về các đồng nhất thức của euler và rogers - ramanujan trong phân hoạch các số tự nhiên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI THỊ LAN PHƯƠNG VỀ CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA EULER VÀ ROGERS- RAMANUJAN TRONG PHÂN HOẠCH CÁC SỐ TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI THỊ LAN PHƯƠNG VỀ CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA EULER VÀ ROGERS- RAMANUJAN TRONG PHÂN HOẠCH CÁC SỐ TỰ NHIÊN ON THE IDENTITIES OF EULER AND ROGERS- RAMANUJAN IN THE NUMBER PARTITIONS Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên - 2014 Mục lục Mục lục 1 Lời nói đầu 3 1 Khái niệm phép phân hoạch các số tự nhiên 5 1.1 Phép phân hoạch các số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tam giác Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Phân hoạch có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Các đồng nhất thức của Euler và Rogers-Ramanujan 22 2.1 Phân hoạch có điều kiện và hàm sinh của chúng . . . . . 22 2.2 Đồng nhất thức Euler và một số mở rộng . . . . . . . . . 28 2.3 Đồng nhất thức Rogers-Ramanujan và các mở rộng . . . 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 1 2 Lời cảm ơn Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên. Tôi được nhận đề tài và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, luận văn "Về các đồng nhất thức của Euler và Rogers-Ramanujan trong lí thuyết phân hoạch các số tự nhiên" đã được hoàn thành. Có được kết quả này, là do sự dạy bảo, hướng dẫn hết sức tận tình và nghiêm khắc của Cô. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Cô và gia đình! Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học và Khoa Toán- Tin của Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại Trường và trong thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của các thày cô giáo, các cán bộ thuộc Phòng Đào tạo, Khoa Toán- Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng hết sức tốt đẹp. Tôi xin cảm ơn UBND huyện Xín Mần, Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Xín Mần nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học này. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K6A (khóa 2012-2014) đã quan tâm, tạo điều kiện, cổ vũ và động viên để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn! 3 Lời nói đầu Một phân hoạch của số nguyên dương n là một cách viết n thành tổng của các số nguyên dương. Hai cách viết n thành tổng các số nguyên dương chỉ sai khác thứ tự các số hạng được coi là hai biểu diễn của cùng một phép phân hoạch, chẳng hạn 10=1+4+5 và 10=4+1+5là 2 cách biểu diễn của cùng một phân hoạch của 10. Vì thế, trong luận văn này chúng ta quy ước viết mỗi phép phân hoạch của n dưới dạng một dãy (p 1 ,p 2 , ,p k ) các số nguyên dương giảm dần (hoặc tăng dần) sao cho n = p 1 + + p k . Các số p 1 , ,p k được gọi là các thành phần hay các số hạng của phép phân hoạch. Vào Thế kỉ 18, Leonhard Euler là người đầu tiên giới thiệu và nghiên cứu lí thuyết phân hoạch các số tự nhiên. Kí hiệu P (n) là số phép phân hoạch của n, ta gọi P (n) là hàm phân hoạch. Sau khi Euler đưa ra một công thức truy hồi đế tính P (n), hàng trăm nhà toán họ c khác đã cố gắng tìm các thuật toán để tính P(n), nhưng cho đến nay nó vẫn đang là một thách thức lớn của Toán học. Từ các đồng nhất thức nổi tiếng về P (n) phát hiện bởi Ramanujan năm 1921, người ta tiếp tục quan tâm đến tính chất đồng nhất thức của P (n). Năm 1960, M. Newman đã giả thuyết rằng với mỗi cặp số tự nhiên m, r tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho P (n) ≡ r(mod m). Kết quả tốt nhất trả lời cho bộ phận của giả thuyết này thuộc về Ken Ono trong bài báo trên tạp chí Ann. Math. năm 2000 và Ahlgren-Boylan trong bài báo trên Invent. Math năm 2003. Luận văn này quan tâm đến một số đồng nhất thức quan trọng về phân hoạch có điều kiện, tức là những phân hoạch sao cho các số hạng của nó thỏa mãn một điều kiện nào đó. Mục đích của luận văn là trình bày chi tiết chứng minh một số đồng nhất thức của Euler, Rogers-Ramanujan và các mở rộng của chúng liên quan đến các phân hoạch có điều kiện. 4 Đồng nhất thức của Euler. Số phân hoạch của n thành các số hạng phân biệt chính là số phân hoạch của n thành những số hạng lẻ. Đồng nhất thức của Rogers-Ramanujan. Số phân hoạch của n thành những số hạng khác nhau ít nhất 2 đơn vị bằng số phân hoạch của n thành những số hạng đồng dư với 1 hoặc với 4 theo môđun 5. Luận văn chủ yếu dựa theo 3 tài liệu sau đây: 1. S. Ahlgren and M. Boylan, Arithmetic properties of the partition function, Invent. Math. 153 (2003), no. 3, 487-502. 2. H. L. Alder, Partition identities - from Euler to the present, The American Mathematical Monthly, 76 (1969), 733-746. 3. G. E. Andrews, The theory of partitions, Cambridge University Press, 1998. Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 dành để trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về phân hoạch các số tự nhiên, tam giác Pascal và phân hoạch có điều kiện. Chương 2 trình bày các kết quả chính của luận văn, bao gồm đồng nhất thức của Euler và các mở rộng; đồng nhất thức của Rogers- Ramanujan và các mở rộng. Phương pháp chính được sử dụng để chứng minh các kết quả là phương pháp đồ thị, phương pháp dùng hàm sinh và sử dụng khéo léo song ánh giữa các tập hợp. Chương 1 Khái niệm phép phân hoạch các số tự nhiên Phép phân hoạch số tự nhiên được nghiên cứu đầu tiên bởi Leonhard Euler (15/04/1707 - 18/09/1783), một nhà toán học thiên tài người Thụy Sĩ của Thế kỉ 18. Khái niệm phép phân hoạch số tự nhiên đã xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, Vật lí. Một trong những kết quả bí ẩn và nổi tiếng trong lí thuyết phân hoạch số tự nhiên là các đồng nhất thức Roger-Ramanujan, đã được sử dụng và gắn kết với những chuyên ngành Tổ hợp, Lí thuyết số, Đa thức đối xứng, Nhóm đối xứng, Lí thuyết biểu diễn nhóm, Thống kê Vật lí, Lí thuyết xác xuất, Giải tích phức, Trong suốt chương này, luôn giả thiết n là một số nguyên dương. Mục đích của Chương là giới thiệu một số khái niệm và tính chất cơ sở trong lí thuyết phân hoạch các số tự