I. LÝ THUYẾT BỔ TRỢ Phương pháp và bài tập được tổng hợp từ nhiều nguồn của các thầy cô trên mọi miền tổ quốc nên xin được không ghi nguồn, là tài liệu chung cho cộng đồng Điểm biểu diễn số phức có dạng => Là đường thẳng. => Là đường tròn. => Có thể là elip, parabol, hypebol, đường thẳng… Bất đẳng thức tam giác • dấu = khi với k ≥ 0. Dùng cho BĐT Mincopxki: • dấu = khi với k ≤ 0. Dùng cho BĐT vecto • dấu = khi với k ≤ 0. • dấu = khi với k ≥ 0. Bất đẳng thức khác BĐT Cauchy: tìm min BĐT Bunhia Copski: tìm max BĐT Mincopxki: tìm min.Dấu = xảy ra khi BĐT vecto tìm min. Dấu = xảy ra khi
Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh TRỌN BỘ PHƯƠNG PHÁP MAX MIN SỐ PHỨC Tổng hợp biên soạn: Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Ninh Giang, Hải Dương FB: https://www.facebook.com/tranhoaithanhvicko CASIO TRẮC NGHIỆM https://tinyurl.com/casiotracnghiem HỌC CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem Group: THỦ THUẬT CASIO THPT https://fb.com/groups/casiotracnghiem I LÝ THUYẾT BỔ TRỢ Phương pháp tập tổng hợp từ nhiều nguồn thầy cô miền tổ quốc nên xin không ghi nguồn, tài liệu chung cho cộng đồng ! Điểm biểu diễn số phức có dạng z + = z + z + = z + => Là đường thẳng z + = k => Là đường tròn z + ± z + = k => Có thể elip, parabol, hypebol, đường thẳng… Bất đẳng thức tam giác • • • • z1 + z2 ≤ z1 + z2 , z1 - z2 ≤ z1 + z2 , dấu "=" z1 + z2 ≤ z1 - z2 , z1 - z2 ≤ z1 - z2 , dấu "=" z1 = kz2 dấu "=" dấu "=" z1 = kz2 Bất đẳng thức khác A +B BĐT Cauchy: ( A + B) ≥ với k ≤ Dùng cho BĐT vecto z1 = kz2 z1 = kz2 tìm với k ≥ Dùng cho BĐT Mincopxki: với k ≤ với k ≥ Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh BĐT Bunhia Copski: a +x + b +y ≥ BĐT vecto +) Nếu +) Nếu 2 z − z1 + z − z2 = k z1 − z2 > k z1 − z2 = k ≤ ( A2 + B ) ( x + y ) ( a + b) a2 + x2 + b2 + y ≥ BĐT Mincopxki: Chú ý: ( Ax + By ) Ta tính ( a − b) z1 − z2 tìm max + ( x + y) + ( x − y) tìm min.Dấu = xảy tìm Dấu = xảy : => Khơng tồn quỹ tích => Phương trình đường thẳng Đặt y =ax+b; cho y tìm x lập hệ tìm a; b +) Nếu z= Đặt z1 − z2 < k => Phương trình elip z0 z +z + 2 z1 − z2 Sau nhân vế với => z0 z0 z +z z +z + − z1 + + − z2 = k 2 z1 − z2 z1 − z2 z1 − z2 đưa elip Bài toán: Chú ý: +) Bấm Shift hyp +) z : Shift 2 MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH CHO HỌC SINH CĨ TRÍ NHỚ SIÊU PHÀM Dạng 1: k số cho trước Tìm Pmax/min Loại 1: z + A = k ⇒ z + a + bi = k ⇔ ( x + a ) + ( y + b ) i = k ⇔ ( x + a ) + ( y + b ) = k 2 a x = b y a x = b y Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hồi Thanh P = z + B = z + c + di ⇔ P = ( x + c ) + ( y + d ) i ⇔ P = ( x + c ) + ( y + d ) Đặt A = a + bi B = c + di I1 ( − a; −b ) ; I ( −c; −d ) ⇒ I1 I = ( a − c) + ( b − d ) = ( a − c ) + ( b − d ) i = ( a + bi ) − ( c + di ) = A − B Ta có: Pmax = I1I + k = A − B + k Pmin = I1 I − k = A − B − k Tương tự : Z+A =k P= z+B Hỏi (có tâm đối xứng với I2 qua trục hoành) → Pmax/min = A − B ± k Loại : Az + B = k ⇔ z+ P1 = Cz + D Đặt ⇔ B k = A A Hỏi : P1 D = z+ C C P2 = C z + D ⇔ P2 D P D = z+ ⇔ = z + ÷ c c c c B D = a + bi; = c + di A C Tương tự ta có B D k P1Max / Min = c − ± ÷ A÷ A C B D k P = c − ÷± ÷ Max / Min A C A ÷ GIẢI MAX MIN SỐ PHỨC CHỈ DỊNG.(CÁI NÀY DỄ NHỚ THƠI) z − a − bi = c ⇔ z − (a + bi ) = c ⇒ −c + a + bi ≤ z ≤ c + a + bi Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh Tọa độ z làm cho z max ; z : z max (a + bi) z (a + bi) ; a + bi a + bi Dạng 2: z+a + z−a = k Tổng quát : k − z2 z1 với ; −k + k + ; k z1 = a + bi; z2 = c + di Max z = Max z = Max z = ; Dạng 3: Cho a>0 Tìm Max, Min z = 2 => z1 z + z2 + z1 z − z2 = k Min z = Ta có : Min z = k2 − a z ; z = x + yi k z1 z+ biết z thỏa mãn k + k2 + =a z Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh PHÂN DẠNG MAX MIN SỐ PHỨC Dù cố gắng, sử dụng nhiều nguồn tài liệu tham khảo, song nhiều thiếu sót, mong q thầy cô em học sinh bổ sung thêm cách làm hay độc chung sức giải dạng toán Xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu nêu cách giải tự luận chính, kĩ thuật casio dựa vào kiện đề ta thử lệnh CALC thầy chủ yếu nêu CASIO pp lượng giác hóa sử dụng xác định kiện tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn elip Vì tài liệu mang hướng tổng quát nên chưa có thời gian giải chi tiết cho tập, mong quý thầy cô em học sinh thông cảm, gửi group THỦ THUẬT CASIO THPT để giải đáp GV nên đưa phương án trắc nghiệm để có cách thử casio hợp lý cho dạng toán ! Dạng : z Cho số phức thỏa mãn z − ( a + bi ) = c nhất, giá trị lớn P với , ( c > 0) , tìm giá trị nhỏ P = z + z3 ; z + z3 ; z3 z + z4 PHÂN TÍCH Cách 1: z − ( a + bi ) = c, ( c > ) ⇒ I ( a; b ) bán kính Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có tâm R = c Biểu diễn P điểm M đó, dựa vào hình vẽ xác định max cho thích hợp Ví dụ P = Khi : tức đường tròn tâm O: max z = OM = OI + R z = OM = OI − R z =OM → Ví dụ P = Khi : z z +i tức đường tròn tâm H (0;-1) max z + i = HI + R z + i = HI − R z = HM → Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hồi Thanh Cách 2: PP bất đẳng thức tam giác cực nhanh dòng mà thầy hướng dẫn youtube, có đủ biến thể dạng https://www.youtube.com/watch?v=WsN84Q502wE z − a − bi = c ⇔ z − (a + bi ) = c ⇒ −c + a + bi ≤ z ≤ c + a + bi Tọa độ z làm cho Ví dụ : Cho z max ; z z − + 3i = Áp dụng công thức: Ta có: : z max (a + bi ) z (a + bi ) ; a + bi a + bi , Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất? z − a − bi = c ⇔ z − (a + bi ) = c ⇒ −c + a + bi ≤ z ≤ c + a + bi z − + 3i = ⇔ z − (4 − 3i ) = ⇔ −3 + − 3i ≤ z ≤ + − 3i ⇔ ≤ z ≤ Cách tìm số phức: C1: Tìm Số