http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan CỰC TRỊ HÀM BẬC BA Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Bài tốn tổng qt: Tìm m để hàm số y = f ( x; m) = ax + bx + cx + d có 2 cực trị ìïa y¢ = a ùợD y = b - 3ac > Tìm m để hàm số y = f ( x; m) = ax + bx + cx + d khụngcúcctr ộỡa y = a ờùớ êïD = b - 3ac £ Û ờợ y a=b=0 ởờ Bitoỏntngquỏt:Chohms y = f ( x; m) = ax + bx + cx + d Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp: — Bước 1. Tập xác định D = Tính đạo hàm: y¢ = 3ax + 2bx + c ỡùa y = a ùợD y = b - 3ac > Bc2.hmscú2cctr y = cú2nghimphõnbit vgiihnystỡmc m ẻ D1 — Bước 3. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình y¢ = Theo Viét, ta có: ì b ï S = x1 + x2 = ï a × í c ï ï P = x1 x2 = a ợ Bc4.Biniiukin K vdngtngSvtớchP.Túgiiratỡmc m ẻ D2 — Bước 5. Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m = D1 Ç D2 Lưu ý: — Hàm số bậc 3 khơng có cực trị Û y¢ = khơng có 2 nghiệm phân biệt ÛD y¢ £ | http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan — Trong trường hợp điều kiện K liên quan đến hình học phẳng, tức là cần xác định tọa độ 2 điểm cực trị A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của y¢ = Khi đó có 2 tình huống thường gặp sau: · Nếu giải được nghiệm của phương trình y¢ = 0, tức tìm được x1 , x2 cụ thể, khi đó ta sẽ thế vào hàm số đầu đề y = f ( x; m) để tìm tung độ y1 , y2 tương ứng của A và B. · Nếu tìm khơng được nghiệm y¢ = 0, khi đó gọi 2 nghiệm là x1 , x2 và tìm tung độ y1 , y2 bằng cách thế vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị. Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y¢) , nghĩa là: ìï y = h( x1 ) Phõntớch(bngcỏchchiaathc y cho yÂ) : y = yÂì q( x) + h( x) ị ì ùợ y2 = h( x2 ) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = h( x) Bài tốn. Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho AB // d hoặc AB ^ d ? Bc1.Tỡmiukinhmscúcci,cctiu ị m ẻ D1 Bc2.Vitphngtrỡnhngthngni2imcctrAB. ộAB // d k AB = kd ị m ẻ D2 × êëAB ^ d Û k AB kd = -1 ị m ẻ D2 Bc3. Bc4.Ktluncỏcgiỏtr m Ỵ D1 Ç D2 Bài tốn. Vị trí tương đối giữa 2 điểm cực trị với đường thẳng: Cho 2 điểm A( x A ; y A ), B ( xB ; yB ) và đường thẳng d : ax + by + c = Khi đó: · Nếu (ax A + by A + c) × (axB + byB + c) < thì A, B nằm về 2 phía so với đường thẳng d · Nếu (ax A + by A + c) × (axB + byB + c) > thì A, B nằm cùng phía so với đường d Trường hợp đặc biệt: · Để hàm số bậc ba y = f ( x) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung Oy Û phương trình y¢ = có 2 nghiệm trái dấu và ngược lại. · Để hàm số bậc ba y = f ( x) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục hồnh Ox Û đồ thị hàm số y = f ( x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt Û phương trình hồnh độ giao điểm f ( x) = có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm). Bài tốn . Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B đối xứng nhau qua đường d : — Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu Þ m Ỵ D1 — Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B Có 2 tình huống thường gặp: | http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan + Một là y¢ = có nghiệm đẹp x1 , x2 , tức có A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) + Hai là y¢ = khơng giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là D và lấy A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) Ỵ D ỉ x1 + x2 y1 + y2 ÷÷ là trung điểm của đoạn thẳng AB ; ø è ìï AB × u = ỡùD ^ d d ị m ẻ D2 Do A, B đối xứng qua d nên thỏa hệ í ïỵ I ẻ d ùợ I ẻ d Bc3.Gi I ç ç — Bước 4. Kết luận m = D1 Ç D2 Bài tốn . Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d : — Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu Þ m Ỵ D1 — Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B Có 2 tình huống thường gặp: + Một là y¢ = có nghiệm đẹp x1 , x2 , tức có A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) + Hai là y¢ = khơng giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là D và lấy A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) Ỵ D — Bước 3. Do A, B cách đều đường thẳng d nên d ( A; d ) = d ( B; d ) Þ m Ỵ D2 — Bước 4. Kết luận m = D1 Ç D2 Lưu ý: Để 2 điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I Û I là trung điểm AB Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d a ¹ ( ) Ta có y¢ = 3ax + 2bx + c Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y¢ = có hai nghiệm phân biệt Û b - 3ac > Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : ỉ 2c 2b ÷ x + d - bc . y = ỗỗ ữ 9a ố 9a ø Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : ỉ x b x=i ax + bx + cx + d - 3ax + 2bx + c ỗỗ + ữữ ắắắắắđ Ai + B Þ y = Ax + B è 9a ø ( Hoặc sử dụng cơng thức y - ) y¢ y¢¢ . 18a Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là: | http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 4e + 16e3 b - 3ac với e = a 9a AB = B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Hàm số bậc ba có thể có bao nhiêu cực trị ? A. hoặc hoặc B. hoặc C. hoặc hoặc D. 2. Câu Điểm cực đại của hàm số f ( x) = x3 - 3x + là: A. ( -1; 4) B. ( -1; 0) C. (1; 4) D. (1; 0) Câu Hàm số y = x3 + 3x - 36 x - 10 : A. Nhận điểm x = -3 làm điểm cực tiểu. B. Nhận điểm x = làm điểm cực đại. C. Nhận điểm x = -3 làm điểm cực đại. D. Nhận điểm x = -2 làm điểm cực tiểu. Câu Cho hàm số y = x3 - 3x - x + Nếu hàm số đại cực đại tại x1 và cực tiểu tại x2 thì tích y ( x1 ) y( x2 ) bằng: A. –302. B. –207. C. –82. D. –25. Câu Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx + 6mx + m có 2 cực trị: ém < êëm > A. ê ém £ êëm ³ B. ê C. < m < D. £ m £ Câu Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx - (m - 1) x - có cực đại, cực tiểu: ém < ê A. ê êm > ë B. < m £ C. £ m < D. < m < Câu Cho hàm số y = x3 + 3(m - 1) x + 6(m - 2) x - Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm trong khoảng ( -2;3) : | http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan A. m Ỵ (3; 4) B. m Ỵ ( -1;3) È (3; 4) C. m Ỵ ( -1; 4) D. m Î (1;3) Câu Tìm m để hàm số y = x3 - (m + 3) x + mx + m + đạt cực đại tại điểm x = Câu A. m = B. m = C. m = D. Không tồn tại m Đồ thị của hàm số y = x - 3x + ax + b nhận điểm M (2; -2) làm điểm cực tiểu. Tính tổng a + b A. a + b = B. a + b = -2 C. a + b = D. a + b = -3 Câu 10 Hàm số y = ax3 + bx + cx + d đại cực trị tại x1 , x2 nằm hai phía trục tung khi và chỉ khi: A a > 0, b < 0, c > B b - 12 ac ³ C. a và c trái dấu. D. b - 12 ac > Câu 11 Tìm m để hàm số y = x - mx + m3 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị này 2 đối xứng nhau qua đường thẳng y = x A. m = ± B. m = C. m = - D. m = Câu 12 Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 + 3(m - 3) x + 11 - 3m và điểm I (0; -1) thẳng hàng. A. Không tồn tại m B. m = Câu 13 Cho hàm số y = C. m = -3 D. m = x - m - x + (2m - 1) x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị ( ) cách đều trục tung. A. m = -1 B. m = ±1 C. m = D. m = Câu 14 Tìm m để một trong hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 - 3x + 4m thuộc trục hoành: ém = ëêm = A. ê B. m = C. m = D. Khơng tồn tại m Câu 15 Tìm m để hàm số y = x3 + (1 - 2m) x + (2 - m) x + có 2 cực trị và hồnh độ các điểm cực trị đều dương. | http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan A. < m < 2 B. £m -1 D. m < -1 | http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Câu 30 Cho hàm số y = x3 + 3x + mx + m - với m là tham số, có đồ thị là (Cm ) Xác định m để (Cm ) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hồnh ? A. m < B. m £ C. m < D. m £ C ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B A C B A A B D A C A A A A A A B A A D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 D A B A D D B B B C | ... Bước 2. Viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị AB. éAB // d k AB = kd ị m ẻ D2 ì êëAB ^ d Û k AB kd = -1 Þ m Ỵ D2 — Bước 3. Để ê Bước 4. Kết luận các giá trị m Ỵ D1 Ç D2 Bài tốn. Vị trí tương đối giữa 2 điểm cực trị với đường thẳng: ... là trung điểm AB Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d a ¹ ( ) Ta có y¢ = 3ax + 2bx + c Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y¢ = có hai nghiệm phân ... bằng cách thế vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị. Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y¢) , nghĩa là: