Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO
Đề kiểm tra đội tuyển IMO Nguyễn Văn Linh Tháng 4/2014 Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H Đường thẳng qua A vng góc với OH cắt BC D Gọi E, Eb , Ec tâm đường tròn Euler tam giác ABC, ABD, ACD Chứng minh E, Eb , Ec , H thuộc đường tròn A Hb T Mc Mb S Hc H E Ec O Eb B Ha Ma D M C Chứng minh Gọi Ma , Mb , Mc trung điểm BC, CA, AB; Ha , Hb , Hc chân đường cao tam giác ABC AD giao Mb Mc S, T trung điểm AHa Qua E kẻ đường song song với AD cắt BC M Từ M kẻ M Eb ⊥ BHb , M Ec ⊥ BHc Ta chứng minh Eb ≡ Eb , Ec ≡ Ec Do Eb , E, Ha nằm đường tròn đường kính HM nên ∠Eb EHa = ∠Eb HHa = ∠Mc T Ha = ∠Mc EHa Do EEb phân giác ∠Mc EHa Mà EMc = EHa nên Eb Mc = Eb Ha Ta có ∠Mc Eb Ha = 360◦ − 2∠EEb Ha = 2∠EM Ha = 2∠EOMa Do AD ⊥ EO, Mb Mc ⊥ OMa nên ∠EOMa = ∠ASMc , suy ∠Mc Eb Ha = 2∠ASMc = 2∠Mc SD Điều nghĩa Eb tâm đường tròn Euler tam giác ADB hay Eb ≡ Eb Chứng minh tương tự, Ec ≡ Ec Từ H, E, Eb , Ec nằm đường tròn đường kính M H