phức z có module nhỏ là: 10 + 3b z − + 3i = ( a − ) + (b + 3)2 = −8a + 6b + 25 = 4a − 3b = 10 a = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 =2 a + b = a + b = a + b = a + b = z 10 + 3b 2 ⇒ ÷ + b = ⇔ 25b + 60b + 36 = ⇔ b = − ; a = 5 z= z (a + bi ) C2: Số phức z có module nhỏ là: a + bi z= Tương tự: Số phức z có module lớn là: = 2(4 − 3i ) = − i 5 z max (a + bi ) a + bi = 8(4 − 3i) 32 24 = − i 5 Cách 3: PP lượng giác hóa (Độ xác ko tuyệt đối, có sai số chấp nhận được) Vì tọa độ điểm biểu diễn đường tròn nên đưa dạng X +Y2 =1 (Có thể sử dụng trường hợp tọa độ điểm biểu diễn elip) Đặt X = cosa; Y=sina Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hồi Thanh Khi P biểu diễn theo cosa sina Sử dụng MODE khảo sát với START =0; END=2 ↓ (Chú ý dùng lệnh Shift Mode Ví dụ : Cho z − + 3i = π ; STEP= π 12 1) , Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất? 2 2 x−4 y +3 z − + 3i = ⇔ ( x − ) + ( y + 3) = ⇔ ÷ + ÷ =1 Đặt x = + 3cos α x−4 y+3 = cos α ; = sin α => 3 y = −3 + 3sin α Ta có ( + 3cos α ) z = x2 + y2 = + ( −3 + 3sin α ) SHIFT MODE -> SHIFT MODE Nhập f ( x) = ↓ ->MODE ( + 3cos ( X ) ) + ( −3 + 3sin ( X ) ) START =0; END=2 Đọc bảng => Max π ≈ ; STEP= 8; ≈ 2 π 12 BÀI TẬP: Bài 1: : Cho z − + 8i = Bài 2: Cho z thỏa mãn: Tìm số phức z cho Bài 3: Cho z thỏa mãn: Bài 4: Cho z thỏa mãn: , Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất? z − − 4i = z +1 đạt GTLN; GTNN? z − + 2i = z − − 3i = Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh Bài 5: Cho z thỏa mãn Bài 6: Cho z thỏa mãn 1+ i z + =1 1− i zmin ; zmax ; Tìm số phức ( + i ) z − 2i + = Tìm z để ( + i) z − i +1 đạt GTLN; GTNN Dạng : Cho số phức với z z − ( a + bi ) = c thỏa mãn P = z + z3 + z + z4 P chứa , ( c > 0) , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P z ; z (sử dụng đẳng thức đáng nhớ) Cách 1: PP lượng giác hóa Vì tọa độ điểm biểu diễn đường tròn nên đưa dạng X +Y2 =1 (Có thể sử dụng trường hợp tọa độ điểm biểu diễn elip) Đặt X = cosa; Y=sina Khi P biểu diễn theo cosa sina Sử dụng MODE khảo sát với START =0; END=2 (Chú ý dùng lệnh Shift Mode ↓ π ; STEP= π 12 – 1) Cách 2: Sử dụng pp BĐT BĐT Bunhia Copski: BĐT vecto a2 + x2 + b2 + y ≥ Ví dụ: Cho số phức Ta có: ≤ ( A2 + B ) ( x + y ) ( a + b) a +x + b +y ≥ BĐT Mincopxki: ( Ax + By ) z 2 ( a − b) thỏa mãn 2 + ( x + y) + ( x − y) z −1 = tìm max tìm min.Dấu = xảy tìm Dấu = xảy Tìm GTLN a x = b y T = z +i + z −2−i a x = b y Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hồi Thanh rr 2 2 z + i = z − + + i = z − + + i + 2uv (1) rr 2 2 z − − i = z − − − i = z − + + i − 2uv r r u, v (2) Với z −1 biểu diễn 1+ i Cộng (1) với (2) ta được: 2 z + i + z − − i = z −1 + = (không đổi) Áp dụng đẳng thức BNC: ( T2 = ( z +i + z − 2−i ) ≤ z +i + z −2−i 2 ) = 16 ⇒ T ≤ VD2: z1 ; z2 Với số phức thỏa mãn 5+3 A B GIẢI: CÁCH 1: Ta có: 2 z1 + z2 = + 6i 26 ( C z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 A +B ( A + B) ≥ 2 ⇒ z1 + z2 (z ≥ + z2 ) 2 ≤ ( A2 + B ) ( x + y ) ⇒ ( z1 + z2 ) 2 + z2 (z ⇒ 52 ≥ ( Tính GTLN D CÁCH 2: Ta có: ÁP dụng BĐT Bunhia Copski: ( Ax + By ) ) ⇔ 100 + = ( z Lại có: Áp dụng BĐT Cauchy: z1 − z = 2 34 + ) ⇔ 52 = ( z + z2 ≤ z1 + z2 ) 2 + z2 ) ⇒ 104 ≥ ( z1 + z2 ) = z +z P = z1 + z2 2 ) ⇒ z1 + z2 ≤ 26 + z1 − z2 = 104 ⇒ z1 + z2 ≤ 26 Bài tập: Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn Bài 2: Cho số phức z thoả mãn P = z +1 + z −1 z − − 2i = z =1 Tìm GTLN T = z + z − − 6i Tìm giá trị lớn biểu thức Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hồi Thanh Dạng : Cho z +a = z +b Tìm Max, P với P = z + z3 ; z + z ; z z + z z + = z + z + = z + Phân tích : Ví dụ: Cho A => Là đường thẳng z − − 4i = z − 2i z = −1 + i B z = −2 + 2i C z = + 2i D z = + 2i z − − 4i = z − 2i ⇔ x + y = => y = − x Cách 1: Đưa dạng đường thẳng => z = x + y = x + ( − x ) z Tìm z để Đến dùng MODE 5-3 giải pt bậc để tìm z => z=x+yi=2+2i Cách : PP hình học : Đưa dạng đường thẳng z − − 4i = z − 2i ⇔ x + y = => y = − x ( ∆) z = d ( O; ∆ ) Khi Cách : Khi có đáp án trắc nghiệm MODE đưa số phức Nhập z − − 4i − z − 2i CALC thử đáp án, ưu tiên đáp án có z trước Nếu kết trả nhận Bài tập z + i + = z − + 4i Bài :Cho z thỏa Bài : Cho z thỏa Bài : Cho z thỏa Tìm z có mơđun z − − 3i = z − i Tìm z có z + + 2i z − z + = ( z − + 2i ) ( z + 3i − 1) Tìm z − + 2i Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hồi Thanh A 13 Gọi B z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ t = z+1 Đặt , ta có 39 ) 3 C Hướng dẫn giải Ta có: z = ⇔ z.z = = z − 1≤ z + ≤ z + 1= ⇒ t ∈ 0;2 t2 = ( 1+ z) ( 1+ z ) = 1+ z.z + z + z = 2+ 2x ⇒ x = Ta có z2 − z + = z2 − z + z.z = z z − 1+ z = Suy D 13 f ( t ) = t + t − ,t ∈ 0;2 t2 − ( 2x − 1) = 2x − = t2 − Xét hàm số max f ( t ) = ⇒ 13 13 ; f ( t ) = ⇒ M n = 4 Chọn đáp án A Cho số phức Câu 7: A C Bằng cách dùng đạo hàm, suy z z2 + = z thỏa mãn điều kiện Khẳng định sau đúng? 3−1 3+ ≤ z≤ 6 − 1≤ z ≤ + B 2−1 2+1 ≤ z≤ 3 − 1≤ z ≤ + D Hướng dẫn giải u + v ≥ u + v , Áp dụng bất đẳng thức ta 2 z + −4 = z + + −4 ≥ z ⇒ z − z − ≤ ⇒ z ≤ + 2 2 z + z = z2 + + − z2 ≥ ⇒ z + z − ≥ ⇒ z ≥ − z Vậy, nhỏ ⇒ − 1, Chọn đáp án B z = −i + i z lớn + 1, z = i + i Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh Cho Câu 8: z1 , z2 hai số phức liên hợp thỏa mãn Tính mơđun số phức z1 , z2 Ta có: Vậy Khơng tính tổng qt ta gọi b≥ z1.z2 ∈ ¡ z1 z13 = ∈ ¡ ⇒ z13 ∈ ¡ 2 z2 ( z z ) , mà ) ( ) z1 = a2 + b2 = ⇒ Chọn đáp án C Gọi − A Đặt D b = z13 = ( a+ bi ) = a3 − 3ab2 + 3a2b− b3 i ∈ ¡ ⇔ 3a2b− b3 = ⇔ ⇒ a2 = 3a = b Câu 9: Đặt C Hướng dẫn giải hai số phức liên hợp nên ( z− ) z1 = z1 = z1 − z2 = ⇒ 