Quy tắc nhân tử lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi ( Luận văn thạc sĩ)

Quy tắc nhân tử lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi ( Luận văn thạc sĩ)Quy tắc nhân tử lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi ( Luận văn thạc sĩ)Quy tắc nhân tử lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi ( Luận văn thạc sĩ)Quy tắc nhân tử lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi ( Luận văn thạc sĩ)Quy tắc nhân tử lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi ( Luận văn thạc sĩ)Quy tắc nhân tử lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi ( Luận văn thạc sĩ)Quy tắc nhân tử lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - LÊ THỊ THU HÀ QUY TẮC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHẢ VI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Thái nguyên – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - LÊ THỊ THU HÀ QUY TẮC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHẢ VI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Thái nguyên – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ưu phận quan trọng lý thuyết tối ưu hóa có nhiều ứng dụng kinh tế, kỹ thuật Cho đến lý thuyết điều kiện tối ưu thu nhiều kết phong phú đẹp đẽ Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu tốn tối ưu vectơ trước hết ta sử dụng định lý Ljusternik giải tích hàm để chứng minh điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức khơng tương thích Từ sử dụng định lý tách giải tích lồi ta dẫn điều kiện cần Fritz John Kuhn - Tucker Điều kiện cần Kuhn - Tucker trở thành điều kiện đủ tối ưu giả thiết thêm điều kiện tính lồi suy rộng hàm liệu Các điều kiện tối ưu đề tài nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài "Quy tắc nhân tử Lagrange cho toán tối ưu vectơ khả vi" Luận văn trình bày lý thuyết điều kiện Fritz John Kuhn - Tucker điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu vectơ khả vi Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Nghiệm hữu hiệu tốn tối ưu đa mục tiêu Trình bày khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu, cực đại yếu tập hợp nghiệm hữu hiệu (hay cực tiểu), nghiệm hữu hiệu yếu (hay cực tiểu yếu) toán cực tiểu vectơ với số kết bổ trợ để dẫn điều kiện tối ưu Chương Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu Trình bày điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức khơng tương thích, điều kiện cần Fritz John điều kiện cần Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu vectơ Chương Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu Trình bày tính chất hàm tựa lồi điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu vectơ với giả thiết tính lồi suy rộng hàm mục tiêu ràng buộc Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau đại học, Ban Giám Hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K6D ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Tác giả Lê Thị Thu Hà Chương NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chương trình bày khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu, cực đại yếu tập khơng gian tuyến tính có thứ tự phận khái niệm nghiệm hữu hiệu (hay cực tiểu), nghiệm hữu hiệu yếu (hay cực tiểu yếu) toán cực tiểu vectơ với số kết bổ trợ để dẫn điều kiện tối ưu Các kết trình bày chương tham khảo [2] 1.1 Nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu tập toán tối ưu đa mục tiêu Trong phần ta dẫn quy tắc nhân tử Lagrange cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet Ta đưa vào giả thiết sau:    Giả sử (X, · X ) (Z2 , · Z2 ) không gian Banach thực;         (Y, · Y ) (Z1 , · Z1 ) không gian định chuẩn có thứ tự        phận Y Giả sử CY CZ1 nón thứ tự phận (1.1)    Y Z1 có phần khác rỗng;        Sˆ tập lồi khác rỗng X có phần khác rỗng;        Giả sử f : X −→ Y ; g : X −→ Z Xét tập ràng buộc sau đây: S := { x ∈ Sˆ | g(x) ∈ −CZ1 h(x) = 0z2 } Giả sử tập S khác rỗng Ta xét toán tối ưu trừu tượng sau: f (x) x∈S (1.2) Ánh xạ f gọi ánh xạ mục tiêu Trước hết ta định nghĩa nghiệm toán (1.2) Ta nhắc lại khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu cực đại yếu tập Định nghĩa 1.1.1 Giả sử S tập khác rỗng không gian tuyến tính có thứ tự phận X với nón thứ tự C (i) Phần tử x¯ ∈ S gọi cực tiểu (minimal element) tập S nếu: {¯ x} − C ∩S ⊂ {¯ x} + C (1.3) (ii) Phần tử x¯ ∈ S gọi cực đại (maximal element) tập S nếu: {¯ x} + C ∩S ⊂ {¯ x} − C (1.4) Nếu nón thứ tự C nhọn bao hàm thức (1.3) (1.4)có thể thay đẳng thức sau: {¯ x} − C ∩S = {¯ x} (hoặc x ≤C x¯, x ∈ S ⇒ x = x¯), {¯ x} + C ∩S = {¯ x} (hoặc x¯ ≤C x, x ∈ S ⇒ x = x¯) Nhắc lại: Phần đại số của S = ∅ khơng gian tuyến tính thực X tập ¯ > : x¯ + λx ∈ S, ∀λ ∈ [0, λ] ¯ cor(S) = x¯ ∈ S | ∀x ∈ X, ∃λ Định nghĩa 1.1.2 Giả sử S tập khác rỗng khơng gian tuyến tính có thứ tự phận X với nón thứ tự C có phần đại số khác rỗng: (i) Phần tử x¯ ∈ S gọi cực tiểu yếu (weakly minimal element) tập S nếu: {¯ x} − cor(C) ∩S = ∅; (ii) Phần tử x¯ ∈ S gọi cực đại yếu (weakly maximal element) tập S nếu: {¯ x} + cor(C) ∩S = ∅ Chú ý khái niệm cực tiểu cực tiểu yếu liên quan chặt chẽ với Lấy phần tử x¯ ∈ S cực tiểu yếu tập S tức ta có: ¯ cực tiểu yếu tập S {¯ x} − cor(C) ∩S = ∅ Khi đó, X thứ tự phận sinh Cˆ = cor(C) ∪ {0X } Bổ đề 1.1.1[2] Giả sử S tập khác rỗng khơng gian tuyến tính có phận Xvới nón thứ tự C có phần đại số khác rỗng (i) Mọi cực tiểu yếu x¯ ∈ S tập S + C cực tiểu yếu tập S (ii) Mọi cực tiểu yếu x¯ ∈ S tập S cực tiểu yếu tập S + C Mệnh đề 1.1.2 Giả sử S tập khác rỗng khơng gian tuyến tính có thứ tự phậnX Với nón thứ tự C mà C = X cor(C) = ∅ Khi đó, phần tử cực tiểu tập S cực tiểu yếu S Chứng minh Giả thiết C = X kéo theo −cor(C) ∩C = ∅ Do đó, với phần tử cực tiểu x¯ S, ta có ∅ = {¯ x} − cor(C) ∩({¯ x} + C) = {¯ x} − cor(C) ∩({¯ x} − C) ∩ S = {¯ x} − cor(C) ∩S Điều có nghĩa x¯ cực tiểu S ✷ Bây ta định nghĩa khái niệm nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu (1.2) Định nghĩa 1.1.3 Giả sử toán tối ưu (1.2) thỏa mãn giả thiết (1.1) (i) Một phần tử x¯ ∈ S gọi cực tiểu (nghiệm hữu hiệu) toán (1.2) f (¯ x) cực tiểu tập ảnh f (S) (ii) Một phần tử x¯ ∈ S gọi cực tiểu (nghiệm hữu hiệu yếu) toán (1.2) f (¯ x) cực tiểu yếu tập ảnh f (S) 1.2 Một số kết bổ trợ để dẫn điều kiện tối ưu Để nhận điều kiện cần cho cực tiểu yếu (nghiệm hữu hiệu yếu) toán tối ưu (1.2) ta cần kết nón tiếp liên Cho S tập khơng gian định chuẩn X, nón tiếp liên tập S điểm x¯ ∈ S định nghĩa sau: T (S; x¯) = {v ∈ X : ∃vn −→ v, ∃tn −→ 0+ cho x¯ + tn ∈ S, ∀n} Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn (1.2) ta trình bày mệnh đề sau đề nón tiếp liên Mệnh đề 1.2.1 Giả sử (X, · X )là không gian định chuẩn thực và(Y, · Y) không gian định chuẩn có thứ tự phận với nón thứ tự CY có phần khác rỗng Hơn nữa, giả sử S tập khác rỗng X ánh xạ r : X → Y Nếu ánh xạ r khả vi Fréchet x¯ ∈ S đó, với r(¯ x) ∈ −CY h ∈ T (S, x¯) | r(¯ x) + r (¯ x)(h) ∈ −int(CY ) ⊂ T {x ∈ S | r(x) ∈ −int(CY )}, x¯ , T (., ) ký hiệu nón tiếp liên Chứng minh: Chọn phần tử h ∈ T (S : x¯), với tính chất r(¯ x) + r (¯ x)(h) ∈ −int(CY ) Với h = 0X , khẳng định tầm thường Do đó, ta giả sử h = 0X Khi đó, tồn dãy (xn )n∈N phần tử xn ∈ S dãy (λn )n ∈ N gồm số thực dương λn cho x¯ = lim xn x→0 h = lim λn (xn − x¯) n→∞ Nếu ta đặt hn := λn (xn − x¯), ∀n ∈ N, ta nhận [λn (r(xn ) − r(¯ x) − r (¯ x)(xn − x¯)) + r (¯ x)(hn − h) λn (1.5) + r(¯ x) + r (¯ x)(h)] + (1 − )r(¯ x), ∀n ∈ N, λn r(xn ) = lim λn (r(xn ) − r(¯ x) − r (¯ x)(xn − x¯)) + r (¯ x)(hn − h) = 0Y n→∞ Theo giả thiết ta có r(¯ x) + r (¯ x)(h) ∈ −int(Cy ), từ (1.6) ta suy yn : = λn (r(xn ) − r(¯ x) − r (¯ x)(xn − x¯)) + r (¯ x)(hn − h) + r(¯ x) + r (¯ x)(h) ∈ −int(CY ) với n ∈ N đủ lớn, λn yn ∈ −int(CY ) với n ∈ N đủ lớn Bởi 1− λn r(¯ x) ∈ −CY với n ∈ N đủ lớn, (1.6) Từ (1.5) ta suy r(xn ) = 1 yn + (1 − )r(¯ x) λn λn ∈ −int(CY ) − CY = −int(CY ) với n ∈ N đủ lớn, với int(CY ) = int(CY ) = cor(CY ) Nhưng điều lại dẫn tới: h ∈ T {x ∈ S | r(x) ∈ −int(CY )}, x¯ ✷ Mệnh đề 1.2.2[2] Giả sử CX nón lồi khơng gian tuyến tính thực X (a) Nếu X khơng gian lồi địa phương CX đóng CX = {x ∈ X | x∗ (x) ≥ ∀x∗ ∈ CX ∗ } (b) Nếu cor(CY ) = ∅ cor(CX ) = x ∈ X | x (x) > ∀x ∈ CX \ {0X } (c) Nếu X khơng gian tơpơ tuyến tính thực int(CX ) = ∅ int(CX ) = x ∈ X | x∗ (x) > ∀x∗ ∈ CX ∗ \ {0X ∗ } , X ∗ không gian ngẫu tôpô X, X không gian ngẫu đại số X ... λn (r(xn ) − r(¯ x) − r ( x)(xn − x¯)) + r ( x)(hn − h) = 0Y n→∞ Theo giả thiết ta có r(¯ x) + r ( x)(h) ∈ −int(Cy ), từ (1 .6) ta suy yn : = λn (r(xn ) − r(¯ x) − r ( x)(xn − x¯)) + r ( ... toán tối ưu vectơ khả vi" Luận văn trình bày lý thuyết điều kiện Fritz John Kuhn - Tucker điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu vectơ khả vi Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, ... hiệu yếu toán tối ưu (1 .2) Định nghĩa 1.1.3 Giả sử toán tối ưu (1 .2) thỏa mãn giả thiết (1 .1) (i) Một phần tử x¯ ∈ S gọi cực tiểu (nghiệm hữu hiệu) toán (1 .2) f ( x) cực tiểu tập ảnh f (S) (ii)