các vectơ

a AB b AC cAD

Bài 18 Cho tứ diện ABCD và G là trọng

tâm tam giác ABC và hai điểm M, N thỏa

mãn ND2 NA MC; 2MD Tính GM

và

MN



theo các vectơ a AB b;  AC c; AD

Bài 19 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ tâm

O và điểm M thỏa mãn MD'3MC' Tính

OM

a AB b AD cAA

Bài 20 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và

MB  MB

  

' 2 ' 0

NA  NC 

  

Hãy phân tích MN

theo các vectơ

a AB b AC cAA

Bài 21 Cho tứ diện SABC và điểm M thỏa

mãn SMmSA nSB pSC với

1

m n  p Chứng minh M thuộc mặt

phẳng (ABC)

Bài 22 Cho tứ diện SABC và điểm M thỏa

mãn SM3SA SB   SC Chứng minh M

thuộc mặt phẳng (ABC)

Bài 23 Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm

tam giác ACD, I là trung điểm của BC Vẽ

hình bình hành ABDK Chứng minh ba

điểm I, G, K thẳng hàng

Bài 24 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, với

I là tâm của hình bình hành AA’B’B, G, G’

lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và

A’B’C’ Chứng minh GI // CG’

Bài 25 Cho hình lập phương ABCD

A’B’C’D’ với ba điểm I, M, Q lần lượt là

trung điểm của AA’, DD’, MD và điểm P

thỏa mãn PC 2PD Chứng minh BM

song song với mặt phẳng (IPQ)

Bài 26 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD

lấy điểm M sao cho AM 2MD và trên

cạnh BC lấy điểm N sao cho BN2NC

Chứng minh rằng ba vectơ   AB DC MN; ;

đồng phẳng

MN  AB DC

  

BÀI TẬP HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Bài 27 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,

OB, OC đôi một vuông góc và có độ dài OA

= OB = OC = 1 Gọi M là trung điểm của cạnh AB Hãy tính góc giữa hai vectơ OM

và BC ĐS: 1200 Bài 28 Cho hình chóp tam giác S.ABC có

SA = SB = SC = AB = AC = a và

2

BCa Tính góc giữa hai đường thẳng

AB và SC ĐS: 600 Bài 29 Cho tứ diện ABCD có AB AC và

AB  BD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng AB

và MN là hai đường thẳng vuông góc với nhau

HD: c/m: MN AB  0

Bài 30 Cho tứ diện ABCD

a) Chứng minh rằng      AB CD AC DB AD BC 0

b) Từ đẳng thức trên hãy chứng

minh rằng nếu tứ diện ABCD có AC 

CD và AC  DB thì AD  BC

Bài 31 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a) Tính độ dài đường chéo AC’

b) Chứng minh AC’  BD

Bài 32 Hai tam giác đều ABC và ABD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA

a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

b) Tìm vị trí của hai đỉnh C và D để tứ giác MNPQ là hình vuông

Bài 33 Gọi u

và v lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b trong không gian Chứng minh rằng điều kiện cần

và đủ để a  b là : u   v u v Bài 34 Cho tứ diện ABCD có DA = DB và

CA = CB Chứng minh rằng DC  AB Bài 35 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =

SC và AS BBSC CSA . Chứng minh rằng

SA  BC, SB  AC, SC  AB

Trang 3

Bài 36 Cho hình tứ diện ABCD có AB =

60 ;

90

CAD Chứng minh rằng:

a) AB  CD;

b) Nếu M và N lần lượt là trung điểm

của AB và CD thì MN  AB và MN

 CD

Bài 37 Cho tứ diện đều ABCD Gọi M, N,

P, Q, R lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, CD, BC, AC Chứng minh rằng MN 

RP và MN  RQ

Bài 38 Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng đường

thẳng AC’ vuông góc với các đường thẳng

B’D’, B’C

Bài 39 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA

= a và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng

1

a) Chứng minh góc  0

ASC90 và tính

độ dài đoạn AC

b) Tính diện tích ABCD

Bài 40 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, CD của tứ diện

a) Tính độ dài đoạn MN theo a

b) Tính góc giữa hai đường thẳng MN

và BC

c) Chứng minh rằng đường thẳng MN

vuông góc với các đường thẳng AB

và CD

Bài 41 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có

tất cả các cạnh đều có độ dài bằng a và có

ABCB BA' B BC' 60

a) Chứng minh tú giác A’B’CD là hình

thoi

b) Chứng minh CB CD ' 0, từ đó

chứng minh tứ giác A’B’CD là hình

vuông

Bài 42 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có

tất cả các cạnh bằng a ( gọi là hình hộp thoi)

' ' 60

ABCABB CBB 

Tứ giác A’B’CD là hình gì? Tính diện tích

tứ giác đó ĐS: a2

Bài 43 Cho tứ diện ABCD có AB vuông

góc với CD và AC vuông góc với BD

Chứng minh BC vuông góc với AD

Bài 44 Cho tứ diện ABCD có AB  AC,

AB  BD và hai điểm P, Q lần lượt thuộc hai cạnh AB, CD sao cho

 

PAk PB QCkQD k 

   

Chứng minh

AB  PQ

Bài 45 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =

SC và AS BAS  C Chứng minh BC  SA Bài 46 Cho tứ diện SABC có SA = SB =

60 ,

90

CAD a) Chứng minh AB  CD

b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của

AB và CD Chứng minh IJ  AB và

IJ  CD

Bài 46 Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một: AC = BD = a,

AB = CD = 2a, AD = BC = a 6 Tính góc giữa cặp đường thẳng AD và BC

Bài 47 Cho tứ diện ABCD có OABC có

180

AOBAOC Chứng minh OA vuông góc với đường phân giác của góc BOC Bài 48 Cho tứ diện ABCD có

2 2 2 2

AB CD BC AD Chứng minh

AC  BD

BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT

PHẲNG

Bài 49 Cho tứ diện ABCD có các cạnh DA,

DB, DC đôi một vuông góc với nhau Gọi H

là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) DH vuông góc với mặt phẳng (ABC)

b) 1 2 12 12 1 2

DH  DA DB DC

Bài 50 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi

H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên các cạnh SB, SC, SD

a) BC  (SAB); CD  (SAD); BD  (SAC)

b) SC  (AHK) và điểm I cũng thuộc mặt phẳng (AHK)

Trang 4

c) HK  (SAC) và HK  AI

Bài 51 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có

đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA =

SC, SB = SD

a) Chứng minh SO vuông góc với mặt

phẳng (ABCD)

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB, BC Chứng minh rằng

IK vuông góc với mặt phẳng (SBD)

và IK  SD

c) Gọi   là mặt phẳng chứa IK và

song song với SO Hãy xác định thiết

diện của hình chóp đã cho cắt bởi

mặt phẳng   và chứng minh

   BD

Bài 52 Cho tứ diện đều ABCD Chứng

minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này

vuông góc với nhau từng đôi một

Bài 53 Cho góc xOy nằm trong   Trên

đường thẳng Oz vuông góc với mặt phẳng

  tại O lấy một điểm C Gọi A và B là hai

điểm lần lượt trên tia Ox và Oy

a) Chứng minh tứ diện OABC có ba

cạnh đối diện vuông góc với nhau

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O

trên mặt phẳng (ABC) Chứng minh

H là trực tâm của tam giác ABC

Bài 54 Cho mặt phẳng   và tam giác

AOB vuông tại O có cạnh OA //   , cạnh

OB không vuông góc với   Gọi tam giác

A’O’B’ là hình chiếu vuông góc của tam

giác AOB trên   Chứng minh tam giác

A’O’B’ vuông tại O’

Bài 55 Hai tam giác cân ABC và DBC có

chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt

phẳng khác nhau Gọi I là trung điểm của

cạnh BC và AH là đường cao của tam giác

AID Chứng minh rằng:

a) BC  AD

b) AH  (BCD)

Bài 56 Hình chóp tam giác S.ABC có cạnh

SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC)