2bi = ⇒ b = Do Do B z1 = z1 = a+ bi ⇒ z2 = a− bi ; ( a∈ ¡ ; b∈ ¡ Gọi z1 − z2 = z1 z1 = A z1 ∈¡ z22 z = x + yi ( x, y ∈ R ) đạt giá trị lớn Tính tích xy = xy = B − 13 xy xy = 16 C Hướng dẫn giải Thay vào điều kiện thứ nhất, ta x = 3cost, y = 3sin t số phức thỏa mãn hai điều kiện i z = x + iy ( x, y ∈ R ) P = z − π i = 18− 18sin t + ÷ ≤ 4 Dấu xảy D x2 + y2 = 36 Thay vào điều kiện thứ hai, ta có π 3π 3 sin t + ÷ = −1⇒ t = − ⇒ z= − − i 2 4 z − + z + = 26 xy = Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh ⇒ Chọn đáp án D Biết số phức Câu 10: M = z+ − z− i z − 3− 4i = z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z + i = A B z+ i = z + i = 41 C Gọi z + i đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức z + i = 41 biểu thức z = x + yi ; ( x ∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) D Hướng dẫn giải z − 3− 4i = ⇔ ( C ) : ( x − 3) + ( y − 4) = Ta có: : tâm I ( 3;4) R = Mặt khác: ( ) 2 2 M = z + − z − i = ( x + 2) + y2 − x2 + ( y − 1) = 4x + 2y + ⇔ d :4x + 2y + 3− M = Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên ⇔ d( I ; d) ≤ R ⇔ 23− M d ( C) có điểm chung ≤ ⇔ 23− M ≤ 10 ⇔ 13 ≤ M ≤ 33 4x + 2y − 30 = x = ⇒ M max = 33 ⇔ ⇔ ⇒ z + i = 5− 4i ⇒ z + i = 41 2 ( x − 3) + ( y − 4) = y = −5 ⇒ Chọn đáp án D ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức Câu 11: w = z +1+ i có mơđun lớn Số phức A B z z thỏa mãn điều kiện : có môđun bằng: C D Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi z = x + yi Ta có: ( x, y ∈ ¡ ) z − + 2i = ⇔ ⇒ z − + 2i = ( x − 1) + ( y + ) i ( x − 1) + ( y + ) = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = z − + 2i = 2 Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hồi Thanh Suy tập hợp điểm kính R= Dễ thấy Theo đề ta có: O M ( x; y ) ∈ ( C ) x −1 biểu diễn số phức z thuộc đường tròn ( C) hình vẽ: O ∈( C) y M ( x; y ) , N ( −1; −1) ∈ ( C ) điểm biểu diễn cho số z phức thỏa mãn: −1 N w = z + + i = x + yi + + i = ( x + 1) + ( y + 1) i I −2 ⇒ z +1 + i = Suy Mà ⇔I z +1+ i M , N ∈( C) ( x + 1) uuuu r + ( y + 1) = MN đạt giá trị lớn nên MN ⇔ MN lớn MN lớn đường kính đường tròn MN ⇒ M ( 3; −3) ⇒ z = − 3i ⇒ z = 32 + ( −3) = 2 trung điểm ( C) tâm I ( 1; −2 ) bán Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hồi Thanh C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phương pháp đại số BÀI (Sở GD Long An 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 3i| = Tìm giá trị lớn |z| 1+ + 13 13 13 − A B C D BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3) Tìm giá trị lớn |z| biết −2 − 3i z + = 3− 2i B 2 C D A BÀI (THPT Nguyễn Huệ-Huế 2017 L2, Hà Huy Tập-Hà Tĩnh 2017 L2) Cho số phức z z2 − i = thỏa mãn Tìm giá trị lớn |z| A 2` 2 3+ 3i 1+ 3i B C D BÀI (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3) Xác định