MỘT số QUAN điểm vận DỤNG TOÁN CAO cấ1

Vì vậy, phải trình bày các kiến thức Toán học như thế nào để vừa đảm bảo tính chính xác lại phù hợp với đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học là vấn đề được nhiều nhà nghiên cứu về To

MỘT SỐ QUAN ĐIỂM VẬN DỤNG TOÁN CAO CẤP VÀO ĐỊNH HƯỚNG DẠY HỌC TOÁN Ở TIỂU HỌC

I PHẦN MỞ ĐẦU:

1 Lý do chọn đề tài:

Ở Tiểu học, nội dung kiến thức môn Toán là những kiến thức mở đầu của Toán học Tuy sơ giản nhưng lại là các kiến thức cơ bản và nền tảng cho quá trình học tập tiếp tục sau này đối với mỗi học sinh Vì vậy, phải trình bày các kiến thức Toán học như thế nào để vừa đảm bảo tính chính xác lại phù hợp với đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học là vấn đề được nhiều nhà nghiên cứu về Toán học và giáo dục bậc Tiểu học quan tâm Một trong những quan điểm cơ bản khi xây dựng chương trình và biên soạn SGK Toán tiểu học

là trình bày các kiến thức toán học dưới ánh sáng của tư tưởng toán học cao cấp hiện đại Những kiến thức cơ bản về tập hợp, quan hệ, ánh xạ, lý thuyết tổ hợp, các quy tắc suy luận, khái niệm phép toán, tính chất và phần tử đặc biệt của phép toán , một số CTĐS, cấu trúc thứ tự thường gặp là cơ sở toán học cho các nội dung, các hoạt động dạy học Toán ở trường tiểu học.Vì vậy, nắm vững các kiến thức toán học cao cấp để vận dụng các kiến thức đó vào quá trình dạy học là một trong những yêu cầu nhằm nâng cao năng lực dạy học Toán của người giáo viên tiểu học Tuy nhiên hiện nay vẫn chưa có một giáo trình chính thức nào dành cho sinh viên ngành GDTH nói rõ về vấn đề này Trong các chương trình bồi dưỡng giáo viên Tiểu học, người ta cũng ít đề cập đến nội dung này Sách giáo viên thì chưa trình bày một cách rõ ràng, tường minh các ý tưởng đó Trong khi đó trình độ của giáo viên về Toán học cao cấp còn hạn chế, ít có giáo viên nắm được những tư tưởng của toán học cao cấp ẩn tàng bên dưới cách trình bày, sắp xếp, minh họa các nội dung toán Tiểu học Phần lớn chỉ giảng dạy theo “kinh nghiệm”, hoặc theo sự “chỉ dẫn” chứ không

hiểu rõ bản chất của vấn đề: “Chỉ thấy cây mà không thấy rừng”, vì thế mà không tạo được một nền tảng vững chắc để học sinh tiểu học có thể tiếp tục học tiếp môn Toán ở những bậc học cao hơn

Là một giáo viên tiểu học cần phải nắm vững được các quan điểm vận dụng Toán cao cấp vào dạy học Toán ở Tiểu học cũng như việc sử dụng các kiến thức của LTTH và LG, CTĐS để phân tích chương trình, nội dung SGK Tiểu học thì mới có thể đạt hiệu quả tối ưu trong dạy học Toán

Chính vì những lý do trên, em chọn đề tài này làm bài thu hoạch kết thúc

môn học: Những cơ sở trong cấu trúc nội dung Toán ở Tiểu học.

2 Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu “một số quan điểm về việc vận dụng toán cao cấp vào định

hướng dạy học Toán ở Tiểu học” là để giúp giáo viên tiểu học có một các nhìn

tổng quát, bản chất nội dung chương trình, các vấn đề, các bài toán giảng dạy

ở Tiểu học, ứng dụng vào việc dạy học nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

ở nhà trường Tiểu học

3 Đối tượng nghiên cứu:

Các quan điểm về việc vận dụng toán cao cấp vào định hướng dạy học Toán

ở Tiểu học

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu các khái niệm, tính chất, tiên đề của Toán học cao cấp: LTTH,

LG toán, CTĐS,

- Nghiên cứu nội dung, chương trình, cách trình bày nội dung môn toán của SGK Toán tiểu học

- Nghiên cứu những mối liên hệ, quan hệ, những cơ sở của Toán học cao cấp

ẩn chứa trong Toán Tiểu học Từ đó chỉ ra một số quan điểm về việc vận dụng toán cao cấp vào định hướng dạy học Toán ở Tiểu học

5 Phạm vi nghiên cứu:

Nội dung Toán cao cấp ẩn tàng trong chương trình toán Tiểu học.

