Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4

Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4 Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 4

Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần Nguyễn Văn Linh Bài toán (Nguyễn Minh Hà) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H P điểm OH Gọi B , C điểm đối xứng B, C qua OH B P cắt AC X, C P cắt AB Y Chứng minh điểm đối xứng với H qua XY nằm (O) Chứng minh Ta phát biểu số bổ đề sau Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H Gọi X, Y điểm nằm AC, AB cho ∠XHY = ∠BHC Khi điểm đối xứng với H qua XY nằm (O) Chứng minh A N H O Y J M C B P K X Gọi K điểm nằm (O) cho K không đối xứng với H qua AB thỏa mãn Y K = Y H Trung trực KH cắt AC X Gọi J trung điểm KH, M, N, P hình chiếu K BC, CA, AB Khi M, N, P, J nằm đường thẳng Simson K ứng với tam giác ABC Ta có ∠Y KX = ∠Y KJ + ∠JKX = ∠AP N + ∠AN P = 180◦ − ∠BAC Do ∠Y HX = ∠Y KX = 180◦ − ∠BAC = ∠BHC Suy X ≡ X Suy đpcm Bổ đề Cho tam giác ABC hai điểm P, Q liên hợp đẳng giác X, Y hai điểm nằm AC, AB cho ∠XP Y = ∠BP C Khi ∠XQY = ∠BQC Chứng minh A E F P Q Y K B C D X Gọi D, E, F hình chiếu P BC, CA, AB K giao điểm thứ hai khác F đường tròn đường kính P Y với đường tròn pedal P ứng với tam giác ABC Y K cắt AC X Ta có ∠F KE = ∠F DE nên ∠F KP + ∠EKP = ∠F DP + ∠EDP hay ∠AY P + ∠AX P = ∠ABP + ∠ACP Suy ∠BAC + ∠AY P + ∠AX P = ∠BAC + ∠ABP + ∠ACP hay ∠Y P X = ∠BP C, X ≡ X Tương tự suy ∠XQY = ∠BQC Bổ đề Cho tam giác ABC hai điểm P, Q liên hợp đẳng giác L điểm P Q B , C đối xứng B, C qua P Q B L cắt AC X, C L cắt AB Y Khi ∠XP Y = ∠BP C, ∠XQY = ∠BQC Chứng minh A C' B' P R Q E L M Y B C X D N Dễ thấy BC cắt CB điểm R P Q Gọi C P, C Q cắt AB M, D; B P, B Q cắt AC N, E Ta có ∠M P N = ∠B P C = ∠BP C ∠DQE = ∠B QC = ∠BQC nên theo bổ đề 2, ∠DP E = ∠BP C Mặt khác, (M XBD) = C (M XBD) = (P LRQ) = B (P LRQ) = (N Y CE) −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ sin(P M , P B) sin(P X, P B) sin(P N , P C) sin(P Y , P C) Do −−→ −−→ : −−→ −−→ = −−→ −−→ : −−→ −−→ (1) sin(P M , P D) sin(P X, P D) sin(P N , P E) sin(P Y , P E) Do góc M P N, BP C, DP E nên kết hợp với (1) suy ∠XP B = ∠Y P C Từ ∠XP Y = ∠BP C Chứng minh tương tự suy ∠XQY = ∠BQC Trở lại toán A B' C' H O P Y C B X H' Áp dụng bổ đề cho hai điểm H O liên hợp đẳng giác với P nằm HO Ta có ∠XHY = ∠BHC Do theo bổ đề suy điểm đối xứng với H qua XY nằm (O)