số phức z thỏa mãn z − − 2i = 1+ i mà |z| đạt giá trị lớn 3+ i A B C D BÀI (THPT Yên Khánh A-Ninh Bình 2017,THPT Kim Liên-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − − 3i| = Giá trị nhỏ |z + + i| A 13 − B C D 13 + z + 2z + = z + 1− i BÀI (THPT Đống Đa-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn Biểu thức |z| có giá trị lớn B 2 +1 2+ 2 −1 A C D BÀI (THPT Hùng Vương-Phú Thọ 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = |(1 + i)z| Đặt m = |z|, tìm giá trị lớn m Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh B +1 −1 A C D z+ BÀI (THPT Chuyên Lào Cai 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn 4i =2 z Gọi M, m giá trị lớn nhỏ |z| Tính M + m? A 2 13 B C D BÀI (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 + 3− 4i = 1 z2 + − i = Tính tổng Giá trị lớn Giá trị nhỏ biểu thức A 18 C z1 − z2 B D BÀI 10 (Sở GD Điện Biên 2017,Gia Lộc-Hải Dương 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn |z| A= ≤ Đặt 2z − + iz Mệnh đề đúng? A |A| < B |A| ≤ C |A| ≥ D |A| > BÀI 11 (Sở GD Hải Dương 2017) Cho số phức z thỏa mãn z z =1 Tìm giá trị nhỏ P = z + 3z + z z + z biểu thức 15 4 13 D A B C BÀI 12 (Chuyên Ngoại Ngữ-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu thức T = |z + 1| + 2|z − 1| maxT = maxT = 10 max = maxT = A B C D BÀI 13 (Sở GD Bắc Ninh 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu thức T = |z + 1| + 3|z − 1| A maxT = 10 B maxT = 10 C max = D maxT = Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh BÀI 14 (Chu Văn An-Hà Nội 2017 L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z −1 = Tìm giá trị lớn T = |z + i| + |z − − i| A maxT = maxT = B C max = maxT = D Phương pháp hình học BÀI 15 (Sở GD Đà Nẵng 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − + 2i| = Mô đun lớn số phức z là: 15(14 − 5) 14 + A 15(14 + 5) 14 − C D B BÀI 16 (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn |z−1−2i| = Tìm giá trị nhỏ |z| B C 5−1 A D BÀI 17 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3) Cho số phức z, w thỏa mãn |z − + 2i| = |z + 5i|, w = iz + 20 Giá trị nhỏ m |w| m= A 10 B m = 10 m= C 10 D m = 10 z+ BÀI 18 (THPT Cổ Loa-Hà Nội 2017 L3) Cho số phức z thỏa mãn − i = z + + 2i 2 Biết biểu thức Q = |z − − 4i| + |z − − 6i| đạt giá trị nhỏ z = a + bi (a, b ∈ R) Tính P = a − 4b A P= P = −2 B 1333 272 C P= P = −1 D 691 272 iz + BÀI 19 (THPT Cao Nguyên-Dăk Lăk 2017) Cho số phức z thỏa mãn iz + =4 i −1 1− i + Gọi M m Giá trị lớn Giá trị nhỏ |z| Tính M.m Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh A Mm = B Mm = Mm = 2 Mm = C D BÀI 20 (Lương Đức Trọng 2017) Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10 Gọi M, m tương ứng giá trị lớn nhỏ |z| Tính M + m 80 35 15 50 11 30 B C D A BÀI 21 (THPT Thăng Long-Hà Nội 2017 