Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài tập VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIAN vv

Bài tập Quan hệ vng góc khơng gian 11 BÀI TẬP VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng:     a) AC  BD  AD  BC;     b) AB  BD  AC  CD Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh rằng:    a) AB  DC  2MN ;     b) AB  AC  AD  AG Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’     Chứng minh: AC '  AB  AD  AA'; Bài Cho tứ diện ABCD có AB = c; CD = c’; AC = b; BD = b’; BC = a; AD = a’ Tính cosin góc vectơ   BC, DA Bài Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm CA m  Chứng minh rằng: C cho CB n  n  m  SC  SA  SB mn mn Bài Cho hình hộp ABCD.EFGH (AE // BF // CG // DH) Chứng minh rằng:      a) AB  FG  CH  GB  0;     b) AB  AH  EF  EH ;   Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng:     a) AA'  AC '  AB '  AD ';      b) AB  BC  C ' D '  D ' A '  0;      c) AB  AD  AA '  A ' C '  A ' A; Bài Cho hình chóp S.ABCD a) Chứng minh ABCD hình     bình hành SB  SD  SA  SC; b) Gọi O giao điểm AC BD Chứng tỏ ABCD hình bình hành      SA  SB  SC  SD  4SO; Bài Cho tứ diện SABC; M trung điểm SA; G trọng tâm tam giác ABC Hãy www.dayhoctoan.vn    phân tích theo SM , SG, MG       a  SA; b  SB; c  SC Bài 10 Cho tứ diện SABC I trung điểm AB; E trung điểm SI; G trọng tâm tam giác ABC; K trung điểm  CG Hãy phân tích EK theo vectơ       a  SA; b  SB; c  SC Bài 11 Cho tứ diện S.ABC; M trung điểm   AB; điểm K thỏa mãn KC  2 KB  N trung điểm SK Hãy phân tích MN       theo a  SA; b  SB; c  SC Bài 12 Cho tứ diện ABCD; I J trung điểm AB CD Các điểm M, N thuộc BC AD cho BM = 2MC; AN = 2ND Chứng minh bốn điểm I, J, M, N nằm phẳng Bài 13 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’    hai điểm M, N thỏa mãn MB '  3MC '  0;    NA '  NB '  Gọi K trung điểm CC’ Chứng minh bốn điểm A, M, N, K đồng phẳng Bài 14 Trong khơng gian cho hai bình hành ABCD A’B’C’D’ có chung đỉnh    A chứng minh ba vectơ BB '; CC ';DD' đồng phẳng Bài 15 Cho tứ diện ABCD Gọi P Q trung điểm cạnh AB CD Trên cạnh AC BD ta lấy AM BN   k  k  0 điểm M, N cho AC BD    Chứng minh ba vectơ PQ; PM ; PN đồng phẳng Bài 16 Cho hình lăng trụ tam giác       ABC.A’B’C’ Đặt AA'  a; AB  b; AC  c   a) Hãy biểu thị vectơ B ' C, BC '   qua vectơ a; b; c b) Gọi G’ trọng tâm tam giác  A’B’C’ Hãy biểu thị vectơ AG' qua   vectơ a; b; c Bài 17 Gọi I, J trung điểm hai đoạn thẳng AB CD không gian    a) Chứng minh 2IJ  AC  BD; www.dayhoctoan.vn Bài tập Quan hệ vng góc khơng gian 11  IJ b) Tính theo vectơ       a  AB; b  AC; c  AD Bài 18 Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác ABC hai điểm M, N thỏa      mãn ND  NA; MC  2MD Tính GM        MN theo vectơ a  AB; b  AC; c  AD Bài 19 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ tâm   O điểm M thỏa mãn MD '  3MC ' Tính  OM theo vectơ       a  AB; b  AD; c  AA ' Bài 20 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ hai điểm M, N thỏa mãn       MB '  2MB  0, NA '  NC '  Hãy phân  MN tích theo vectơ       a  AB; b  AC; c  AA ' Bài 21 Cho tứ diện SABC điểm M thỏa     mãn với SM  mSA  nSB  pSC m  n  p  Chứng minh M thuộc mặt phẳng (ABC) Bài 22 Cho tứ diện SABC điểm M thỏa     mãn SM  3SA  SB  SC Chứng minh M thuộc mặt phẳng (ABC) Bài 23 Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm tam giác ACD, I trung điểm BC Vẽ hình bình hành ABDK Chứng minh ba điểm I, G, K thẳng hàng Bài 24 