Tam giác ABC có ba góc nhọn và có H là

trực tâm Tam giác SBC có K là trực tâm

a) Ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy

b) Cạnh SC vuông góc với mặt phẳng (BHK)

c) Đường thẳng HK vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Bài 57 Cho tam giác ABC Gọi   là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A

và   là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B

a) Chứng minh hai mặt phẳng   và

  không trùng nhau và không song song với nhau

b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng   và   Chứng minh d

 (ABC)

Bài 58 Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và tứ giác ABCD là một hình thang vuông tại A

2

AB

ADDC Gọi I là trung điểm của đoạn AB Chứng minh rằng: a) SBCI SC; DI

b) Các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông

Bài 59 Chứng minh rằng tập hợp những điểm cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC là đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Bài 60 Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với (ABC) và SA = a 2 Tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC

a) Chứng minh EF  (SAD)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên đường thẳng EF Chứng minh AH nằm trong mặt phẳng (SAD) và tính độ dài đoạn AH c) Tính diện tích tam giác AEF theo a Bài 61 Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu AC = AD và BC = BD thì AB 

CD

Bài 62 Cho hình chóp S.ABC Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC)

Trang 5

SASBSCOAOBOC

Bài 63 Cho tứ diện SABC có đáy là tam

giác ABC vuông tại B và SA vuông góc với

mặt phẳng (ABC)

a) Chứng minh BC  (SAB)

b) Kẻ đường cao AH trong tam giác

SAB Chứng minh AH  (SBC)

c) Kẻ đường cao AK trong tam giác

SAC Chứng minh SC  (AHK)

d) Đường thẳng HK cắt BC tại I Chứng

minh IA  (SAC)

Bài 64 Hai đoạn thẳng AB và CD nằm chắn

giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) có

độ dài AB =1, CD = 3 Biết góc giữa AB

và (P) gấp đôi góc giữa CD và (P) Tính số

đo của hai góc này

Bài 65 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là

hình chữ nhật, SA  (ABCD) Hãy xác

định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng

(P) qua A, vuông góc với SC

hình thoi tâm O Biết SA = SC và SB = SD

a) Chứng minh SO  (ABCD)

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của

AB, BC Chứng minh IJ  (SBD)

Bài 67 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi

O là tâm đường tròn (BCD)

a) Chứng minh AO  (BCD) và tính

AO theo a

b) Gọi I là trung điểm của AO Tính độ

dài các đoạn IB, IC, ID theo a Từ đó

chứng minh chúng vuông góc với

nhau từng đôi một

hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) và SA = a Gọi I và K lần

lượt là trung điểm của AB và SC

Chứng minh IS = IC = ID, từ đó chứng minh

IK  (SDC)

Bài 69 Cho hình chóp S ABCD có SA =

SB = SC = a,  0  0

ASB90 ;BSC60 và

ASC 120  Gọi I là trung điểm của cạnh

AC Chứng minh SI vuông góc với (ABC)

Bài 70 Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB,

BC, CD đôi một vuông góc và AB =a, BC =

b, CD = c

a) Tính độ dài AD

b) Xác định điểm I biết rằng I cách đều

A, B, C, D

Bài 71 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,

OB, OC đôi một vuông góc

a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn

b) Chứng minh rằng hình chiếu H của

O lên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC

2 2 2 2

OH OA OB OC

Bài 72 a) Cho tứ diện ABCD có AB  CD,

AC  BD Chứng minh AD  BC (Tứ diện trên có các cạnh đối vuông góc với nhau, ta gọi đó là tứ diện trực tâm)

b) Chứng minh các mệnh đề sau là tương đương:

(i) ABCD là tứ diện trực tâm

(ii) Chân đường cao hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện

(iii)

2 2 2 2 2 2

AB CD AC BD AD BC

c) Chứng minh rằng 4 đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm (Điểm này gọi là trực tâm của tứ diện nói trên)

