Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II ( Luận văn thạc sĩ)Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II ( Luận văn thạc sĩ)Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II ( Luận văn thạc sĩ)Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II ( Luận văn thạc sĩ)Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II ( Luận văn thạc sĩ)Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II ( Luận văn thạc sĩ)Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II ( Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN KIÊN TRUNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN KIÊN TRUNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2014 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái Ngun, tháng năm 2014 Tác giả Đồn Kiên Trung i Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Trước tiên, Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người đặt tốn tận tình hướng dẫn suốt q trình nghiên cứu tơi Đồng thời tơi chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn, khoa Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tơi để tơi hồn thành luận văn Tôi gửi lời cảm ơn đến bạn lớp Cao học Toán k20, chia sẻ động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tôi vô biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em gia đình mình, đặc biệt người vợ cảm thông chia sẻ tơi hai năm qua để tơi học tập hoàn thành luận văn Do thời gian ngắn khối lượng kiến thức lớn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè, xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Đồn Kiên Trung ii Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón khái niệm liên quan 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.4 Tính lồi ánh xạ đa trị 14 1.5 Điểm bất động ánh xạ đa trị 15 Bài toán tựa cân tổng quát loại hai 18 2.1 Định lý tồn nghiệm 20 2.2 Các toán liên quan 26 2.2.1 Bao hàm thức tựa biến phân 26 2.2.2 Một số toán tựa cân 29 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 iii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Lý chọn luận văn Lý thuyết cân hình thành từ ý tưởng kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth Pareto từ cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 Sau có nhiều cơng trình nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nghành khoa học kỹ thuật thực tế như: Borel (1921), Von Neuman (1926) xây dựng lý thuyết trò chơi dựa khái niệm kết toán học, Koopmam (1947) đưa lý thuyết lưu thông hàng hóa Lý thuyết cân phận quan trọng lý thuyết tối ưu Sau cơng trình H.W.Kuhn A.W.Tucker điều kiện cần đủ cho véc tơ thỏa mãn ràng buộc nghiệm hữu hiệu, tối ưu véc tơ thực nghành tốn học độc lập có nhiều ứng dụng thực tế Các toán lý thuyết tối ưu véc tơ bao gồm: Bài toán tối ưu, toán cân Nash, toán bù, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa, Trong kinh tế, toán điểm cân biết đến từ lâu cơng trình Arrow-Debreu, Nash sau nhiều nhà tốn học sử dụng để xây dựng mơ hình kinh tế từ nửa sau kỷ 20 Ky Fan (1972) [6] Browder-Minty (1978) [4] phát biểu chứng minh tồn nghiệm toán điểm cân dựa định lý điểm bất động Năm 1991, Blum Oettli [3] phát biểu tốn cân cách tổng qt tìm cách liên kết toán Ky Fan Browder-Minty với thành dạng chung cho hai Bài toán phát biểu ngắn gọn là: Tìm x¯ ∈ D cho f (¯ x, x) ≥ với x ∈ D, D tập cho trước khơng gian, f : D × D → R hàm số thực thỏa mãn f (x, x) ≥ Đây Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ dạng suy rộng trực tiếp tốn lý thuyết tối ưu vơ hướng Ban đầu người ta nghiên cứu toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự đưa nón orthant dương Sau mở rộng sang khơng gian có số chiều vơ hạn với nón Khái niệm ánh xạ đa trị xây dựng phát triển yêu cầu phát triển thân toán học lĩnh vực khoa học khác Những định nghĩa, tính chất, phân lớp ánh xạ đơn trị dần mở rộng cho ánh xạ đa trị Từ người ta tìm cách chứng minh kết tương tự kết biết từ đơn trị Chính mà tốn điểm cân năm gần nhiều nhà nghiên cứu toán học đặc biệt quan tâm Với lí tơi chọn đề tài:" Bài toán tựa cân tổng quát loại II " Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết toán cân tổng quát loại II Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: Trình bày số kiến thức giải tích đa trị, số tính chất ánh xạ đa trị phép tốn Trình bày tốn tựa cân tổng quát loại hai vấn đề liên quan đến chúng lý thuyết tối ưu đa trị Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn trình bày gồm chương Chương trình bày số khái niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục theo nón, lồi theo nón số định lý điểm bất động làm kiến thức sở cho Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ chương Chương trình bày tốn tựa cân tổng quát loại II Định lý 2.1.1 2.1.2 cho ta kết tồn nghiệm toán Các hệ 2.2.1, 2.2.6 tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại II Sử dụng định lý 2.1.1 2.1.2 tính chất ánh xạ giả đơn điệu, giả đơn điệu mạnh ta chứng minh toán tựa cân yếu, tựa cân Pareto tựa tối ưu véc tơ đơn trị có nghiệm, điều thể hệ 2.2.6, 2.2.9, 2.2.10, 2.2.11 Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức chuẩn bị Trong thực tế, nhiều toán liên quan đến phép chuyển điểm tập thành tập tập Những khái niệm cổ điển hàm số, tốn tử hay ánh xạ khơng phù hợp Do việc mở rộng ánh xạ đa trị tất yếu để phù hợp với nhu cầu thực vấn đề nảy sinh từ tự nhiên sống Vì mà mơn giải tích đa trị hình thành trở thành cơng cụ đắc lực để nghiên cứu toán liên quan đến ánh xạ đa trị Chúng ta dành chương để nhắc lại số kiến thức mơn giải tích đa trị Các kiến thức quan trọng việc nghiên cứu toán chương sau 1.1 Nón khái niệm liên quan Trong không gian số thực hai phần tử so sánh với qua khái niệm lớn hay bé Điều khơng có khơng gian tơ pơ tuyến tính khác Muốn mở rộng tốn nhận giá trị thực sang toán nhận giá trị véc tơ đa trị người ta đưa vào khái niệm mới, đồng thời xây dựng khái niệm tương tự số thực, số phức không gian tô pơ tuyến tính Một phương pháp hữu hiệu để xây dựng khái niệm đưa nón vào khơng gian tơ pơ tuyến tính mà nghiên cứu sau Định nghĩa 1.1.1 Cho Y khơng gian tuyến tính C tập Y C gọi nón có đỉnh gốc (gọi ngắn gọn nón) Y Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tc ∈ C với c ∈ C, t ≥ Nón C gọi nón lồi C tập lồi Nếu Y không gian tô pô tuyến tính C nón Y , ký hiệu clC, intC, convC bao đóng, phần bao lồi nón C, l(C) = C ∩ (−C) nghiên cứu tốn liên quan đến nón, người ta thường quan tâm đến loại nón sau: i) Nón C gọi nón đóng C tập đóng ii) Nón C gọi nón nhọn l(C) = Với nón C cho trước, ta định nghĩa quan hệ sau: x, y ∈ Y, x Cy x − y ∈ C Nếu khơng có nhầm lẫn ta viết đơn giản x y Ký hiệu x y x − y ∈ C \ l(C) x y x − y ∈ intC Ta thấy quan hệ quan hệ thứ tự phần C nón lồi nhọn Sau số ví dụ nón Ví dụ 1.1.2 i) Tập {0} Y nón khơng gian Y Ta gọi chúng nón tầm thường n = {x = (x1 , x2 , , xn ) ii) Cho Rn không gian Euclid n chiều, tập C = R+ ∈ Rn | xj ≥ 0, j = 1, 2, , n} nón lồi, đóng, nhọn gọi nón Orthant dương Rn Nếu lấy C = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn | x1 ≥ 0} C nón lồi, đóng khơng nhọn Vì l(C) = {x = (0, x2 , , xn ) ∈ Rn } = {0} iii) Cho Lp [0, 1], < p < không gian hàm đoạn [0,1 ] (| x |)p dµ < ∞, µ độ đo Lesberge} Lp [0, 1] = {x, Tô pô không gian xác định sở lân cận 0, gồm tập có dạng 1 (| x |)p dµ) p < {x ∈ Lp [0, 1]/( } n Tập C = {x ∈ Lp [0, 1] : x(t) ≥ 0, t ∈ [0, 1]} C nón lồi đóng Định nghĩa 1.1.3 Cho C nón khơng gian tuyến tính Y B ⊆ Y gọi tập sinh nón C , ký hiệu C = coneB, C = {tb | b ∈ B, t ≥ 0} Trong trường hợp B không chứa điểm gốc với c ∈ C, c = Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... cho: F (( αx + (1 − α)y) ⊆ F (y) + V ; C(αx + (1 − α)y) ⊆ C(y) + V, với α ∈ U Do đó, F (( αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅ với α ∈ (0 , 1), (F (y)+V )∩(C(y)+V ) = ∅ Điều dẫn đến F (y)∩(C(y)+2V... điểm cân năm gần nhiều nhà nghiên cứu toán học đặc biệt quan tâm Với lí tơi chọn đề tài:" Bài toán tựa cân tổng quát loại II " Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết toán cân tổng. .. thỏa mãn F ( x + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅ với α ∈ (0 , 1) kéo theo F (y) ∩ C(y) = ∅ ii) F gọi C − hemi liên tục với x, y ∈ D thỏa mãn F ( x + (1 − α)y) −intC(αx + (1 − α)y) với α ∈ (0 , 1)