Bài 6cực trị bậc 3

CỰC TRỊ HÀM BẬC BA  Câu Hàm số bậc ba có thể có bao nhiêu cực trị ?  A.   hoặc   hoặc    B.   hoặc    C.   hoặc   hoặc    D. 2.    Câu Điểm cực đại của hàm số  f ( x) = x3 - x +  là:  A.  (-1; 4)   B.  (-1;0)   C.  (1; 4)   D.  (1; 0)   Hướng dẫn giải:   y ' = 3x - 3; y ' = Û x = ±1 x -Ơ y' + ị xCD = -1 Þ yCD =    –1  0    –  1  0    +  +¥   –  2  0    +  +¥     Câu Hàm số  y = x3 + x - 36 x - 10 :  A. Nhận điểm  x = -3  làm điểm cực tiểu.  B. Nhận điểm  x =  làm điểm cực đại.  C. Nhận điểm  x = -3  làm điểm cực đại.  D. Nhận điểm  x = -2  làm điểm cực tiểu.  Hướng dẫn giải:   éx =    y ' = x + x - 36; y ' = Û ê êëx = -3 x  -¥   y'    Þ xCT = 2, xCD = -3     +  –3   0      Câu Cho hàm số  y = x - x - x +  Nếu hàm số đại cực đại tại  x1  và cực tiểu tại  x2  thì tích  y ( x1 ) y ( x2 )  bằng:  A. –302.  B. –207.  C. –82.  D. –25.  Hướng dẫn giải:   éx = -1    y ' = x - x - 9; y ' = Û ê êëx = x  y'  -¥         y    +        –1  0  -Ơ ị y ( x1 ) y ( x2 ) = -23.9 = -207     –        3  0      –23  +¥   +          +¥       Câu Tìm  m  để hàm số  y = x3 - 3mx + 6mx + m  có 2 cực trị:  ém <   êm > ë A.  ê ém £   êm ³ ë B.  ê C.  < m <   D.  £ m £   Hướng dẫn giải:   y ' = x - 6mx + 6m    Hàm số có 2 cực trị Û y ' =  có 2 nghiệm phân biệt  ém > 2    Û D ' = (-3m) - 3.6m > Û ê êëm <   Câu Tìm  m  để hàm số  y = mx3 + 3mx - (m - 1) x -  có cực đại, cực tiểu:  ém < ê A.  ê   êm > ë B.  < m £   C.  £ m <   Hướng dẫn giải:   TH1:  m = Þ y = x - Þ  hàm số khơng có cực đại, cực tiểu.  D.  < m <   TH2:  m ¹ Þ y ' = 3mx + 6mx + - m    Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ' =  có 2 nghiệm phân biệt  Û D ' = (3m) é êm > - 3m (1 - m) > Û ê    êm < ë   Câu Cho hàm số  y = x3 + 3(m - 1) x + 6(m - 2) x -  Xác định  m  để hàm số có cực đại và cực  tiểu nằm trong khoảng  (-2;3) :  A.  m Ỵ (3; 4)   B.  m Ỵ (-1;3) È (3; 4)   C.  m Ỵ (-1; 4)   D.  m Ỵ (1;3)   Hướng dẫn giải:   y ' = x + (m - 1) x + (m - 2)    Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ' =  có 2 nghiệm phân biệt  2 Û D ' = éë3(m - 1)ùû - 6.6 (m - 2) = 9m - 54m + 81 = (m - 3) > Û m ¹   ïì x1 = - m   ï x2 = -1 ỵ Khi đó, hồnh độ điểm cực trị là:   í Điểm cực đại và cực tiểu nằm trong khoảng  -2;3 Û -2 < - m < Û -1 < m <    ( ) é-1 < m <     ëê3 < m < Vậy  ê   Câu Tìm  m  để hàm số  y = x - (m + 3) x + mx + m +  đạt cực đại tại điểm  x =   A.  m =   B.  m =   Hướng dẫn giải:   y ' = 3x - (m + 3) x + m    C.  m =   D. Không tồn tại  m   Hàm số đạt cực đại tại x =   Þ y ' = Þ 3.22 - m + + m = Þ m =   () ( ) Thử lại  m =  thì  x =  là điểm cực tiểu.  