Bài 73 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) Gọi M,

N lần lượt là hình chiếu của A lên SB và

SD

Chứng minh MN // BD và SC (AMN) Gọi K là giao điểm của SC với (AMN) Chứng minh tứ giác AKMN có hai đường chéo vuông góc với nhau Nếu SA = AB = a, tính góc  giữa SC

và mặt phẳng (ABCD); góc  giữa

BD và (SBC)

Bài 74 Cho tứ diện OABC có OA = OB =

OC và AOBBOC COA . Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC) Chứng minh

OH tạo với các mặt bên những góc bằng nhau, bằng  Tính góc  theo 

Bài 75 Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC vuông tại B, SA  (ABC) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm I thuộc cạnh AB

và vuông góc với SB Hãy xác định thiết diện do (P) cắt hình chóp Thiết diện là hình gì? Thiết diện có thể là hình chữ nhật không?

Trang 6

Bài 76 Cho hình lăng trụ đứng

ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân,

AB = AC = a, AA’= a 2 Hai điểm I và K

lần lượt là trung điểm của BC và CC’; M và

N lần lượt là trung điểm của AC và BI

Chứng minh B’C  (AIK)

Xác định thiết diện do (P) chứa MN và

 với (AIK) cắt hình lăng trụ

ABCD.A’B’C’D’ tâm O Chứng minh rằng

một mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với

đường chéo AC’ của hình lập phương, cắt

hình lập phương theo một thiết diện là một

lục giác đều

hình thang vuông tại A và D, AB = 2a; AD

= DC = a; SA vuông góc với đáy, SA =

a 2 Gọi M là trung điểm của CD

a) Chứng minh BC  (SAC)

b) Tính diện tích thiết diện do mặt

phẳng (P) chứa SM và vuông góc với

(SAC) cắt hình chóp

Bài 79 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam

giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b Gọi

G là trọng tâm của tam giác ABC

a) Chứng minh SG (ABC) Tính SG

b) Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông

góc với đường thẳng SC Tìm hệ

thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC

tại C1 nằm giữa S và C Khi đó hãy

tính diện tích thiết diện của hình

chóp S.ABC khi cắt bới (P)

Bài 80 Cho tứ diện ABCD Tìm điểm O

cách đều bốn đỉnh của tứ diện

BÀI TẬP HAI MẶT

PHẲNG VUÔNG GÓC

Bài 81 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a

a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD)

b) Gọi M là trung điểm của cạnh SC

Chứng minh (BMD)  (SAC)

hình chữ nhật ABCD và có cạnh SA 

(ABCD)

a) Chứng minh các mặt phẳng (SAB), (SAC), (SAD) đều vuông góc với (ABCD)

b) Chứng minh (SCD)  (SAD), (SBC)  (SAB)

Bài 83 Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên là các tam giác đều có cạnh bằng a a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD)

và tính độ dài đường cao của hình chóp

b) Gọi M là trung điểm của cạnh SC, chứng minh (MBD)  (SAC) c) Hãy xét xem hai mặt phẳng (SBC)

và (SDC) có vuông góc với nhau không?

Bài 84 Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B và có cạnh SA  (ABC) Gọi E là trung điểm của cạnh SC và M là một điểm nằm trên cạnh AB

a) Hãy xác định mặt phẳng   chứa đường thẳng EM và vuông góc với mặt phẳng (SAB)

b) Mặt phẳng   cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là hình gì? Xét dạng của thiết diện khi M là trung điểm của đoạn AB?

Bài 85 Hình chóp S.ABCD có cạnh SA  (ABCD) Tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AD = DC = a, AB = 2a

a) Chứng minh (SAD)  (SDC) và (SBC)  (SAC)

b) Hãy xác định mặt phẳng   chứa

SD và  (SAC) Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng

  là hình gì?