nhiên, hàm phân hoạch, phép phân hoạch có điều kiện. 1.1 Phép phân hoạch các số tự nhiên 1.1.1 Định nghĩa. Một phép phân hoạch của số nguyên dương n là một biểu diễn n thành tổng của các số nguyên dương. Một phân hoạch có thể biểu diễn thành nhiều dạng. Chẳng hạn, 5 6 6=5+1và 6=1+5là hai dạng biểu diễn của cùng một phân hoạch số 6 thành hai thành phần 5 và 1. Như vậy, hai dạng biểu diễn của n thành tổng các số nguyên dương được xem là của cùng một phép phân hoạch nếu chúng chỉ khác nhau về thứ tự các số hạng. Cụ thể, hai dạng biểu diễn n = a 1 + + a r và n = b 1 + + b s , trong đó a 1 , ,a r ,b 1 , ,b s là các số nguyên dương được coi là của cùng một phân hoạch nếu r = s và tồn tại một phép hoán vị σ của tập {1, 2, ,r} sao cho a i = b σ (i) với mọi i =1, ,r. Cụ thể ta xét ví dụ sau 1.1.2 Ví dụ. Có 11 phép phân hoạch số 6 sau đây: 6=6(phân hoạch thành một thành phần) 6=4+2=5+1=3+3(phân hoạch thành hai thành phần) 6=4+1+1=3+2+1=2+2+2(phân hoạch thành ba thành phần) 6=3+1+1+1=2+2+1+1 (phân hoạch thành bốn thành phần) 6=2+1+1+1+1(phân hoạch thành năm thành phần) 6=1+1+1+1+1+1(phân hoạch thành sáu thành phần). Ta thấy, mỗi phân hoạch số n có nhiều dạng biểu diễn khác nhau (các biểu diễn phụ thuộc vào thứ tự của các hạng tử của phân hoạch). Vì thế, cho thuận tiện chúng ta quy ước chọn biểu diễn chuẩn là dạng biểu diễn n = p 1 + + p k sao cho các thành phần p i xếp theo thứ tự từ lớn đến bé: p 1 ≥ p 2 ≥ ≥ p k . Chẳng hạn trong 6 biểu diễn 6=1+2+3, 6 = 3+1+2, 6= 1+3+2, 6 = 3+2+1, 6 = 2+1+3, 6 = 2+3+1 của cùng một phép phân hoạch số 6, chúng ta chọn dạng biểu diễn chuẩn 6=3+2+1vì bộ (3, 2, 1) sắp theo thứ tự từ lớn đến bé. 1.1.3 Chú ý. Mỗi phân hoạch số n có duy nhất một dạng biểu diễn chuẩn, tức là biểu diễn n thành tổng các số nguyên dương xếp theo thứ tự từ lớn đến bé. Vì thế, ta có thể coi một phân hoạch số n là một bộ 7 (p 1 , ,p k ) các số nguyên dương thỏa mãn p 1 ≥ p 2 ≥ ≥ p k và tổng của chúng đúng bằng n. Với kí hiệu như vậy, thay cho cách viết 11 phân hoạch sau đây của số 6 6=6, 6=4+2, 6=5+1, 6=3+3, 6=4+1+1, 6=3+2+1, 6=2+2+2, 6=3+1+1+1, 6=2+2+1+1, 6=2+1+1+1+1, 6=1+1+1+1+1+1 ta có thể viết lại các phân hoạch này như sau (6), (4, 2), (5, 1), (3, 3), (4, 1, 1), (3, 2, 1), (2, 2, 2), (3, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1) 1.1.4 Định nghĩa. Số phân hoạch của n được kí hiệu là P(n). Hàm P (n) được gọi là hàm phân hoạch. Cho thuận lợi, ta quy ước P (0) = 1. Ta xét một số ví dụ sau 1.1.5 Ví dụ. Ta có P(1) = 1, P (2) = 2, P (3) = 3, P (4) = 5, P (5) = 7, P (8) = 22. Rõ ràng P(1) = 1 vì (1) là phân hoạch duy nhất của 1. Ta có P (2) = 2 vì 2 có hai phân hoạch là (2), (1, 1). Ta có P (3) = 3 vì 3 có 3 phân hoạch là (3), (2, 1), (1, 1, 1). Ta có P (4) = 5 vì 4 có 5 phân hoạch là (4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1). Ta có P (5) = 7 vì có đúng 7 phân hoạch số 5 sau đây (5), (4, 1), (3, 2), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1) 8 Ta có P (8) = 22 vì 8 có 22 phân hoạch sau đây (8), (7, 1), (6, 2), (5, 3), (4, 4), (6, 1, 1), (5, 2, 1), (4, 3, 1), (4, 2, 2, (3, 3, 2), (5, 1 , 1, 1), (4, 2, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 2, 1), (3, 3, 1, 1), (4, 1, 1, 1, 1), (3, 2, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) Kết quả tiếp theo là một đánh giá của hàm phân hoạch. 