Về các đồng nhất thức của euler và rogers ramanujan trong phân hoạch các số tự nhiên ( Luận văn thạc sĩ)

Về các đồng nhất thức của euler và rogers ramanujan trong phân hoạch các số tự nhiên ( Luận văn thạc sĩ)Về các đồng nhất thức của euler và rogers ramanujan trong phân hoạch các số tự nhiên ( Luận văn thạc sĩ)Về các đồng nhất thức của euler và rogers ramanujan trong phân hoạch các số tự nhiên ( Luận văn thạc sĩ)Về các đồng nhất thức của euler và rogers ramanujan trong phân hoạch các số tự nhiên ( Luận văn thạc sĩ)Về các đồng nhất thức của euler và rogers ramanujan trong phân hoạch các số tự nhiên ( Luận văn thạc sĩ)Về các đồng nhất thức của euler và rogers ramanujan trong phân hoạch các số tự nhiên ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI THỊ LAN PHƯƠNG VỀ CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA EULER VÀ ROGERS- RAMANUJAN TRONG PHÂN HOẠCH CÁC SỐ TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI THỊ LAN PHƯƠNG VỀ CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA EULER VÀ ROGERS- RAMANUJAN TRONG PHÂN HOẠCH CÁC SỐ TỰ NHIÊN ON THE IDENTITIES OF EULER AND ROGERS- RAMANUJAN IN THE NUMBER PARTITIONS Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên - 2014 Mục lục Mục lục Lời nói đầu Khái niệm phép phân hoạch số tự nhiên 1.1 Phép phân hoạch số tự nhiên 1.2 Tam giác Pascal 1.3 Phân hoạch có điều kiện 12 Các đồng thức Euler Rogers-Ramanujan 22 2.1 Phân hoạch có điều kiện hàm sinh chúng 22 2.2 Đồng thức Euler số mở rộng 28 2.3 Đồng thức Rogers-Ramanujan mở rộng 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Khoa họcĐại học Thái Nguyên Tôi nhận đề tài nghiên cứu hướng dẫn PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, luận văn "Về đồng thức Euler Rogers-Ramanujan lí thuyết phân hoạch số tự nhiên" hồn thành Có kết này, dạy bảo, hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Cơ Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Cơ gia đình! Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học Khoa Toán- Tin Trường Đại học Khoa họcĐại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi q trình học tập Trường thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện thày cô giáo, cán thuộc Phòng Đào tạo, Khoa Tốn- Tin để lại lòng chúng tơi ấn tượng tốt đẹp Tôi xin cảm ơn UBND huyện Xín Mần, Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Xín Mần nơi công tác tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp thành viên lớp cao học Toán K6A (khóa 2012-2014) quan tâm, tạo điều kiện, cổ vũ động viên để tơi hồn thành nhiệm vụ Tơi xin trân trọng cảm ơn! Lời nói đầu Một phân hoạch số nguyên dương n cách viết n thành tổng số nguyên dương Hai cách viết n thành tổng số nguyên dương sai khác thứ tự số hạng coi hai biểu diễn phép phân hoạch, chẳng hạn 10 = + + 10 = + + cách biểu diễn phân hoạch 10 Vì thế, luận văn quy ước viết phép phân hoạch n dạng dãy (p1 , p2 , , pk ) số nguyên dương giảm dần (hoặc tăng dần) cho n = p1 + + pk Các số p1 , , pk gọi thành phần hay số hạng phép phân hoạch Vào Thế kỉ 18, Leonhard Euler người giới thiệu nghiên cứu lí thuyết phân hoạch số tự nhiên Kí hiệu P (n) số phép phân hoạch n, ta gọi P (n) hàm phân hoạch Sau Euler đưa công thức truy hồi đế tính P (n), hàng trăm nhà tốn học