Đề tài tập trung tìm hiểu những quan điểm vận dụng toán cao cấp vào định hướng dạy học Toán ở Tiểu học

II PHẦN NỘI DUNG:

1.Lịch sử nghiên cứu vấn đề:

Từ trước đến nay đã có nhiều nhà nghiên cứu tìm hiểu về toán học cao cấp Còn việc vận dụng Toán cao cấp vào định hướng dạy học Toán ở Tiểu học thì vẫn còn ít nhà khoa học giáo dục quan tâm Năm 2005, TS Nguyễn Thị Châu

Giang đã bảo vệ thành công luận án Tiến Sĩ với đề tài: “Tăng cường mối liên

hệ sư phạm giữa nội dung dạy học LTTH và LG, CTĐS với nội dung dạy học

SH trong môn Toán cao cấp TH cho SV khoa GDTH các trường đại học”.

Đề tài đã hướng tới việc trang bị cho sinh viên ĐHTH có những kiến thức, kĩ năng cơ bản cần thiết để dạy tốt môn Toán ở Tiếu học trên tinh thần của LTTH

và LG, CTĐS Tuy vậy đề tài vẫn chưa đi vào cụ thể các quan điểm vận dụng Toán cao cấp vào định hướng dạy học Toán ở Tiểu học

1.1.Nội dung dạy học Toán cao cấp:

- Lý thuyết tập hợp:

Những vấn đề cơ bản về: tập hợp ( khái niệm tập hợp, tập rỗng, tập đơn tử, tập hợp con và quan hệ bao hàm, hai tập hợp bằng nhau, các phép toán trên tập hợp), quan hệ (quan hệ hai ngôi, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự), ánh xạ ( định nghĩa ánh xạ, đơn ánh, song ánh, toàn ánh, ), giải tích tổ hợp (chỉnh hợp lặp, chỉnh hợp không lặp, tổ hợp )

- Cấu trúc đại số:

Những vấn đề cơ bản về: phép toán hai ngôi, những tính chất thường gặp của phép toán, những phần tử đặc biệt của phép toán,

- Hình học cao cấp:

Những vấn đề cơ bản về: Phương pháp tiên đề ( 5 nhóm tiên đề của hệ tiên

đề Hinbe của hình học Ơcơlit)

1.2 Nội dung dạy học môn Toán ở nhà trường Tiểu học:

 Lớp 1:

- Số học:

Đếm, đọc, viết, so sánh, cộng, trừ (không nhớ) các số trong phạm vi 100 Tính giá trị biểu thức có đến hai dấu phép tính: cộng, trừ

- Đại lượng và đo đại lượng:

Sử dụng các đơn vị đo cm, ngày, tuần lễ, giờ trong tính toán và đo lường

- Yếu tố hình học:

Nhận biết một số hình đơn giản (điểm, đoạn thẳng, hình vuông, hình tam giác, hình tròn)

- Giải toán có lời văn:

Giải toán có một phép tính cộng hoặc trừ

 Lớp 2:

- Số học:

Đếm, đọc, viết, so sánh, cộng, trừ các số trong phạm vi 1000; nhân, chia dạng đơn giản Giới thiệu về , , , ; số 1 và số 0 trong phép nhân và phép chia

Tính giá trị của biểu thức số có đến hai dấu phép tính (cộng, trừ, nhân, chia)

- Đại lượng và đo đại lượng:

Sử dụng các đơn vị đo đã học và các đơn vị: dm, m, mm, lít, kg, tiền Việt Nam trong tính toán và đo lường