1.1.6 Mệnh đề. Với mỗi số nguyên dương n ta có P (2n) ≥ P (n)+P (n − 1) + + P (2) + P(1). Chứng minh. Với mỗi r ∈{n, n − 1, ,2, 1}, kí hiệu B r là tập các phép phân hoạch số r. Khi đó số phần tử của B r là P(r). Giả sử (p 1 , ,p k ) ∈ B r là một phép phân hoạch số r. Khi đó r ≥ p 1 ≥ ≥ p k ≥ 1. Vì 2n−r ≥ n ≥ r nên 2n−r ≥ p 1 ≥ ≥ p k ≥ 1. Do đó (2n−r, p 1 , ,p k ) là một phép phân hoạch số 2n. Vì thế, với mỗi r ∈{n, n − 1, ,2, 1}, có đúng P(r) phép phân hoạch số n sao cho thành phần thứ nhất là 2n − r và các thành phần còn lại không vượt quá r. Rõ ràng, nếu r, r  ∈ {n, n − 1, ,2, 1} với r = r  thì hai phép phân hoạch (2n − r, p 1 , ,p k ) và (2n − r  ,p 1 , ,p k ) của số 2n là khác nhau, với mọi (p 1 , ,p k ) ∈ B r . Vì thế P (2n) lớn hơn hoặc bằng số phần tử của  n r=1 B r , tức là P (2n) ≥ P (n)+P (n − 1) + + P (2) + P(1). 1.2 Tam giác Pascal Trong tiết này, chúng ta cùng tìm hiểu cách tính số phân hoạch P (n) của n theo một biểu đồ hình tam giác, gọi là tam giác Pascal. Trong suốt luận văn này ta dùng kí hiệu sau. [...]... trình bày đồng nhất thức của Euler và các mở rộng của nó, phương pháp sử dụng để chứng minh các đồng nhất thức trong phần này là dựa vào hàm sinh 2.2.1 Định lý (Euler [Eu]) Số phân hoạch của n thành các số hạng phân biệt chính là số phân hoạch của n thành các số hạng lẻ Chứng minh Như trong Kí hiệu 1.3.1, gọi P o (n) là số phân hoạch của n thành các số hạng lẻ và q(n) là số phân hoạch của n thành các thành... ta dùng các kí hiệu sau P (n) là số phân hoạch của n Pm (n) là số phân hoạch của n không quá m số hạng pm (n) là số phân hoạch của n thành đúng m số hạng πm (n) là số phân hoạch của n với các số hạng không vượt quá m 13 P o (n) là số phân hoạch của n sao cho mỗi số hạng đều là số lẻ P e (n) là số phân hoạch của n sao cho mỗi số hạng đều chẵn q(n) là số phân hoạch của n thành những số hạng phân biệt... phân hoạch của n gồm đúng µ số hạng tương ứng với một phân hoạch của n gồm các số hạng trong đó số lớn nhất là µ Rõ ràng đây là tương ứng 1 − 1 Do đó ta có điều phải chứng minh Chương 2 Các đồng nhất thức của Euler và Rogers- Ramanujan Mục đích của Chương là trình bày các đồng nhất thức của Euler, Rogers- Ramanujan và các mở rộng Trước hết, chúng ta nghiên cứu hàm sinh của một số hàm phân hoạch có điều... là số phân hoạch của n thành các số hạng phân biệt sao cho có đúng k dãy số nguyên liên tiếp xuất hiện Khi đó n q(n) = o qk (n) Theo Định lí 2.2.5 của Sylvester, Pk (n) = qk (n) với mọi k=1 k Vì thế ta có P o (n) = q(n) 2.3 Đồng nhất thức Rogers- Ramanujan và các mở rộng Đồng nhất thức Euler cho ta công thức tính số phân hoạch của n thành các số hạng phân biệt thông qua số phân hoạch của n thành các số. .. phân hoạch của n thành các số hạng phân biệt thì các