khác cố gắng tìm thuật tốn để tính P (n), thách thức lớn Toán học Từ đồng thức tiếng P (n) phát Ramanujan năm 1921, người ta tiếp tục quan tâm đến tính chất đồng thức P (n) Năm 1960, M Newman giả thuyết với cặp số tự nhiên m, r tồn vô hạn số nguyên dương n cho P (n) ≡ r(mod m) Kết tốt trả lời cho phận giả thuyết thuộc Ken Ono báo tạp chí Ann Math năm 2000 Ahlgren-Boylan báo Invent Math năm 2003 Luận văn quan tâm đến số đồng thức quan trọng phân hoạch có điều kiện, tức phân hoạch cho số hạng thỏa mãn điều kiện Mục đích luận văn trình bày chi tiết chứng minh số đồng thức Euler, Rogers-Ramanujan mở rộng chúng liên quan đến phân hoạch có điều kiện Đồng thức Euler Số phân hoạch n thành số hạng phân biệt số phân hoạch n thành số hạng lẻ Đồng thức Rogers-Ramanujan Số phân hoạch n thành số hạng khác đơn vị số phân hoạch n thành số hạng đồng dư với với theo môđun Luận văn chủ yếu dựa theo tài liệu sau đây: S Ahlgren and M Boylan, Arithmetic properties of the partition function, Invent Math 153 (2003), no 3, 487-502 H L Alder, Partition identities - from Euler to the present, The American Mathematical Monthly, 76 (1969), 733-746 G E Andrews, The theory of partitions, Cambridge University Press, 1998 Luận văn gồm chương Chương dành để trình bày khái niệm tính chất phân hoạch số tự nhiên, tam giác Pascal phân hoạch có điều kiện Chương trình bày kết luận văn, bao gồm đồng thức Euler mở rộng; đồng thức Rogers- Ramanujan mở rộng Phương pháp sử dụng để chứng minh kết phương pháp đồ thị, phương pháp dùng hàm sinh sử dụng khéo léo song ánh tập hợp Chương Khái niệm phép phân hoạch số tự nhiên Phép phân hoạch số tự nhiên nghiên cứu Leonhard Euler (15/04/1707 - 18/09/1783), nhà toán học thiên tài người Thụy Sĩ Thế kỉ 18 Khái niệm phép phân hoạch số tự nhiên xuất nhiều lĩnh vực khác Toán học, Vật lí Một kết bí ẩn tiếng lí thuyết phân hoạch số tự nhiên đồng thức Roger-Ramanujan, sử dụng gắn kết với chuyên ngành Tổ hợp, Lí thuyết số, Đa thức đối xứng, Nhóm đối xứng, Lí thuyết biểu diễn nhóm, Thống kê Vật lí, Lí thuyết xác xuất, Giải tích phức, Trong suốt chương này, giả thiết n số nguyên dương Mục đích Chương giới thiệu số khái niệm tính chất sở lí thuyết phân hoạch số tự nhiên, hàm phân hoạch, phép phân hoạch có điều kiện 1.1 Phép phân hoạch số tự nhiên 1.1.1 Định nghĩa Một phép phân hoạch số nguyên dương n biểu diễn n thành tổng số nguyên dương Một phân hoạch biểu diễn thành nhiều dạng Chẳng hạn, 6 = + = + hai dạng biểu diễn phân hoạch số thành hai thành phần Như vậy, hai dạng biểu diễn n thành tổng số nguyên dương xem phép phân hoạch chúng khác thứ tự số hạng Cụ thể, hai dạng biểu diễn n = a1 + + ar n = b1 + + bs , a1, , ar , b1 , , bs số nguyên dương coi phân hoạch r = s tồn phép hoán vị σ tập {1, 2, , r} cho = bσ (i) với i = 1, , r Cụ thể ta xét ví dụ sau 1.1.2 Ví dụ Có 11 phép phân hoạch số sau đây: = (phân hoạch thành thành phần) = + = + = + (phân hoạch thành hai thành phần) = + + = + + = + + (phân hoạch thành ba thành phần) = + + + = + + + (phân hoạch thành bốn thành phần) = + + + + (phân hoạch thành năm thành phần) = + + + + + (phân hoạch thành sáu thành phần) Ta thấy, phân hoạch số n có nhiều dạng biểu diễn khác (các biểu diễn phụ thuộc vào thứ tự hạng tử phân hoạch) Vì thế, cho thuận tiện quy ước chọn biểu diễn chuẩn dạng biểu diễn n = p1 + + pk cho thành phần pi xếp theo thứ tự từ lớn đến bé: p1 ≥ p2 ≥ ≥ pk Chẳng hạn biểu diễn = + + 3, = + + 2, = + + 2, = + + 1, = + + 3, = + + phép phân hoạch số 6, chọn dạng biểu diễn chuẩn = + + (3, 2, 1) theo thứ tự từ lớn đến bé 1.1.3 Chú ý Mỗi phân hoạch số n có dạng biểu diễn chuẩn, tức biểu diễn n thành tổng số nguyên dương xếp theo thứ tự từ lớn đến bé Vì thế, ta coi phân hoạch số n (p1 , , pk ) số nguyên dương thỏa mãn p1 ≥ p2 ≥ ≥ pk tổng chúng n Với kí hiệu vậy, thay cho cách viết 11 phân hoạch sau số 6 = 6, = + 2, = + 1, = + 3, = + + 1, = + + 1, = + + 2, = + + + 1, = + + + 1, = + + + + 1, = + + + + + ta viết lại phân hoạch sau (6), (4, 2), (5, 1), (3, 3), (4, 1, 1), (3, 2, 1), (2, 2, 2), (3, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1) 1.1.4 Định nghĩa Số phân hoạch n kí hiệu P (n) Hàm P (n) gọi hàm phân hoạch Cho thuận lợi, ta quy ước P (0) = Ta xét số ví dụ sau 1.1.5 Ví dụ Ta có P (1) = 1, P (2) = 2, P (3) = 3, P (4) = 5, P (5) = 7, P (8) = 22 Rõ ràng P (1) = (1) phân hoạch Ta có P (2) = có hai phân hoạch (2), (1, 1) Ta có P (3) = có phân hoạch (3), (2, 1), (1, 1, 1) Ta có P (4) = có phân hoạch (4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1) Ta có P (5) = có phân hoạch số sau (5), (4, 1), (3, 2), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1) Ta có P (8) = 22 có 22 phân hoạch sau (8), (7, 1), (6, 2), (5, 3), (4, 4), (6, 1, 1), (5, 2, 1), (4, 3, 1), (4, 2, 2, (3, 3, 2), (5, 1, 1, 1), (4, 2, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 2, 1), (3, 3, 1, 1), (4, 1, 1, 1, 1), (3, 2, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) Kết đánh giá hàm phân hoạch 1.1.6 Mệnh đề Với số nguyên dương n ta có P (2n) ≥ P (n) + P (n − 1) + + P (2) + P (1) Chứng minh Với r ∈ {n, n − 1, , 2, 1}, kí hiệu Br tập phép phân hoạch số r Khi số phần tử Br P (r) Giả sử (p1 , , pk ) ∈ Br phép phân hoạch số r Khi r ≥ p1 ≥ ≥ pk ≥ Vì 2n−r ≥ n ≥ r nên 2n−r ≥ p1 ≥ ≥ pk ≥ Do (2n−r, p1 , , pk ) phép phân hoạch số 2n Vì thế, với r ∈ {n, n − 1, , 2, 1}, có P (r) phép phân hoạch số n cho thành phần thứ 2n − r thành phần lại khơng vượt q r Rõ ràng, r, r ∈ {n, n − 1, , 2, 1} với r = r hai phép phân hoạch (2n − r, p1 , , pk ) (2n − r , p1 , , pk ) số 2n khác nhau, với (p1 , , pk ) ∈ Br Vì P (2n) lớn số phần tử n r=1 Br , tức P (2n) ≥ P (n) + P (n − 1) + + P (2) + P (1) 1.2 Tam giác Pascal Trong tiết này, tìm hiểu cách tính số phân hoạch P (n) n theo biểu đồ hình tam giác, gọi tam giác Pascal Trong suốt luận văn ta dùng kí hiệu sau ... Rogers- Ramanujan mở rộng chúng liên quan đến phân hoạch có điều kiện 4 Đồng thức Euler Số phân hoạch n thành số hạng phân biệt số phân hoạch n thành số hạng lẻ Đồng thức Rogers- Ramanujan Số phân hoạch. .. phân hoạch (3 ), (2 , 1), (1 , 1, 1) Ta có P (4 ) = có phân hoạch (4 ), (3 , 1), (2 , 2), (2 , 1, 1), (1 , 1, 1, 1) Ta có P (5 ) = có phân hoạch số sau (5 ), (4 , 1), (3 , 2), (3 , 1, 1), (2 , 2, 1), (2 , 1,... ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI THỊ LAN PHƯƠNG VỀ CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA EULER VÀ ROGERS- RAMANUJAN TRONG PHÂN HOẠCH CÁC SỐ TỰ NHIÊN ON THE IDENTITIES OF EULER AND ROGERS- RAMANUJAN IN THE NUMBER PARTITIONS