L2) Cho z số phức thay đổi thỏa mãn z −2+ z +2 = Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N điểm biểu diễn z z Tính giá trị lớn diện tích tam giác OMN A B C D 2 BÀI 22 (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2017 L3) Cho z1 − z2 = phương trình |6 − 3i + iz| = |2z − − 9i| thỏa mãn z1,z2 | Giá trị lớn A 31 B 56 C D D LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN GIẢI BÀI TẬP Ta có ≥ z − + 3i = z − 13 ⇒ z ≤ 1+ 13 Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có 1≥ Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có hai nghiệm −2 − 3i −2 − 3i z − 1= z − 1= z − 1⇒ z ≤ 3− 2i 3− 2i z1 + z2 Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh 2 1≥ z − i = z − 1⇒ z ≤ ⇒ z ≤ Đáp án D GIẢI BÀI TẬP Ta có ≥ z − + 2i = z − 2 ⇒ z ≤ 2k − 2 ⇒ k = Dấu "=" z = k(2 + 2i) với Vậy k = + 3i Đáp án C GIẢI BÀI TẬP Ta có |z + + i| = |z + − i| = |(z − − 3i) + (3 + 2i)| ≥ ||z − − 3i| − |3 + 2i|| = 13 z + 1+ i = 13 − Vậy Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có z + 1− i = z + 2z + = (z + 1)2 − i = z + 1− i z + 1+ i = z + 1− i ⇔ z + 1+ i = • Nếu z = i − z = • Nếu |z + + i| = ≥ |z| − |1 + i| = |z| − Do |z| ≤ + Đáp án A GIẢI BÀI TẬP Ta có |z − 1| = 2|z| ≤ |z| + ⇒ |z| ≤ Do max |z| = Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có 2 z ≥ z − ⇔ z − z − ≤ ⇔ z ≤ 1+ = M − Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hồi Thanh 2 z ≥ − z ⇔ z + z − ≥ ⇔ z ≥ −1+ = m Vậy M + m = Đáp án B GIẢI BÀI TẬP Ta có z1 − z2 = (z1 + 3− 4i ) − (z2 + − i ) + (3+ 3i ) ≤ z1 + − 4i + z2 + − i + 3+ 3i = 3+ = max z1 − z2 = (z1 + 3− 4i ) − (z2 + − i ) + (3+ 3i ) ≥ 3+ 3i − z1 + − 4i − z2 + − i = − = tổng Giá trị lớn Giá trị nhỏ Do Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 10 Ta có 2A + Aiz = 2z − i ⇔ (2 − Ai )z = 2A + i ⇒ z = 2A + i − Ai Đặt A = a + bi Suy | z ≤ 1⇒ 2A + i ≤ − Ai ⇔ 4a2 + (2b + 1)2 ≤ a2 + (b + 2)2 ⇔ 3a2 + 3b2 ≤ ⇒ A = a2 + b2 ≤ Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 11 Ta có 2 z + 3z + z = z 3.z + 3z z + z = z + 3+ z = (z + z )2 + Suy 1 3 P = (z + z ) + 1− (z + z ) = z + z − ÷ + ≥ 2 4 Vậy giá trị nhỏ P Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 12 Áp dụng cơng thức trung tuyến ta có Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh 2 2 z +1 + z −1 = z + 1+ =4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 T ≤ ( z + + z − )(12 + 22) = 20 ⇒ T ≤ Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 13 Áp dụng cơng thức trung tuyến ta có 2 2 z +1 + z −1 = z + 1+ =4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 T ≤ ( z + + z − )(12 + 32 ) = 40 ⇒ T ≤ 10 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 14 Áp dụng công thức trung tuyến ta có z + + z − 2− i 22 + 2i = z −1 + 2 =8 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 