Bài 86 Hình chóp S.ABC có cạnh SB  (ABC), có AB  AC và SB = AB = AC =

a Gọi   là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với SC Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng   và tính diện tích thiết diện đó

Bài 87 Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc mặt phẳng   , còn hai đỉnh B và C có hình chiếu vuông góc trên   lần lượt là B’ và C’ sao cho AB’C’ là tam giác đều

Trang 7

a) Gọi I là giao điểm của BC và B’C’

Chứng minh IA  AC

b) Giả sử CC’ = AC’ = a và BB’ = a/2

Hãy tính diện tích của tam giác ABC

và của tam giác AB’C’ rồi suy ra giá

trị góc  giữa hai mặt phẳng   và

(ABC)

Bài 88 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình

vuông ABCD và có cạnh SA  (ABCD)

Gọi   là mặt phẳng chứa cạnh AB và

vuông góc với (SCD) Hãy xác định mặt

phẳng   và thiết diện cắt bởi   đối với

hình chóp S.ABCD đã cho

Bài 89 Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

có AB = a, BC = b, CC’ =c

a) Chứng minh tứ giác BDD’B’ là hình

chữ nhật

b) Chứng minh các đường chéo của

hình hộp chữ nhật đều bằng nhau và

a  b c Từ đó hãy tìm công thức tính đường chéo của hình

lập phương có cạnh bằng a

Bài 90 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình

thoi ABCD cạnh a và có ba cạnh bên SA =

SB = SC = a Chứng minh:

a) (SBD)  (ABCD)

b) Tam giác SBD là tam giác vuông tại

S

ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh:

a) (ACC’A’)  (BDA’) và (ACC’A’)

 (CB’D’)

b) Đường chéo AC’ cắt và vuông góc

với mặt phẳng (BDA’) tại trọng tâm

G của tam giác BDA’

ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a) Xác định thiết diện cắt hình lập

phương bởi mặt phẳng trung trực

  của đoạn AC’

b) Tính diện tích của thiết diện nói trên

Bài 93 Cho hình lăng trụ tam giác

ABC.A’B’C’ có các cạnh bên và cạnh đáy

đều bằng a Các cạnh bên của hình lăng trụ

tạo với mặt phẳng đáy góc 600

Hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng

(A’B’C’) trùng với trung điểm I của cạnh B’C’

a) Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ bởi   chứa cạnh AA’ và  (A’B’C’) của hình lăng trụ

b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ là một hình vuông Bài 94 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a,

AD = 2a, SA  (ABCD) và SA = a 2 Gọi

I là trung điểm của SC

a) Chứng minh AI  (SCD)

b) Tính góc   giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SCD), góc  giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Bài 95 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a, SA  (ABC), SA = a Tính góc  giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)

Bài 96 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O Các tam giác SAC và SBD cân tại S

a) Chứng minh SO  (ABCD)

b) Chứng minh (SAC)  (SBD)

Bài 97 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, SA  (ABC)

a) Chứng minh (SBC)  (SAB)

b) Gọi M là trung điểm của AC Chứng minh (SBM)  (SAC)

Bài 98 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 3

a Gọi   là mặt phẳng chứa AB và

 (SDC)

a) Mặt phẳng   cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

b) Tính diện tích của thiết diện

Bài 99 Cho hình thoi ABCD có đỉnh A thuộc (P), các đỉnh khác không thuộc (P) Hình chiếu của hình thoi lên (P) là hình vuông AB’C’D’ Cho BD = a, AC = a 2 Tính diện tích của hình thoi ABCD và hình vuông AB’C’D’ Từ đó tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (P)

Bài 100 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 3

a Tính góc giữa hai mặt phẳng:

a) (SBC) và (ABC)

Trang 8

b) (SBD) và (ABD)

Bài 101 Cho tam giác ABC cân, AB = AC

= a, BC = 2 3

3

a

Gọi O là trung điểm của

BC Dựng SO  (ABC) và SO = 6

3

a

Tính độ dài các cạnh SA, SB, SC và tính góc

giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)

Bài 102 Cho hình chóp S.ABC có đáy là

tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a,

hình chiếu của S lên (ABC) là trung điểm O

của BC và SO = 6

2

a

Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)