- Yếu tố hình học:

Giới thiệu một số hình đơn giản: đường thẳng, đường gấp khúc, hình chữ nhật, hình tứ giác Vẽ đoạn thẳng, tính chu vi của hình tam giác, hình tứ giác

- Giải toán có lời văn:

Giải các bài toán có một phép tính cộng, trừ, nhân, chia

 Lớp 3:

- Số học:

Đọc, viết, so sánh, thực hành tính cộng, trừ, nhân, chia các số trong phạm vi

100000 Giới thiệu về: , , , Giới thiệu phép chia hết và phép chia có dư Làm quen với biểu thức và giá trị biểu thức Thực hành tính giá trị các biểu thức số

có đến hai dấu phép tính, có hoặc không có dấu ngoặc

- Đại lượng và đo đại lượng:

Sử dụng các đơn vị đã học và các đơn vị: g, cm, phút, tháng, năm, tiền Việt Nam trong tính toán và đo lường

- Yếu tố hình học:

Giới thiệu một số yếu tố của hình: góc, đỉnh, cạnh, của một số hình đã học; tâm, bán kính, đường kính, của hình tròn Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật, hình vuông

- Giải toán có lời văn:

Giải bài toán có đến hai bước tính

 Lớp 4:

- Số học:

* Số tự nhiên Các phép tính về số tự nhiên:

+ Đọc, viết, so sánh các số đến lớp triệu

+ Cộng trừ số có đến 6 chữ số, có nhớ không quá 3 lượt

+ Nhân các số có nhiều chữ số với số có không quá 3 chữ số, tích có không quá 6 chữ số

+Chia các số có nhiều chữ số cho số có không quá 3 chữ số, thương có không quá 6 chữ số

+ Dấu hiệu chia hết

+ Tính giá trị biểu thức số có đến 3 dấu phép tính

* Phân số, các phép tính về phân số

* Tỉ số

- Đại lượng và đo đại lượng:

+ Đơn vị đo khối lượng: tạ, tấn,dag, hg Bảng đơn vị đo khối lượng

+ Hệ thống hóa các đơn vị đo thời gian

- Yếu tố hình học:

+ Góc nhọn, tù, bẹt Giới thiệu 2 đường thẳng cắt nhau, 2 đường thẳng vuông góc, song song, hình bình hành, hình thoi

+ Tính diện tích hình bình hành, hình thoi

+Thực hành vẽ hình bằng thước thẳng, e ke; cắt ghép, gấp hình

- Giải toán có lời văn: Giải bài toán có đến 3 bước tính

 Lớp 5:

- Số học:

+ Bổ sung về số thập phân, hỗn số Một số dạng bài toán về “quan hệ tỉ lệ.” + Số thập phân, các phép tính về số thập phân

+ Tỉ số phần trăm

+ Một số yếu tố thống kê

- Đại lượng và đo đại lượng:

+ Cộng trừ, nhân chia số đo thời gian

+ Quan hệ giữa vận tốc, thời gian và quãng đường

+ Đơn vị đo diện tích

+ Đơn vị đo thể tích

- Yếu tố hình học:

+ Giới thiệu HHCN, HLP, hình trụ, hình cầu

+Tính diện tích hình tam giác và hình thang Tính chu vi và diện tích hình tròn.Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích HHCN, HLP

- Giải toán có lời văn:

Giải bài toán có đến 4 bước tính

1.3 Mối liên hệ giữa nội dung dạy học Toán cao cấp và nội dung dạy học Toán ở trường Tiểu học :

Nội dung môn Toán ở Tiểu học được trình bày dưới ánh sáng các tư tưởng của toán học cao cấp, toán học hiện đại nên hầu hết các nội dung toán Tiểu học đều có mối liên hệ với nội dung dạy học LTTH và LG, CTĐS, HHCC Điều đó được thể hiện ở một số nội dung cụ thể như sau:

 Tập hợp: Việc hình thành các khái niệm toán học ở Tiểu học như: số tự nhiên, phép toán, các hình học đều xuất phát từ các tập hợp tuy chưa dùng thuật ngữ LTTH Chẳng hạn:

Khái niệm số tự nhiên được coi là tính chất đặc trưng của lớp các tập hợp tương đương:

SGK Toán 1 đã có bước mô hình hóa các phần tử của tập hợp trong lớp bằng các chấm tròn hay một dấu hiệu đặc trưng nào đó Chẳng hạn:

Lớp thứ nhất( gồm các tập hợp đều có số lượng là một):

Lớp thứ hai( gồm các tập hợp đều có số lượng là hai):

Lớp thứ ba ( gồm các tập hợp đều có số lượng là ba):

Lớp thứ nhất gồm các tập hợp có số lượng nhau và đều bằng một Viết số 1 để chỉ

số lượng của lớp thứ nhất 1 là một số tự nhiên

Lớp thứ hai gồm các tập hợp có số lượng nhau và đều bằng hai Viết số 2 để chỉ

số lượng của lớp thứ hai 2 là một số tự nhiên

••

•

•

•

•

 Phép hợp:

SGK Toán 1 giới thiệu việc hình thành các số tự nhiên từ 6 đến 10 dựa trên cơ sở phép hợp của một tập hợp với một tập đơn tử Còn phép cộng hai số tự nhiên được xem như là phép hợp của hai tập hợp không có phần

tử chung

 Quan hệ tương đương:

SGK Toán 4 giới thiệu khái niệm phân số bằng nhau: có vô số phân số cùng bằng một phân số cho trước Như vậy là ngầm giới thiệu cho HS quan hệ “bằng nhau” giữa các phân số là một quan hệ tương đương

 Ánh xạ:

Phép đếm được dạy cho HS tiểu học là sự thiết lập tương ứng 1-1 mỗi phần tử của tập hợp với các phần tử liên kết trong dãy số (bắt đầu từ 1)

 Suy luận diễn dịch: Là suy luận theo những quy tắc suy luận tổng quát, xác định rằng nếu các tiền đề là đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng

GV Tiểu học thường ngầm sử dụng phép suy diễn để hướng dẫn HS vận dụng các quy tắc đã biết vào việc giải bài tập Chẳng hạn: Chứng tỏ số

2465 chia hết cho 5, ta có thể suy luận như sau:

- Đã biết quy tắc: “Số có chữ số tận cùng bằng 0 hoặ 5 thì chia hết cho 5”

- Số 2465 có chữ số tận cùng bằng 5

- Vậy số 2465 chia hết cho 5

Phép suy diễn còn được vận dụng để dạy kiến thức mới: Dùng kiến thức

đã có để suy ra kiến thức mới

 Phép toán hai ngôi:

Qua việc dạy phép cộng và phép nhân ở Tiểu học, ngầm hình thành cho

HS hiểu: “ Với hai số tự nhiên bất kì thì tổng (tích) của chúng cũng là một

số tự nhiên”; “ Với hai số thập phân bất kì thì tổng (tích) của chúng cũng

là một số thập phân”

 Phép toán một ngôi:

- Quy tắc cho tương ứng mỗi số tự nhiên n với số tự nhiên liền sau nó là phép toán một ngôi trong tập số tự nhiên N

- Bảng cộng với số k N là phép toán một ngôi trong N( với mỗi số tự nhiên n ta cho ứng với số n+k)

- Mỗi bảng nhân với số tự nhiên k cũng là phép toán một ngôi trong N

- Bảng trừ các số đến 9 là phép toán một ngôi trong tập: X = {0,1,2, ,9} ( Mỗi số n X cho ứng với số 9-n X)

 Phần tử đơn vị của phép toán:

SGK Toán 1 ngầm hình thành khái niệm phần tử đơn vị của phép cộng trong bài “Số 0 trong phép cộng” thông qua kết luận: “Một số cộng với 0 bằng chính số đó” và “Số 0 cộng với số nào cũng bằng chính số đó”

SGK Toán 2 cũng ngầm hình thành khái niệm phần tử đơn vị của phép nhân trong bài “Số 1 trong phép nhân và phép chia” thông qua kết luận:

“Số nào nhân với 1cũng bằng chính số đó” và “Số 1 nhân với số nào cũng bằng chính số đó”