Vậy không tồn tại  m     Câu Đồ thị của  hàm số  y = x3 - x + ax + b  nhận điểm  M (2; -2)  làm điểm cực  tiểu. Tính  tổng  a + b   A.  a + b =   B.  a + b = -2    C.  a + b =   D.  a + b = -3   Hướng dẫn giải:   y ' = 3x - x + a    Đồ thị nhận  M 2; -2  làm điểm cực tiểu  ( ) ïì y ' (2) = ïì3.2 - 6.2 + a = ïìa = Ûí Ûí Û Û a + b =    í ïỵ y (2) = -2 ïỵ2 - 3.22 + 2a + b = -2 ïỵb =   Câu 10 Hàm số  y = ax3 + bx + cx + d  đại cực trị tại  x1 , x2  nằm hai phía trục tung khi và chỉ khi:  A a > 0, b < 0, c >   B b - 12ac ³   C. a và c trái dấu.  D.  b - 12ac >   Hướng dẫn giải:   y ' = 3ax + 2bx + c ỡ ùa ù ợD ' = b - 12ac > Hàm số có cực đại, cực tiểu  y ' =  có hai nghiệm phân biệt Û í Khi đó,  xCD , xCT  là nghiệm của  y ' =   Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của trục tung Û xCD xCT < Û Vậy  ac <  thì hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của trục tung     c < Û ac <   3a Câu 11 Tìm  m  để hàm số  y = x3 - mx + m3  có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị này đối  2 xứng nhau qua đường thẳng  y = x   A.  m = ±   B.  m =   D.  m =   C.  m = -   Hướng dẫn giải:   y ' = 3x - 3mx    Hàm số có cực đại, cực tiểu  y ' =  có 2 nghiệm phân biệt Û D = 3m ( ) > Û m ¹    ỉ m3 éx = ê y ' = 0Û Û A çç0; ÷÷ , B (m;0)  là hai điểm cực trị.  ëêx = m è ø A, B đối xứng qua Ox Û OA = OB Û ém = (L) m3   = m Û êê m = ± TM êë ( )   Câu 12 Tìm  m   để  các  điểm  cực  trị  của  đồ  thị  hàm  số  y = x3 + 3(m - 3) x + 11 - 3m   và  điểm  I (0; -1)  thẳng hàng.  A. Không tồn tại  m   B.  m =   C.  m = -3   D.  m =   Hướng dẫn giải:   y ' = x + (m - 3) x    ù Hàm số có cực đại, cực tiểu  y ' =  có 2 nghiệm phân biệt Û D ' = é ë3 m - û > Û m ¹    ( ) éx = y ' = 0Û ê Û A (0;11 - 3m) , B - m; m3 - 9m + 24m - 16  là hai điểm cực trị.  ê x = m ë ( ) A và I nằm trên Oy nên B cùng nằm trên Oy Û - m = Û m =  (không thỏa mãn)    Câu 13 Cho hàm số  y = x - m - x + (2m - 1) x +  Tìm  m  để hàm số có hai điểm cực trị  ( ) cách đều trục tung.  A.  m = -1   B.  m = ±1   C.  m =   D.  m =   Hướng dẫn giải:   ( y ' = x - m - x + (2m - 1)    ) Hàm số có cực đại, cực tiểu  y ' =  có 2 nghiệm phân biệt   ( Û D ' = m - - (2m - 1) >    ) Hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục tung   ém = 1(L) Û xCD = - xCT Û xCD + xCT = Û m - = Û ê    êm = -1 TM ) ( ë ( )   Câu 14 Tìm  m  để một trong hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  y = x3 - 3x + 4m  thuộc trục  hoành:  ém =   êëm = A.  ê B.  m =   C.  m =   D. Không tồn tại  m   Hướng dẫn giải:   éx =    y ' = 3x - x; y ' = Û ê êëx = Û A (0; 4m) , B (2; 4m - 4)  là hai điểm cực trị.  é4m = ém =    Ûê ëê4m - = ëêm = Một trong hai cực trị thuộc OxÛ ê   Câu 15 Tìm  m  để hàm số  y = x3 + (1 - 2m) x + (2 - m) x +  có 2 cực trị và hồnh độ các điểm cực  trị đều dương.  A.  < m < 2  B.  £m0 ìï x1 + x2 > ïï Ûí Û < m <    x1 , x2  dương Û í ï2 - m ỵï x1.x2 > >0 ï ỵ Vậy  < m <      ( ( ) ) Câu 16 Tìm  m  để tung độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số  y = m + x3 - m + x  đạt giá  trị lớn nhất.  A.  m =   B.  m =   C.  m = -2   D.  m = ±1   Hướng dẫn giải:   ( y ' = m + x - ; y ' = Û x = ±1    )( x  y'  ) -¥         y  -¥   (   +        –1  0        –          1  0      ( ) -2 m +   +      +¥       +¥   yCT = -2 m + £ -2 Þ max yCT = -2 Û m =    )   Câu 17 Cho hàm số  y = x - 3x + 3(1 - m) x + + 3m(Cm )  Tìm  m  để hàm số có cực đại, cực tiểu,  đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc O tạo thành tam giác có diện tích  bằng 4.  A.  m = ±1   B.  m =   C.  m = -1   D.  m = ±2   Hướng dẫn giải:   y ' = x - x + (1 - m)   Hàm số có cực đại, cực tiểu thì  y ' =  có 2 nghiệm phân biệt   Û D ' = 32 - 3.3 (1 - m) > Û m >    Gọi  A x1 , y1 , B x2 , y2  là hai điểm cực trị, với  x1 , x2 là hai nghiệm của  y ' =   ) ( ( ) ổx 1ử ố3 3ứ Cú y = ỗ ỗ - ÷÷ y '- 2mx + 2m + Þ y = -2mx + 2m +  là phương trình đường thẳng AB.   ( Có  AB = x2 - x1 , -2m x2 - x1 S= ( )) Þ AB = 1 AB.d(O , AB) = x2 - x1 2 4m + x2 - x1 2m + 4m + 4m + ,  d(O , AB) = 2m + 4m +    = Û m + x2 - x1 = é x + x - x x ù m + = 16 Û é22 - - m ù m + = 16 Û m m + =    ) ( )û ( ) ( ) 2ú ê ë ë( ) û( Û m3 + 2m + m - = Û m = 1(TM )   Câu 18 Tìm  m  để hàm số  y = x3 + 2(m - 1) x + (m - 1) x + m +  đạt cực trị tại 2 điểm  x1 , x2  sao  cho  ( x1 + x2 )(3 - x1 x2 ) =   ém =   êëm = -2 A.  ê ém =   ëêm = B.  ê ém = -4   ëêm = C.  ê Hướng dẫn giải:   y ' = 3x + (m - 1) x + (m - 1)   Hàm số có 2 cực trị thì  y ' =  có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x2    ù2 ÛD' = é ë2 (m - 1)û - 3(m - 1) > Û m ¹1    ém = -4   êëm = -2 D.  ê ém = 1(L) ö -4 (m - 1) ỉ m ( ) ÷ = Û êêm = (TM )   Có  ( x1 + x2 )(3 - x1 x2 ) = ỗ ç ê ç 3 ÷÷ø êm = -2 TM è ê ( ) ë   Câu 19 Tìm  m  để hàm số  y = x3 - (m + 2) x + (1 - m) x + 3m -  đạt cực trị tại 2 điểm  x1 , x2  sao  cho  x1 - x2 =   ém =   êëm = -8 ém = -1   ëêm = A.  ê C.  m =   B.  ê D.  m = -8   Hướng dẫn giải:   y ' = x - (m + 2) x + - m   Hàm số có 2 cực trị thì  y ' =  có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x2    é êm > -7 + ê 2    Û D ' = (m + 2) - (1 - m) > Û ê ê -7 - êm < êë Có  x1 - x2 = Û x1 - x2 ( ) = Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 =   ém = 1(TM ) æ (m + 2) ÷ - - m = ỗỗ ữ ờm = -8 TM 3 è ø ( ) ë   Câu 20 Cho hàm số  y = x3 + mx - 3x  Tìm  m  để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị  x1 , x2  thỏa  mãn  x1 = -4 x2  Chọn đáp án đúng nhất?  A.  m = ±   B.  m =   C m = ±     Hướng dẫn giải:   y ' = 12 x + 2mx -   Hàm số có 2 cực trị thì  y ' =  có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x2    D.  m = ±   Û D ' = m + 12.3 = m + 36 > 0, "m    ì ï x = -4 x ï ïï m Có  í x1 + x2 = - Û m = ±    ï ï ïx x = - ïỵ   ( Câu 21 Cho hàm số  y = x3 - 3mx + m - x - m3 + m  Tìm  m  để hàm số đã cho có hai diểm  ) cực trị. Gọi  x1 , x2  là hai điểm cực trị đó. Tìm  m  để  x12 + x22 - x1 x2 =   A.  m =   B.  m = ±   C.  m = ±   