Bài 103 Cho hình chóp S.ABC Hình chiếu

H của S lên (ABC) nằm trong tam giác

ABC Các mặt bên hợp với đáy các góc

bằng nhau và bằng  Chứng minh:

a) H là tâm đường tròn nội tiếp tam

giác ABC

b)

os

ABC

S

c 

tam giác ABC vuông tại B, SA  (ABC)

a) Chứng minh (SBC)  (SAB)

b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A lên SB và SC

Chứng minh (AHK)  (SAC)

c) Gọi I là giao điểm của HK và

(ABC) Chứng minh AI  AC

tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc

với (ABC)

a) Chứng minh (SBC) (SAC)

b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng

minh rằng (ABI)  (SCB)

tam giác đều cạnh a, SA = SB = SC Gọi H

là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

Đặt SH = h

a) Tính h theo a sao cho (SAB) 

(SAC)

b) Với giá trị của h ở câu a), chứng

minh rằng ba mặt bên của hình chóp

là những tam giác vuông

hình vuông tâm O và SO  (ABCD) Gọi

M là điểm di động trên cạnh SA Hãy xác định vị trí của M trên SA sao cho (MBD)  (SAB) Chứng minh rằng khi đó (MBD)  (SAD)

Bài 108 Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của B, D là điểm đối xứng với A qua I Dựng đoạn SD = 6

2

a

và SD  (ABC) Chứng minh:

(SBC) (SAD)

(SAB)  (SAC)

Bài 109 Cho hình vuông ABCD cạnh a

Trên hai tia Bx, Dy nằm cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD) và  (ABCD), lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho BM.DN = a2

/2 Chứng minh:

(ACM)  (CAN);

(AMN)  (CMN)

Bài 110 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SA  (ABCD)

và SA = a, E là trung điểm của SD Gọi  

là mặt phẳng chứa OE và  (ABCD) a) Xác định thiết diện do   cắt hình chóp

b) Tính diện tích của thiết diện theo a Bài 111 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân, AB = AC = a, SA vuông góc với (ABC) và SA = a Gọi E là điểm trên cạnh SB và ES = 2EB Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC)

a) Xác định vị trí điểm H trong tam giác SBC

b) Gọi   là mặt phẳng chứa AE và vuông góc với (SBC) Xác định và tính diện tích thiết diện do   cắt hình chóp

Bài 112 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD

= DC = a, SA vuông góc với (ABCD) và SA

= a

a) Chứng minh (SAD)  (SCD) và (SAC)  (SBC)

b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa AD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) Tính diện tích thiết diện do (P) cắt hình chóp

Trang 9

tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông

góc với đáy, SA = a Gọi E và F lần lượt là

trung điểm của SB và SC Điểm M di động

trên cạnh AB Đặt AM = x 0 x a Gọi

(P) là mặt phẳng chứa FM và vuông góc với

(SAB) Tính diện tích thiết diện do (P) cắt

hình chóp

hình thang vuông tại A và B, AD = 2a, AB =

BC = a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)

cùng vuông góc với (ABCD), SA = a Gọi E

là trung điểm của SD, điểm M thuộc cạnh

AB với AM = x 0 x a Gọi (P) là mặt

phẳng chứa ME và vuông góc với (SAB)

Tính diện tích thiết diện do (P) cắt hình

chóp

Bài 115 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC

có SH là đường cao Chứng minh SA  BC

và SB  AC

Bài 116 Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy

đều bằng a Gọi O là tâm của hình vuông

đáy ABCD

a) Tính SO

b) Gọi M là trung điểm của SC Chứng

minh (MBD)  (SAC)

c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc

giữa hai mặt phẳng (MBD) và

(ABCD)

Bài 117 Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là một hình thoi tâm I, cạnh a và có

Â = 600 Cạnh SC = 6

2

a

và SC  (ABCD)

a) Chứng minh (SBD)  (SAC)

b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA

Hãy tính độ dài IK

c) Chứng minh  0

90

BKD và từ đó suy ra (SAB)  (SAD)

hình thoi cạnh a SA = SB = SC = a Chứng

minh:

a) (ABCD)  (SBD)

b) Tam giác SBD là tam giác vuông

Bài 119 Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là

trung điểm của BC, D là điểm đối xứng của

A qua I Dựng đoạn SD  (ABC) sao cho

SD = 6

2

a

Chứng minh:

a) (SAB)  (SAC)

b) (SBC)  (SAD)

