Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần 2
Bài kiểm tra đội tuyển IMO lần Nguyễn Văn Linh Bài toán (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H E, F thuộc (O) cho EF BC D trung điểm HE Đường thẳng qua O song song với AF cắt AB G Chứng minh DG ⊥ DC G A J P N L Q O C' H T J B C D E F Chứng minh Gọi C giao CH với AB, D giao điểm thứ hai khác C đường tròn đường kính CG đường tròn Euler D H cắt (O) hai điểm E L cho D trung điểm HE Phép nghịch đảo tâm H phương tích k = HC.HC biến (ABC) thành đường tròn Euler, HL.HD = HC.HC hay L ∈ (GC) Gọi N giao JE với AB, J điểm đối xứng với C qua O ∠CLG = ∠CLJ = 90◦ nên L, J, G thẳng hàng Gọi Q, P, T trung điểm AB, LJ, E J Dễ thấy Q đồng thời trung điểm HJ nên Q, P, T thẳng hàng Mà Q, P, T hình chiếu O N G, JG, JN nên theo định lý đảo đường thẳng Simson, O ∈ (GJN ) Suy ∠E AC = ∠E JC = ∠BGO = ∠BAF hay E F BC Tức E ≡ E Ta có đpcm