D.  m = ±2   Hướng dẫn giải:   ( y ' = 3x - 6mx + m -   ) Hàm số có 2 cực trị thì  y ' =  có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x2    ( ) Û D ' = (-3m) - 3.3 m - = > 0, "m    Có  x12 + x2 - x1 x2 = Û x1 + x2 ( ) ( ) - x1 x2 = Û (2m) - m - = Û m = ±2      Câu 22 Tìm  m  để hàm số  f ( x) = x3 - x + mx -  có hai điểm cực trị  x1 , x2  thỏa mãn  x12 + x22 =   A.  m =   B.  m =   C.  m = -2   Hướng dẫn giải:   y ' = 3x - x + m   Hàm số có 2 cực trị thì  y ' =  có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x2    Û D ' = 32 - 3m > Û m <    D.  m =   Có  x12 + x2 = Û x1 + x2 ( ) - x1 x2 = Û 22 - m = Û m = (TM )      x - (m - 1) x + 3(m - 2) x + , với  m  là tham số thực. Xác định  m  để  3 hàm số đã cho đạt cực trị tại  x1 , x2  sao cho  x1 + x2 =   Câu 23 Cho hàm số  y = A.  m = -19 ± 73   B.  m = 19 ± 73   16 C.  -19 ± 73    16 D.  m = 19 ± 73   Hướng dẫn giải:   y ' = x - (m - 1) x + (m - 2)   Hàm số có 2 cực trị thì  y ' =  có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x2    Û D ' = (m - 1) - 3(m - 2) = m - 5m + > 0, "m    ìï x1 + x2 = (m - 1) + x2 = ìï x2 = - 2m 19 ± 73 Ûí Ûm =    16 ïỵ x2 (1 - x2 ) = 3(m - 2) ïỵ(3 - 2m)(4m - 5) = 3(m - 2) Có  í   ( ) Câu 24 Cho hàm số  y = x3 + 2(m - 1) x + m - 2m + x + m +  Tìm  m  để đồ thị hàm số đạt  cực trị tại  x1 , x2  sao cho  A.  m = 4; m = -2   1 + = ( x1 + x2 )   x1 x2 B.  m = 5; m = -2   C.  m = 4; m = -3   Hướng dẫn giải:   y ' = 3x + (m - 1) x + m - 2m +   Hàm số có 2 cực trị thì  y ' =  có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x2    2 Û D ' = éë2 (m - 1)ùû - m - 2m + = (m - 1) > Û m ¹1    ( ) D.  m = 5; m = -3   æ x +x x +x 1 1ö + = ( x1 + x2 ) Û = ( x1 + x2 ) ỗ - ữữ = ỗ x1 x2 x1 x2 è x1 x2 ø é -4 m - 1) ém = 1(L)   êx1 + x2 = ( =0 ê ê Ûê Û êêm = -2 (TM ) ê m - 2m + ê =3 êx1 x2 = êëm = (TM ) ë   Câu 25 Cho hàm số  y = x3 - 3(2a + 1) x + 6a (a + 1) x +  Nếu gọi  x1 , x2  lần lượt là hồnh độ  các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì giá trị  x2 - x1  bằng:  A.  a +1   C.  a -   B.  a   D. 1.  Hướng dẫn giải:   éx1 = a   ëêx2 = a + Ta có:  y ' = x - 2a + x + 6a a + ; y ' = Û ê ) ( ) ( Vậy  x2 - x1 = a + - a =   ( )   Câu 26 Đồ thị hàm số  y = - x3 + 3mx - 3m -  có hai điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau  qua đường thẳng  d : x + y - 74 =  thì tập tất cả các giá trị của  m :  A.  m =   B.  m = -2   C.  m = -1   D.  m =   Hướng dẫn giải:   éx =   êëx = 2m Ta có  y ' = -3 x + 6mx = -3 x x - 2m ; y ' = Û ê ) ( Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị Û m ¹   ( Khi đó gọi  A 0; -3m -  và  B 2m; 4m3 - 3m -  là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.  ( ) ) ( Do đó trung điểm của  AB  là điểm  I m; 2m3 - 3m - Ỵ d     ( ( ) Suy ra :  AB = 2m; 4m3 = 2m 1; m   ) )  Và véc‐tơ chỉ phương của đường thẳng  d  là :  u = 8; -1    ) ( Vì A và B đối xứng với nhau qua  d  :   ìm + 2m3 - 3m - - 74 = ìï I Ỵ d ï Ûí Û m =    í   ïỵ AB.u = ï ỵ8 - 2m = ( ( ) Nên  m + 2m3 - 3m - - 74 = Û m =   )   Câu 27 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  y = x - x - x + m  có phương  trình:  A.  y = -8 x + m   B.  y = -8 x + m -   C.  y = -8 x + m +   D.  y = -8 x - m +    Hướng dẫn giải:   éx = -1 Þ y = + m   ëêx = Þ y = -27 + m Ta có  y ' = x - x - 9; y ' = Û ê Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là  A -1;5 + m  và  B 3; -27 + m   ( ) ) ( Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm  A, B  có phương trình  y = -8 x + m -     Câu 28 Giá trị của  m  để khoảng cách từ điểm  M (0;3)  đến đường thẳng đi qua hai điểm cực  trị của đồ thị hàm số  y = x + 3mx +  bằng  ém =    êëm = -1 A.  ê B.  m = -1     là:  ém = -1    ëêm = C.  ê D. Không tồn tại  m   Hướng dẫn giải:   Ta có  y ' = x + 3m; y ' = Û x = - m   Để hàm số có hai điểm cực trị Û y ' =  có hai nghiệm phân biệt Û m <   *    () Thực hiện phép chia  y  cho  y '  ta được phần dư  2mx + , nên đường thẳng  D : y = 2mx +  chính  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.   u cầu bài tốn  d M , D = [ ] 2 4m + = Û m = 1Û m = ±1   Đối chiếu điều kiện  * , ta chọn  m = -1   ()   Câu 29 Để  hàm  số  y = x3 + x + 3(m + 2) x - m -   có  cực  đại,  cực  tiểu  tại  x1 , x2   sao  cho  x1 < -1 < x2  thì giá trị của  m  là:  A.  m > 1.   B.  m <    C.  m > -1    D.  m < -1   Hướng dẫn giải:   éx + x + m + ù   Ta có:  y ' = x + 12 x + m + = ë û ( ) ) ( u cầu bài tốn Û y ' =  có hai nghiệm phân biệt  x1 , x2  thỏa mãn   x1 < -1 < x2 Û y ' (-1) < Û m <     Câu 30 Cho hàm số  y = x + 3x + mx + m -  với  m  là tham số, có đồ thị là  (Cm )  Xác định  m   ( ) để  Cm  có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hồnh ?  A.  m <    B.  m £    C.  m <    D.  m £   Hướng dẫn giải:   Đạo hàm  y ' = x + x + m  . Với  ' y ' = - 3m    Đồ thì hàm số có cực đại và cực tiểu khi:  ' y ' > Û m <   ỉ1 1ư 3ø ỉ 2m ỉ 2m - ữữ x + ỗ - ữữ ỗ ố ứ ố ứ Tacú y = ỗ ỗ x + ữữ y '+ ç ç è3 Do cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua điểm  I -1;0  nên  "m <  thì hai điểm cực trị nằm về  ( hai phía trục hồnh.  ) ... cực  trị của  đồ  thị  hàm  số  y = x3 + 3( m - 3) x + 11 - 3m   và  điểm  I (0; -1)  thẳng hàng.  A. Không tồn tại  m   B.  m =   C.  m = -3   D.  m =   Hướng dẫn giải:   y ' = x + (m - 3) x... êëx = 2m Ta có  y ' = -3 x + 6mx = -3 x x - 2m ; y ' = Û ê ) ( Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị Û m ¹   ( Khi đó gọi  A 0; -3m -  và  B 2m; 4m3 - 3m -  là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. ...  để  3 hàm số đã cho đạt cực trị tại  x1 , x2  sao cho  x1 + x2 =   Câu 23 Cho hàm số  y = A.  m = -19 ± 73   B.  m = 19 ± 73   16 C.  -19 ± 73    16 D.  m = 19 ± 73   Hướng dẫn giải:   y ' =