T ≤ ( z + + z − )(12 + 12 ) = 16 ⇒ T ≤ Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 15 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hồi Thanh max |z| = OI + r = + Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 16 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = Khi |z| = OM với O gốc tọa độ Do |z| = OI − r = − Đáp án D GIẢI BÀI TẬP 17 Gọi A (1; −2), B (0; −5), tập hợp điểm z thỏa mãn giả thiêt đề đường trung trực d AB có phương trình x + 3y + 10 = Ta có |w| = |iz + 20| = |z − 20i| = OM với M điểm biểu diễn số phức z C(0; 20) Do | w| = d(C.∆) = 10 Đáp án B GIẢI BÀI TẬP 18 Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh Gọi A − ;2÷,B − ;−2÷, tập hợp điểm z thỏa mãn giả thiêt đề đường trung trực d AB có phương trình x−4y + = Xét hai điểm M(2; 4), N(4; 6) Q = IM + IN với I ∈ d Do Q nhỏ I giao điểm M0N với điểm đối xứng M qua d Vậy 62 24 I ; ÷ 17 17 z= , ứng với 58 28 M ' ;− ÷ 17 17 62 24 + i 17 17 Đáp án A GIẢI BÀI TẬP 19 Ta có ≥ iz + 2 + iz + = 2iz = z ⇒ M = 1− i i −1 Theo giả thiết số phức z thỏa mãn z+ 2 + z+ = ⇔ z + 1− i + z − 1+ i = i (i − 1) i (i − 1) Gọi A(−1; 1), B(1; −1) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến MA + MB AB z = MO = − Ta có MA + MB ≥ Do (MA + MB )2 =8 Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hồi Thanh 8 − = 2 m= Vậy Mn = 2 Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 20 Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo công thức trung tuyến MA + MB AB z = MO = − Theo giả thiết 4MA + 3MB = 2 MA − MB = a = MA ⇒ MB = Đặt 10 − 7a 10 − 4a Do ≤ AB = ⇒ −6 ≤ 10 − 7a ≤ ⇔ 16 ≤ a≤ 7 Ta có 10 − 4a 25a − 80a + 100 ( 5a − 8) + 36 MA + MB = a + = = ÷ 9 2 − Do 2 36 34 11296 ≤ 5a − ≤ ⇒ ≤ (5a − 8)2 ≤ 7 49 • • MA + MB ≥ Suy nên z ≥ 1⇒ z ≥ 1= m 1296 + 36 340 121 MA + MB ≤ 49 = ⇒z ≤ =M 49 49 M + m= Vậy 60 49 Đáp án C GIẢI BÀI TẬP 21 Video hướng dẫn kĩ thuật casio giải nhanh có FB thầy: Trần Hoài Thanh Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy N biểu diễn số phức qua Ox Diện tích tam giác OMN Do z −2+ z +2 = SOMN = xy z nên tập hợp M biểu diễn x Elip (E): x2 y + =1 xy x2 y x2 y 1= + ≥2 = ⇒ SOMN = xy ≤ 2 8 2 Đáp án D M, M0 đối xứng Do ... lớn T = |z + i| + |z − − i| A maxT = maxT = B C max = maxT = D Phương pháp hình học BÀI 15 (Sở GD Đà Nẵng 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z − + 2i| = Mô đun lớn số phức z là: 15(14 − 5) 14 + A 15(14... di A C Tương tự ta có B D k P 1Max / Min = c − ± ÷ A÷ A C B D k P = c − ÷± ÷ Max / Min A C A ÷ GIẢI MAX MIN SỐ PHỨC CHỈ DỊNG.(CÁI NÀY DỄ NHỚ THƠI) z −... Ngữ-Hà Nội 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| = Tìm giá trị lớn biểu thức T = |z + 1| + 2|z − 1| maxT = maxT = 10 max = maxT = A B C D BÀI 13 (Sở GD Bắc Ninh 2017) Cho số phức z thỏa mãn |z| =