pi phải khác nhau ít nhất 1 đơn vị Vì thế, câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có tồn tại một đồng nhất thức liên quan đến số phân hoạch mà các số hạng phải khác nhau ít nhất 2 đơn vị? Đồng nhất thức như vậy đã được tìm ra bởi Rogers và Ramanujan vào đầu Thế kỉ 20 2.3.1 Định lý (Rogers- Ramanujan) Số phân hoạch của n thành những số hạng khác nhau ít nhất. .. s(n) với mọi n 2.2 Đồng nhất thức Euler và một số mở rộng Năm 1748, Euler [Eu] đã phát minh ra một đồng nhất thức, gọi là đồng nhất thức Euler, liên quan đến một số loại phân hoạch có điều kiện Có thể nói, đồng nhất thức Euler là một trong những kết quả nổi tiếng nhất trong lí thuyết phân hoạch các số tự nhiên Euler đã dùng phương pháp tổ hợp khá phức tạp để chứng minh đồng nhất thức này Dưới đây,... P 0 (n), tức là số phân hoạch của n thành các thành phần phân biệt chính là số phân hoạch của n thành các số hạng lẻ Tiếp theo, chúng ta nghiên cứu một số mở rộng của đồng nhất thức Euler (xem Định lí 2.2.1) Một kết quả đáng chú ý trong hướng nghiên cứu này là đồng nhất thức sau đây, được Glaisher [G] phát minh vào năm 1883 2.2.2 Định lý (Glaisher) Số các phân hoạch của n thành các số hạng không chia... là một phân 26 hoạch của n trong B Gọi a1 , a2 lần lượt là số tọa độ bằng 1 và số tọa độ bằng 2 của phân hoạch đó Khi đó (a1, a2 ) ∈ A Do đó có một song ánh từ A đến B, tức là hệ số cn của xn chính là số phân hoạch của n thành các số hạng không quá 2 (iii) Tương tự như trong chứng minh (ii) ta có kết quả 2.1.5 Mệnh đề Như trong Kí hiệu 1.3.1, gọi q(n) là số phân hoạch của n thành các thành phần phân. .. là một số tự nhiên Khi đó số các phân hoạch của n thành các số hạng lẻ với đúng k số hạng khác nhau xuất hiện, bằng số các phân hoạch của n thành các số hạng phân biệt với đúng k dãy số nguyên dương liên tiếp xuất hiện 2.2.6 Ví dụ Chúng ta giải thích rõ phát biểu của Định lí 2.2.5 thông qua một ví dụ Cho n = 13 và cho k = 3 Khi đó có đúng 5 phân hoạch của 13 thành các số hạng lẻ với đúng 3 số hạng khác... giữa tập các phân hoạch của số n với tập các cách biểu diễn x1.a1 x2.a2 x3.a3 xn.an 1.1 , trong đó aν ≥ 0 là các số nguyên với ν = 1, , n, các nhân tử đứng sau xn.an đều bằng 1, và 1a1 + 2a2 + 3a3 + + nan = n Điều đó có nghĩa là P (n) = cn Đối tượng nghiên cứu quan trọng nhất trong lí thuyết phân hoạch các số tự nhiên là các phép phân hoạch có điều kiện, tức là các phép phân hoạch thoả . phân hoạch có điều kiện. 4 Đồng nhất thức của Euler. Số phân hoạch của n thành các số hạng phân biệt chính là số phân hoạch của n thành những số hạng lẻ. Đồng nhất thức của Rogers- Ramanujan. Số phân. 12 2 Các đồng nhất thức của Euler và Rogers- Ramanujan 22 2.1 Phân hoạch có điều kiện và hàm sinh của chúng . . . . . 22 2.2 Đồng nhất thức Euler và một số mở rộng . . . . . . . . . 28 2.3 Đồng nhất. MAI THỊ LAN PHƯƠNG VỀ CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA EULER VÀ ROGERS- RAMANUJAN TRONG PHÂN HOẠCH CÁC SỐ TỰ NHIÊN ON THE IDENTITIES OF EULER AND ROGERS- RAMANUJAN IN THE NUMBER PARTITIONS