Bài 120 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh BC, CD sao cho BM =

3

DN  Chứng minh: (SAM)  (SMN)

Bài 121 Trong (P), cho hình thoi ABCD với

AB = a và BD = 2

3

a

Trên đường vuông góc với (P) tại giao điểm của hai đường chéo của hình thoi ta lấy điểm S sao SB = a a) Chứng minh tam giác ASC vuông b) Chứng (SAB)  (SAD)

Bài 122 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; AB = a; SO vuông góc với (ABCD) và SO = a/2; Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn AD, BC Chứng minh rằng:

a) (SAC)  (SBD);

b) (SIJ)  (SBC)

Bài 123 Cho tam giác ABD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau AC

= AD = BC = BD = a và CD = 2x Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD a) Chứng minh IJ  AB và IJ  CD b) Tính AB và IJ theo a và x

c) Với giá trị nào của a thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau?

Bài 124 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’ Dựng thiết diện của (MNE) với lăng trụ Chứng minh (MNE)  (AA’B’B)

Bài 125 Cho tam giác ABC vuông tại B Một đoạn thẳng AD  (ABC)

a) Chứng minh (ABD)  (BCD) b) Từ A trong (ABD), ta vẽ AH  BD Chứng minh AH  (BCD)

Bài 126 Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a, có cạnh SA  (ABC) và SA = a

Trang 10

a) Chứng minh (SAB)  (SBC)

b) Trong (SAB) , vẽ AH  SB tại H

Chứng minh AH  (SBC)

c) Tính độ dài đoạn AH

d) Từ trung điểm O của đoạn AC, vẽ

OK  (SBC) cắt (SBC) tại K Tính

độ dài đoạn OK

Bài 127 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

là hình vuông tâm O và có cạnh SA 

(ABCD) Giả sử   là mặt phẳng đi qua A

và vuông góc với cạnh SC,   cắt SC tại I

a) Xác định giao điểm K của SO với

 

b) Chứng minh (SBD) vuông góc với

(SAC) và BD //  

c) Xác định giao tuyến d của (SBD) và

  Tìm thiết diện cắt hình chóp

bởi  

BÀI TẬP VỀ KHOẢNG

CÁCH

Bài 128 Cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’

= c

a) Tìm khoảng cách từ điểm B đến

đường thẳng AC

b) Tìm khoảng cách từ B’ đến đường

thẳng AC’

ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh rằng

khoảng cách từ các đỉnh B, C, D, A’, B’, D’

đến đường chéo AC’ bằng nhau Hãy tính

khoảng cách đó ĐS: 6

3

a

Bài 130 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC

có SA = SB = SC = 4a và AB = BC = CA =

6a

a) Tính khoảng cách từ S đến (ABC)

b) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mỗi

đường thẳng chứa các cạnh AB, BC,

CA của tam giác đáy

ĐS: a) 2a; b) a 7

Bài 131 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a Cho các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a 2 a) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến (ABCD)

b) Tính khoảng cách từ A đến cạnh SC Bài 132 Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB’ và BC’ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đó ĐS: 3

3

a

Bài 133 Cho tứ diện OABC có các cạnh

OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA =

OB = OC = a Gọi I là trung điểm của cạnh

BC Hãy tìm khoảng cách giữa các đường thẳng chéo nhau sau đây:

a) OA và BC; ĐS: 2

2

a

b) AI và OC ĐS: 5

5

a

Bài 134 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh SA  (ABCD) Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau sau đây:

a) SB và AD;

b) BD và SC

Bài 135 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều đó và tính khoảng cách từ đỉnh D đến (ABC)

Bài 136 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Các cạnh bên của hình lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600

và hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm I của cạnh B’C’

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của hình lăng trụ

b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ là một hình vuông

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AA’ và B’C’ Bài 137 Hình chóp tam giác S.ABC, có đáy

là tam giác đều ABC cạnh 7a, có cạnh SC

 (ABC) và SC = 7a

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	484,43 KB