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, với I tâm hình bình hành AA’B’B, G, G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ Chứng minh GI // CG’ Bài 25 Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ với ba điểm I, M, Q trung điểm AA’, DD’, MD điểm P   thỏa mãn PC  2 PD Chứng minh BM song song với mặt phẳng (IPQ) Bài 26 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD   lấy điểm M cho AM  2MD   cạnh BC lấy điểm N cho BN  NC    Chứng minh ba vectơ AB; DC; MN đồng phẳng    HD: Chứng minh: MN  AB  DC 3 www.dayhoctoan.vn BÀI TẬP HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Bài 27 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc có độ dài OA = OB = OC = Gọi M trung điểm  cạnh AB Hãy tính góc hai vectơ OM  BC ĐS: 1200 Bài 28 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC  a Tính góc hai đường thẳng AB SC ĐS: 600 Bài 29 Cho tứ diện ABCD có AB  AC AB  BD Gọi M N trung điểm AB CD Chứng minh AB MN hai đường thẳng vng góc với   HD: c/m: MN AB  Bài 30 Cho tứ diện ABCD a) Chứng minh       AB.CD  AC.DB  AD.BC  b) Từ đẳng thức chứng minh tứ diện ABCD có AC  CD AC  DB AD  BC Bài 31 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Tính độ dài đường chéo AC’ b) Chứng minh AC’  BD Bài 32 Hai tam giác ABC ABD có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AC, BC, BD, DA a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình chữ nhật b) Tìm vị trí hai đỉnh C D để tứ giác MNPQ hình vng   Bài 33 Gọi u v hai vectơ phương hai đường thẳng a b không gian Chứng minh điều kiện cần     đủ để a  b : u  v  u  v Bài 34 Cho tứ diện ABCD có DA = DB CA = CB Chứng minh DC  AB Bài 35 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =  B  BSC   CSA  Chứng minh SC AS SA  BC, SB  AC, SC  AB www.dayhoctoan.vn Bài tập Quan hệ vng góc khơng gian 11 www.dayhoctoan.vn Bài 36 Cho hình tứ diện ABCD có AB = Bài 44 Cho tứ diện ABCD có AB  AC, AC = AD = a có AB  BD hai điểm P, Q thuộc 0 hai cạnh AB, CD cho    BAC  BAD  60 ; CAD  90 Chứng minh     PA  k PB, QC  kQD  k  1 Chứng minh rằng: a) AB  CD; AB  PQ b) Nếu M N trung điểm Bài 45 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = AB CD MN  AB MN  B  AS  C Chứng minh BC  SA SC AS  CD Bài 46 Cho tứ diện SABC có SA = SB = Bài 37 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N,    SC = a BAC  BAD  600 , CAD  900 P, Q, R trung điểm cạnh a) Chứng minh AB  CD AB, CD, BC, AC Chứng minh MN  b) Gọi I J trung điểm RP MN  RQ AB CD Chứng minh IJ  AB Bài 38 Cho hình lập phương IJ  CD ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh đường Bài 46 Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh thẳng AC’ vng góc với đường thẳng đối đôi một: AC = BD = a, B’D’, B’C Bài 39 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA AB = CD = 2a, AD = BC = a Tính góc = a tất cạnh lại có độ dài cặp đường thẳng AD BC Bài 47 Cho tứ diện ABCD có OABC có   a) Chứng minh góc ASC  90 tính AOB   AOC  1800 Chứng minh OA vuông độ dài đoạn AC  góc với đường phân giác góc BOC b) Tính diện tích ABCD Bài 48 Cho tứ diện ABCD có Bài 40 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi AB  CD2  BC  AD2 Chứng minh M, N trung điểm cạnh AC  BD AB, CD tứ diện a) Tính độ dài đoạn MN theo a b) Tính góc hai đường thẳng MN BC c) Chứng minh đường thẳng MN vng góc với đường thẳng AB CD Bài 41 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh có độ dài a có  ' BA  B ' BC  600 B góc ABC a) Chứng minh tú giác A’B’CD hình thoi   b) Chứng minh CB '.CD  0, từ chứng minh tứ giác A’B’CD hình vng Bài 42 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có tất cạnh a ( gọi hình hộp thoi)  '  600 ABC   ABB '  CBB  Tứ giác A’B’CD hình gì? Tính diện tích tứ giác ĐS: a2 Bài 43 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD AC vng góc với BD Chứng minh BC vng góc với AD BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Bài 49 Cho tứ diện ABCD có cạnh DA, DB, DC đơi vng góc với Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) DH vng góc với mặt phẳng (ABC) 1 1    b) 2 DH DA DB DC Bài 50 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng ABCD có cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc đỉnh A cạnh SB, SC, SD Chứng minh rằng: a) BC  (SAB); CD  (SAD); BD  (SAC) b) SC  (AHK) điểm I thuộc mặt phẳng (AHK) www.dayhoctoan.vn Bài tập Quan hệ vng góc khơng gian 11 c) HK  (SAC) HK  AI Bài 51 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình thoi ABCD tâm O có SA = SC, SB = SD a) Chứng minh SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) b) Gọi I, K trung điểm cạnh AB, BC Chứng minh IK vng góc với mặt phẳng (SBD) IK  SD c) Gọi   mặt phẳng chứa IK song song với SO Hãy xác định thiết diện hình chóp cho cắt mặt phẳng   chứng minh    BD Bài 52 Cho tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối diện tứ diện vng góc với đơi  Bài 53 Cho góc xOy nằm   Trên đường thẳng Oz vng góc với mặt phẳng   O lấy điểm C Gọi A B hai điểm tia Ox Oy a) Chứng minh tứ diện OABC có ba cạnh đối diện vng góc với b) Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng (ABC) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC Bài 54 Cho mặt phẳng   tam giác AOB vng O có cạnh OA //   , cạnh OB khơng vng góc với   Gọi tam giác A’O’B’ hình chiếu vng góc tam giác AOB   Chứng minh tam giác A’O’B’ vuông O’ Bài 55 Hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác Gọi I trung điểm cạnh BC AH đường cao tam giác AID Chứng minh rằng: a) BC  AD b) AH  (BCD) Bài 56 Hình chóp tam giác S.ABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tam giác ABC có ba góc nhọn có H trực tâm Tam giác SBC có K trực tâm Chứng minh rằng: www.dayhoctoan.vn a) Ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy b) Cạnh SC vng góc với mặt phẳng (BHK) c) Đường thẳng HK vng góc với mặt phẳng (SBC) Bài 57 Cho tam giác ABC Gọi   mặt phẳng vng góc với đường thẳng CA A    mặt phẳng vng góc với đường thẳng CB B a) Chứng minh hai mặt phẳng     không trùng không song song với b) Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng      Chứng minh d  (ABC) Bài 58 Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) tứ giác ABCD hình thang vng A AB Gọi I trung D với AD  DC  điểm đoạn AB Chứng minh rằng: a) SB  CI ; SC  DI b) Các mặt bên hình chóp S.ABCD tam giác vuông Bài 59 Chứng minh tập hợp điểm cách ba đỉnh A, B, C tam giác ABC đường thẳng d vuông góc với (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài 60 Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vng góc với (ABC) SA = a Tam giác ABC có BC = 2a đường cao AD = a Gọi E F trung điểm cạnh SB SC a) Chứng minh EF  (SAD) b) Gọi H hình chiếu vng góc đỉnh A lên đường thẳng EF Chứng minh AH nằm mặt phẳng (SAD) tính độ dài đoạn AH c) Tính diện tích tam giác AEF theo a Bài 61 Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = AD BC = BD AB  CD Bài 62 Cho hình chóp S.ABC Gọi O hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) www.dayhoctoan.vn Bài tập Quan hệ vng góc không gian 11 Chứng minh rằng: SA  SB  SC  OA  OB  OC Bài 63 Cho tứ diện SABC có đáy tam giác ABC vng B SA vng góc với mặt phẳng (ABC) a) Chứng minh BC  (SAB) b) Kẻ đường cao AH tam giác SAB Chứng minh AH  (SBC) c) Kẻ đường cao AK tam giác SAC Chứng minh SC  (AHK) d) Đường thẳng HK cắt BC I Chứng minh IA  (SAC) Bài 64 Hai đoạn thẳng AB CD nằm chắn hai mặt phẳng song song (P) (Q) có độ dài AB =1, CD = Biết góc AB (P) gấp đơi góc CD (P) Tính số đo hai góc Bài 65 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA  (ABCD) Hãy xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) qua A, vng góc với SC Bài 66 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O Biết SA = SC SB = SD a) Chứng minh SO  (ABCD) b) Gọi I, J trung điểm AB, BC Chứng minh IJ  (SBD) Bài 67 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn (BCD) a) Chứng minh AO  (BCD) tính AO theo a b) Gọi I trung điểm AO Tính độ dài đoạn IB, IC, ID theo a Từ chứng minh chúng vng góc với đơi Bài 68 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Gọi I K trung điểm AB SC Chứng minh IS = IC = ID, từ chứng minh IK  (SDC) Bài 69 Cho hình chóp S ABCD có SA =  B  900 ; BSC   600 SB = SC = a, AS   1200 Gọi I trung điểm cạnh ASC AC Chứng minh SI vng góc với (ABC) Bài 70 Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đơi vng góc AB =a, BC = b, CD = c a) Tính độ dài AD www.dayhoctoan.vn b) Xác định điểm I biết I cách A, B, C, D Bài 71 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn b) Chứng minh hình chiếu H O lên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC c) Chứng minh 1 1    OH OA2 OB OC Bài 72 a) Cho tứ diện ABCD có AB  CD, AC  BD Chứng minh AD  BC (Tứ diện có cạnh đối vng góc với nhau, ta gọi tứ diện trực tâm) b) Chứng minh mệnh đề sau tương đương: (i) ABCD tứ diện trực tâm (ii) Chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với trực tâm mặt đối diện (iii) AB2  CD2  AC  BD2  AD2  BC c) Chứng minh đường cao tứ diện trực tâm đồng quy điểm (Điểm gọi trực tâm tứ diện nói trên) Bài 73 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA  (ABCD) Gọi M, N hình chiếu A lên SB SD Chứng minh MN // BD SC  (AMN) Gọi K giao điểm SC với (AMN) Chứng minh tứ giác AKMN có hai đường chéo vng góc với Nếu SA = AB = a, tính góc  SC mặt phẳng (ABCD); góc  BD (SBC) Bài 74 Cho tứ diện OABC có OA = OB =     Gọi H AOB  BOC  COA OC  hình chiếu O lên (ABC) Chứng minh OH tạo với mặt bên góc nhau,  Tính góc  theo  Bài 75 Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác ABC vuông B, SA  (ABC) Gọi (P) mặt phẳng qua điểm I thuộc cạnh AB vng góc với SB Hãy xác định thiết diện (P) cắt hình chóp Thiết diện hình gì? Thiết diện hình chữ nhật khơng? www.dayhoctoan.vn Bài tập Quan hệ vng góc khơng gian 11 Bài 76 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng cân, AB = AC = a, AA’= a Hai điểm I K trung điểm BC CC’; M N trung điểm AC BI Chứng minh B’C  (AIK) Xác định thiết diện (P) chứa MN  với (AIK) cắt hình lăng trụ Bài 77 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tâm O Chứng minh mặt phẳng (P) qua O, vng góc với đường chéo AC’ hình lập phương, cắt hình lập phương theo thiết diện lục giác Bài 78 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D, AB = 2a; AD = DC = a; SA vng góc với đáy, SA = a Gọi M trung điểm CD a) Chứng minh BC  (SAC) b) Tính diện tích thiết diện mặt phẳng (P) chứa SM vng góc với (SAC) cắt hình chóp Bài 79 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA = SB = SC = b Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh SG  (ABC) Tính SG b) Xét mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng SC Tìm hệ thức liên hệ a b để (P) cắt SC C1 nằm S C Khi tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABC cắt bới (P) Bài 80 Cho tứ diện ABCD Tìm điểm O cách bốn đỉnh tứ diện BÀI TẬP HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Bài 81 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a a) Chứng minh (SAC)  (SBD) b) Gọi M trung điểm cạnh SC Chứng minh (BMD)  (SAC) Bài 82 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có cạnh SA  (ABCD) www.dayhoctoan.vn a) Chứng minh mặt phẳng (SAB), (SAC), (SAD) vng góc với (ABCD) b) Chứng minh (SCD)  (SAD), (SBC)  (SAB) Bài 83 Cho hình chóp tứ giác có mặt bên tam giác có cạnh a a) Chứng minh (SAC)  (SBD) tính độ dài đường cao hình chóp b) Gọi M trung điểm cạnh SC, chứng minh (MBD)  (SAC) c) Hãy xét xem hai mặt phẳng (SBC) (SDC) có vng góc với khơng? Bài 84 Hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B có cạnh SA  (ABC) Gọi E trung điểm cạnh SC M điểm nằm cạnh AB a) Hãy xác định mặt phẳng   chứa đường thẳng EM vng góc với mặt phẳng (SAB) b) Mặt phẳng   cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện hình gì? Xét dạng thiết diện M trung điểm đoạn AB? Bài 85 Hình chóp S.ABCD có cạnh SA  (ABCD) Tứ giác ABCD hình thang vng A D, có AD = DC = a, AB = 2a a) Chứng minh (SAD)  (SDC) (SBC)  (SAC) b) Hãy xác định mặt phẳng   chứa SD  (SAC) Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng   hình gì? Bài 86 Hình chóp S.ABC có cạnh SB  (ABC), có AB  AC SB = AB = AC = a Gọi   mặt phẳng qua điểm A vuông góc với SC Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng   tính diện tích thiết diện Bài 87 Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc mặt phẳng   , hai đỉnh B C có hình chiếu vng góc   B’ C’ cho AB’C’ tam giác www.dayhoctoan.vn Bài tập Quan hệ vng góc khơng gian 11 a) Gọi I giao điểm BC B’C’ Chứng minh IA  AC b) Giả sử CC’ = AC’ = a BB’ = a/2 Hãy tính diện tích tam giác ABC tam giác AB’C’ suy giá trị góc  hai mặt phẳng   (ABC) Bài 88 Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD có cạnh SA  (ABCD) Gọi   mặt phẳng chứa cạnh AB vng góc với (SCD) Hãy xác định mặt phẳng   thiết diện cắt   hình chóp S.ABCD cho Bài 89 Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ =c a) Chứng minh tứ giác BDD’B’ hình chữ nhật b) Chứng minh đường chéo hình hộp chữ nhật www.dayhoctoan.vn (A’B’C’) trùng với trung điểm I cạnh B’C’ a) Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ   chứa cạnh AA’  (A’B’C’) hình lăng trụ b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ hình lăng trụ hình vng Bài 94 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A, B với AB = BC = a, AD = 2a, SA  (ABCD) SA = a Gọi I trung điểm SC a) Chứng minh AI  (SCD) b) Tính góc   hai mặt phẳng (ABCD) (SCD), góc  hai mặt phẳng (SAB) (SCD) Bài 95 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B BA = BC = a, SA  (ABC), SA = a Tính góc  hai mặt phẳng (SAC) (SBC) 2 Bài 96 Cho hình chóp S.ABCD có đáy a  b  c Từ tìm hình thoi tâm O Các tam giác SAC SBD cơng thức tính đường chéo hình cân S lập phương có cạnh a a) Chứng minh SO  (ABCD) Bài 90 Hình chóp S.ABCD có đáy hình b) Chứng minh (SAC)  (SBD) thoi ABCD cạnh a có ba cạnh bên SA = Bài 97 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam SB = SC = a Chứng minh: giác vuông cân B, SA  (ABC) a) (SBD)  (ABCD) a) Chứng minh (SBC)  (SAB) b) Tam giác SBD tam giác vuông b) Gọi M trung điểm AC Chứng S minh (SBM)  (SAC) Bài 91 Cho hình lập phương Bài 98 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh: hình vng cạnh a, SA  (ABCD) SA = a) (ACC’A’)  (BDA’) (ACC’A’) a Gọi   mặt phẳng chứa AB  (CB’D’) b) Đường chéo AC’ cắt vng góc  (SDC) với mặt phẳng (BDA’) trọng tâm a) Mặt phẳng   cắt hình chóp theo G tam giác BDA’ thiết diện hình gì? Bài 92 Cho hình lập phương b) Tính diện tích thiết diện ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Bài 99 Cho hình thoi ABCD có đỉnh A a) Xác định thiết diện cắt hình lập thuộc (P), đỉnh khác khơng thuộc (P) phương mặt phẳng trung trực Hình chiếu hình thoi lên (P) hình   đoạn AC’ vuông AB’C’D’ Cho BD = a, AC = a b) Tính diện tích thiết diện nói Tính diện tích hình thoi ABCD hình Bài 93 Cho hình lăng trụ tam giác vng AB’C’D’ Từ tính góc hai ABC.A’B’C’ có cạnh bên cạnh đáy mặt phẳng (ABCD) (P) a Các cạnh bên hình lăng trụ Bài 100 Cho hình chóp S.ABCD có đáy tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Hình chiếu hình vng cạnh a, SA  (ABCD) SA = vng góc đỉnh A lên mặt phẳng a Tính góc hai mặt phẳng: a) (SBC) (ABC) www.dayhoctoan.vn Bài tập Quan hệ vng góc khơng gian 11 www.dayhoctoan.vn b) (SBD) (ABD) M điểm di động cạnh SA Hãy xác Bài 101 Cho tam giác ABC cân, AB = AC định vị trí M SA cho (MBD)  (SAB) Chứng minh (MBD)  2a = a, BC = Gọi O trung điểm (SAD) Bài 108 Cho tam giác ABC cạnh a, I a trung điểm B, D điểm đối xứng với A BC Dựng SO  (ABC) SO = a qua I Dựng đoạn SD = SD  Tính độ dài cạnh SA, SB, SC tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) (ABC) Chứng minh: Bài 102 Cho hình chóp S.ABC có đáy (SBC)  (SAD) tam giác vng cân A, AB = AC = a, (SAB)  (SAC) hình chiếu S lên (ABC) trung điểm O Bài 109 Cho hình vng ABCD cạnh a a Trên hai tia Bx, Dy nằm phía BC SO = Tính góc hai mặt phẳng (ABCD)  (ABCD), mặt phẳng (SAB) (SAC) lấy hai điểm M, N cho BM.DN = a2/2 Bài 103 Cho hình chóp S.ABC Hình chiếu Chứng minh: H S lên (ABC) nằm tam giác (ACM)  (CAN); ABC Các mặt bên hợp với đáy góc (AMN)  (CMN)  Chứng minh: Bài 110 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a, SA  (ABCD) a) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC SA = a, E trung điểm SD Gọi   S ABC mặt phẳng chứa OE  (ABCD) b) S SAB  S SBC  S SCA  cos a) Xác định thiết diện   cắt hình Bài 104 Cho hình chóp S.ABC có đáy chóp tam giác ABC vuông B, SA  (ABC) b) Tính diện tích thiết diện theo a a) Chứng minh (SBC)  (SAB) Bài 111 Cho hình chóp S.ABC có đáy b) Gọi H K hình chiếu tam giác vng cân, AB = AC = a, SA vng góc A lên SB SC vng góc với (ABC) SA = a Gọi E Chứng minh (AHK)  (SAC) điểm cạnh SB ES = 2EB Gọi H c) Gọi I giao điểm HK hình chiếu A lên (SBC) (ABC) Chứng minh AI  AC a) Xác định vị trí điểm H tam Bài 105 Cho hình chóp S.ABC có đáy giác SBC tam giác vuông C, mặt bên SAC tam b) Gọi   mặt phẳng chứa AE giác nằm mặt phẳng vng góc vng góc với (SBC) Xác định với (ABC) a) Chứng minh (SBC)  (SAC) tính diện tích thiết diện   cắt b) Gọi I trung điểm SC Chứng hình chóp minh (ABI)  (SCB) Bài 112 Cho hình chóp S.ABCD, đáy Bài 106 Cho hình chóp S.ABC có đáy hình thang vng A D, AB = 2a, AD tam giác cạnh a, SA = SB = SC Gọi H = DC = a, SA vng góc với (ABCD) SA hình chiếu vng góc S lên (ABC) = a Đặt SH = h a) Chứng minh (SAD)  (SCD) a) Tính h theo a cho (SAB)  (SAC)  (SBC) (SAC) b) Gọi (P) mặt phẳng chứa AD b) Với giá trị h câu a), chứng vng góc với mặt phẳng (SAC) minh ba mặt bên hình chóp Tính diện tích thiết diện (P) cắt tam giác vuông hình chóp Bài 107 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O SO  (ABCD) Gọi www.dayhoctoan.vn Bài tập Quan hệ vng góc khơng gian 11 Bài 113 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B, AB = a, SA vng góc với đáy, SA = a Gọi E F trung điểm SB SC Điểm M di động cạnh AB Đặt AM = x   x  a  Gọi (P) mặt phẳng chứa FM vng góc với (SAB) Tính diện tích thiết diện (P) cắt hình chóp Bài 114 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B, AD = 2a, AB = BC = a Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với (ABCD), SA = a Gọi E trung điểm SD, điểm M thuộc cạnh AB với AM = x   x  a  Gọi (P) mặt phẳng chứa ME vng góc với (SAB) Tính diện tích thiết diện (P) cắt hình chóp Bài 115 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SH đường cao Chứng minh SA  BC SB  AC Bài 116 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Gọi O tâm hình vng đáy ABCD a) Tính SO b) Gọi M trung điểm SC Chứng minh (MBD)  (SAC) c) Tính độ dài đoạn OM tính góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD) Bài 117 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I, cạnh a có a  = 600 Cạnh SC = SC  (ABCD) a) Chứng minh (SBD)  (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA Hãy tính độ dài IK   900 từ c) Chứng minh BKD suy (SAB)  (SAD) Bài 118 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a SA = SB = SC = a Chứng minh: a) (ABCD)  (SBD) b) Tam giác SBD tam giác vuông Bài 119 Cho tam giác ABC cạnh a, I trung điểm BC, D điểm đối xứng www.dayhoctoan.vn A qua I Dựng đoạn SD  (ABC) cho a SD = Chứng minh: a) (SAB)  (SAC) b) (SBC)  (SAD) Bài 120 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD) Gọi M, N hai điểm hai cạnh BC, CD cho BM = a 3a ; DN  Chứng minh: (SAM)  (SMN) Bài 121 Trong (P), cho hình thoi ABCD với 2a Trên đường vng AB = a BD = góc với (P) giao điểm hai đường chéo hình thoi ta lấy điểm S SB = a a) Chứng minh tam giác ASC vuông b) Chứng (SAB)  (SAD) Bài 122 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O; AB = a; SO vng góc với (ABCD) SO = a/2; Gọi I, J trung điểm đoạn AD, BC Chứng minh rằng: a) (SAC)  (SBD); b) (SIJ)  (SBC) Bài 123 Cho tam giác ABD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC = AD = BC = BD = a CD = 2x Gọi I, J trung điểm AB CD a) Chứng minh IJ  AB IJ  CD b) Tính AB IJ theo a x c) Với giá trị a hai mặt phẳng (ABC) (ABD) vng góc với nhau? Bài 124 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a Gọi M, N, E trung điểm BC, CC’, C’A’ Dựng thiết diện (MNE) với lăng trụ Chứng minh (MNE)  (AA’B’B) Bài 125 Cho tam giác ABC vuông B Một đoạn thẳng AD  (ABC) a) Chứng minh (ABD)  (BCD) b) Từ A (ABD), ta vẽ AH  BD Chứng minh AH  (BCD) Bài 126 Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B AC = 2a, có cạnh SA  (ABC) SA = a www.dayhoctoan.vn Bài tập Quan hệ vng góc khơng gian 11 a) Chứng minh (SAB)  (SBC) b) Trong (SAB) , vẽ AH  SB H Chứng minh AH  (SBC) c) Tính độ dài đoạn AH d) Từ trung điểm O đoạn AC, vẽ OK  (SBC) cắt (SBC) K Tính độ dài đoạn OK Bài 127 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh SA  (ABCD) Giả sử   mặt phẳng qua A vng góc với cạnh SC,   cắt SC I a) Xác định giao điểm K SO với   b) Chứng minh (SBD) vng góc với (SAC) BD //   c) Xác định giao tuyến d (SBD)   Tìm thiết diện cắt hình chóp   BÀI TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH Bài 128 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c a) Tìm khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC b) Tìm khoảng cách từ B’ đến đường thẳng AC’ Bài 129 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh khoảng cách từ đỉnh B, C, D, A’, B’, D’ đến đường chéo AC’ Hãy tính a khoảng cách ĐS: Bài 130 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = 4a AB = BC = CA = 6a a) Tính khoảng cách từ S đến (ABC) b) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến đường thẳng chứa cạnh AB, BC, CA tam giác đáy ĐS: a) 2a; b) a www.dayhoctoan.vn Bài 131 Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a Cho cạnh bên SA = SB = SC = SD = a a) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến (ABCD) b) Tính khoảng cách từ A đến cạnh SC Bài 132 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Hãy xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo AB’ BC’ Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a ĐS: Bài 133 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm cạnh BC Hãy tìm khoảng cách đường thẳng chéo sau đây: a a) OA BC; ĐS: a b) AI OC ĐS: Bài 134 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, có cạnh SA  (ABCD) Tính khoảng cách cặp đường thẳng chéo sau đây: a) SB AD; b) BD SC Bài 135 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách hai cạnh đối tứ diện tính khoảng cách từ đỉnh D đến (ABC) Bài 136 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh bên cạnh đáy a Các cạnh bên hình lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 600 hình chiếu vng góc đỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm I cạnh B’C’ a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy hình lăng trụ b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ hình vng c) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AA’ B’C’ Bài 137 Hình chóp tam giác S.ABC, có đáy tam giác ABC cạnh 7a, có cạnh SC  (ABC) SC = 7a www.dayhoctoan.vn Bài tập Quan hệ vng góc khơng gian 11 a) Tính cosin góc hai đường thẳng SA BC b) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SA BC; Xác định đường vng góc chung hai đường thẳng Bài 138 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, cạnh SA  đáy SA = h Gọi O tâm hình vng ABCD Hãy tính khoảng cách: a) Từ điểm B đến (SCD); b) Từ điểm O đến (SCD) Bài 139 Cho hình vng ABCD cạnh a Dựng đoạn SA = a SA  (ABCD) Hãy xác định đường vng góc chung cặp đường thẳng sau tính khoảng cách cặp đường thẳng đó: a) SB CD; b) SB AD; c) AB SC Bài 140 Cho tam giác ABC cạnh 3a, điểm H thuộc cạnh AC với HC = a Vẽ đoạn SH  (ABC) SH = 2a a) Hãy nói cách dựng đoạn vng góc HK vẽ từ H đến (SAB) b) Tính khoảng cách từ H từ C đến (SAB) Bài 141 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng tâm O, cạnh a, SO  (ABCD) SO = a Tính khoảng cách SC AB www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn ...  Bài 33 Gọi u v hai vectơ phương hai đường thẳng a b không gian Chứng minh điều kiện cần     đủ để a  b : u  v  u  v Bài 34 Cho tứ diện ABCD có DA = DB CA = CB Chứng minh DC  AB Bài. . .Bài tập Quan hệ vng góc khơng gian 11  IJ b) Tính theo vectơ       a  AB; b  AC; c  AD Bài 18 Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác... SC AS SA  BC, SB  AC, SC  AB www.dayhoctoan.vn Bài tập Quan hệ vuông góc khơng gian 11 www.dayhoctoan.vn Bài 36 Cho hình tứ diện ABCD có AB = Bài 44 Cho tứ diện ABCD có AB  AC, AC = AD = a