 Khái niệm nửa nhóm, vị nhóm, nhóm:

SGK Toán 4 đã trình bày các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng (nhân) các số tự nhiên SGK Toán 2 ngầm giới thiệu 0 là phần tử đơn vị của phép cộng và 1 là phần tử đơn vị của phép nhân Như vậy, SGK đã ngầm giới thiệu tập số tự nhiên cùng với phép cộng ( nhân) lập thành cấu trúc vị nhóm giao hoán

SGK Toán 5 đã trình bày các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các số thập phân, 0 là phần tử đơn vị của phép cộng.Như vậy, SGK đã

ngầm giới thiệu tập số thập phân cùng với phép cộng lập thành cấu trúc vị nhóm giao hoán

SGK Toán 5 đã trình bày các tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân các số thập phân, 1 là phần tử đơn vị của phép nhân Như vậy, SGK đã ngầm giới thiệu tập số thập phân cùng với phép nhân lập thành cấu trúc vị nhóm giao hoán

2 Một số quan điểm vận dụng Toán cao cấp vào định hướng dạy học Toán ở Tiểu học:

2.1.Dạy học môn Toán ở nhà trường Tiểu học phải dựa trên quan điểm của

lý thuyết tập hợp và cấu trúc sắp thứ tự:

Chúng ta không dạy toán học cao cấp cho trẻ em, nội dung môn Toán chỉ bao gồm các kiến thức toán học truyền thống mà thôi Những tư tưởng Toán

học hiện đại thường chỉ ẩn tàng bên dưới cách trình bày, cách sắp xếp, cách minh họa, chứ không xuất đầu lộ diện một cách tường minh Là một giáo

viên tiểu học, chúng ta phải thấy được những ý tưởng đó của toán học cao cấp

để lựa chọn phương pháp dạy học, khai thác được hết các ý tưởng của SGK, làm cho các tiết dạy đạt mục tiêu tối ưu nhất Quan điểm này thể hiện ở một số nội dung sau:

- Giới thiệu số tự nhiên theo quan điểm tập hợp, giới thiệu các phép tính dựa trên các hình ảnh minh họa các phép toán theo lý thuyết tập hợp

- Làm nổi bật tính chất của các phép tính và quan hệ giữa các phép tính; làm

rõ vai trò của số 0 và số 1 trong phép cộng và phép nhân

- Coi trong quan hệ thứ tự

Chẳng hạn:

 Hợp và giao của các tập hợp, sự thể hiện trong dạy học phép cộng các số tự nhiên ở Tiểu học:

a Hình thành khái niệm ban đầu về phép cộng:

Phép cộng hai số tự nhiên được hiểu như là phép hợp của hai tập hợp không có phần tử chung

HS thực hiện “gộp” hai nhóm đồ vật rồi đếm tất cả số đồ vật trong hai nhóm Chẳng hạn gộp hai chấm tròn với 3 chấm tròn để được 5 chấm tròn Ghi lại hoạt động này bằng phép cộng: 2 + 3 = 5

b Tính chất giao hoán của phép cộng:

Tính chất giáo hoán của phép cộng các số tự nhiên có nguồn gốc toán học là tính chất giao hoán của phép hợp các tập hợp:

Giả sử A và B là hai tập hợp không có phần tử chung Bản số của chúng lần lượt

là a và b Ta có A B = B A Do bản số của A B là a+b và bản số của B A là b+a, nên ta có đẳng thức trên các số tự nhiên: a + b = b + a

c Tính chất kết hợp của phép cộng:

Tính chất kết hợp của phép cộng ở Tiểu học cũng dựa trên phép hợp của các tập hợp:

Giả sử ba tập hợp A, B, C không có phần tử chung Bản số của ba tập hợp A,B,C lần lượt là a,b,c Ta có: (A B) C = A (B C) Do bản số của (A B) C = (a+b) + c

và bản số của A (B C) = a + ( b + c) nên ta có đẳng thức trên các số tự nhiên: (a+b) + c = a + ( b + c)

d Phần tử 0 trong phép cộng: